溶质运移及其基本微分方程..

一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子摘要：一、引言1.介绍一维非饱和溶质垂向运移控制方程2.计算例子的目的和意义二、计算例子1.问题描述2.控制方程3.数值方法4.计算结果三、结论1.结果分析2.对实际工程的启示正文：一、引言一维非饱和溶质垂向运移控制方程是地下水污染研究中的一个重要问题。

通过解决这个方程，我们可以了解溶质在地下水中的运移规律，为地下水污染的防治提供科学依据。

本文将通过一个具体的计算例子，介绍如何求解这个方程。

二、计算例子1.问题描述我们考虑一个简单的例子，设有一根长为1m的一维非饱和土壤柱，土壤的初始含水量和初始溶质浓度分别为θ0=0.5和C0=1mg/L。

土壤柱的顶部施加一个浓度为C1=5mg/L、面积为A=1m的溶质源。

我们需要求解在稳态条件下，溶质在土壤柱中的垂向分布。

2.控制方程根据一维非饱和溶质垂向运移的Darcy-Stokes模型，可以得到以下控制方程：(1) 质量守恒方程：θ/t = -K * u(2) 动量守恒方程：u/t = -1/ρ * p - μu(3) 溶质运移方程：C/t = -K * (u * C)其中，θ表示土壤含水量，u表示地下水流速，C表示溶质浓度，K表示土壤的渗透系数，ρ表示地下水的密度，μ表示流体的动力粘度，p表示地下水的压力。

3.数值方法我们采用有限差分法对上述控制方程进行离散，并使用三步迭代法求解线性方程组。

4.计算结果经过计算，我们得到了溶质在土壤柱中的垂向分布。

结果表明，在稳态条件下，溶质在土壤柱中的浓度分布符合预期，且与理论解析解相符。

三、结论通过这个计算例子，我们不仅验证了一维非饱和溶质垂向运移控制方程的数值解法，还了解了溶质在地下水中的运移规律。

第24卷第3期2008年5月水资源保护W ATER RES OURCES PROTECTI ON V ol.24N o.3May 2008 基金项目:国家自然科学基金(50679025);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET Ο04Ο0492);高等学校学科创新引智计划(B08048)作者简介:马建良(1982—),男,山东乐陵人,硕士研究生,研究方向为地下水数值模拟。

E 2mail :maliang @ 一维变密度溶质运移实验及参数推求马建良1,陈　喜1,程勤波2,宋　轩2,鲍振鑫2(1.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏南京　210098;2.河海大学水文水资源学院,江苏南京　210098)摘要:通过室内土柱注水实验,观测沙质土壤中氯离子浓度的变化过程。

以变密度水流连续性方程、溶质运移方程和达西方程为基础,运用有限单元法和差分法对这3个方程进行联立求解,建立了一维变密度水流和溶质运移数值模型。

利用实验数据反求变密度渗透系数、弥散系数等水动力参数。

关键词:变密度水流;一维对流—弥散方程;土柱实验;海水入侵中图分类号:O351.2 文献标识码:A 文章编号:1004Ο6933(2008)03Ο0008Ο04Identification of hydrodynamic parameters based on one 2dimensional variable density and solute transport numerical modelMA Jian 2liang 1,CHEN Xi 1,CHENG Q ing 2bo 1,SONG Xuan 2,BAO Zhen 2xin 2(1.State K ey Laboratory o f Hydrology 2Water Resources and Hydraulic Engineering ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China ;2.College o f Hydrology and Water Resources ,Hohai Univer sity ,Nanjing 210098,China )Abstract :The concentration of chloride ions in sandy s oil was observed through water 2filling s oil column tests in the laboratory.A one 2dimensional numerical m odel for groundwater f1ow of variable density and s olute transport was developed on the basis of equations of variable density groundwater flow and s olute transport as well as Darcy ’s Law.The equations were s olved using the finite element and finite difference methods.The hydrodynamic parameters for variable density flow ,such as infiltration coefficients and dispersion coefficients ,were calibrated against the observed data.K ey w ords :variable density groundwater f1ow ;one 2dimensional convection 2diffusion equation ;s oil column experiment ;seawater intrusion 20世纪70年代以来我国沿海地区陆续出现海水入侵。

