分式含参问题

探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。

2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。

二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。

第一部分 含参分式方程与含参不等式组1．从4,3,1,3,4−−这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若m 使得关于,x y 的二元一次方程组2223x y mx y +=⎧⎨−=−⎩有解，且使关于x 的分式方程12111m x x −−=−−有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的值之和是（ ）A ．1B ．2C ．1−D ．2−2．从、0、25这五个数中，随机抽取一个数记为m ，若数m 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x 无解，且使关于x 的分式方程1222−=−−−−x m x x 有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 若关于x 的不等式组3428712x x x a x +≤+⎧⎪⎨+−<⎪⎩有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程3111y a y y−−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．12 B ．14 C ．21 D ．244．若整数既使得关于的分式方程有正整数解，又使得关于的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的有（ ）个A ．B ．C ．D ．5. 若函数与轴有交点，且关于的不等式组 无解，则符合条件的整数的和为（ ） A ． 7 B ． 10 C ．12 D ．156．若整数a 既使得关于x 的分式方程1216−=−−−x xx ax 有非负分数解，又使得关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+<−a x x x 123623至少有三个负整数解，则符合条件的所有a 的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−a x 32133ax xx x −+=−−x 318221123x x a x ⎧−+≥⎪⎪⎨+⎪−<⎪⎩a 6235212)3(2−+−−=a ax x a y x x ⎪⎩⎪⎨⎧<−−+−≤−1233162)2(4x x a x a x a7．要使关于的方程有两个实数根，且使关于的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ） A ．个B ．个C ．个D ．个8．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x −=−−有正整数解，且函数223y ax x =−−与21y x =−的图象有交点，则满足条件的所有整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若数使关于的不等式组有解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ） A ． B ． C ． D ．10．使得关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为正数的所有整数的值之和为（ ） A ．11 B ．15 C ．18 D ．1911. 若整数a 使得关于x 的方程xax −=−−2232的解为非负数，且使得关于y 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−−>+−03221223a y y y 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．17 B ．18 C ．22 D ．2512．若关于的不等式组的所有整数解的和为，且使关于的分式方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（ ） A ．6 B ．11 C ．12 D ．1513．若数a 使关于x 的不等式组51123522x x x a x a−+⎧+≤⎪⎨⎪−>+⎩至少有3个整数解，且使关于y 的分式方x 2210ax x −−=x 2233x a x x++=−−a 3456a x 32(1)122x a x xx −≥−−⎧⎪⎨−−≥⎪⎩260x +>y 5311y a y y −+=−−a 5432x 6101131+282x a x x −≥−⎧⎪⎨−<−+⎪⎩x 127844ax x x −+=−−−a x 323124152()183x x x a x−⎧−<+⎪⎪⎨⎪−≥⎪⎩5y yay y −+=−2322a程32211ay y−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．14B．15C．23D．2414.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24. 若关于x 的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程=1有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．12B ．14C ．21D ．3325．从这五个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的的个数是（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．426．若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−、0、25m m x ⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x x 1222−=−−−−x m x x m m x ⎪⎩⎪⎨⎧<−≤−m x xx9253152≤−x x 2113124=−−+−−xm x x m 27.28.32.已知关于x 的分式方程的解为正数，且关于x 的不等式组无解，则所有满足条件的整数a 的绝对值之和是（ ）A ．11B ．10C ．7D ．61311a x x +=−−314143513x x x a −+⎧+>⎪⎪⎨−⎪<⎪⎩29.30.31.33.34.。

