应用题专题训练--函数(对勾函数)

对勾函数在解题中的妙用 常称函数)0()(>+=a xa x x f 为对勾函数，关于函数 例1：若不等式012≥++ax x 对一切)21,0(∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：本题若将不等式的左边视为二次函数，数形结合进行求解可以，但须分类讨论，解答过程较为繁冗，其实这里若借助对勾函数的图象与性质可得如下简解： 解：因)21,0(∈x ，故原不等式可化为)1(xx a +-≥，令)1()(x x x h +-=，结合对勾函数的图象可知：函数)1()(x x x h +-=在区间)21,0(上是增函数，所以当)21,0(∈x 时，有25)21()(-=<h x h ，故25-≥a ，即所求实数a 的取值范围为),25[+∞-。

点评：本题在解答时，通过分离出参变量a 用变量x 表示，将问题转化为求对勾函数在区间)21,0(的值域的问题，进而求出参变数a 的取值范围，解答过程简捷、明快。

例2：求函数12)(2-=x x x f 的值域。

分析：表面上看直接解答本题似乎无法下手，其实若借助上述变形可得如下简解：因)1214121(21)214121(21)214141(21)21(2112)(222+-+-=-++=-+-=-=-=x x x x x x x x x x x f 注意到当21≠x 时21-x 与2141-x 同号，则1212|21|41|21||21121|=⨯≥-+-=-+-x x x x ，即121121≥-+-x x 或121121-≤-+-x x ，所以1)(≥x f 或1)(-≤x f ，故所求函数的值域为),1[]1,(+∞--∞ 。

点评：本题也可先令12-=x t ，则)1(21+=t x ，则原函数变为)21(41])1([41)(2++=+=t t t t t f ，注意到t 与t 1同号，所以2||1|||1|≥+=+t t t t （当且仅当1||=t 时取等号），即21≥+t t 或21-≤+tt ，所以1)(-≤t f 或1)(≥t f ，故所求函数的值域为),1[]1,(+∞--∞ 。

读万卷书行万里路学大教育个性化教学学案姓名年级性别课题对勾函数教学目的了解对勾函数的概念、性质和图像教学重难点运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。

教学过程（内容可附后）对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

(接下来写作f(x)=ax+b/x )。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x 叠“加” 而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当 a ， b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0a<0 b<0对勾函数的图像( ab 同号)当a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

)对勾函数的图像（ab 异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0 ，b>0 。

之后当a<0，b<0 时，根据对称就很容易得出结论了。

（二）对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0 时，错误!未找到引用源。

当x<0时，错误!未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

对勾函数的性质及应用一、对勾函数y ax b(a 0,b 0)的图像与性x质：1.定义域： ( ,0) (0, )2.值域： ( , 2 ab ] [ 2 ab , )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f (x) f ( x)04. 图像在一、三象限,当 xb2 ab （当且仅当xb取等号），0 时，y axx a即 f ( x) 在x= b 时，取最小值2 aba由奇函数性质知：当 x<0 时，f (x)在 x=b时，取最大值2 ab a5. 单调性：增区间为（b,），（,b）, 减区间是（ 0，b），（b,0 ）a a a a二、对勾函数的变形形式种类一：函数y ax b(a0, b 0) 的图像与性x质1. 定义域：(,0) (0, )2. 值域：(, 2 ab ] [ 2 ab , )3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 .4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时， f ( x) 在 x= b时，取最小值 2ab ；当 x 0 时，af ( x) 在 x=b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（ 0， b），（b ,0 ）减区间是（ b, ），（,b）,aaaa种类二： 斜勾函数 yaxb( ab 0)x① a 0,b 0 作图以下1. 定义域： (,0) (0,) 2. 值域： R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值 .5. 单调性：增区间为（ - ，0），（0，+ ）.② a 0,b 0 作图以下：1. 定义域： (,0) (0,) 2. 值域： R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：减区间为（ - ，0），（0，+ ）.种类三： 函数 f ( x)ax2bx c(ac 0) 。

x此类函数可变形为 f ( x)axc c 上下平移获取b ，可由对勾函数 y axxx练习 1. 函数 f ( x)x2x 1的对称中心为x种类四： 函数 f (x ) xa (a 0, k 0)xk此类函数可变形为 f (x)( x ka ) k ，则 f ( x) 可由对勾函数 yxa左右平移，x kx上下平移获取练习 1. 作函数 f ( x)x1与 f ( x)x 3x xx 的草图222. 求函数 f (x)x1 在 (2, ) 上的最低点坐标2x 43. 求函数 f (x)xx 的单调区间及对称中心x1种类五 ：函数 f (x)ax (a 0,b 0) 。

