分式含参问题

探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。

2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。

二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。

第一部分 含参分式方程与含参不等式组1．从4,3,1,3,4−−这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若m 使得关于,x y 的二元一次方程组2223x y mx y +=⎧⎨−=−⎩有解，且使关于x 的分式方程12111m x x −−=−−有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的值之和是（ ）A ．1B ．2C ．1−D ．2−2．从、0、25这五个数中，随机抽取一个数记为m ，若数m 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x 无解，且使关于x 的分式方程1222−=−−−−x m x x 有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 若关于x 的不等式组3428712x x x a x +≤+⎧⎪⎨+−<⎪⎩有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程3111y a y y−−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．12 B ．14 C ．21 D ．244．若整数既使得关于的分式方程有正整数解，又使得关于的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的有（ ）个A ．B ．C ．D ．5. 若函数与轴有交点，且关于的不等式组 无解，则符合条件的整数的和为（ ） A ． 7 B ． 10 C ．12 D ．156．若整数a 既使得关于x 的分式方程1216−=−−−x xx ax 有非负分数解，又使得关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+<−a x x x 123623至少有三个负整数解，则符合条件的所有a 的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−a x 32133ax xx x −+=−−x 318221123x x a x ⎧−+≥⎪⎪⎨+⎪−<⎪⎩a 6235212)3(2−+−−=a ax x a y x x ⎪⎩⎪⎨⎧<−−+−≤−1233162)2(4x x a x a x a7．要使关于的方程有两个实数根，且使关于的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ） A ．个B ．个C ．个D ．个8．若a 使得关于x 的分式方程21224a x x −=−−有正整数解，且函数223y ax x =−−与21y x =−的图象有交点，则满足条件的所有整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若数使关于的不等式组有解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ） A ． B ． C ． D ．10．使得关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为正数的所有整数的值之和为（ ） A ．11 B ．15 C ．18 D ．1911. 若整数a 使得关于x 的方程xax −=−−2232的解为非负数，且使得关于y 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤−−>+−03221223a y y y 至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．17 B ．18 C ．22 D ．2512．若关于的不等式组的所有整数解的和为，且使关于的分式方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（ ） A ．6 B ．11 C ．12 D ．1513．若数a 使关于x 的不等式组51123522x x x a x a−+⎧+≤⎪⎨⎪−>+⎩至少有3个整数解，且使关于y 的分式方x 2210ax x −−=x 2233x a x x++=−−a 3456a x 32(1)122x a x xx −≥−−⎧⎪⎨−−≥⎪⎩260x +>y 5311y a y y −+=−−a 5432x 6101131+282x a x x −≥−⎧⎪⎨−<−+⎪⎩x 127844ax x x −+=−−−a x 323124152()183x x x a x−⎧−<+⎪⎪⎨⎪−≥⎪⎩5y yay y −+=−2322a程32211ay y−−=−−有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）A．14B．15C．23D．2414.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24. 若关于x 的不等式组有且仅有5个整数解，且关于y 的分式方程=1有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．12B ．14C ．21D ．3325．从这五个数中，随机抽取一个数记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的的个数是（ ▲ ）A ．1B ．2C ．3D ．426．若数使关于的不等式组至少有3个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2、、12−−、0、25m m x ⎩⎨⎧+≥−−+>14122m x m x x 1222−=−−−−x m x x m m x ⎪⎩⎪⎨⎧<−≤−m x xx9253152≤−x x 2113124=−−+−−xm x x m 27.28.32.已知关于x 的分式方程的解为正数，且关于x 的不等式组无解，则所有满足条件的整数a 的绝对值之和是（ ）A ．11B ．10C ．7D ．61311a x x +=−−314143513x x x a −+⎧+>⎪⎪⎨−⎪<⎪⎩29.30.31.33.34.。

