第1讲 数列的基本知识与概念5种题型【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集N *）为定义域的函数{}12n ⋯，，，()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n nn nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列：，常数列：常数摆动数列3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列的第项与序号{}n a n n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． （2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．常见的数列的通项公式（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为；n a n =（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为；2n a n =（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为；2n a n =（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为；2n n a =（5）数列1，，，，…的通项公式为；1213141n a n =（6）数列，，，，…的通项公式为．12161121201(1)n a n n =+【方法技巧与总结】（1）若数列的前项和为，通项公式为，则{}n a n n S n a 1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩，，，注意：根据求时，不要忽视对的验证．n S n a 1n =（2）在数列中，若最大，则若最小，则{}n a n a 11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，n a 11.n n n n a aa a -+≤⎧⎨≤⎩【题型目录】题型一：数列的基本概念题型二：观察法求数列的通项题型三：数列的周期性题型四：数列的单调性题型五：数列的最大（小）项【典型例题】题型一：数列的基本概念【例1】（2022·全国·高二课时练习）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，1,N n a n =∈cos 2π,N n b n n *=∈即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【例2】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．同一数列的任意两项均不可能相同B ．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列2-2-C ．数列2，4，6，8可表示为D ．数列中的每一项都与它的序号有关{}2,4,6,8【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，常数列中任意两项都是相等的，所以A 不正确；对于B 中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B 不正确；2-2-对于C 中，表示一个集合，不是数列，所以C 不正确；{}2,4,6,8对于D 中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D 正确.故选：D.【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（ ）A ．数列，，，可以表示为1357{}1,3,5,7B ．数列，，，与，，，是相同的数列101-2-2-1-01C ．数列的第项为1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭k 11k+D ．数列与是相同的{}n an a对于D ，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…，而表示数列{}n an a {}n a1a 2a 3a n a n a {}n a中的第n 项，故D 错误.故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）若数列的通项公式为{}n a45n a n =-，则关于此数列的图像叙述不正确的是（ ）A ．此数列不能用图像表示B ．此数列的图像仅在第一象限C ．此数列的图像为直线45y x =-D ．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点45y x =-*N x ∈【答案】D【分析】数列的通项公式为，因为，所以数列{}n a 45n a n =-*N x ∈{}n a就是直角坐标系的上的一个个点.【详解】数列的通项公式为，它的图像就是直线{}n a45n a n =-上满足的一系列孤立的点.45y x =-*N x ∈故选:D ．3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下面四个结论正确的是（ ）A ．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列B ．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数{}1,2,3,,n ⋅⋅⋅C ．数列的图像是一系列孤立的点D ．数列的项数是无限的【答案】BC【分析】根据数列的相关概念逐一判断即可.【详解】对于A ，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误；对于B ，由数列的定义可知正确；对于C ，由数列的，可知正确；n *∈N 对于D ，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误.故选:BC.题型二：观察法求数列的通项【例1】（2023陕西·中，第9个数是（ ）A ．B ．3C D ．10【例2】（2022·全国·高二课时练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（ ）．73143213983A ．不在此数列中B ．第13项C ．第14项D ．第15项【答案】D【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，707711472217313,33,33,33⨯⨯⨯⨯====7(1)3n n a -=由解得：，7(1)9833n -=15n =所以是这个数列的第15项.983故选：D【例3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）n a =A ．B ．()11019n-()11013n-C ．D ．111310n ⎛⎫- ⎪⎝⎭()310110n -故选：C ．