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数 列 专题

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数 列 专 题1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n .2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .3．已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .4．已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝n 2，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和K n .数 列 专 题 答 案1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n 2. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ＝3n 2＋5n12(n ＋1)(n ＋2). 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3，S 52，S 4成等差数列， 可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，①由a 5＝3a 2＋2a 1－2，②得4a 1－d －2＝0，由①②，解得a 1＝1，d ＝2，因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)令c n ＝a n b n＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1， 则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12T n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝ 3－2n ＋32n ，∴T n ＝6－2n ＋32n －1(n ∈N *)． 3．(2018·厦门质检)已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k 4， ∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )，∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d )＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于∀n ∈N *均成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝4n 2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1， 得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋1＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋1＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋1＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＋n ＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝n 2，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(n ∈N *)，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，得a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，所以q ＝3.又由已知a 2n ＝3a 2n ，得a 1q 2n －1＝3a 21q 2n －2，所以q ＝3a 1， 所以a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)当n ＝1时，b 1a 1＝1，b 1＝1， 当n ≥2时，b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝n 2，① 所以b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n －1a n －1＝(n －1)2，② 由①－②得b n a n＝2n －1， 所以b n ＝(2n －1)3n －1，b 1＝1也符合，综上，b n ＝(2n －1)3n －1(n ∈N *)．所以T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)3n －2＋(2n －1)·3n －1，① 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)3n －1＋(2n －1)3n ，② 由①－②得－2T n ＝1×30＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝1×30＋2×3×3n －1－13－1－(2n －1)·3n ＝1＋3n －3－(2n －1)3n ＝(2－2n )3n －2，所以T n ＝1＋(n －1)3n (n ∈N *)．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和K n .解 (1)由T n ＝2S n －n 2，得a 1＝S 1＝T 1＝2S 1－1， 解得a 1＝S 1＝1，由S 1＋S 2＝2S 2－4，解得a 2＝4.当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1 ＝2S n －n 2－2S n －1＋(n －1)2， 即S n ＝2S n －1＋2n －1，①S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②由②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 2＋2＝2(a 1＋2)，∴数列{a n ＋2}是以a 1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝3·2n －1，即a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)．(2)∵b n ＝3n ·2n －1－2n ，∴K n ＝3(1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1)－2(1＋2＋…＋n ) ＝3(1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1)－n 2－n .记R n ＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，③2R n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，④由③－④，得－R n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，∴R n＝(n－1)·2n＋1.∴K n＝3(n－1)2n－n2－n＋3(n∈N*)．。

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数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题

数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题

数列专题1、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).2、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；3、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 5、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(1111n n =-+n(n+1)1111()1k n k =-+n(n+k);(2) 211111()1211k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1kk k k k k k k k-=<<=-++-- (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦; (5)()()111!!1!n n n n =-++(6)=<<=1(1)n n >+)一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

高二数学数列专题练习题(含答案)

高二数学数列专题练习题(含答案)

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

专题四 数列专题复习

专题四 数列专题复习

专题四、数列2、知n n a S 求,,的方法①当;111S a n ==时，②当;21--=≥n n n S S a n 时， 3、数列求和方法（1）公式法（等差、等比数列） （2）裂项相消（如通项)1(1+=n n a n ）（3）错位相减（如通项等比等差⨯=n a ） （4）分组求和（如通项等比等差±=n a ）注：求和时应先求通项n a ，再根据通项特点选择求和方法。