分式方程的含参问题
分式方程的含参问题是指分式方程中包含一个或多个参数的问题。

例如，考虑以下分式方程：
$\frac{x+3}{x-2}=a$
其中，$a$是一个参数。

这个方程中的未知数是$x$，参数是$a$。

我们可以通过解这个方程来求出$x$的值，并且可以根据参数$a$的取值的不同，得到不同的解。

通过化简方程，我们可以得到：
$x+3=a(x-2)$
然后，根据参数$a$的取值进行分类讨论：
当$a=0$时，方程变为$3=0$，没有实数解。

当$a\neq 0$时，可以通过将方程进一步化简为一次方程求解，得到$x=\frac{3}{a+1}$。

所以，当$a\neq 0$时，方程的解为$x=\frac{3}{a+1}$。

当
$a=0$时，方程无解。

这就是这个分式方程的含参问题的解。

中考数学复习典型压轴题专题讲解中考数学复习典型压轴题专题讲解专题04分式方程的含参问题与应用分式方程的含参问题与应用【解题解题方法指导方法指导方法指导】】1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．2.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．3.分式方程的增根问题：（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．4.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．题型剖析】】【题型剖析解分式方程【类型1】解分式方程【例1】（2019•江都区三模）解方程：【分析】先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根．【解析】去分母，得4x﹣5（x﹣1）＝0，去括号，得4x﹣5x+5＝0，合并同类项，得﹣x+5＝0，解得x＝5，检验：将x＝5代入原分式方程，左边＝0＝右边，∴原分式方程的解为x＝5．【方法小结】本题考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程是解题的关键．【变式1-1】（2019•润州区二模）（1）解方程：。

1】．关于
x
的方程
3x x3
2
3
m
x
的解不小于1，则
m
的取值范围为
．
【答案】 m 7 且 m ¹ - 9
【分析】先解分式方程可得 x 6 m ，由题意得 6 m 1，再由 x 3，得 6 m 3 ，求
出 m 的取值范围即可．
【详解】解：
3x x3
2
3
m
x
，
3x 2 x 3 m ，
专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
x m 1
例．若关于
x
的不Hale Waihona Puke 式组x21
x 4
1
有解且至多有
5
个整数解，且关于
y
的方程
y
1
1
3
my 1 y
的解为整数，则符合条件的整数
m
的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
x m 1
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组
解不等式 y 3 2 y a 得： y<2a 3，
∴10 y 2a 3
∵不等式组至多有 3 个整数解，
∴ 2a 3 13 ，
∴a 8．
方程
x
1
3
x 3
a x
1
，
1 x a x 3 ，解得： x a 4 2
∵分式方程有非负整数解，
∴ x 0 （x 为非负整数）且 x 3，
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即 x=2 或 x=6， ①当 x=2 时，代入 (m 1)x 6 0 ，得： 2m 8 0

综合算式专项练习解含参数的分式方程在数学学习中，分式方程是一种重要的数学问题类型。

分式方程的求解需要我们掌握一定的解法和技巧。

本文将针对含参数的分式方程进行综合算式专项练习，通过解题实例来深入理解和掌握解题方法。

一、基础概念回顾在进一步讨论含参数的分式方程之前，首先回顾一下基础概念。

1. 分式方程：含有未知数的分式等式称为分式方程。

例如：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x+2}$。

2. 参数：在分式方程中，参数是指可以取不同值的常数。

在解含参数的分式方程时，我们需要找出参数的取值范围，使得等式成立。

二、解含参数的分式方程的步骤解含参数的分式方程的一般步骤如下：步骤一：将所有分母通分。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

步骤三：解得含有参数的方程。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

下面通过实例演示以上步骤。

例题一：求解分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} =\frac{3}{x-1}$，并确定参数的取值范围。

解题步骤：步骤一：将所有分母通分。

由于$x-2$和$x-1$互为因式，故通分后得到：$(x+1)(x-1) + 2(x-2) = 3(x-2)$。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

展开得：$x^2 - x + 1 + 2x - 4 = 3x - 6$。

合并同类项后得到：$x^2 + x - 9 = 3x - 6$。

步骤三：解得含有参数的方程。

移项后得到：$x^2 - 2x - 3 = 0$。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

使用二次方程求根公式解得：$x = 3$或$x = -1$。

因此参数的取值范围为：$x \in \{-1, 3\}$。

说明：通过解方程可得参数的取值范围。

同时，我们还可以检验得到的解是否满足原分式方程。

结论：分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1}$的解为$x \in \{-1, 3\}$。

