下载文档原格式
第三章 求解水动力弥散方程的有限差分法在符合定解条件的情况下，水动力弥散方程的解析解，可求得计算区域任一点的溶质浓度及其随时间的变化，可分析多种因素对溶质运移过程的影响，利用实测资料可反求溶质运移有关参数，还可用以验证数值方法的可靠程度等。
但对于较复杂的初边值条件或非稳定水流运动中的溶质运移问题，一般很难求得解析解。
即使通过一定简化求得解析解，也由于公式过于繁琐以致难以实际应用。
实践中，对这类问题，常用数值方法求解。
求解水动力弥散方程的数值方法，主要有有限差分法和有限单元法。
考虑到前面有关章节对这两种数值方法已做过详细介绍，三、四两章将主要讨论几种对求解水动力弥散方程较为有效和实用的方法第一节 有限差分计算中出现的跳动和数值弥散根据前面章节所述差分法的一般概念，可以直接写出水动力弥散方程的差分方程。
一般情况下，一维弥散问题隐式格式可用追赶法求解，二维弥散问题常用交替方向隐式差分格式（ADI 法）求解。
具体解法与一般地下水运动差分方程的解法类同，此处不再赘述。
但值得注意的问题是，由于对流项的存在和差分过程中截断误差的影响，使水动力弥散问题的一般差分解法常遇到两个数值困难，即跳动（过量）和数值弥散。
所谓跳动是指在浓度峰面处，用数值法求得的相对浓度大于或小于l ；而数值弥散是指在浓度峰面处，数值法求得浓度的曲线形状比实际界面平缓。
为了解释数值跳动和数值弥散产生的原因，现以均质各向同性含水层一维弥散问题为例加以说明]7[。
此时水动力弥散方程为x cv xc D t c ∂∂-∂∂=∂∂22 （3-3-1） 根据差分法的基本概念，可直接写出其相应隐式差分方程为xC C vx C C CD tC C k i k i k i k i k i k i k i∆--∆+-=∆-+-++++++-+2)2(11112111111（3-3-2）式中，1+k iki C C 、分别为时段始、末的结点i 的溶液浓度。
令2x tr ∆∆=，上式整理后为 ki k i i k ii k i i C rC D C B C A 111111=++++++- （3-3-3） 式中，。
水动力弥散方程水体中的物质运移和扩散往往会受到水流的影响，因此涉及到水动力弥散方程。
水动力弥散方程是描述物质在水动力作用下在水体中弥散和扩散的方程。
在环境保护、污染防治、水资源利用和水力工程等领域中，水动力弥散方程非常重要。
弥散的基本概念在介绍水动力弥散方程之前，需要先了解一些基本概念。
弥散弥散是指物质在水中因为分子热运动而发生的无规则传递过程。
在水中，物质均呈现出弥散的现象，即物质会沿着水流的方向不断扩散。
扩散扩散是指物质在稳定均匀的介质中自发地运动，使得物质的浓度分布趋于均匀的传递过程。
对流对流是指流体中由于温度等差的非均匀性而引起的流动。
水动力域中，对流一般指水流的流动。
分子扩散分子扩散是指物质在介质中因分子热运动而发生的扩散过程。
水动力弥散方程的构建在水动力弥散方程中，要考虑物质的对流和扩散。
如果仅考虑扩散，则十分简单，其方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}=D\ abla^2c$$其中，c表示物质的浓度，t表示时间，D为扩散系数。
但实际上，流体内部还会存在对流影响，所以在含有对流的情况下，水动力弥散方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}+v\ abla c=D\ abla^2c$$其中，v表示水流的速度。
这个方程告诉我们随着时间的推移，浓度c会发生变化。
变化是由扩散和对流两种机制引起的，从而影响水体中物质的分布情况。
水动力弥散方程的本质意义是用数学语言描述了物质在水动力作用下如何弥散和扩散。
物理解释物理上，扩散作用是由分子的玻尔兹曼方程描述的，而对流作用是由沃滕变换描述的。
弥散过程是扩散和对流两种作用的综合体现。
在弥散过程中，对流所起的作用是将物质从一处地方迅速“输送”到其他地方，从而影响弥散的速率。
对流作用越强，同样的物质浓度分布会更快地发生变化；反之，扩散作用相对于对流影响变弱，则物质的浓度分布变化更缓慢。
水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不它的作用可以忽略。
室内或现场试验应根据解析解的实际情况进行设计，并应使用解析解拟合观测数据，以获得水动力弥散系数。
在解析解中，瞬时注入点源问题的解称为基本解。
从基本解出发，利用叠加原理导出了线源、面源、多点源和连续注入的解。
因此，点源问题的求解是所有解的基础，需要引起高度重视。
（1）空间瞬时点源的求解其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场u?0，弥散系数为常数，流体密度为常数（ρ=常数）；③t?0时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m。
以瞬时点源的位置为原点，可以得出浓度c是相对于原点对称的。
可简化出纯弥散方程：C2c？2c？2c？d（2？2？2）？T十、Y式中，D表示多孔介质的分子扩散系数。