界面流体力学研究中的溶质输运分析引言界面流体力学是研究流体与固体表面（或两种不同流体之间的界面）相互作用的学科，它在多个领域有着广泛的应用，如材料科学、生物医学、化学工程等。

溶质输运是界面流体力学研究中的重要内容之一，它涉及溶质在流体中的传输、扩散和浓度分布等问题。

本文将从理论和实验两个方面，探讨界面流体力学研究中的溶质输运分析方法和应用。

一、理论分析界面流体力学中的溶质输运分析主要依赖于数学模型和数值方法的建立和求解。

以下介绍几种常用的理论分析方法：1. 对流扩散方程模型对流扩散方程是描述溶质在流体中输运和扩散的一种数学模型。

它结合了对流和扩散两个过程，并考虑了溶质浓度随时间和空间的变化。

对流扩散方程的一般形式如下：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t} = D\\frac{\\partial^2 c}{\\partial x^2} +v\\frac{\\partial c}{\\partial x}$$其中，c是溶质的浓度，t是时间，x是空间位置，D是扩散系数，v是流体速度。

通过求解对流扩散方程，可以得到溶质的浓度分布随时间和空间的变化规律，从而分析溶质在流体中的输运行为。

2. 边界元方法边界元方法是一种数值求解偏微分方程的方法，它通过将问题的边界条件表示为问题的解在边界上的积分形式，从而减少了问题的维数。

在界面流体力学中，边界元方法可以用于建立数学模型和求解溶质输运问题。

通过将流体运动方程和扩散方程表示为边界积分形式，可以得到离散化后的方程组，再通过数值求解方法求解得到溶质的浓度分布。

3. 多尺度模拟在界面流体力学研究中，由于界面的特殊性质和微观尺度的存在，常常需要进行多尺度模拟。

多尺度模拟是将系统分为不同的尺度层次，通过在各个尺度上建立数学模型和求解方案，最后通过耦合和协调各个尺度的结果得到系统整体的行为。

在溶质输运分析中，可以利用多尺度模拟方法，从分子尺度到宏观尺度，逐层分析溶质在界面流体中的传输过程。

第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。

只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。

下面介绍几种简单的解析解。

一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。

一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。

水中的示踪剂浓度为0。

试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。

如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。

在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。

当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。

一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算例子
摘要：
一、引言
1.非饱和溶质垂向运移的研究背景和意义
2.一维非饱和溶质垂向运移控制方程简介
二、计算例子
1.基本方程和边界条件
2.数值方法和计算流程
3.计算结果分析
三、结论
1.计算结果的合理性分析
2.对实际工程应用的启示和建议
3.对未来研究的展望
正文：
一、引言
非饱和溶质垂向运移是土壤水文学、地下水污染控制等领域中的一个重要问题。

