安徽六校2018届高三第二次联考文科数学试卷(word版含答案)

2018年安庆市高三模拟考试（二模）数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11,R x x x A =-≤∈，}2,x B =≤∈Z ，则A B = （ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2.已知复数z 满足()()211i z i +=-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．2 B ．2- C ．1- D ．14.如图所示的算法框图中，e 是自然对数的底数，则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈）（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85.双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率是（ ）A B C ．2 D6.已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．16 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．5πB ．9πC ．16πD ．25π8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()f x 为减函数，若()0.32a f =，12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 5c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 10.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的递增区间为（ ） A ．52,21212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．5,1212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．52,266k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z11.C ∆AB 是边长为1的等边三角形，已知向量a ，b满足a b AB =+ ，C a b A =- ，则下列结论错误的是（ ）AB ．12b =C ．()14a b a +⋅=-D ．a b ⊥12.已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦ B ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()4,0,23⎛⎫-∞⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若832S =，则2562a a a ++= ．14.若x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，2z x y =-，则z 的取值范围是 ．15.某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是 分钟．16.已知抛物线C :28x y =的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则F FQ P ⋅的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）已知()4cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈． （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）在C ∆AB 中，C 4B =，sin C 2sin =B ，若()f x 的最大值为()f A ，求C ∆AB 的面积．18.（本题满分12分）随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰．今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减．卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩”；在市第一医院，共有40个猴宝宝降生，其中20个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有30个猴宝宝降生，其中10个是“二孩”宝宝．（I ）从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取7个宝宝做健康咨询． ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从7个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率； （II ）根据以上数据，能否有85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？19.（本题满分12分）如图，圆柱1O -O 中，AB 为下底面圆O 的直径，CD 为上底面圆1O 的直径，//CD AB ，点E 、F 在圆O 上，且//F AB E ，且2AB =，D 1A =． （I ）求证：平面DF A ⊥平面C F B ； （II ）若DF 与底面所成角为4π，求几何体F CD E -AB 的体积．20.（本题满分12分）已知圆:M 220x y +-=的圆心是椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M 相切． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）椭圆C 上有两点()11,x y A 、()22,x y B ，OA 、OB 斜率之积为14-，求2212x x +的值．21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x ax =+，R a ∈． （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若函数()f x 的两个零点为1x ，2x ，且221x e x ≥，求证：()()121265x x f x x '-+>．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，以C ∆AB 的边AB 为直径作O ，O 与边C B 的交点D 恰为C B 边的中点，过点D 作D CE ⊥A 于点E ．（I ）求证：D E 是O 的切线； （II ）若30∠B = ，求DCAE的值．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()3f x x x a =--+，其中R a ∈． （I ）当2a =时，解不等式()1f x <；（II ）若对于任意实数x ，恒有()2f x a ≤成立，求a 的取值范围．2018年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDADABDBCBCD1.D.解析：}{{}}{2,1,0,4,3,2,1,0,20=⋂∴=≤≤=B A B x x A .选D.2.D.解析：由题意知i i i i i i i z --=--=+-=+-=12)1(2121)1(2.选D. 3.A.解析：由π=++C B A 可得2π>C ，故三角形为钝角三角形，反之不成立.选A.4.D.解析：由2016≥i e 得2016ln ≥i ，而609.72016ln ≈，则输出的i 的值为8.5.A.解析：由已知2=ab，5)(12=+==a b a c e ，选A.6.B.解析：由ab b a b a b a +=+=+11有1=ab ，则ba 21+22212=⨯≥b a ,选B. 7.D.