从这个公式可以看出，它是球对称的，这有利于纯色散模式的应用和讨论。
取半径为r和r+dr的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：WNjdr？WNjdr？博士vv？CTc、 VV是平均值吗？式中，W为球面面积；N为有效孔隙度；JD是色散通量，JD？？D平衡截面的空隙体积。
忽略高阶微量，化简后得：c1？？CD2.（r2）？TR所以点源的定解问题可以写成：cd2cr(rr0,t>0)tr2rrc(r,t)t00(r>0)c（r，t）r0（t>0）0c(r,t)r?0?0(t>0)CN4.r2dr？m（t>0）（该式将点源处浓度限制在有限区域）通过玻尔兹曼变换，将原偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题，得到空间瞬时点源的解如下：c(r,t)?m8n(?dt)32e?r24dt① 浓度可以从球面上的原点获得；② 任何时间的最大浓度都在原点处，原点处的浓度随时间的增加而降低。
（2）空间瞬时无限线源解空间瞬时无限线源的作用可看着点源的连续分布，因考虑到点源基本解的微分方程是线性的，故采用叠加的方法，即积分法，可得空间无限线源的基本解为：c（r，t）？m1e4？无损检测？r24dt从上式可看出，浓度c与z无关，即在z方向不产生弥散问题。
地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
◎非守恒型控制方程的推导：几点说明：从微元体的角度看，控制方程的守恒型与非守恒型是等价的，都是物理守恒定律的数学表示。
但对有限大小的计算体积，两个形式是有区别的。
不论节点布置的疏密程度如何，根据控制方程导出的离散方程也具有对任意大小容积守恒的特性。
非守恒型方程便于对离散方程进行理论分析，而守恒型控制方程能保持物理量守恒的性质，便于克服对流项非线性引起的问题。
第七章双边界法第八章SIMPLE算法自1972年问世以来，在计算流体力学及传热学中得到了广泛的应用，同时也得到了不断的改进与发展。
近年来，SIMPLE改进算法的研究成果主要有：Patankar于1980年提出的SIMPLER算法，Spalding于1981年提出的SIMPLEST算法和Doormal与Raithby于1984年提出的SIMPLEC算法[29]等。
（一）（一）SIMPLER算法由SIMPLE算法得出的值对修正速度而言是相当好的，但对修正压力则是过分了。
虽然对采用了亚松驰处理，也未必能恰到好处。
这样就使速度场的改进与压力场的改进不能较好的同步进行，最终影响了整个流场的迭代收敛速度。
于是就产生了这样的想法：只用来修正速度，压力场的改进则另谋更合适的方法。
此外，在SIMPLE算法中，为了确定动量离散方程的系数，一开使就假设了一个速度分布，那么与这一速度分布相协调的压力场即可由动量方程计算而得，不必在单独假定一个压力场。
把以上两个思想结合起来，就构成了SIMPLER算法。
在SIMPLER算法中，初始的压力场和速度场是相协调的，算出的压力场不必亚松驰，使迭代层次数减少。
但另一方面，每一层次计算中所花的时间则较SIMPLE多，因为SIMPLER算法中要多解一个Poisson方程。
但就总的计算时间来说，SIMPLER算法一般较SIMPLE少。
（二）（二）SIMPLEST算法与SIMPLE算法相比，它主要有以下两个特点：（1）对流项采用迎风格式，因为这是一个绝对稳定的格式，且扩散项与对流项的影响系数可以分离开来，不像指数（或乘方）格式那样综合在一起。
第二章 水动力弥散方程的解析解在理想条件下，解析解能够精确地反映函数的分布变化规律。
但是除少数特别简单的模型之外，对实际问题的数学模型几乎都不能用解析方法求解。
由于溶质运移方程的特点和求解溶质运移实际问题的复杂性，一般的实际问题都要依靠数值法求解。
尽管如此，研究溶质运移基本方程的解析解法仍然是非常必要的。
这是因为，各种数值方法要用解析解来进行验证和比较；要利用解析解或配合标准曲线来确定弥散系数；还要根据解析解的适用条件来设计室内或野外试验等等。
目前溶质运移方程的解析解，一般都是针对均质各向同性含水层中的一维或径向流水动力弥散问题，在地下水为稳定流，弥散系数为常数的条件下求得的。
现仅就一维流动的溶质运移问题解析解的求解方法作些简要介绍。
第一节 一维水动力弥散方程的解析解一、一维一类边界水动力弥散方程的解析解设有一半无限的多孔介质一维溶质运移问题，原始状态溶质浓度为0，时段开始，边界处示踪剂浓度瞬时变为0C 并维持不变。
在孔隙流速为常量v 的情况下，溶质运移基本方程为t cx c v xc D ∂∂=∂∂-∂∂22 （3-2-1） 其初始和边界条件为0)0(=，x C （3-2-2） 0)0(C t C =， （3-2-3） 0)(=∞t C ， （3-2-4） 式（3-2-l ）对t 取拉普拉斯变换，得：x c v xc D x C C p ∂∂-∂∂=-22)0(，由式（3-2-2）知0)0(=，x C ，所以上式变为 022=-∂∂-∂∂c p x cv xc D （3-2-5） 式（3-2-5）为一二阶线性齐次常微分方程，其特征方程为02=--p vr Dr （3-2-6） 式（3-2-6）的两个根分别为D pD v D v r 24221++= DpD v D v r 24222+-= 因此，式（3-2-5）的通解为xr x r e C e C c 2121+= （3-2-7） 用边界条件式（3-2-3）和式（3-2-4）确定任意常数1C 和2C ，求满足该问题初边值条件的特解。