分式方程的含参问题
分式方程的含参问题是指分式方程中包含一个或多个参数的问题。

例如，考虑以下分式方程：
$\frac{x+3}{x-2}=a$
其中，$a$是一个参数。

这个方程中的未知数是$x$，参数是$a$。

我们可以通过解这个方程来求出$x$的值，并且可以根据参数$a$的取值的不同，得到不同的解。

通过化简方程，我们可以得到：
$x+3=a(x-2)$
然后，根据参数$a$的取值进行分类讨论：
当$a=0$时，方程变为$3=0$，没有实数解。

当$a\neq 0$时，可以通过将方程进一步化简为一次方程求解，得到$x=\frac{3}{a+1}$。

所以，当$a\neq 0$时，方程的解为$x=\frac{3}{a+1}$。

当
$a=0$时，方程无解。

这就是这个分式方程的含参问题的解。

中考数学复习典型压轴题专题讲解中考数学复习典型压轴题专题讲解专题04分式方程的含参问题与应用分式方程的含参问题与应用【解题解题方法指导方法指导方法指导】】1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．2.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．3.分式方程的增根问题：（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．4.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．题型剖析】】【题型剖析解分式方程【类型1】解分式方程【例1】（2019•江都区三模）解方程：【分析】先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根．【解析】去分母，得4x﹣5（x﹣1）＝0，去括号，得4x﹣5x+5＝0，合并同类项，得﹣x+5＝0，解得x＝5，检验：将x＝5代入原分式方程，左边＝0＝右边，∴原分式方程的解为x＝5．【方法小结】本题考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程是解题的关键．【变式1-1】（2019•润州区二模）（1）解方程：。

综合算式专项练习解含参数的分式方程在数学学习中，分式方程是一种重要的数学问题类型。

分式方程的求解需要我们掌握一定的解法和技巧。

本文将针对含参数的分式方程进行综合算式专项练习，通过解题实例来深入理解和掌握解题方法。

一、基础概念回顾在进一步讨论含参数的分式方程之前，首先回顾一下基础概念。

1. 分式方程：含有未知数的分式等式称为分式方程。

例如：$\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x+2}$。

2. 参数：在分式方程中，参数是指可以取不同值的常数。

在解含参数的分式方程时，我们需要找出参数的取值范围，使得等式成立。

二、解含参数的分式方程的步骤解含参数的分式方程的一般步骤如下：步骤一：将所有分母通分。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

步骤三：解得含有参数的方程。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

下面通过实例演示以上步骤。

例题一：求解分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} =\frac{3}{x-1}$，并确定参数的取值范围。

解题步骤：步骤一：将所有分母通分。

由于$x-2$和$x-1$互为因式，故通分后得到：$(x+1)(x-1) + 2(x-2) = 3(x-2)$。

步骤二：对等式两边进行化简，消去分母。

展开得：$x^2 - x + 1 + 2x - 4 = 3x - 6$。

合并同类项后得到：$x^2 + x - 9 = 3x - 6$。

步骤三：解得含有参数的方程。

移项后得到：$x^2 - 2x - 3 = 0$。

步骤四：讨论参数的取值范围，使方程成立。

使用二次方程求根公式解得：$x = 3$或$x = -1$。

因此参数的取值范围为：$x \in \{-1, 3\}$。

说明：通过解方程可得参数的取值范围。

同时，我们还可以检验得到的解是否满足原分式方程。

结论：分式方程$\frac{x+1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-1}$的解为$x \in \{-1, 3\}$。