解析：由三视图可知，该几何体为底面直径为3，高为4的圆柱与它的外接球组成的几何体，球的直径为5，所以表面积为25，选D.9.C. 解析：记每天走的路程里数为}{n a ，易知}{n a 是公比21=q 的等比数列，3786=s ，621192,192,378211)211(561616=⨯=∴=∴=--=a a a s ，选 C. 10.B.解析：由图象可知2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，故2ω=. 由11()212f π=-，得23k πϕπ=-（Z k ∈）. ∵2πϕ= ∴3πϕ-=所以()2sin(2)3f x x π=-. 由2(22)322x k k πππππ-∈-+，（Z k ∈），得5()1212x k k ππππ∈-+，（Z k ∈）. 或：311341264T πππ=-=，所以T π=，646412T ππππ-=-=-，5646412T ππππ+=+=， 所以()f x 的单增区间是5()1212k k ππππ-+，（Z k ∈）. 11.C.解析：;21,12==-b AC AB 设边BC 的中点为Db a BC AD a AC AB ⊥∴⊥==+,23241)(2==⋅+b b b a ，选C. 12.D.解析：结合函数图像可知，答案为D ，选D.二、填空题题号 13 14 15 16 答案16[-3,2]56.5313.16.解析：由328=S 有32)(454=+a a ，得854=+a a ， 故16)(2254652=+=++a a a a a .14.[-3,2].解析：作图易知在点)0,2(处取最大值2，在点)2,1(处取最小值-3. 15.56.5.解析：平均数为35×0.1+45×0.1+55×0.5+65×0.2+75×0.05+85×0.05=56.5 16.3.解析：12⋅r FQ FP .d d ,为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，3)(,2min =⋅∴=FQ FP .三、解答题17．解析:)6sin cos 6cos(sin cos 4)(ππx x x x f -=1)62sin(212cos 2sin 3cos 2sin cos 322--=--=-=πx x x x x x ……… 4分(I) ππ==22T……… 6分 (II) C B A ,, 为ABC ∆ 的内角，且b c B C 2,sin 2sin =∴=， 又1)62sin(2)(--=πA A f 是)(x f 的最大值，3,262),611,6(62ππππππ=∴=-∴-∈-A A A………… 9分 在ABC ∆中，由余弦定理得163cos44222=-+πb b b3162=∴b 33823sin 212===∴∆b A bc S ABC ………… 12分18．解析：（Ⅰ）(1)由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有4747=⨯个,其中一孩宝宝有2个. ………… 2分(2) 在抽取7个宝宝中,市一院出生的一孩宝宝2人,分别记为11,B A ,二孩宝宝2人,分别记为11,b a ,妇幼保健院出生的一孩宝宝2人,分别记为22,B A ,二孩宝宝1人,记为2a ,从7人中抽取2人的一切可能结果所组成的基本事件空间为{}),(),,(),,(),,(),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(,),(222222212121212121112121211111212121111111a B a A B A a b B b A b a a B a A a b a a B B B A B b B a B a A B A A A b A a A B A =Ω… 5分 用A 表示：“两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩”，则)},(),,{(2121a b a a A =212)(=∴A P………… 7分（Ⅱ）22⨯列联表………… 9分()072.2944.1367030403040202010207022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有85％的把握认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关. ………… 12分19．解析：（Ⅰ）由已知，BF AF ⊥，BF AD ⊥,且A AD AF = ，故⊥BF 平面ADF ，所以平面⊥ADF 平面CBF . ………… 5分（Ⅱ）因AD 垂直于底面，若DF 与底面所成角为4π，则4π=∠AFD ，故1=AF ,则四棱锥ABCD F -的高为23，又2=ABCD S ，3322331=⨯⨯=-ABCD F V ；三棱锥BEF C -的高为1，而BEF ∆中，1==BF BE ，o 120=∠BEF ，所以43=BEF S ，则12343131=⨯⨯=-BEF C V ，所以几何体ABCD EF -的体积为1235. ………… 12分 20．解析：(Ⅰ) 圆3)3(0322222=+-⇒=-+y x x y x 圆心坐标为)0,3(M ，3,322=-=∴b a c过椭圆C ：12222=+by a x 的左焦点)0,3(-F 和上顶点的直线l 的斜率显然大于0，可设直线l 的方程为：)3(+=x k y ，因为直线l 与圆相切，,33,313032±=∴=++-∴k k k k 又0>k ∴直线l 的方程为：)3(33+=x y ，14:4,1222=+∴==∴y x C a b…… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知4422=+y x ，有442121=+y x ，442222=+y x ， 由OA 、OB 斜率之积为41-可得，042121=+y y x x 212144y x -= 222244y x -=)44()44(22212221y y x x -⋅-=⋅∴ 2122222122212221212216161616,16161616y y y y x x y y y y --=-⋅∴+--= 01616160)4()4(1621222121212122212221=--∴=-⋅+=-⋅y y y y x x y y x x y y x x4)(48,1222122212221=+-=+∴=+y y x x y y ………… 12分21．解析：（Ⅰ）函数ax x x f +=ln )(，R a ∈的定义域为}{0>x x a xx f +='1)()(,0)(,0)1(x f x f a ∴>'≥在),0(+∞上单调增；)(10,01)(,0)2(x f ax a x x f a ∴-<<>+='<在)1,0(a -上单调增；)(1,01)('x f a x a x x f ∴-><+=在),1(+∞-a上单调减. ………… 5分（Ⅱ） )(ln ln ,0ln ,0ln 21122211x x a x x ax x ax x -=-∴=+=+)()1)(()()(21212121212121x x a x x x x a x x x x x x f x x -++-=++-=+'-121212122121ln 11ln x x x x x x x x x x x x ++-=++-=令212e t x x ≥=，令t t t t ln 11)(++-=ϕ，则0)1(1)(22>++='t t t ϕ'121212121212122122122121111()()()()()1ln ln 1x x x x f x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+=-+=+-++--=+=+++令212e t x x ≥=，令t t t t ln 11)(++-=ϕ，则0)1(1)(22'>++=t t t t ϕ )(t ϕ∴在),[2+∞e 上单调增，561321121)()(222=++>++=≥e e t ϕϕ… 12分 选做题22．解析：（Ⅰ）如图，连接OD .因为O 是AB 的中点，D 是BC 的中点， 所以 OD //AC .