热点一：等差与等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用 例1.已知等差数列{}n a 中，3,131-==a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和35-=k S ，求k 的值.变式训练：已知等比数列{}n a 中，公比)10(<<q q ，21,3432==+a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n n n a b ⋅--=2)1(1时，求证：3161221<+⋅⋅⋅++-n b b b .热点二：等差与等比数列的性质的应用例2.已知等比数列{}n a 中，有71134a a a =，数列{}n b 是等比数列，且数列77a b =，则=+95b b变式训练：在等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=+⋅⋅⋅++721a a a 热点三：等差与等比数列的证明例3. 在数列{}n a 中，,121,411,111-=-==+n n n n a b a a a 求证数列{}n b 是等比数列.变式训练：在数列{}n a 中，321=a ，若函数），在点（)1(11)(3f x x f +=处的切线过点）（n n a a ,1+（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n a 是等比数列.（2）求数列{}n a 的通项公式和前n S n 项和公式.热点四：求数列的通项公式例4. 已知数列{}n a 满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式训练：已知数列{}n a 满足0)1(,111=-+=+n n na a n a ，求数列{}n a 的通项公式.例5. 已知数列{}n a 的首项为2，且)2(121≥+=-n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.变式训练：设数列{}n a 满足11111,011=---=+nn a a a 且，求数列{}n a 的通项公式.例6.已知数列{}n a 的前n n n S a a S n 31,34,11==+且项和公式，求数列{}n a 的通项公式.热点五：求数列的前项和n 例1.已知数列{}n a 满足n n n a a a 221,211-==+， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n S n 项和公式.例2.已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和7314,,,14a a a S 且=成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前21,<n T n 求证项和专题训练 一.选择题1. 在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则该数列的前11项和11S 为（ ） A. 58 B. 88 C. 143 D. 1762.在等差数列{}n a 中，,1091=+a a 则5a 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 103. 在等差数列{}n a 中，前n S n 项和为，若12,633==S a ，则公差d 为（ ）A. 1B. 35C. 2D.34.设n S 为等比数列{}n a 的前项和n ，2552,08S S a a 则=+的值为（ ） A. 11- B. 8- C. 5 D.115. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，===654987321,10,5a a a a a a a a a 则（ ）A. 25B. 7C. 6D. 246.已知等比数列{}n a 中，327641,4,2a a a a a 则且==的值为（ ） A.21 B. 1 C. 2 D. 41 二、填空题. 7. 设n S 为等差数列{}n a 的前项和n ，且===541,7,1S a a 则 8. 在等比数列{}n a 中，若公比4=q ，且前3项之和等于21，则=n a 三、解答题.9. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且623214,12a a a a a ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a a a b 22212log log log +⋅⋅⋅++=，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n T n 项和.10. 设等差数列{}n a 满足9,5103==a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n n S S n 及使得项和最大的序号的值n .11. 已知等差数列{}n a 满足n S n a a a 项和为前,26,7753=+=. （1）求n n S a 及；（2）令112-=n n a b ，求数列{}n b 的前n T n 项和.12. 已知等差数列{}n a 满足12,01062=+=a a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n T n 项和.。

高中数学专题-数列

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高中数学专题-数列一、基础知识1.等差数列的定义与性质定义：1n n a a d+-=（d 为常数)，()11n a a n d=+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S nad+-==+性质：{}n a 是等差数列(1)若m n p q+=+，则m n p q a a a a +=+；(2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；(3)若三个成等差数列，可设为a d a a d-+，，(4)若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=(5){}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数)nS 的最值可求二次函数2n S an bn=+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S ndS S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.(7)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-na S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇.2.等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠)，11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！)性质：{}n a 是等比数列(1)若m n p q+=+，则m n p qa a a a =··(2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为nq .注意：由nS 求na 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二、等差数列和等比数列对比等差数列等比数列定义a n－a n－1＝常数(n≥2)a na n－1＝常数(n≥2)通项公式a n＝a1＋(n－1)d a n＝a1q n－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n≥1)⇔{a n}为等差数列(3)通项公式法：a n＝pn＋q(pq为常数)⇔{a n}为等差数列(4)前n项和公式法：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}为等差数列(5){a n}为等比数列，a n>0⇔{log a a n}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝a n·a n＋2(n≥1)(a n≠0)⇔{a n}为等比数列(3)通项公式法：a n＝c·q n(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{a n}为等比数列(4){a n}为等差数列⇔{a an}为等比数列(a>0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q特别：若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(2)a n＝a m＋(n－m)d(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－S m)＝S m+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q特别地，若m＋n＝2p，则a m·a n＝a2p.(2)a n＝a m q n－m(3)若等比数列前n项和为S n则S m，S2m－S m，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－S m)2＝S m(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n 项和S n＝n a1＋a n2＝na1＋n n－12d(1)q≠1，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q(2)q＝1，S n＝na1三、考点方法归纳考点一求数列的通项公式1.由a n与S n的关系求通项公式：由S n与a n的递推关系求a n的常用思路有：①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n与前n项和S n的关系是a n S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合S n－S n－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合S n－S n－1，则用分段函数的形式表示。