分式含参专题1．关于x 的方程+＝有增根，则增根是 ．2．若关于x 的方程21=-+x mx 的解是非负数，则m 的取值范围是 ． 3．已知关于x 的方程＝﹣1的解小于1，则a 的取值范围是 ．4．若数a 使关于x 的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y 的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．5．将三支长度相同的蜡烛A ，B ，C 同时点燃，当蜡烛A 剩一半时，蜡烛B 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛C 剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C 剩一半时，蜡烛A 和蜡烛B 剩余部分的长度之比为 ．6．有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程无解，则m ＝1：③关于x 、y 的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号）7．解关于x 的方程： （1）（2）8．已知关于x 的方程．（1）m 取何值时，方程的解为x ＝4； （2）m 取何值时，方程有增根．9．已知，关于x的分式方程，（1）若方程无解．求k的取值；（2）若方程的解为正数，求k的取值范围；（3）若方程的解为整数，求整数k的取值范围．10．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．11．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）若分式的值为整数，求a的整数值；（4）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．（5）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．12．对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1）＝＝，T（m，﹣2）＝．（1）填空：T（4，﹣1）＝（用含a，b的代数式表示）；（2）若T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；②若T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），求m的值．参考答案与试题解析1．【解答】解：∵方程的最简公分母为x2﹣1，由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，（x+1）（x﹣1）＝0，即x＝±1，将原方程去分母得到k（x﹣1）+3（x+1）＝7，即（k+3）x＝4+k，当x＝1时，（k+3）x＝4+k，代入发现方程k+3＝4+k，不成立；当x＝﹣1时，﹣k﹣3＝4+k，解得k＝﹣3.5．综上，增根只能是x＝﹣1．2．【解答】解：由原方程，得x+m＝2x﹣2，x＝m+2，则m+2≥0，且m+2≠1，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣2且m≠﹣1．3．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x+a＝2﹣x解得x＝，由于方程的解小于1，所以＜1且≠2，解得a＞0，a≠﹣2，∴a＞0，故答案为：a＞0．4．【解答】解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2；综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1故答案为1．由题意可知，蜡烛A剩一半所用时间t1＝＝，此时蜡烛B剩余部分的长度为：l﹣yt1＝l﹣，蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt1＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得10x＝33y﹣28z①；蜡烛B剩一半所用时间t2＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt2＝l﹣蜡烛C剩余部分的长度：l﹣zt2＝l﹣．由题意，可得＝，整理，得25x＝18y+16z②．①与②联立组成方程组，解得．所以，蜡烛C剩一半所用时间t3＝＝＝＝，此时蜡烛A剩余部分的长度为：l﹣xt3＝l﹣＝，蜡烛B剩余部分的长度：l﹣yt3＝l﹣x•＝1﹣＝，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为：＝．故答案为：．6．【解答】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝∵原分式方程无解，∴x＝2∴＝2解得m＝1故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5∴解得：则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，故③正确．综上，正确答案为：②③．7．【解答】解：（1）移项：＝1﹣b，去分母：a＝（1﹣b）（x﹣a），去括号：a＝（1﹣b）x﹣a（1﹣b），移项：（1﹣b）x＝a+a（1﹣b）．∵b≠1，∴1﹣b≠0．方程两边同除以1﹣b，得x＝．检验：当x＝时，x﹣a≠0，∴x＝是原方程的解．（2）解：方程两边同乘以x（x+1），得x+1+x（x+m）＝x（x+1），整理得mx＝﹣1．当m＝0时，原方程无解．当m≠0时，．检验：把代入∴是原方程的解．∴当m＝0时，原方程无解，当m≠0时原方程的解为．8．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3）得：x＝2x﹣6﹣mm＝x﹣6把x＝4代入，得m＝﹣2．答：m取﹣2时，方程的解为x＝4；∴把x＝3代入m＝x﹣6得m＝﹣3．答：m取﹣3时，方程有增根．9．【解答】(1)解：去分母，得2（x+2）﹣（4﹣k）x＝k+1，即2x+4﹣4x+kx＝k+1整理，得（k﹣2）x＝k﹣3当k＝2时，方程无解；当k≠2时，x＝因为x＝0、﹣2时，分式方程无解，∴＝0，＝﹣2时，分式方程无解，解＝0得，k＝3；解＝﹣2得，k＝．所以当k＝2、3、时，关于x的方程无解．(2)k>3或k<2(3)k=110．【解答】解：（1）x1＝a，x2＝；（2）把x＝a﹣1代入方程，左边＝a﹣1+，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝a﹣1是方程的解；把x＝代入方程，左边＝+a﹣1，右边＝a﹣1+，左边＝右边，所以x＝是方程的解；（3）方程变形得，+＝a+，x+＝a+，∴x﹣1+＝a﹣1+，∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，∴x1＝a，x2＝．11．【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；②＝，故不是和谐分式；③＝，故是和谐分式；④＝，故是和谐分式；故答案为①③④；（2）＝＝＝，故答案为；（3）＝＝2﹣，当为整数时，也为整数，∴整数a+1为3的因数，即a+1可取得的整数值为±1，±3．∴a的可能整数值为0，﹣2，2，﹣4；（4）＝2+，而0＜≤3，∴2＜m≤5，故答案为：2＜m≤5．（5）解方程组得，∵方程组有正整数解，∴m＝﹣1或﹣7．12．【解答】解：（1）T（4，﹣1）＝＝；故答案为：；（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2且T（5，﹣1）＝6，∴解得②解法一：∵a＝1，b＝﹣1，且x+y≠0，∴T（x，y）＝＝＝x﹣y．∴T（3m﹣10，m）＝3m﹣10﹣m＝2m﹣10，T（m，3m﹣10）＝m﹣3m+10＝﹣2m+10．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴2m﹣10＝﹣2m+10，解得，m＝5．解法二：由解法①可得T（x，y）＝x﹣y，当T（x，y）＝T（y，x）时，x﹣y＝y﹣x，∴x＝y．∵T（3m﹣10，m）＝T（m，3m﹣10），∴3m﹣10＝m，∴m＝5．。