分式含参专题1．关于x 的方程+＝有增根，则增根是 ．2．若关于x 的方程21=-+x mx 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 3．已知关于x 的方程＝﹣1的解小于1，则a 的取值范围是 ．4．若数a 使关于x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y 的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．5．将三支长度相同的蜡烛A ，B ，C 同时点燃，当蜡烛A 剩一半时，蜡烛B 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛B 剩余部分的长度之比为 ．6．有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程无解，则m ＝1：③关于x 、y 的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号）7．解关于x 的方程： （1）（2）8．已知关于x 的方程．（1）m 取何值时，方程的解为x ＝4； （2）m 取何值时，方程有增根．9．已知，关于x的分式方程，（1）若方程无解．求k的取值；（2）若方程的解为正数，求k的取值范围；（3）若方程的解为整数，求整数k的取值范围．10．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）若分式的值为整数，求a的整数值；（4）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．（5）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．12．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．（1）填空：T（4，﹣1）＝（用含a，b的代数式表示）；（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．参考答案与试题解析1．【解答】解：∵方程的最简公分母为x2﹣1，由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，（x+1）（x﹣1）＝0，即x＝±1，将原方程去分母得到k（x﹣1）+3（x+1）＝7，即（k+3）x＝4+k，当x＝1时，（k+3）x＝4+k，代入发现方程k+3＝4+k，不成立；当x＝﹣1时，﹣k﹣3＝4+k，解得k＝﹣3.5．综上，增根只能是x＝﹣1．2．【解答】解：由原方程，得x+m＝2x﹣2，x＝m+2，则m+2≥0，且m+2≠1，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣2且m≠﹣1．3．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x+a＝2﹣x解得x＝，由于方程的解小于1，所以＜1且≠2，解得a＞0，a≠﹣2，∴a＞0，故答案为：a＞0．4．【解答】解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2；综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1故答案为1．由题意可知，蜡烛A剩一半所用时间t1＝＝，此时蜡烛B剩余部分的长度为：l﹣yt1＝l﹣，蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt1＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得10x＝33y﹣28z①；蜡烛B剩一半所用时间t2＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt2＝l﹣蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt2＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得25x＝18y+16z②．①与②联立组成方程组，解得．所以，蜡烛C剩一半所用时间t3＝＝＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt3＝l﹣＝，蜡烛B剩余部分的长度：l﹣yt3＝l﹣x•＝1﹣＝，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为：＝．故答案为：．6．【解答】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝∵原分式方程无解，∴x＝2∴＝2解得m＝1故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5∴解得：则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，故③正确．综上，正确答案为：②③．7．【解答】解：（1）移项：＝1﹣b，去分母：a＝（1﹣b）（x﹣a），去括号：a＝（1﹣b）x﹣a（1﹣b），移项：（1﹣b）x＝a+a（1﹣b）．∵b≠1，∴1﹣b≠0．方程两边同除以1﹣b，得x＝．检验：当x＝时，x﹣a≠0，∴x＝是原方程的解．（2）解：方程两边同乘以x（x+1），得x+1+x（x+m）＝x（x+1），整理得mx＝﹣1．当m＝0时，原方程无解．当m≠0时，．检验：把代入∴是原方程的解．∴当m＝0时，原方程无解，当m≠0时原方程的解为．8．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3）得：x＝2x﹣6﹣mm＝x﹣6把x＝4代入，得m＝﹣2．答：m取﹣2时，方程的解为x＝4；∴把x＝3代入m＝x﹣6得m＝﹣3．答：m取﹣3时，方程有增根．9．【解答】(1)解：去分母，得2（x+2）﹣（4﹣k）x＝k+1，即2x+4﹣4x+kx＝k+1整理，得（k﹣2）x＝k﹣3当k＝2时，方程无解；当k≠2时，x＝因为x＝0、﹣2时，分式方程无解，∴＝0，＝﹣2时，分式方程无解，解＝0得，k＝3；解＝﹣2得，k＝．所以当k＝2、3、时，关于x的方程无解．(2)k>3或k<2(3)k=110．【解答】解：（1）x1＝a，x2＝；（2）把x＝a﹣1代入方程，左边＝a﹣1+，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝a﹣1是方程的解；把x＝代入方程，左边＝+a﹣1，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝是方程的解；（3）方程变形得，+＝a+，x+＝a+，∴x﹣1+＝a﹣1+，∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，∴x1＝a，x2＝．11．【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；②＝，故不是和谐分式；③＝，故是和谐分式；④＝，故是和谐分式；故答案为①③④；（2）＝＝＝，故答案为；（3）＝＝2﹣，当为整数时，也为整数，∴整数a+1为3的因数，即a+1可取得的整数值为±1，±3．∴a的可能整数值为0，﹣2，2，﹣4；（4）＝2+，而0＜≤3，∴2＜m≤5，故答案为：2＜m≤5．（5）解方程组得，∵方程组有正整数解，∴m＝﹣1或﹣7．12．【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝＝；故答案为：；（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，∴解得②解法一：∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴2m﹣10＝﹣2m+10，解得，m＝5．解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，当T（x，y）＝T（y，x）时，x﹣y＝y﹣x，∴x＝y．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴3m﹣10＝m，∴m＝5．。