对于理解地下水过程、预测溶质运移趋势和评估污染治理效果等方面，具有重要的理论和实际意义。

本文将以一维非饱和溶质垂向运移控制方程为例，介绍其计算方法和应用。

二、计算例子
为了具体说明一维非饱和溶质垂向运移控制方程的计算过程，我们选取了
一个典型的例子进行计算。

首先，根据题目所给条件，建立基本的一维非饱和溶质垂向运移控制方程，包括质量守恒方程、溶质守恒方程和能量守恒方程。

同时，根据实际情况设定边界条件，包括底部的恒定流速条件和顶部的恒定浓度条件。

其次，采用有限差分法对上述方程进行数值求解。

通过迭代计算，得到溶质在垂向的分布情况。

最后，对计算结果进行分析，包括浓度分布特征、运移速度和时间尺度等方面的讨论。

三、结论
通过以上计算例子，我们得到了非饱和溶质垂向运移的计算结果。

分析表明，计算结果具有一定的合理性，可以为实际工程应用提供参考。

然而，由于模型简化和实际条件的差异，仍需要进一步研究和改进。

总之，一维非饱和溶质垂向运移控制方程计算方法在实际应用中具有重要意义。

溶质运移模型的有限元数值解邓永辉;邓永红【摘要】In the paper, the hybrid laplace transform finite element method was used for solving solute transport problems of dynamic two-dimensional model of brine water in the first exploitation area, which can limitedly eliminate numerical diffusion and overdo phenomena from the solving convection dominated underwater solute transport problems, whose advantages were one step and local solving. And the method was used for convective diffusion equation which have first derivative to test the numerical effectiveness and the capability to solve solute transport model.%将混合拉普拉斯变换有限单元法引入到求解首采区卤水动态二维模型的溶质运移问题中,能够有限地消除在求解对流占优的地下水溶质运移问题时产生的数值扩散和过量的现象,具有一步到位、局部求解的优点,最后将该方法应用到具有空间一阶导数项的对流弥散方程,以检验该方法的数值有效性和求解溶质运移模型的能力.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(029)001【总页数】5页(P25-28,32)【关键词】对流扩散方程;拉普拉斯变换;混合法【作者】邓永辉;邓永红【作者单位】湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205;湖南财政经济学院,湖南,长沙,410205【正文语种】中文【中图分类】O35察尔汗盐湖首采区含水介质为石盐层，高浓度卤水溶液(矿化度300～450 g·L－1)在这种易溶岩介质中的溶质运移涉及到一个突出的问题是卤水与介质间的物相转化即固液转化问题［1－2］.而对于在开采过程中卤水与易溶介质之间的固液转化问题，由于涉及到矿床地质、水文地质、物理化学、地球化学、多孔介质水动力弥散理论及水盐体系相图原理等多方面的知识，目前国内外尚无可借鉴的经验和理论依据.1.1 对流扩散方程在建立目标模型之前先了解一下一维单向的流场的对流扩散方程［1］.对于一维的对流扩散模型，可以用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.周期一个长为Δx圆柱形内物质迁移表示为其中，Dl为扩散系数(l表示扩散方向)，U为真实渗透速度，C为液体浓度.1.2 二维对流扩散方程从二维流的渗流场中割离出一个微分单元体，该单元的宽度为Δx，长度为Δy，厚度为M.水沿x轴方向从左面流入单元体;沿y轴方向从前流入.经时段Δt后分别经Δx，Δy 从对面流出.考察渗流引起的浓度变化:a)顺x轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δx的单元体内物质迁移可表示为其中，为扩散通量，其方向与浓度梯度方向相反，即负号的含义;M为含水层厚度(L);μ为自由孔隙度率，即给水度，也就是从单位体积含水层中在重力作用下能够释放给出的水量所占该含水层体积的份数.b)顺y轴方向由渗流引起物质迁移即渗流扩散模型，可用质量守衡方程求出微分方程解等方法来确定.