【例4】（2022·广西百色·高二期末（文））若数列的前6项为：1，，，，，，则数列{}n a23-3547-59611-的通项为（ ）{}n a 2n n +21nn --(1)21nn n --1(1)21n n n +--【例5】（2022·全国·高二课时练习）（1）数列，，，，…的一个通项公式为=______；1234781516n a （2）数列，，，，…的一个通项公式为=______；13-1619-112n a （3）数列1，11，111，1111，…的一个通项公式为=______．n a【例6】（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．(1)，，，；234587169(2)，，，；12-2334-45(3)3，4，3，4；(4)6，66，666，6666．【题型专练】1．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（ ）A ．9802B ．9991C ．10001D ．10202【答案】C【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为，21n a n =+所以第100个数为，2100110001+=故选：C2．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列1，，，，…．则该数列的第10项为（ ）12-1418-1512-151211024-110243．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）A ．200B ．210C ．220D ．2424．（2022·河南驻马店·高二期中（理））如果正整数排列规律如下：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15）……则第十个括号内从左到右第3个数是（ ）A ．39B ．46C ．47D ．485．（2022·广东·佛山一中高二期中）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）15-1719-111n a =A ．B ．C ．D ．(1)32nn -+1(1)23n n --+(1)23nn -+1(1)32n n --+6．（2022·全国·高二课时练习多选题）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）A ．B ．()112nn a --=2sin 2n n a π=1cos 2n n a π-=sin n a n π=7．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习多选题）已知数列的前项为、、、、{}n a51-11-11-，则的通项公式可能为（ ）{}n aA ．B ．()1nn a =-()1,211,2n n k a k n k *-=-⎧=∈⎨=⎩N cos n a n π=sin2n n a π=8．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，的第14项是_________．1234-5678-⋅⋅⋅9．（2022·全国·高二单元测试）数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．a= 10．（2022·全国·高二课时练习）数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．n11．（2022·全国·高二课时练习，…，则是该数列的第______项．【答案】21.【分析】观察通项公式，解方程即可.12．（2022·江苏·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，，，；3459716(2)，，，；213⨯435⨯657⨯879⨯(3)11，101，1001，10001；2349-29881-13．（2022·全国·高二课时练习）如图，是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ．如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，…，，…的长度构成数列．1OA 2OA 3OA n OA {}n l（1）写出数列的前4项：______；{}n l （2）写出数列的一个递推公式：______．{}n l题型三：数列的周期性【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则{}n a12a =()*111n na n a +=-∈N 8a 等于（ ）A ．B ．C ．2D ．121-13【答案】A【例2】在数列中，若，，，则等于（ ）{}n a13a =26a =21n n n a a a ++=-2021a A ．6B ．－6C ．3D ．－3【答案】B 【解析】【分析】解：因为，，，所以，，13a =26a =21n n n a a a ++=-3213a a a =-=4323a a a =-=-，，，，5436a a a =-=-6543a a a =-=-7653a a a =-=8766a a a =-=所以，所以；6n n a a +=20216336556a a a ⨯+===-【例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列满足且，则（ ）{}n a11,1nn n a a a ++=-112a =2022a =2-13-12故选：D【例4】若表示不超过的最大整数（如，，），已知，[]x x []2.52=[]44=[]2.53-=-2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦11b a =，，则（ ）()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N 2019b =A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可．1b 2b 3b 4b 5b 6b {}n b 【详解】解：．，∴，，2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，112027[]a b ＝＝＝2200[287a ＝＝，同理可得：；；．2281028b -⨯＝＝332855a b ＝，＝4428577a b ＝，＝55285711a b ＝，＝662857144a b ＝，＝；，，……．∴．故是一个以周期为6的周期数列，72857142a ＝72b ＝6n n b b +＝{}n b则．20196336335b b b ⨯+＝＝＝故选：B ．【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．【例5】（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，，则等于（ ）．{}n a12a =()1112n n a n a -=-≥2022a12-121-【例6】数列满足若，则等于（ ）{}n a 112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩125a =2021a A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以12152a =<23454312,,,5555a a a a ====．2021125a a ==故选：B ．【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．