含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

查补易混易错03 含参类分式方程的解几种情况分式方程因为含有分式，方程的解需要有意义，即分母≠0，所以分式方程需要验根。

也正因为这个特性，所以分式方程的解的问题经常出现参数字母，再根据解的情况求解参数字母的值或者范围。

而此类分式方程的解的情况主要包括：有增根、无解、解为正数/负数等，不同的问题采用的应对方法也不相同。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中出现几率较大，出现则难度中等偏上。

易错01：含参类分式方程有增根时求解步骤：①让最简公分母为0 确定增根；②去分母，将分式方程转化为整式方程；③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；④解含参数字母的方程的解。

易错02：含参类分式方程无解时求解步骤：①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解③同时满足①和②，无解特别注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必须验根，在应用题里也一样【中考真题练】1．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1B．1或3C．1或2D．2或3 2．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0 3．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2 4．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20 5．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是．6．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．7．（2022•泸州）若方程+1＝的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是．【中考模拟练】1．（2023•金牛区模拟）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 2．（2023•齐齐哈尔一模）若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1且C．m＞1D．m≥1且m≠5 3．（2023•东胜区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 4．（2023•新泰市一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣7B．m＞﹣7且m≠﹣3C．m＜﹣7D．m＞﹣7且m≠﹣25．（2023•京口区校级一模）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是．6．（2023•泸县校级二模）若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为．7．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m ＝．8．（2023•西城区校级模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．。

专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。

如何解答含有参数的分式方程作者：王友珍来源：《学生之友·中考月刊》2013年第10期在学习分式方程时，我们会遇到分子含有参数的分式方程问题.这类试题的特点是：已知分式方程的解的情况（如解为正数非负数或无解等），然后要求考生求出参数的值或取值范围.为了熟悉新题型，迎接新挑战，下面举例分类说明这类问题的解法.一、已知分式方程无解求参数的值类型一分式方程化为整式方程后未知数的系数不含参数点评：对于含有参数的分式方程无解问题，首先应将分式方程化为整式方程.对于化去分母的整式方程，如果未知数的系数不含参数，可先求出整式方程的解，接着再令分式方程的最简公分母等于零，求出原分式方程的增根，然后令整式方程的解等于原分式方程的增根，这样会得到一个关于参数的一元一次方程，最后解这个一元一次方程，即可求出参数的值.类型二分式方程化为整式方程后未知数的系数含有参数∴a的值是1或2.点评：对于含有参数的分式方程无解问题，将分式方程化成最简整式方程ax=b后，如果未知数的系数a含有参数，在求这个整式方程的解时，需要对这个整式方程的系数进行讨论.当a=0，b≠0时，最简整式方程ax=b无解，此时原分式方程也无解；当a≠0时，可先求出最简整式方程的解，然后再仿照未知数的系数不含参数的情形求解.从上面也可以看出，分式方程无解一般有两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.点评：解答“已知分式方程的解的范围求参数的范围”问题的步骤：（1）将分式方程化为整式方程，求出满足整式方程的解的参数的取值范围；（2）令分式方程的分母为零，求出分式方程的增根，然后将增根代入整式方程，求出参数的值；（3）从满足整式方程的解的参数的取值范围中剔除使分式方程的分母为零的参数的值即为满足题意的参数的取值范围.从上面可以看出，在解答含有参数的分式方程无解问题，要警惕化为整式方程后未知数的系数含有参数的情形，注意不要遗漏对最简整式方程的未知数的系数的讨论；在解答含有参数的分式方程的范围问题，要注意剔除使分式方程的分母为零的参数的值.总之解答含有参数的分式问题，注意不要增根，也不要失根！。

专题04 分式方程中的参数问题考纲要求:1. 了解分式方程的概念2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.3.会用分式方程解决简单的事件问题.基础知识回顾:1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤：()1去分母化分式方程为整式方程.()2解这个整式方程，求出整式方程的根.()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.3.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.应用举例:招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【例1】若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为______．【答案】1【解析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是1，故答案为1招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。