对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。

此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。

此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。

（接下来写作f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误!未找到引用源。

当x<0时，错误!未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

基本不等式与对勾函数之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十日 二、 对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质 性质：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数, 函数图像整体呈两个“对勾”的形状, 且函数图像关于原点呈中心对称, 即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限那时0x >, 由基本不等式知b y ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a=取等号）,即)(x f 在x=ab 时, 取最小值ab 2由奇函数性质知： 当x<0时, )(x f 在x=a b -时, 取最年夜值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,a b ）, （ab -∞-,）减区间是（0,ab ）, （ab -,0）一、对勾函数的变形形式类型一：函数b y ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质此函数与对勾函数xb x a y )()(-+-=关于原点对称, 故函数图像为 性质：类型二：斜勾函数b y ax x=+)0(<ab①,0<>b a 作图如下性质： ②0,0><b a 作图如下： 类型三：函数)0()(2>++=ac xc bx ax x f此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(, 则)(x f 可由对勾函数xc ax y +=上下平移获得 例1作函数xx x x f 1)(2++=的草图解：11)(1)(2++=⇒++=xx x f x x x x f 作图如下：类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为kkx ak x x f -+++=)()(, 则)(x f 可由对勾函数xax y +=左右平移, 上下平移获得 例2作函数21)(-+=x x x f 的草图解：2212)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=23)(的作图： 解：1212211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f 练习：1.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标2. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b x axx f此类函数界说域为R , 且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)(a.若0>a , 则)(x f 的单调性和对勾函数xb x y +=的单调性相反, 图像如下：性质：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：)21,21(ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数, 函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状, 且函数图像关于原点呈中心对称, 即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限那时0x >, 由基本不等式知ba xb x a x f 22)(=⋅≤（当且仅当b x =取等号）,即)(x f 在b x =时, 取最年夜值ba 2由奇函数性质知：当x<0时, )(x f 在x=b -时, 取最小值ba2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）, （b -∞-,）增区间是],[b b -例4作函数1)(2+=x xx f 的草图 解：x x xx x f x xx f 1111)(1)(22+=+=⇒+=b.若0<a , 作出函数图像： 例5作函数42)(2+-=x xx f 的草图 类型六：函数)0()(2≠+++=a mx c bx ax x f此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s mx t m x a m x t m x s m x a x f ,则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移, 上下平移获得 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=如何变换而来解：111111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f故 此函数)(x f 可由对勾函数xx y 1+=向（填“左”、“右”）平移单元, 向（填“上”、“下”）平移单元.草图如下：练习：1.已知1->x , 求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值1<x , 求函数1109)(2--+=x x x x f 的最年夜值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax mx x f 例7求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最年夜值解：那时1=x , 0)1(=f 那时1≠x , 3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最年夜值为 练习232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最年夜值类型八：函数ax b x x f ++=)(此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f例8求函数13)(-+=x x x f 的最小值解：141141)(-+-=-+-=x x x x x f练习：1．求函数15)(++=x x x f 的值域2.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=例9求函数45)(22++=x x x f 的最小值解：45)(22++=x x x f 414414)(2222+++=+++=⇒x x x x x f练习：1. 求函数171)(22++=x x x f 的值域 例10已知20,a >求函数.解：2令t ),则1t t +y=11a ≥时, min y101a <<时, 2min y =。