【例7】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，将数列{}n a*N )n a n =∈{}n a 中的整数项按原来的顺序组成新数列，则的末位数字为（ ）．{}n b2022b A ．8B ．2C ．3D ．7故选：C.【题型专练】1.数列满足，，其前项积为，则等于（ ）{}n a12a =111nn n a a a ++=-n n T 10T A ．B ．C ．D ．1616-66-【答案】D 【分析】依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果．1,2,3,4n ={}n a41231n n n n a a a a +++=【详解】当时，；当时，；当时，；当时，1n =121131a a a +==--2n =2321112a a a +==--3n =3431113a a a +==-4n =；…，数列是以为周期的周期数列，454121a a a +==-∴{}n a 4，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭．()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-故选：D ．2.若数列满足，且，则的前100项和为（ ）{}n a 1222a a ==21n n n a a a ++=-{}n aA ．67B ．68C ．134D ．167【答案】B 【分析】由题意得，根据122,1a a ==21n n na a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解．【详解】因为，1222a a ==所以，122,1a a ==因为，21n n n a a a ++=-所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，所以从第2项起，3项一个循环，所以的前100项的和为，{}n a233(110)68+⨯++=故选：B ．3.（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列{}n a 112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a ={}n a 中的项的值不可能为（ ）152545654.已知数列满足，，若且记数列的前{}n a ()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩…*(,1)n N n ∈>1(2,3)a ∈{}n a n 项和为，若，则的值为（ ）n S 2019=m S 2019S A ．B ．3028C ．D ．30296057260552【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列的周期为4，再根据{}n a2019=m S 与前两项的范围可求得，再分组求和求解即可．52a =2019S 【详解】设，由，得，1(23)a a a =<<()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，…*(,1)n N n ∈>22(0,1)a a =-∈，．3235(2,3)a a a =-=-∈435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈故数列的周期为4，即可得．{}n a41234,6n n a a a a a a +=+++=，又，．12336632019m m S a a a =+++=⨯+= 1(23)a a a =<<22(0,1)a a =-∈，即．(2)3a a ∴+-=52a =，12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=．2019116059504622S ∴=⨯+=故选：C ．【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知数列满足，，则{}n a1a=)1*n a n N +=∈2022a =（ ）A ．0B ．CD6.（2022·河北·沧县中学高三）已知数列中，，，则{}n a()1112n n n a a a n --=⋅+≥12a =10a 等于（ ）A ．B ．C ．-1D ．212-12【答案】D【解析】解：∵，，12a =()1112n n n a a a n --=⋅+≥∴，()1112n n a n a -=-≥∴，，，，…，211122a =-=3121a =-=-()4112a =--=511122a =-=∴数列是以3为周期的周期数列，，∴，{}n a10331=⨯+101a a =故选：D ．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，，则（ ）{}n a12a =24a =122n n n a a a ++++=2022a =A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】D【分析】根据递推关系可得数列是以3为周期的数列，即可求出.{}n a【详解】因为，，，所以，12a =24a =122n n n a a a ++++=212n n n a a a ++=--则，，，…，32142a a a -==--43222a a a --==54342a a a --==所以数列是以3为周期的数列，{}n a则.2022674334a a a ⨯===-故选：D.题型四：数列的单调性【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，若{}n a ()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩{}n a 是严格增数列，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．B ．C ．D ．()3,6()1,2()1,3()2,3【答案】D【分析】结合数列单调性列式求解.【详解】由题意可得，解得()2301733a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩23a <<故选：D.【例2】（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列满足{}n a 9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数的取值范围是（ ）m A ．B ．C ．D ．[)12,+∞()1,12()1,9[)9,+∞【答案】B【解析】为单调递增数列，，即，解得：，{}n a10912109m m a a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩12109219219m mm m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎩112m <<即实数的取值范围为．m ()1,12故选：B ．【例3】（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{n a ()221,2,n a n n n λ=-= na }为递增数列，则的取值范围是（ ）λA ．[1，＋∞）B ．C ．