【例2】取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为________．【答案】．【解答】解：由分式方程，得m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）x＝1或﹣2时，分式方程无解，x＝1时，m＝2，x＝﹣2时，m＝0，所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.【例3】已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3【答案】A【解析】方程两边同乘以x﹣3，得2x﹣m＝x﹣3，移项及合并同类项，得x＝m﹣3，∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，∴，解得，m≤3，故选：A．【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围.【答案】m<2且m≠0.【解析】解:由=1,得(x+1)2-m=x2-1,解得x=-1+.由已知可得-1+<0,-1+≠1且-1+≠-1,解得m<2且m≠0.招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：【例5】关于x的两个方程260x x--=与213x m x=+-有一个解相同，则m= ．【答案】﹣8．【解析】【例6】若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】A【解析】由关于x的不等式组得∵有且仅有三个整数解，∴＜x≤3，x＝1，2，或3．∴，∴﹣＜a＜3；由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），∴y＝2﹣a，∵解为正数，且y＝1为增根，∴a＜2，且a≠1，∴﹣＜a＜2，且a≠1，∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选：A ．方法、规律归纳:1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．实战演练:1.若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则m 的值为______．【答案】3【解析】方程两边都乘（x ﹣2），得3x ﹣x+2＝m+3∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）＝0，解得x ＝2，当x ＝2时，m ＝3．故答案为3．2.若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ． 【答案】1．【解析】试题分析:去分母，得：13(2),m x x =---由分式方程有增根，得到20,x -= 即 2.x =把2x =代入整式方程可得： 1.m =故答案为：1.3. 若关于x 的分式方程=2a 无解，则a 的值为_____．【答案】1或【解析】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．4.已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1【答案】B【解析】∵＝2，∴＝2，∴x＝2+k，∵该分式方程有解，∴2+k≠1，∴k≠﹣1，∵x＞0，∴2+k＞0，∴k＞﹣2，∴k＞﹣2且k≠﹣1，故选：B．5.已知关于x的方程无解，则a的值为_____________．【答案】-4或6或1【解析】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．故答案为-4或6或16．关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4D．k＜4且k≠﹣4 【答案】C．【解析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，解得：x＝，根据题意得：＞0，且≠2，解得：k＞﹣4，且k≠4．故选：C．7 . 若关于x的方程2230x x+-=与213x x a=+-有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3 【答案】C．【解析】解方程2230x x+-=，得：x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x=1时，代入方程213x x a=+-，得：21131a=+-，解得a=﹣1．故选C．8．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．0 B．1 C．4 D．6【答案】B【解析】由不等式组得：∵解集是x≤a，∴a＜5；由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1∴y＝，∵有非负整数解，∴≥0，∴a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3它们的和为-3+1+3=1．故选：B．9．已知关于x的不等式组有且只有四个整数解，又关于x的分式方程﹣2=有正数解，则满足条件的整数k的和为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解不等式-(4x+)＜0，得：x＞，解不等式﹣(x+2)+2≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴﹣2≤＜﹣1，解得:﹣3≤k＜5；解分式方程-2=得：x=，∵分式方程有正数解，∴＞0，且≠1，解得：k＞﹣3且k≠﹣1，所以满足条件的整数k的值为﹣2、0、1、2、3、4，则满足条件的整数k的和为﹣2+0+1+2+3+4=8，故选：D.10.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．【答案】（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．【解析】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=，∵方程有解，且解为负数，∴，解得：m＜且m≠-；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=．。