在长为Δy的单元体内物质迁移可表示为c)输入输出可以包括弥(扩)散和对流引起的现象.式(3)和(4)被截面积和Δt去除后，使后二项系数为零，即除以ΔxΔyΔt分别可得到以下方程1.3 汇源补给项和固液转化项计算区含水层垂直向交换量包括大气降水补给量、晶间卤水蒸发量、渠系采卤(回渗)量和下伏含水层的越流补给量.汇源补给量引起的浓度变化=CQ－C.溶质运移方程中固液转化是人们长期探索的问题之一，笔者对此不作太多的研究，假设固液转化系数f是常数，也就是说假设由于固液转化带来的浓度变化MμfC为常量.一般来讲，研究固液转化的方法主要是非平衡化学法，假定地下水系统中有几种不同的物理﹑化学和生物化学作用过程，用平衡化学法判断这些作用是否平衡，用反应动力学描述固液转化速率.但在目前，非化学平衡法还处于探索阶段，尤其对高浓度卤水的计算，还没有一种较为成熟的方法.1.4 最终数学模型通过上述几种简单的模型的推导和分析，再结合首采区能引起浓度变化的各种因素，如对流、扩散、排泄、补给等等，可以导出最终目标模型其中，V1，V2为渗透速度(L·s－1);D11，D22为弥散系数(L2·s－1).式(10) 只表明浓度随时间的变化的规律，要求出微分方程的解还需要一些定解条件，求出在特定条件下浓度的值，在计算区内边界条件如下将HLTFEM求解思路引入到察尔汗盐湖采卤方案中溶质运移的计算，尽管HLTFEM严格受限于稳定流场线性溶质传输，但是在察尔汗盐湖首采区流速和传输参数可以是空间变量的函数，求解区域可以是不规则的，允许边界条件是时间变量的一般函数，这就使得这种新的没有时间步长、定点求解的计算方法仍适于溶质运移问题的模拟.在求解溶质运移方程时，由于该问题的复杂性，因此，文中忽略固液转化作用，暂不考虑汇源项，则溶质运移方程可写为［3］设基本函数其中，(xj，yj)是第j个结点的坐标.将区域Ω剖分成三角形网，三角形的顶点取为结点.设任一三角形单元(△)的3个顶点的结点号码为 i，j，k，坐标分别为(xi，yi)，(xj，yj)和(xk，yk)，规定和这3 个结点相联系的基函数在单元(△)中的值为［6］首先，形成［A］和F在该单元中的部分，其次所有单元叠加形成整体的［A］和F，并结合边界条件，式(17)就建立起所需要的方程组［A］C+F=0，由式(24)知，系数矩阵是高度稀疏非对称复值矩阵.为了节省计算机内存，使用压缩存贮的技巧，将方程非零系数按最大带宽存入二维数组中，然后根据各计算结点的相邻结点编号和相邻结点的个数，采用高斯消去法求解此二维数组，即可获得象空间的浓度分布. 根据离散的有限元方程组的解，对拉氏变换后结点的浓度Cj进行反演.若以L－1表示拉氏反演，则式(18)可化成其中，Cj(t)是在结点j处时间域的浓度.本文采用Honig和Hirdes提出的基于Fourier级数展开的拉氏反演新算法进行数值反演［7］，其反演公式为基于Fourier级数展开的拉氏变换反演算法，如Grump算法，最大的缺点就是离散误差和截断误差依赖于自由参数，即通过选择合适的稀有参数使离散误差变得任意小，但同时截断误差又变得无穷大，反之亦然.Honig-Hirdes新算法［7］通过同步使用减少离散误差的方法和加速Fourier级数收敛的方法以及近似计算最优自由参数的方法克服了Grump等算法之不足.但Stehfest算法由于仅仅使用拉氏变换参数S的实部［4］，所以与使用复数的Honig-Hirdes算法相比，在拉氏变换与Galerkin有限元结合时，会丧失很多优点，因为基于一个实数S的变换后的浓度剖面，不再是一个光滑的震荡函数而与时间域中的浓度剖面的特性相似.【相关文献】［1］孙纳正.地下水污染——数学模型和数值方法［M］.北京:北京地质出版社，1989.［2］ROACHE P putational fluid dynamics［M］.Hermosa:Albuquereque，1976:446 －447.［3］王文科.地下水有限分析数值模拟的理论与方法［M］.西安:陕西科学技术出版社，1996:102－126.［4］蒋晓蓉.油藏数值模拟基础［M］.成都:成都理工大学出版社，1998.［5］罗焕炎，陈雨孙.地下水运动的数值模拟［M］.北京:中国建筑工业出版社，2001.［6］DURBIN F.Numerical inversion of Laplace transform:an efficient improvement to Durbner and Abare’s method［J］.Comp.J.，1993，17:371 －376.。