土壤水动力弥散系数研究
土壤水动力弥散系数是指土壤中水的运动能力，它是土壤水分运动的重要参数，也是土壤水分运动模拟的重要参数。
土壤水动力弥散系数的大小取决于土壤的结构、粒径、孔隙度、孔隙水分压力、孔隙水分流动等因素。
土壤水动力弥散系数的研究对于提高土壤水分运动模拟的准确性具有重要意义。
目前，研究者们采用多种方法来研究土壤水动力弥散系数，如实验室实验、地面观测、模拟模型等。
实验室实验是研究土壤水动力弥散系数的最常用方法，它可以模拟土壤水分运动的实际情况，并可以获得准确的结果。
地面观测是研究土壤水动力弥散系数的另一种方法，它可以直接观测土壤水分运动的实际情况，从而获得准确的结果。
模拟模型是研究土壤水动力弥散系数的另一种方法，它可以根据土壤水分运动的实际情况，建立模型，从而获得准确的结果。
综上所述，土壤水动力弥散系数的研究对于提高土壤水分运动模拟的准确性具
有重要意义，目前研究者们采用实验室实验、地面观测和模拟模型等多种方法来研究土壤水动力弥散系数，以获得准确的结果。
水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点
尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。
室内或野外试验都要根据解析解的实用条件来进行设计，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。
解析解中将瞬时注入点源问题的解称为基本解。
由基本解出发，利用叠加原理导出线源、面源、多点源及连续注入问题的解。
因此，点源问题的解是一切解的根本，需十分重视。
（1）空间瞬时点源的解
其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场0=u ，弥散系数为常数，流体密度为常数（ρ=常数）；③0=t 时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m 。
以瞬时点源的位置为原点，可以得出浓度C 是相对于原点对称的。
可简化出纯弥散方程：
)(222222z
C y C x C
D t C ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 式中，D 代表多孔介质的分子扩散系数。
该式可看出，是球对称的，有利于纯弥散方式的应用讨论。
取半径为R 和R+d R 的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：
t
C V J n W J n W V dR R
D R D ∂∂=∙∙-∙∙+ 式中，W 为球面积；n 为有效孔隙率；J D 为弥散通量，且R C D
J D ∂∂-=，V V 为均衡段空隙体积。
忽略高阶微量，化简后得：
)(122R C R R R
D t C ∂∂∂∂∙∙=∂∂ 于是该点源的定解问题可以写成：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∙=∂∂R C R R R D t C 22 (R ≧0,t>0) 0),(0==t t R C (R>0)
0),(=∞→R t R C (t>0)
0),(0==R t R C (t>0) m dR R n C =∙∙⎰∞
024π (t>0)
（该式将点源处浓度限制在有限区域）
通过Boltzmann 变换，将原来的偏微分方程定解问题转变为常微分方程定解问题，可求得空间瞬时点源的解为：
Dt R e Dt n m
t R C 423
2)(8),(-=π
从上式可得出：①等浓度面为圆心位于原点处的球面；②任何时候的浓度最大值都在原点处，且随着时间的增加，原点处的浓度减小。
（2）空间瞬时无限线源解
空间瞬时无限线源的作用可看着点源的连续分布，因考虑到点源基本解的微分方程是线性的，故采用叠加的方法，即积分法，可得空间无限线源的基本解为：
Dt r e nDt m t r C 4124),(-=π
从上式可看出，浓度C 与z 无关，即在z 方向不产生弥散问题。
也就是说我们可以将空间上的无限线源弥散问题转化成xy 平面上的二维弥散问题。
于是，该解也可为平面瞬时点源问题的基本解。
（3）空间瞬时无限面源的解
根据点、线、面的构成原理，同理，可将空间无限面源看成是无数连续排列的无限线源组成，通过对无限线源的积分，可以得出空间无限面源的基本解为：
DT
z f
e Dt n m t x C 42
2),(-=π
从上式可看出：y 与z 无关，也就是说上述定解问题实质上是一维弥散问题。
以上解都是没有边界限制的，若加上边界，便成了有限空间问题。