含参数分式方程问题详解分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。

在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。

由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。

例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。

正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。

实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。

正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。

误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。

实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。

例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的解：化简原方程，得01232=-+-x kx kx ① 当k =0时，原方程有唯一解21=x ，符合题意.当k ≠0时，方程①的根的判别式△=()92034342322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-k k k .因为03432≥⎪⎭⎫⎝⎛-k ，所以△>0，故方程①总有两个不同的实数解. 按题意其中必有一根是原方程的增根. 原方程可能产生的增根只能是0或1.把x =0代入①，方程不成立，不合题意. 故增根只能是x =1；把x =1代入①，得21=k ，此时方程为022=-+x x ，两个根为1,221=-=x x .所以，当k =0时，分式方程的解为21=x ；当k ≠0时，分式方程的解为2-=x .例6、 已知关于x 的方程x x a x =++323有两个实数根．．．．．．，求a 的取值范围. 解：原方程可化为022=-a x ，即a x 22=. ①由题意方程①必须有解，故得0>a ，由于3-=x 可能是原方程的增根，应该排除. 由3-≠x ，得29≠a .所以，当0>a 且29≠a 时，原方程有两个实数根.例7、已知关于x 的方程02212222=-+-++mx x m x x，其中m 为实数.当实数m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？并求出这三个实数根.解：令y x x =+22，则原方程可化为01222=-+-m my y ，解得11+=m y ，12-=m y .所以0122=--+m x x ① 或0122=+-+m x x ② 从而△1=4m +8，△2=4m .‘;.,由题意，△1与△2中应有一个等于零，一个大于零.当△1=0即m =－2时，△2<0，不合题意；当△2=0即m =0时，△1>0，此时方程②有两个相等的实数根1-=x ，方程①有两个不相等的实数根21±-=x所以当m =0，原方程有三个互不相等的实数根：1x =0，212+-=x ，213--=x .妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母数）值，请看下面例示：分式方程有增根，求参数值 例8 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x ax x =0有增根？解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x 2-4x+a=0（※）因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3所以a=3时，342-+-x ax x =0有增根。

专题5.2 分式方程的含参问题与实际应用 专题讲练专题1.分式方程的含参问题知识储备分式方程含参问题的解题步骤：①参数当成“常数”解出分式方程；②根据“分式方程有增根”、“分式方程有解与无解”、“分式方程的解为正或负数”、“分式方程有整数解”等类型，利用各条件自确定出参数的取值范围；注：分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。

重要题型或考点1）根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（一）有增根解题技巧：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法：①解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)；②确定增根(最简公分母为0)；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数；例1．（2022·江苏九年级专题练习）方程21261111x x x -=--+的增根为（ ） A ．1 B ．1和1- C ．1- D ．0变式1．（2022·江苏九年级专题练习）关于x 的分式方程512x a x x+-=-(其中a 为常数)有增根，则增根为_____． 例2．（2022·上海市国和中学八年级期中）已知关于x 的分式方程644m x x x +=--有增根，则m ＝_____． 变式2．（2022·湖南澧县·月考）若解分式方程144x m x x -=++产生增根，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．5D ．3 例3．（2022·浙江东阳·七年级期末）关于x 的分式方程：223422mx x x x -=--+． （1）当m ＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x 的分式方程会产生增根，试求m 的值．变式3．（2022·江西九年级阶段练习）解关于x 的方程2=-1-1+1x k x x x x -不会产生增根，则k 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．2k ≠且2k ≠- D ．无法确定2）根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（二）无解与有解解题技巧：含有参数的分式方程无解求参数的一般方法：①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax =b )；②讨论整式方程无解的情况：1）当a =0时，方程满足无解；2）当a ≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。

第06讲易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参数问题(8类热点题型讲练)目录【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】 (1)【易错二整式与分式混合运算易错】 (2)【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】 (3)【易错四解分式方程不验根】 (4)【易错五求使分式值为整数时未知数的整数值】 (5)【易错六分式方程无解与增根混淆不清】 (6)【易错七已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】 (7)【易错八分式混合运算和分式方程中的新定义问题】 (7)【易错一分式值为0时求值，忽略分母不为0】的值为．【易错二整式与分式混合运算易错】【变式训练】6．（2024·湖北孝感·一模）先化简，再求值：526222mmm m-⎛⎫+-÷--⎝⎭，其中3m=-+．【易错三自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】【变式训练】1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简2212111x xx x-⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，再在1，2，3中选取一个适当的数值作为x的值，代入求值．2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简224224a aaa a⎛⎫-+÷⎪+-⎝⎭，然后从x<<一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．3．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简22341121xxx x x-⎛⎫--÷+++⎝⎭，然后从1-，1，2-，2中选一个合适的数代入求值．【易错四解分式方程不验根】【变式训练】【易错五求使分式值为整数时未知数的整数值】例题：（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式31m+．(1)当m 为何值时，该分式无意义；(2)当m 为何整数值时，该分式的值为正整数．【变式训练】1．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当x 为何整数时，(1)​分式421x +的值为正整数；(2)​分式21x x +-的值是整数．2．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：31122=+．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：22x -，221x x +：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：11x x +-，22x x -．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：()121122111111x x x x x x x x -++-===+-----；()()2222444422222x x x x x x x x x -++-+==++----；(1)请根据以上信息，任写一个真分式；(2)将分式12x x --化为整式与真分式的和的形式；(3)如果分式2311x x -+的值为整数，求x 的整数值．【易错六分式方程无解与增根混淆不清】【易错七已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】【易错八分式混合运算和分式方程中的新定义问题】例题：（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：()24248422x x x x x x x --==--，则称分式2482x x x --是“巧分式”，4x 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①(1)(23)(2)(1)(2)x x x x x --+-+；②253x x ++；③22x y x y -+．(2)若分式243x x mx -++（m 为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为7x -，求m 的值：(3)若分式322x xA-+的“巧整式”为1x -．①求整式A ．②32242x x x A++是“巧分式”吗？【变式训练】1．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n （n 为正整数），则称这两个分式互为“n 阶分式”，例如：333(1)3111x x x x x ++==+++，则分式31x +与31x x+互为“3阶分式”．(1)分式1032x x +与1532x+互为“__________阶分式”；(2)设正数x ，y 互为倒数，求证：分式22x x y +与22yy x +互为“2阶分式”；(3)若分式24a a b +与222ba b+互为“1阶分式”（其中a ，b 为正数），求ab 的值．2．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A 与B 的差为1，则称A 是B 的“最友好分式”，如分式111,,111111x x x A B A B x x x x x -==-=-==-----，则A 是B 的“最友好分式”．(1)已知分式2244,442x C D x x x -==-+-，请判断C 是否为D 的“最友好分式”，并说明理由；(2)已知分式2,42P xE F x x ==-+，且E 是F 的“最友好分式”．①求P （用含x 的式子表示）；②若223P mx x nx +-+为定值，求m 与n 之间的数量关系．3．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．。