含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

查补易混易错03 含参类分式方程的解几种情况分式方程因为含有分式，方程的解需要有意义，即分母≠0，所以分式方程需要验根。

也正因为这个特性，所以分式方程的解的问题经常出现参数字母，再根据解的情况求解参数字母的值或者范围。

而此类分式方程的解的情况主要包括：有增根、无解、解为正数/负数等，不同的问题采用的应对方法也不相同。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中出现几率较大，出现则难度中等偏上。

易错01：含参类分式方程有增根时求解步骤：①让最简公分母为0 确定增根；②去分母，将分式方程转化为整式方程；③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；④解含参数字母的方程的解。

易错02：含参类分式方程无解时求解步骤：①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解③同时满足①和②，无解特别注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必须验根，在应用题里也一样【中考真题练】1．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1B．1或3C．1或2D．2或3 2．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0 3．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2 4．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20 5．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是．6．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．7．（2022•泸州）若方程+1＝的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是．【中考模拟练】1．（2023•金牛区模拟）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 2．（2023•齐齐哈尔一模）若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1且C．m＞1D．m≥1且m≠5 3．（2023•东胜区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 4．（2023•新泰市一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣7B．m＞﹣7且m≠﹣3C．m＜﹣7D．m＞﹣7且m≠﹣25．（2023•京口区校级一模）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是．6．（2023•泸县校级二模）若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为．7．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m ＝．8．（2023•西城区校级模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．。