因为AC DE ⊥，所以OD DE ⊥，所以DE 是⊙O 的切线. ………… 5分 （Ⅱ）因为AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，所以BC AD ⊥. 又D 是BC 的中点，所以 AB AC =.故 30=∠=∠B ACD . 因为AC DE ⊥，所以 30=∠ADE .在直角三角形AED 中， 30tan =DEAE； 在直角三角形ADC 中，30sin =DCDE.于是633321=⨯=DC AE ………… 10分23.解析：（Ⅰ）当2πα=时，直线l 的普通方程为1-=x ；当2πα≠时，直线l 的普通方程为αtan )1(+=x y . ………… 2分由θρcos 2=，得θρρcos 22=，所以222x y x +=，即为曲线C 的直角坐标方程. ………… 4分（Ⅱ）把1cos x t a =-+，sin y t a =代入222x y x +=，整理得24cos 30t t a -+=.由 216cos 120α=∆=-，得23cos 4=a ，所以cos =a 或cos =a -，故直线l 倾斜角α为6π或56π. ………… 10分 24．解析：（Ⅰ）2=a 时，1)(<x f 就是.123<+--x x 当2-<x 时，321x x -++<，得51<，不成立；当23x -<≤时，321x x ---<，得0x >，所以30<<x ； 当3x ≥时，321x x ---<，即51-<，恒成立，所以3x ≥.综上可知，不等式1)(<x f 的解集是(0)+∞，. …………5分 (Ⅱ) 因为()3(3)()3f x x x a x x a a =--+--+=+≤， 所以)(x f 的最大值为3+a .对于任意实数x ，恒有()2f x a ≤成立等价于32a a +≤. 当3a -≥时，32a a +≤，得3a ≥；当3a <-时，32a a --≤，1a -≥，不成立.综上，所求a 的取值范围是[3)+∞，. ………… 10分。

2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(1-2i)-i(i是虚数单位)的虚部是()A.-2iB.iC.-2D.12.已知集合M={x|xVl},N={x|0<x<2},则M C N=()A.(0,1)B.(*,1) c.(-8,2) D.[0,1)3.己知圆C：(x-6)2+(y-8)2=4,0为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y- 4)2=100C.(x-3)2+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y-4)2=254.在直角坐标系中，若角a的终边经过点「(与比旦L,cos呈L)，则sin(n+a)33=()22225.中国古代词中，有一道“八子分绵〃的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤6.已知函数是奇函数，则f(a)的值等于()a+2xA. B.3 C.-1或3 D.顼33337.某公司一种型号的产品近期销售情况如表月份x23456销售额y(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程昨o.75x+a，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为()A.19.5万元B.19.25万元C.19.15万元D.19.05万元8,执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1,则输入x的值为（）入・3或一2日・2或-2（2.3或-10・一2或-1或39.已知函数f（x）=2sin（u）x+c|））（u）〉0,0<4）<n）相邻两条对称轴间的距离为琴，且f（m）=o,则下列说法正确的是（）A.0）=2B.函数y=f（x-兀）为偶函数C.函数f（x）在［-兀，寻］上单调递增D.函数y=f（x）的图象关于点°）对称410.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是棱/\出】的中点，用过点A,C,E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）D2211.已知双曲线C：L-Ll（a>0,b>0）的焦点为Fi、F2，点P是双曲线2.2a bC上的一点，ZPF1F2=15°,ZPF2F i=105°,则该双曲线的离心率为（）A.&B.扼C.晅+、"D.匝2212.已知函数f(x)是定义在R上的增函效，f(x)+2>f(x),f(0)=1,则不等式In[f(x)+2]-In3>x的解集为()A.(-8,o)B.(0,+8) c.(-8,1) D.(1,+8)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.若命题p：V x>0,Inx-x+lW0,则—'p为.14.己知两个单位向量言，E的夹角为2L,则(2a+b)*(a-b)=.315.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为3血的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P-ABCD的体积为. 16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5：00-6：00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5：30-6：00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于•三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12.00分)己知正项等比数列｛aS满足a3=9,a4-a2=24.(I)求数列｛an｝的通项公式；(II)设bn=n・an，求数列｛bn｝的前n项的和Sn.18.(12.00分)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.(I)画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；(II)从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.19.(12.00分)在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD,AB〃CD〃PQ,AB±CD,A PAD为正三角形，。

2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（1﹣2i）•i（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣2i B．i C．﹣2D．12．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．[0，1）3．（5分）已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（）A．（x﹣3）2+（y+4）2＝100B．（x+3）2+（y﹣4）2＝100C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y﹣4）2＝254．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．5．（5分）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤6．（5分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）A．B．3C．或3D．或37．（5分）某公司一种型号的产品近期销售情况如表根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（）A．3或﹣2B．2或﹣2C．3或﹣1D．﹣2或﹣1或3 9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为．