（－∞，1]D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围1n n a a +<*N n ∀∈λ【详解】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，n a ()221,2,na n n n λ=-= n a 所以对于都成立，1n n a a +<*N n ∀∈所以对于都成立，222(1)2(1)n n n n λλ-<+-+*N n ∀∈即，2222122n n n n n λλλ-<++--【例4】（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的首项为，，且{}n a 11a =2a a =，若数列单调递增，则的取值范围为（ ）121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈{}n a a A ．B ．12a <<23a <<C ．D ．3522a <<1322a <<【答案】C【解析】当时，，因此有，2,n n N *≥∈121(1)n n a a n ++=+2123(2)n n a a n +++=+得：(2)(1)-22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由可得：，121n n a a n ++=+345,2a a a a =-=+因为数列单调递增，所以有，{}n a 1234a a a a <<<即，解得：，152a a a <<-<+3522a <<故选：C【例5】（2023·全国·高三专题练习）函数对任意，由()[]()0,1y f x x =∈()10,1a ∈()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）{}n aA ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题可得，进而可得函数的图像在直线的图像上方，即得.()n n f a a >()f xy x =【详解】由题可知，，()()*1n n a f a n +=∈N 1n naa +>∴，()n n f a a >故函数满足，即函数的图像在直线的图像上方，故排除BCD.()f x ()f x x >()f xy x =故选：A.【例6】（2022·全国·高二课时练习多选题）下列是递增数列的是（ ）A ．B ．C ．D ．{}13n +{}232n n +-{}2nn -(){}3n-【答案】AC【分析】根据递增数列的定义判断．【详解】A ．令，则，是递增数列，正确；13n a n =+()()11311330n n a a n n +-=++-+=>B ．令，则，，不合题意，错；232n n n a +=-15a =-27a =-C ．令，则，符合题意．正确；2n n a n =-11221210n n n n n a a ++-=--=->D ．令，则，，不合题意．错．()3nn a =-13a =-327a =-故选：AC ．【题型专练】1.（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）{}n a ()()*n a f n n N =∈{}n a a A ．B ．C ．D ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭()2,3[)2,3【答案】C【解析】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，{}n a ()6x f x a -=()7,+∞1a >函数在上为增函数，可得，可得，()()33f x a x =--[)1,730a ->3a <且有，即，即，解得或．78a a <()86733187a a a---=-<27180a a +->9a <-2a >综上所述，．23a <<故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}的通项为，则“”是“，n a 22n a n n λ=-0λ<*n ∀∈N 1n na a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，{}n a ()31519,423,4n n a n a n a a n -⎧-+≤=⎨+>⎩*n ∀∈N 1n na a +<恒成立，则的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．11,52⎛⎫⎪⎝⎭11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭11,53⎛⎤ ⎥⎝⎦1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知数列的通项公式为{}n a，若是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）271717,2,842,2n n an a n n a a n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n aA ．B ．C ．D ．()1.5,+∞()1.8,+∞()2,+∞()2.25,+∞5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一期中）已知，，若数列满足0a >1a ≠{}n b，对任意都有，则实数a 的取值范围是（ ）712,83,8n n a n n b a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩N n *∈1n n b b +>A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2022·广东·高二期末）设函数，数列满足，，且数列()()532,6,6x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩{}n a ()n a f n =*N n ∈是递增数列，则实数的取值范围是（ ）{}n a a A ．B ．C ．D ．()2,3()1,316,37⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2【答案】A【分析】根据函数的单调性，分段函数两段均为增函数，再结合数列的性质求解．67a a <【详解】由题意，解得．753016(3)2a a a a -->⎧⎪>⎨⎪--<⎩23a <<故选：A ．7．（2022·全国·高二期中）已知函数的定义域为R ，数列满足(31)5,1(),1x a x x f x a x -+≤⎧=⎨>⎩{}n b ，且是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）()()n b f n n N *=∈{}n bA ．B ．(1,2)1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．(1,)+∞(4,)+∞【答案】D【分析】由指数函数和一次函数的单调性，结合数列的单调性的定义，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．