专题二方程、不等式中的含参问题【考法综述】1.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题；二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决.2.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解、一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.3．分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程.在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．4.不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式（组）有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围.已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.学+科网【典例剖析】考点一、一次方程组的含参问题例1方程组的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＞C．m＞D．m＞【答案】﹣．【解析】试题分析：解此题时可以运用代入消元法，解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后根据x＞y解出m的取值范围．试题解析：由①得x=，代入②得，8×﹣3y=m，y=．∵x＞y，即＞，解得m＞．故选D．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，先解出x，y关于m的式子，再根据x＞y，求出m 的范围即可．&变式训练&变式1.1已知x+2y﹣3z=0，2x+3y+5z=0，则=．【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．变式1.2已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为．【解析】试题分析：解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．试题解析：由题意可得，解得a=﹣3，b=7﹣，c=，由于a，b，c是三个非负实数，∴a≥0，b≥0，c≥0，∴﹣≥m≥﹣．﹣．所以m最小值=故本题答案为：﹣．变式1.3已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）=8x+10对一切实数x都成立，则A=，B=．【答案】，﹣．【解析】【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于A、B的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．学科+网考点二、一元二次方程的含参问题例2关于x的方程x2+mx﹣9=0和x2﹣3x+m2+6m=0有公共根，则m的值为．【答案】﹣3，0，﹣4.5．【解析】试题分析：设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α．再根据两根之积的表达式，可知α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．试题解析：设这个公共根为α．则方程x2+mx﹣9=0的两根为α、﹣m﹣α；方程x2﹣3x+m2+6m=0的两根为α、3﹣α，由根与系数的关系有：α（﹣m﹣α）=﹣9，α（3﹣α）=m2+6m，整理得，α2+mα=9①，α2﹣3α+m2+6m=0②，②﹣①得，m2+6m﹣3α﹣mα=﹣9，即（m+3）2﹣α（m+3）=0，（m+3）（m+3﹣α）=0，所以m+3=0或m+3﹣α=0，解得m=﹣3或α=m+3，把α=m+3代入①得，（m+3）2+m（m+3）=9，m2+6m+9+m2+3m=9，m（2m+9）=0，所以m=0或2m+9=0，解得m=0或m=﹣4.5，综上所述，m的值为﹣3，0，﹣4.5．故答案为：﹣3，0，﹣4.5．【点评】本题主要考查了公共根的定义，一元二次方程根与系数的关系及由两个二元二次方程组成的方程组的解法．高次方程组的解法在初中教材中不要求掌握，属于竞赛题型，本题有一定难度．&变式训练&变式2.1已知a是一元二次方程x2﹣2008x+1=0的一个根，则代数式的值是．【答案】2007【解析】试题分析：将一个根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，故有a2﹣2007a=a﹣1，和a2+1=2008a；代入要求的代数式，整理化简即可．试题解析：由题意，把根a代入x2﹣2008x+1=0，可得：a2﹣2008a+1=0，∴a2﹣2007a﹣a+1=0，a2+1=2008a；∴a2﹣2007a=a﹣1，∴=a﹣1+=a+﹣1=﹣1=﹣1=2008﹣1，=2007．【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断；将代数式与已知条件联系起来，从两头朝中间寻找关系．变式2.2已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为．【答案】k＜且k≠±1【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．变式2.3已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（）A．﹣1B．2C．22D．30【答案】D【解析】试题分析：根据求根公式x=求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．试题解析：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=（1+）3+8（1﹣）+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=（1﹣）3+8（1+）+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•（2α+4）+8β+6=2α2+4α+8β+6=2（2α+4）+4α+8β+6=8α+8β+14=8（α+β）+14=30，故选D．变式2.4对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若b=2，则方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x2﹣bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2﹣4ac=（2ax0+b）2，其中正确的（）A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④【答案】B【解析】试题分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示x0．试题解析：①若b=2，方程两边平方得b2=4ac，即b2﹣4ac=0，所以方程ax2+bx+c=0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0方程x2﹣bx+ac=0中根的判别式也是b2﹣4ac=0，所以也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac2+bc+c=0成立，当c≠0时ac+b+1=0成立；当c=0时ac+b+1=0不成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可得x0=，把x0的值代入（2ax0+b）2，可得b2﹣4ac=（2ax0+b）2，综上所述其中正确的①②④．故选B【点评】此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x0，整体代入求b2﹣4ac=（2ax0+b）2．考点三、分式方程的含参问题例3．已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【答案】D【解析】试题分析：首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．&变式训练&变式3.1若关于x的方程=3的解是非负数，则b的取值范围是．【答案】b≤3且b≠2【解析】试题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．试题解析：去分母得，2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b∵x≥0∴3﹣b≥0解得，b≤3又∵x﹣1≠0∴x≠1即3﹣b≠1，b≠2则b的取值范围是b≤3且b≠2．【点评】由于我们的目的是求b的取值范围，根据方程的解列出关于b的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．变式3.2观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程（n为正整数）的根，你的答案是：．【答案】x=n+3或x=n+4．【解析】试题分析：首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．试题解析：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．变式3.3已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为．【答案】﹣2，0或4【解析】试题分析：首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．