14．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则＝．15．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P﹣ABCD的体积为．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4﹣a2＝24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•a n，求数列{b n}的前n项的和S n．18．（12分）某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．（Ⅰ）画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；（Ⅱ）从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．19．（12分）在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：（Ⅰ）平面POB⊥平面P AC；（Ⅱ）求多面体ABCDPQ的体积．20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+e x≥x3+x，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+m|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）＝f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（1﹣2i）•i（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣2i B．i C．﹣2D．1【解答】解：∵（1﹣2i）•i＝2+i，∴复数（1﹣2i）•i的虚部是1．故选：D．2．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．[0，1）【解答】解：集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：A．3．（5分）已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（）A．（x﹣3）2+（y+4）2＝100B．（x+3）2+（y﹣4）2＝100C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y﹣4）2＝25【解答】解：圆C的圆心坐标C（6，8），则OC的中点坐标为E（3，4），半径|OE|＝＝5，则以OC为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，故选：C．4．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α终边经过点，即点P（，），∴x＝，y＝，r＝|OP|＝1，则sin（π+α）＝﹣sinα＝＝﹣y＝﹣．故选：A．5．（5分）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第8个儿子为首项，∴8a1+×17＝996，解得a1＝184，故选：B．6．（5分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）A．B．3C．或3D．或3【解答】解：f（x）是奇函数；∴；整理得：（2a2﹣2）2x＝0；∴2a2﹣2＝0；∴a＝±1；a＝1时，；a＝﹣1时，．故选：C．7．（5分）某公司一种型号的产品近期销售情况如表根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元【解答】解：由题意，＝，＝＝16.8回归直线方程，可得：＝13.8．当x＝7时，可得y＝0.75×7+13.8＝19.05．故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（）A．3或﹣2B．2或﹣2C．3或﹣1D．﹣2或﹣1或3【解答】解：当x＞2时，由y＝＝1得：x2﹣2x＝3，解得：x＝3，或x＝﹣1（舍）当x≤2时，由y＝﹣2x﹣3＝1，解得：x＝﹣2，综上可得若输出的结果为1，则输入x的值为3或﹣2，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称【解答】解：由题意得，即T＝3π，∴，得，故A错误；∴f（x）＝2sin（x+φ），又，∴2sin（+φ）＝0，∵0＜φ＜π，∴φ＝．∴f（x）＝2sin（x+），∵f（x﹣π）＝2sin，∴函数y＝f（x﹣π）为奇函数，故B错误；当x∈时，x+∈[0，]，则函数f（x）在上单调递增，故C正确；∵f（）＝2sin（）＝2cos＝﹣1，∴函数y＝f（x）的图象关于点对称，故D错误．故选：C．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则所截的图形如下：所截的坪面为平面AECF，所以位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为：A故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，F1F2＝2c，由正弦定理可得：，PF1＝＝，同理PF2＝＝，所以﹣＝2a，即，可得e＝．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，f（0）＝1，则g（0）＝＝3，又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；则ln[f（x）+2]﹣ln3＞x⇒ln＞x⇒＞e x⇒＞3⇒g（x）＞g（0），又由g（x）为减函数，则有x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p 为∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．故答案为：∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．14．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则＝．【解答】解：两个单位向量，的夹角为，则＝2＝2﹣﹣1＝，故答案为：．15．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P﹣ABCD的体积为6或54．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，连结AC，BD，交于点E，设球心为O，球半径为R，连结PO，BO，则E在直线PO上，PO＝BO＝R，∴BE＝＝3，R＝5，∴OE＝＝4，∴PE＝R﹣OE＝5﹣4＝1或PE＝R+OE＝5+4＝9，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝＝＝6，或V＝＝＝54．故答案为：6或54．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，如图：∴小李需要去快递柜收取商品的概率等于．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4﹣a2＝24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•a n，求数列{b n}的前n项的和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a4﹣a2＝24，得，即3q2﹣8q﹣3＝0，解得q＝3或．又∵a n＞0，则q＞0，∴q＝3，∴．（Ⅱ），∴，…①，①×3可得：，…②，①﹣②可得：，∴．18．（12分）某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．