【详解】解：由函数的定义域为，数列满足，且(31)5,1(),1xa x x f x a x -+⎧=⎨>⎩…R {}nb *()()n b f n n N =∈{}n b 是递增数列，可得，即为，21315a a a >⎧⎨-+<⎩141a a a >⎧⎨><-⎩或解得，4a >则实数的取值范围是．a (4,)+∞故选：D ．8．（2022·北京八中高二期末）在数列中，已知，则“”是“{}n a ()2N n a n n n λ*=+∈12a a <{}n a 是单调递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数12a a <{}n aλ的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】已知，若，即，解得.()2N n a n n n λ*=+∈12a a <124λλ+<+3λ>-若数列是单调递增数列，对任意的，，即，{}n a N n *∈1n n a a +<()()2211n n n n λλ+<+++所以，对任意的恒成立，故，21n λ>--N n *∈3λ>-因此，“”是“是单调递增数列”的充要条件.12a a <{}n a故选：C.题型五：数列的最大（小）项【例1】（2022·全国·高二课时练习多选题）数列与函数是密不可分的，数列是自变量为正整数的特殊函数，则下列说法正确的是（ ）A ．，数列的最小项和最大项分别是，)*n a n N =∈{}n a 45a 44aB ．，数列的最小项和最大项分别是，)*n a n N =∈{}n a 44a 45aC ．，数列的最大项是)*n a n =∈N {}n a 8a)*n a n =∈N {}n a 7a【例2】已知数列的首项为1，且，则的最小值是（ ）{}n a ()()*111n n n a a n n ++=∈+N n a A ．B ．112C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据得出，然后通过累加法求出()111n n n a a n ++=+()11n n n a na n ++-=1122n n a n =+-，根据均值不等式及，即可求出结果．n N +∈【详解】由得()111n n n a a n ++=+()11n n n a na n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+ 则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+ 所以()111112222n n n na n-=+=+-≥当且仅当时等号成立，因为，故取或最小，又，所以的最小值为1n =n N +∈1a 2a 121a a ==n a 故选：B 【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及，求得最值．n N +∈【例3】（2022·全国·高一专题练习）已知数列满足，若数列{}n a()*612n a n n k =+∈-N {}n a 的最大项为，则实数k 的取值范围为______．3a所以，46k <<故答案为：.()4,6【例4】已知数列满足 ，，则的最小值为（ ）{}n a110a =12n n a a n +-=na nA ． -1B ．C ．D ．112163274【答案】C 【分析】先根据累加法得，进而得，再结合函数210n a n n =-+101n a n n n =+-()101f x x x =+-的单调性即可得当时，的最小值为．3n =na n 163【详解】解：由得，12n na a n +-=12n n a a n +-=所以，，， ，，()121n n a a n --=-()1222n n a a n ---=-()2323n n a a n ---=- 3222a a -=⨯2121a a -=⨯，累加上述式子得：，()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦ 所以，，210n a n n =-+()2n ≥检验已知时，满足．1n =210n a n n =-+故，，210n a n n =-+101n a n n n =+-由于函数在区间上单调递减，在上单调递增，()101f x x x =+-()+∞又因为，当时，，当时，，*x ∈N 3n =10163133n a n=+-=4n =10114142n a n =+-=所以的最小值为．na n 163故选：C ．【例5】（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知数列的通项公式为，则{}n a ()3202nn a n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭n a 取最大值时，___________.n =【答案】或.1718【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为则{}n an a n =na 的最小值为___________.【答案】11【题型专练】1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为{}n an a(1)讨论数列的单调性；{}n a(2)求数列的最大项和最小项.{}n a2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，{}n a()2100,1299n n a n n n -=∈≥-N (1)依次写出数列的前项；{}n a5(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．{}n a{}n a3．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，.{}n a ()()*9110nn n n a ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭∈ N (1)求证：数列先递增后递减；{}n a(2)求数列中的最大项.{}n a4.（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列满足，则数列{}n a32n a n n =+{}n a 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．34357512【答案】A 【解析】在上单调递减，在上单调递增，()32f x x x =+(0,()+∞当时，，∴()x n n N *=∈()()(){}min min 5,6f n f f =又，，，()32575555f =+=()32346663f =+=()min 343f n ∴=即的最小值为．32n a n n =+343故选：A ．5.（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的通项公式为，是数列{}n a211n aa n n n =-+5a {}n a 的最小项，则实数的取值范围是（ ）aA ．B ．[]40,25--[]40,0-C ．D ．[]25,25-[]25,0-【答案】D【解析】解：由题意可得，21125555a a n n n -+≥-+整理得，(5)(5)(6)5a n n n n ---≥当时，不等式化简为恒成立，所以，4n ≤5(6)a n n ≥-25a ≥-当时，不等式化简为恒成立，所以，6n ≥5(6)a n n ≤-0a ≤综上，，250a -≤≤所以实数的取值范围是，a []25,0-故选：D。