试题解析：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，解得：x==﹣2﹣，∵方程只有整数解，∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣3=﹣5，检验，将x=﹣5代入（x﹣1）（x+2）=18≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；∴整数a的值为：﹣2，0或4．学*科网故答案为：﹣2，0或4．【点评】此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．考点四、不等式（组）的含参问题例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]=3，[2]=2，[﹣2.1]=﹣3．则下列结论：①[﹣x]=﹣[x]；②若[x]=n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；④x=﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5=0的唯一一个解．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③．【解析】试题分析：①举出反例即可求解；②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；③分两种情况：﹣1＜x＜0；x=0；0＜x＜1；进行讨论即可求解；④首先确定x﹣[x]的范围为0～1，依此可得﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，再找到满足条件的x值即为所求．④x﹣[x]的范围为0～1，4x﹣2[x]+5=0，﹣5≤2x＜﹣7，即﹣2.5≤x＜﹣3.5，x=﹣2.75或x=﹣3.25都是方程4x﹣2[x]+5=0，故原来的说法错误．故答案为：②③．【点评】本题考查了不等式的应用，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．&变式训练&变式4.1如果关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，那么关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是．【答案】x≥﹣．【解析】试题分析：先根据关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，得出b=﹣3a以及a的取值范围，进而得到b﹣a=﹣4a＜0，再根据b=﹣3a，即可得到关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集．试题解析：∵关于x的不等式（a+b）x+2a﹣b＞0的解集是x＜，∴x＜，∴=，且a+b＜0，即b=﹣3a，a+b＜0，∴a﹣3a＜0，即a＞0，∴b﹣a=﹣4a＜0，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥，∵==﹣，∴关于x的不等式（b﹣a）x+a+2b≤0的解集是x≥﹣，故答案为：x≥﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式的应用，解题时注意：根据不等式的基本性质，在去分母和化系数为1时可能需要改变不等号方向．变式4.2若不等式组无解，则m的取值范围是．【答案】m＜【解析】试题分析：先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．试题解析：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．变式4.3按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是．【答案】131或26或5或【解析】试题分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．【点评】此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．变式4.4若关于x的不等式组解集为x＜2，则a的取值范围是．【答案】a≥2【解析】试题分析：求出不等式组的解集，与已知解集x＜2比较，可以求出a的取值范围．试题解析：由＞+1，得2x+8＞3x+6，解得x＜2，由x﹣a＜0，得x＜a，又因关于x的不等式组解集为x＜2，所以a≥2．【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．【实战演练】1.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y a x x++=--的解为正数，且使关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B.【解析】试题解析：分式方程2411y a x x ++=--的解为x=6-4a ，∵关于x 的分式方程+=4的解为正数，∴6-4a ＞0，∴a＜6．y 123)02(2①y ②y a ⎧+>≤--⎪⎨⎪⎩，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y 的不等式组12()y 232y a y ⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6．∵a 为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5=12．故选B．学*科网考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式组.2.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m ++=有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值A.98m >B.89m >C.98m =D.89m =【答案】98m =考点：根的判别式．3.（2017山东烟台第10题）若21,x x 是方程01222=--+-m m mx x 的两个根，且21211x x x x -=+，则m 的值为（）A．1-或2B．1或2- C.2-D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m，x 1•x 2=m 2﹣m﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m﹣1），即m 2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx+m 2﹣m﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m 2﹣m﹣1）=4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m=1．故选D．考点：根与系数的关系．4.(2017江苏宿迁第5题)已知45m <<，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有A ．1个B．2个 C.3个D．4个5.(2017浙江金华第9题)若关于x 的一元一次不等式组()2132,x x x m->-⎧⎪⎨<⎪⎩的解是5x <，则m 的取值范围是（）A．5m ≥B．5m > C.5m ≤D．5m <【答案】A.【解析】试题分析：解第一个不等式得：x ＜5；解第二个不等式得：x ＜m ；因为不等式组的解是x ＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m ≥5，故选A.6.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是【答案】k≤5且k≠1.考点：根的判别式．7.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否18<”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是.【答案】x＜8．【解析】试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，解得x＜8．考点：一元一次不等式的应用．考点：1.分式方程的解；2.解一元一次不等式9.（2017四川宜宾第13题）若关于x、y的二元一次方程组2m133x yx y⎧-=+⎨+=⎩的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．【答案】m＞﹣2．考点：1.解一元一次不等式；2.二元一次方程组的解.10.(2017四川泸州第15题)关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是．【答案】m<6且m≠2.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=62m--，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以62m-->0且m≠2，即m<6且m≠2.11.(2017江苏宿迁第14题)若关于x的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m的值是．【答案】1.【解析】试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程1322m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.12.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.【答案】0.【解析】试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;。