（Ⅰ）画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；（Ⅱ）从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两个小组同学的数学成绩出这两个小组同学数学成绩的茎叶图如下：由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，∴甲组同学的成绩差异较大．（Ⅱ）设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3，乙组数据在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）；（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）；（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3）；（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，∴选出的2位同学不在同一个小组的概率．19．（12分）在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：（Ⅰ）平面POB⊥平面P AC；（Ⅱ）求多面体ABCDPQ的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1，∴由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．∴∠DAC+∠AOB＝∠ABO+∠AOB＝90°，∴AC⊥BO．∵P A＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB．∵AC⊂平面P AC，∴平面POB⊥平面P AC．解：（Ⅱ）取AB中点为E，连接CE，QE．由（Ⅰ）可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥CD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面P AD．∴多面体ABCDPQ的体积：＝．20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为，．则|PF1|+|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，，∴b2＝1，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．由△＞0得4k2＞1．由，得．设，则，∴．当直线l的斜率不存在时，，∴|AB|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+e x≥x3+x，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）有1个极值点；当时，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递增，在（ln2a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）有2个极值点；当时，f（x）在R上单调递增，此时f（x）没有极值点；当时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）有2个极值点；∴当a≤0时，f（x）有1个极值点；当a＞0且时，f（x）有2个极值点；当时，f（x）没有极值点．（Ⅱ）由f（x）+e x≥x3+x得xe x﹣x3﹣ax2﹣x≥0．当x＞0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≥0，即对∀x＞0恒成立．设，则．设h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1．∵x＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，即e x＞x+1，∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝e﹣2，∴a≤e﹣2．当x＝0时，不等式恒成立，a∈R；当x＜0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≤0．设h（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1，则h′（x）＝e x﹣2x﹣a．设φ（x）＝e x﹣2x﹣a，则φ′（x）＝e x﹣2＜0，∴h′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴h′（x）≥h′（0）＝1﹣a．若a≤1，则h′（x）≥0，∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴h（x）＜h（0）＝0．若a＞1，∵h′（0）＝1﹣a＜0，∴∃x0＜0，使得x∈（x0，0）时，h′（x）＜0，即h（x）在（x0，0）上单调递减，∴h（x）＞h（0）＝0，舍去，∴a≤1．综上可得，a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解（Ⅰ）曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ＝0．即x2＝2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2＝2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2＝|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a＝0或．∵，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+m|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）＝f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．【解答】（Ⅰ）由题意得解①得m≥﹣9．②可化为﹣9﹣m≤3x+m≤9+m，．∵不等式f（x）≤9的解集为[﹣1，3]，∴，解得m＝﹣3，满足m≥﹣9．∴m＝﹣3；（Ⅱ）依题意得，g（x）＝|3x+m|﹣2|x﹣1|．又∵m＞0，∴，g（x）的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A（﹣m﹣2，0），，，∴，解得m＞12．。

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（是虚数单位）的虚部是（）A. B. C. -2 D. 1【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：，据此可得复数的虚部为1.本题选择D选项.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择A选项.3. 已知圆，为坐标原点，则以为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可知：，则圆心坐标为：圆的直径为：，据此可得圆的方程为：，即：.本题选择C选项.4. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式可得：，，即：，由三角函数的定义可得：，则.本题选择B选项.5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6. 已知函数是奇函数，则的值等于（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】C【解析】函数为奇函数，则：，即：恒成立，整理可得：，即恒成立，，当时，函数的解析式为：，，当时，函数的解析式为：，，综上可得：的值等于或3.本题选择C选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．7. 