专题训练：含参不等式组与分式方程（1）对于含参数方程（组）和不等式（组）的题目，一般是先将参数当成常数处理，正确求解出方程（组）和不等式（组），同时对于关键词“至少”“整数解”“非负数”等的理解也是关键，特别是对于某些关键数值能不能取等一定要非常细心。

含参数的方程（组）、不等式（组）问题是学习的难点，确定参数的值（或范围）是关键，含参不等式（组）问题多借
3.若关于x 的一元一次不等式组{3x −1
2
≥x +12x −4<a 有解，且关于y 的分式方程ay −3y −1−2=y −51−y 有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ．
4.若关于x 的不等式组{5x +4≤6x x +1<a
无解，且关于x 的分式方程12=2y −a y −2的解为非负数，那么所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
【学习小结】
1.掌握情况：
2.学习反思：。

摘要：含参分式不等式是高中数学中一种常见的数学问题，它涉及分式、不等式以及参数的求解。

本文主要介绍了含参分式不等式的解法，并分析了其在实际生活中的应用。

一、引言含参分式不等式是指含有参数的分式不等式。

在解决含参分式不等式时，我们需要对不等式的性质进行深入理解，运用合适的解法求解。

本文将从以下几个方面对含参分式不等式进行探讨：含参分式不等式的性质、解法以及应用。

二、含参分式不等式的性质1. 分子、分母同号：若分子、分母同号，则分式不等式的符号与分子、分母的符号相同。

2. 分子、分母异号：若分子、分母异号，则分式不等式的符号与分子、分母的符号相反。

3. 分母为零：当分母为零时，分式无意义。

4. 分子、分母都为零：当分子、分母都为零时，分式等于零。

5. 参数的影响：含参分式不等式的解集与参数的取值有关。

三、含参分式不等式的解法1. 换元法对于形如$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$的含参分式不等式，我们可以通过换元法将其转化为不含参数的不等式。

具体步骤如下：（1）设$t=\frac{ax+b}{cx+d}$，则原不等式可转化为$g(t)>0$或$g(t)<0$。

（2）解不等式$g(t)>0$或$g(t)<0$，得到不等式的解集。

（3）将解集$t$的取值范围代入原不等式，得到含参分式不等式的解集。

2. 因式分解法对于形如$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$的含参分式不等式，我们可以通过因式分解法将其转化为不含参数的不等式。

具体步骤如下：（1）将分式$f(x)$的分子、分母进行因式分解。

（2）将因式分解后的分式$f(x)$中的分子、分母提取公因式，使其成为形如$\frac{A}{B}$的形式。

（3）根据分式不等式的性质，解不等式$\frac{A}{B}>0$或$\frac{A}{B}<0$，得到不等式的解集。

（4）将解集的取值范围代入原不等式，得到含参分式不等式的解集。