对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

基本不等式与对勾函数一、 对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知by ax x=+≥ab 2（当且仅当x = 即)(x f 在x=ab时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab-时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，ab ），（a b -,0）一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数byax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质此函数与对勾函数xb x a y )()(-+-=关于原点对称，故函数图像为 性质：类型二：斜勾函数byax x=+)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下性质： ②0,0><b a 作图如下：类型三：函数)0()(2>++=ac xc bx ax x f此类函数可变形为b xc ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数xcax y +=上下平移得到 例1作函数xx x x f 1)(2++=的草图解：11)(1)(2++=⇒++=xx x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数xax y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数21)(-+=x x x f 的草图 解：2212)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=23)(的作图： 解：1212211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f练习：1.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标2.求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f此类函数定义域为R ，且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数xbx y +=的单调性相反，图像如下：性质：1．定义域：),(+∞-∞2.值域：)21,21(ba ba ⋅⋅-3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知ba xb x a x f 22)(=⋅≤（当且仅当b x =取等号），即)(x f 在b x =时，取最大值ba 2由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值ba 2-5.单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）增区间是],[b b -例4作函数1)(2+=x xx f 的草图 解：x x xx x f x xx f 1111)(1)(22+=+=⇒+=b.若0<a，作出函数图像：例5作函数42)(2+-=x xx f 的草图类型六：函数)0()(2≠+++=a mx cbx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s mx tm x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=如何变换而来解：111111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f 故此函数)(x f 可由对勾函数xx y 1+=向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.草图如下：练习：1.已知1->x ，求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值2.已知1<x ，求函数1109)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax mx x f 例7求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f当1≠x 时，3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为练习：1.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f例8求函数13)(-+=x x x f 的最小值解：141141)(-+-=-+-=x x x x x f练习：1．求函数15)(++=x x x f 的值域2.求函数32)(++=x x x f 的值域 类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=例9求函数45)(22++=x x x f 的最小值解：45)(22++=x x x f 414414)(2222+++=+++=⇒x x x x x f练习：1.求函数171)(22++=x x x f 的值域例10已知20,a >求函数的最小值。