某公司一种型号的产品近期销售情况如下表销售额根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A. 19.5万元B. 19.25万元C. 19.15万元D. 19.05万元【答案】D【解析】由题意可得：，，回归方程过样本中心点，则：.回归方程为：，该公司7月份这种型号产品的销售额为：万元.本题选择D选项.8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输出的值是（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. 3或-1或-2【答案】A........................当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．9. 已知函数相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A. B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意可得，函数的周期为：，则，A说法错误；当时，，，故取可得：，函数的解析式为：，，函数为奇函数，B说法错误；当时，，故函数在上单调递增，C说法正确；，则函数的图象不于点对称，D说法错误；本题选择C选项.10. 在正方体中，是棱的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.11. 已知双曲线的焦点为，，点是双曲线上的一点，，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理可得：不妨设，结合双曲线的定义有：，，双曲线的离心率为：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12. 已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解法1：令，则：原不等式等价于求解不等式，，由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即：，结合函数的单调性可得不等式的解集为 .本题选择A选项.解法2：构造函数，满足函数是定义在上的增函数，，，则不等式即：，，即不等式的解集为.本题选择A选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若命题，，则为__________．【答案】，【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得为，.14. 已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：15. 已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________．【答案】6或54【解析】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：，棱锥的底面积为：，据此分类讨论：当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；综上可得：四棱锥的体积为6或54.16. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于__________．【答案】【解析】如图所示，轴表示快递员送货的试卷，轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为所有可能的时间组合，阴影部分为满足小李需要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李需要去快递柜收取商品的概率：.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项等比数列满足，.求数列的通项公式；设，求数列的前项的和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：由题意列方程可得数列的公比，则数列的通项公式.结合(1)的结论可得，错误相减可得其前n项和为.试题解析：设数列的公比为，由，得，即，解得或.又，则，，.，，，，.18. 某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：(1)结合所给的数据画出茎叶图，观察可得甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，或者利用方差也可以说明甲组同学的成绩差异较大.(2)由题意列出所有的事件，共有15中，其中满足题意的事件由9种，据此可得选出的2位同学不在同一个小组的概率.试题解析：由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：，，）设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为；乙组数据在90分以上的三位同学为.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：，，，，；，，，；，，；，，.其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，.19. 在多面体中，平面平面，，，为正三角形，为中点，且，.求证：平面平面；求多面体的体积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：由相似三角形的性质可得.由面面垂直的性质可得平面，则.据此可得平面，结合面面垂直的判断定理有平面平面.取中点为，连接，.则该几何体分割为一个三棱柱与一个三棱锥，结合体积公式计算可得组合体的体积.试题解析：由条件可知，，故.，.，且为中点，.，平面.又平面，.又，平面.平面，平面平面.取中点为，连接，.由可知，平面.又平面，.又，，平面..20. 已知椭圆经过点，椭圆的一个焦点为.求椭圆的方程；若直线过点且与椭圆交于，两点，求的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：与椭圆结合椭圆的定义计算可得，则，，椭圆的方程为.分类讨论，当直线的斜率存在时，设，，.联立直线方程与椭圆方程可得.换元后结合二次函数的性质可得.当直线的斜率不存在时，，故的最大值为.试题解析：依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，.则，，，，椭圆的方程为.当直线的斜率存在时，设，，.由得.由得.由，得.设，则，.当直线的斜率不存在时，，的最大值为.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数（是自然对数的底数）判断函数极值点的个数，并说明理由；若，，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：求导可得.分类讨论可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点.结合函数的定义域可知，原问题等价于对恒成立.设，则.讨论函数g(x)的最小值.设，结合h(x)的最值可得在上单调递减，在上单调递增，，的取值范围是.试题解析：.当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点.由得.当时，，即对恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.求曲线的直角坐标方程；若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B 为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.若不等式的解集为，求实数的值；若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围. 【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。