若边界简单，则可利用类似于水流问题中的反映法，将其变成无界问题，然后再采用叠加方法求出所需求的解。
（4）一维稳定流下水动力弥散问题的解
一般情况，水动力弥散问题都是在一维稳定流情况下讨论的，分为一、二、
三维水动力弥散问题的解。
I 、一维水动力弥散问题与一维瞬时点源问题相近，初始条件与边界条件都相同。
只是在示踪剂瞬时注入时，设其原有溶液浓度00=C ,并有速度u 稳定流动，求浓度),(t x C 的分布，从而造成一维水动力弥散问题比之多了一个对流项。
本书中，采取坐标转换（按ut x X -=），利用一维瞬时点源问题的解，消去对流项，令,X x ut T t =-=。
将新变量X 、T 反变换后得到：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω 当一维水动力弥散问题里初始浓度成阶梯状分布，即形成一维稳定流动一维水动力弥散问题，其数学模型可写成：
x C u x
C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22
0(,)C t C -∞= 0>t
1(,)C t C ∞= 0>t
我们可以通过利用点源的基本解进行积分，再令ut x X -=，用换元法对它进行简化，得出：t D ut x L L e t D n m t x C 4)(22),(--=πω
而在半无限，一端为定浓度边界的限定情况下，一维水动力弥散问题的数学模型为：
x C u x
C D t C L ∂∂-∂∂=∂∂22 0)0,(=x C 0≥x
0),0(C t C = 0>t
0),(=∞t C 0>t
该模型通过Laplace 变换，并利用边界条件，换元法可得出该定解问题的
解：011()()2222L kx
D L L C x ut x ut erfc e erfc C D t D t -+=+，当 x 足够大或t 足够长时，该式为)2(210t
D ut x erfc C C L -=。
II 、二维水动力弥散问题中，注入平面瞬时点源时，同样可利用平面瞬时点源的基本解，通过换元等一系列转化、积分求得所求之解。
只是必须清楚该问题在假定条件上有新的变化：①0≠u ，为一定值，流体非静止②水动力弥散系数为各向异性。
通过一定关系的转化，得出该问题的解：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡+--=t D y t D ut x T L M T L e t D D M
m t y x C 44)(224),,(π。
当注入平面连续点源时，可将连续点源的作用看为无数瞬时点源之和，通过叠加原理，积分求得解：
2210(,,)2()(,)42L
xu D L L T m u t C x y t e K W D Mn D D ββπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
式中，2222244L L T u x u y D D D β=+，0()K β为第二类零阶修正贝赛尔函数，2(,)4L
u t W D β为第一类越流系统井函数。
当时间足够较长时，上式可简化为：
)44(2),(22222021
T L L D xu T L D D y u D x u K e D D Mn m y x C L +=π，此式也是计算水动力弥散系数常用的公式之一。
对于拟稳定条件下示踪剂的径向弥散，通常以井为中心，通过达西定律求出其平均速度，在极坐标下建立二维弥散方程，并利用复变函数理论求出其精确解，贝尔给出该定解问题的近似解为：
)342(21),(3
20r At r erfc C t r C L ∙∙-=α（常用于确定实测的纵向弥散度L α）
III 、三维水动力弥散问题中，对于空间瞬时点源，其弥散系数D 是各向异性，且属于二度各向异性，若要利用前面基本解的结果（各向同性），就需进行
相应的坐标变换，得到该问题的解为：
()22244313222(,,,)8L T x ut y z D t D t L T m
C x y z t e n
D D t π⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=
可看出:三维水动力弥散问题中，浓度C 于时间t 的二分之三次方成反比。
对比一、二维情况，不难看出，随着弥散维数的增加，浓度C 的衰减度也加快。
根据浓度空间分布的时间函数，等浓度面是一个旋转的椭球面，其长轴沿x 方向。
注入空间连续点源时，假定注入的是理想示踪剂。
将连续点源视为无数的瞬时点源之和，直接利用空间瞬时点源的解，利用积分得出解。
当时间足够长时，该问题的解为：()12(,,)4u R x D
m C x y z e n DR π-=
上述介绍的解析解法，只能用于非常简单的条件，他们通常只有在某些理论研究或实验室中人为给定的条件下才能严格地满足。
在野外现场往往要经过不同程度的简化之后才能满足解析解的应用条件。
但许多情况复杂到不允许简化解析解的适用条件，如果勉强使用，其结果已经改变了实现情况的基本条件。
对于这些情况，只能另谋他法。