第18题 几类特殊函数（对勾函数、绝对值函数等）I ．理论基础·解题原理 （I ）对勾函数 一、对勾函数的定义形如)0,0(>>+=b a xbax y 的函数，叫做对勾函数． 二、对勾函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的图象与性质1.定义域 0}{≠∈x R x2.值域当0>x 时，ab xbax x b ax 22=⋅≥+（当且仅当x b ax =，即a b x =时取等号）． 当0<x 时，ab x b ax x b ax x b ax 2))((2)]()[(-=---≤-+--=+（当且仅当x b ax -=-，即abx -=时取等号）． 函数)0,0()(>>+=b a xbax x f 的值域为,2[]2,(ab ab ⋃--∞）∞+． 3.奇偶性由于双勾函数定义域关于原点对称，)()(xbax x b ax x f +-=--=-)(x f -=，则对勾函数为奇函数． 4.单调性 由于2)(x b a x f -='，令0)(>'x f ，解得a b x -<或a b x >，令0)(>'x f ，解得0<<-x ab或ab x <<0，所以函数)(x f 在),(a b -∞上为增函数，在)0,(a b -上为减函数，在),0(a b 上为减函数，在),(+∞ab上为增函数． 5.渐近线当0>x 时，0>+x b ax ，当0<x 时，0<+xbax ，说明函数的的图象在第一、第三象限． 当0>x 时，xbx b ax x f >+=)(，说明函数在第一象限的图象在直线ax y =的上方，当0<x 时，ax xbax x f <+=)(，说明函数在第三象限的图象在直线ax y =的下方． 双勾函数就是以y 轴和直线x y =为渐近线的双曲线． 特别1,1==b a 时，xx x f 1)(+=，函数图象如下图所示：（II ）绝对值函数一、绝对值函数的定义：形如b ax y +=的函数，叫做绝对值函数．含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：1．形如()f x 的函数,研究此类函数往往结合()f x 图像,可以看成由()f x 的图像在x 轴上方部分不变,下方部分关于x 轴对称得到；2．形如()fx 的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究0x ≥的情况,0x <的情况可以根据对称性得到；3．函数解析式中部分含有绝对值,如1y x x a =-+,2y x x a =+-等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究． 二、绝对值函数b ax x f +=)(的图象与性质 1.定义域：R ； 2.值域：),0[+∞；3.单调性：函数)(x f 在）（a b-∞-,上为减函数，在),(+∞-ab上为增函数． 特别0,1==b a 时，x x f =)(，图象如下图所示（III ）取整函数 取整函数的定义若x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数][)(x x f =叫做取整函数．举例如下：,0]8.0[,0]35.0[,1]2.1[,2]8.2[=-===1]9.1[-=-等．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等． 【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题． 【易错指导】注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题． V ．举一反三·触类旁通 考向1 对勾函数【例1】【2018河北唐山模拟】已知1()1f x x x=+-，()2f a =，则()f a -=（ ） A ．4- B ．2- C ．1- D ．3- 【答案】A【解析】∵1()1f x x x =+-，∴xx x f 11)(+=+，令1)()(+=x f x F ，则)(x F 为奇函数，则)()(x F x F -=-，所以1)(1)(--=+-x f x f ，有4222)()(-=--=--=-a f a f ，故选A ．考点：函数值、函数的奇偶性．【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞ 【答案】C考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性． 【例3】【2017山西四校联考】若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A ．(]1,-∞-B ． ()0,1-C ．()1,0D ．()+∞,2 【解析】01)(2=-='xb x f ，b x =2，显然0>b ，函数)()(R b x b x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，41<<b ，)(x f 为增函数，只需b x xb x x b x f ≥≥-=-='2222,01)(，故选D ． 【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等． 2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数()12,1,2{ 12,1,2x x x x x f x x ->=-≤函数()()g x f x m =-，则下列说法错误的是（ ） A ．若32m ≤-，则函数()g x 无零点 B ．若32m >-，则函数()g x 有零点C ．若3322m -<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若32m >，则函数()g x 有两个零点 【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象如图所示：观察可知：当32m =-时，函数()g x 有一个零点，故A 错误．故选A ． 【跟踪练习】 1．若函数()4f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） ()()()()4(0,2),(2,)4(0,2),(2.)...,A f x B f x C f x D f x +∞+∞的最小值为在上单调递减在上单调递增的最大值为在函数函数函数函上单调递增在数上单调递减2．关于函数()21lg ||f x x x +=有下列命题：（1）其图象关于y 轴对称；（2）函数f (x )在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减； （3）函数f (x )的最小值为lg 2；（4）函数f (x )在(1,0),(2,)-+∞上单调递增； （5）函数f (x )无最大值，也无最小值 其中所有正确结论的序号是（ ）【解析】注意函数的定义域为0x ≠．如图：所以在(0,)+∞上，g (x )在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．所以由复合函数单调性可知，f (x ) 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增．由函数对称性，f (x ) 在(1,0)-上递增，在(,1)-∞-上递减，所以（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g (x )的最小值为2，所以f (x )的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确． 3．函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值为______ 【答案】54．求函数3()f x x x=+在下列条件下的值域： (1)()(,0)0,x ∈-∞+∞；(2)(2,3]x ∈【解析】（1）当x>0时，由均值不等式，有3x x +≥=当3x x=时，即x =当x<0时，有 33[()]x x x x+=--+≤--所以函数的值域为：()-∞-⋃∞，5．已知函数()af x x x=+其中常数a>0．(1)证明:函数f(x)在上是减函数,在)+∞ 上是增函数； (2)利用(1)的结论,求函数20y x x=+(x ∈[4,6])的值域； (3)借助(1)的结论,试指出函数27()1xg x x x-=++ 的单调区间,不必证明．（3）55(1)111y x x x x =+=-++--，所以值域为：1,)+∞． 考向2 绝对值函数【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C【例6】已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1- 【答案】B【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数()2,1{2,1x x f x x x x+<=+≥，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】[]2,2-【例8】【2015高考湖北卷】a 为实数,函数2()||f x x ax =-在区间[01]，上的最大值记为()g a ． 当a = 时,()g a 的值最小．【答案】3-【解析】()()2f x x ax x x a =-=-．①当0a <时,函数()f x 的图像如图所示．函数()f x 在区间[]0,1上单调递增,()()()max 11f x g a f a ===-．②当0a =时,2()f x x =,()f x 在区间[]0,1上的最大值为()()11f g a a ==-．③当0a >时,函数()f x 的图像如图所示．【例9】函数x x g 2log )(= )21(>x ,关于x 的方程2()()230g x m g x m +++=恰有三个不同实数解,则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3423m -<≤-【例10】【2018广东广州模拟】已知函数()()11f x x x x R =-++∈ (1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；(3)在同一坐标系中画出直线2y x =+，观察图像写出不等式()2f x x >+的解集． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）{|02}x x x 或．【解析】试题分析: 判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式， 根据f(-x)与f(x)的关系，判断函数f(x)为奇偶性；再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；根据图象解不等式，这是一种数形结合思想． 试题解析：（1）依题可得： ()f x 的定义域为R()()1111f x x x x x f x -=--+-+=++-= ∴ ()f x 是偶函数（2）()()2(1){2112(1)xx f x x x x -<-=-≤≤> 由函数图象知，函数的值域为[)2,+∞ （3）由函数图象知，不等式的解集为{|02}x x x 或 【跟踪练习】1．【2018浙江台州模拟】函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m=与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的最大值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D由m x x =-=-2222，得m x -=22，02>-m 由m x x =-=-2233，得23+=m x ，02>+m()()()12441441224222222321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=+⋅-⋅=⋅⋅∴m m m m m m m x x x ，当且仅当224m m -=，即2=m 时取到等号，故答案为D ．考点：1、函数图象的应用；2、基本不等式的应用．2．【2018北京西城区模拟】设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤ （1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___． 【答案】2-或4；(1,3]-【解析】由题意()113,f a =-= ，解得2a =-或4a =； 第二问如图：考点：1．分段函数值；2．函数的零点． 3．设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数） （1）a =2时，讨论函数)(x f 的单调性；（2）若a >-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值．（2）2222)(22ax a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2，解得a =3符合题意；当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24)2(2==a a f ，无解； 综上，a =3．考向3 取整函数与程序框图【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．5B ．7C ．9D ．12考向4 取整函数与函数的周期性【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数 【答案】D【解析】因为f （x ）=x-[x]，所以f （x+1）=（x+1），-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f （x ）， ∴f （x ）=x-[x]在R 上为周期是1的函数．所以选D ． 考点：函数的周期性．【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．【答案】考点：归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．【跟踪练习】1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如．求的值为（）A．0 B．-2 C．-1 D．1【答案】C【解析】=−2,−2<<−1,=−1,=0,=1,1<<2,=2，由“取整函数”的定义可得，=−2−2−1+0+1+1+2=−1．故选：C．点睛：正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”，首先小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面．2．【2018江苏南京模拟】函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 ． 【答案】}{0,1,2,33．【2018福建三明模拟】对于任意x ∈R ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若数列{}n a 满足()4n na f =()n +∈N ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4n S 等于 ． 【答案】22n n - 【解析】由定义知41235678940,1,2,n a a a a a a a a a a n==========，244(12...1)2n S n n n n∴=+++-+=-．考向5 取整函数与函数的零点【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知,x R ∈符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，则a 的取值范围是 ．【答案】34,45⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由f （x ）=0得a xx =][，令g （x ）=x x ][（x>0），作出g （x ）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．由f （x ）=0得a xx =][；令g （x ）=x x ][，（x>0），则当0＜x ＜1，[x]=0，此时g （x ）=0，当1≤x ＜2，[x]=1，此时g （x ）=x 1，此时1)(21≤<x g ；当2≤x＜3，[x]=2，此时g （x ）=x 2，此时1)(32≤<x g ；当3≤x＜4，[x]=3，此时g （x ）=x 3，此时1)(43≤<x g ；当4≤x＜5，[x]=4，此时g （x ）=x 4，此时1)(54≤<x g ；作出g （x ）的函数的图象，要使函数()[]()0x f x a x x=->有且仅有3个零点，即函数g （x ）的图象与直线y=a 有且只有三个零点，由图象可知：5443≤<a ．故答案为：5443≤<a ． 考点：函数的零点与方程根的关系．【例15】【2018杭州重点中学联考】已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是3443.,,4532A ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3443.,,4532B ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342C ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 1253.,,2342D ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】B若x ＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则[]0x x=，若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x +++＜，＜，且[][]1x x +随着[x]的增大而增大．若x ＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则[]1x x≥，若x ＜-1，因为[x]≤x＜-1；[x]≤x＜[x]+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1++＜，＜,且[][]1x x +随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x =-（）有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有121≤<a 若[x]=2，有132≤<a 若[x]=3，有143≤<a 若[x]=4，有154≤<a 若[x]=-1，有a ＞1；若[x]=-2，有1≤a＜2；若[x]=-3，有231<≤a 若[x]=-4，有341<≤a ，综上所述，5443<<a 或2334<<a ．故选：B ．考点：函数零点的判定定理． 【跟踪练习】1．【2018福建省莆田模拟】在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0- 【答案】B2．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ） A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】根据题意，当16x =时1y =，所以选项,A B 不正确，当17x =时2y =，所以D 不正确，故选C ．3．【2018浙江浙大附中模拟】对于实数x ，][x 称为取整函数或高斯函数，亦即][x 是不超过x 的最大整数．例如：2]3.2[=．直角坐标平面内，若),(y x 满足4]1[]1[22=-+-y x ，则 22y x +的取值范围是．【答案】(1,5)[10,20)。