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四川省绵阳市2017-2018学年高三下学期2月月考数学试卷Word版含解析

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四川省绵阳市2016-2017学年高三下学期2月月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（）A．0 B．1 C．e D．2．已知复数，则（）A．z的共轭复数为1+i B．z的实部为1C．|z|=2 D．z的虚部为﹣13．已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．已知点F是抛物线y2=4x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点到准线距离为（）A．B．2 C．3 D．45．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A． B．C．D．6．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题：今有女子擅织，日增等尺，七日织四十九尺，第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺，则第九日所织尺数为（）A．11 B．13 C．17 D．198．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减 B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增9．平面直角坐标系中，点（3，1）和（t，4）分别在顶点为原点始边为x轴的非负半轴的角α和α+45°的终边上，则实数t的值为（）A．B．2 C．3 D．810．记抛物线f（x）=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=x所围成的平面区域为A，若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率为（）A．B．C．D．11．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π12．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上．13．已知向量=（m，3），=（1，2），且∥，则•的值为．14．我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩ξ～N（100，a2）（a＞0，满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的60%，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有人．15．设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为：．16．a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a+c=4，sinA（1+cosB）=（2﹣cosA）sinB，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{an }的前n项和为Sn．且Sn=2n2+2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若点（bn ，an）在函数y=1og2x的图象上，求数列{bn}的前n项和为Tn．18．（12分）据四川省民政厅报告，2013年6月29日以来，四川省中东部出现强降雨天气过程，局地出现大暴雨．暴雨洪涝灾害已造成遂宁、德阳、绵阳等12市34县（市、区）244万人受灾，共造成直接经济损失85502.41万元．适逢暑假，小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图（如图）．（1）小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议．现请你解决下列两个问题：①若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这2户不在同一分组的概率；②若从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望．（2）洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的50户居民的捐款情况如表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：K 2=．19．（12分）如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AC=AB=2，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且EF ⊥BC ．现沿EF 将△BEF 折1起到△PEF 的位置，使PF ⊥CF ，点D 在PC 上，且PD=DC ．（1）求证：AD ∥平面PEF ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣F 的余弦值．20．（12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （1，）．过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A 、B 两点，l 2交椭圆于C 、D 两点，且l 1⊥l 2． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．21．（12分）设函数f （x ）=x 2+bx ﹣alnx ．（Ⅰ）若x=2是函数f （x ）的极值点，1和x 0是函数f （x ）的两个不同零点，且x 0∈（n ，n+1），n ∈N ，求n ．（Ⅱ）若对任意b ∈[﹣2，﹣1]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．[选修4-4极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=8，圆C 的参数方程是（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α（其中0＜α＜）与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：θ=α﹣与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求•的最大值．四川省绵阳市2016-2017学年高三下学期2月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．设集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y的值为（）A．0 B．1 C．e D．【考点】交集及其运算．【分析】根据给出的集合A与集合B，且A∩B={0}，说明A中的lnx=0，由此求出x=1，则集合B中只有y=0．【解答】解：由A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，说明元素0即在A当中，又在B当中，显然lnx=0，则x=1，所以y=0．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础的会考题型．2．已知复数，则（）A．z的共轭复数为1+i B．z的实部为1C．|z|=2 D．z的虚部为﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简复数为：a+bi的形式即可判断选项．【解答】解：复数==﹣1﹣i，可得，复数的虚部为：﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题．3．已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．【解答】解：由q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，∴1+k2=4，∴k=±，显然p⇒q；q得不出p故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，是基础题．4．已知点F是抛物线y2=4x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点到准线距离为（）A．B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3．故选：C．【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．6．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的功能是求S=1•log 34•log 45•log 56•log 67•log 78•log 89判断终止程序运行的k 值，利用对数换底公式求得S 值．【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1•log 34，k=4； 第二次运行S=1•log 34•log 45，k=5； 第三次运行S=1•log 34•log 45•log 56，k=6； … 直到k=9时，程序运行终止，此时S=1•log 34•log 45•log 56•log 67•log 78•log 89=，故选B ．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断程序框图的运行功能是关键．7．中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题：今有女子擅织，日增等尺，七日织四十九尺，第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．11B ．13C ．17D ．19 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由题意知该女每天所织尺数构成等差数列，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第九日所织尺数． 【解答】解：由题意知该女每天所织尺数构成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 7==7a 4=49，∴a 4=7，∵a 2+a 5+a 8=3a 5=27，∴a 5=9， ∴公差d=a 5﹣a 4=9﹣7=2，∴第九日所织尺数为a 9=a 5+4d=9+4×2=17． 故选：C ．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减 B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．9．平面直角坐标系中，点（3，1）和（t，4）分别在顶点为原点始边为x轴的非负半轴的角α和α+45°的终边上，则实数t的值为（）A．B．2 C．3 D．8【考点】终边相同的角．【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出tanα和tan（α+45°），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值【解答】解：由题意得tanα=，tan（α+45°）=，而tan（α+45°）===2=，解得t=2，故选：B．【点评】此题考查学生掌握任意角的三角函数的定义，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道中档题．10．记抛物线f（x）=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=x所围成的平面区域为A，若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出函数与x轴和y=x的交点坐标，根据积分的几何意义求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由f（x）=x﹣x2=0得x=0或x=1，即B（1，0）由得x﹣x2=x，得x=x2，得x=0或x=，即C（，0），由积分的定义得区域A的面积S=∫（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=，区域M的面积S=∫（x﹣x2﹣x）dx=（x2﹣x3）|=[（）2﹣（）3]|=﹣=，则若向区域M内随机抛掷一点P，则点P落在区域A的概率P==，故选：A．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分求出对应区域的面积是解决本题的关键．考查学生的转化和计算能力．11．在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S﹣AC﹣B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径．12．定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t 使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0【考点】函数恒成立问题．【分析】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．【解答】解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f（0）=0，若f（0）、f任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f均不为0，则f（0）、f异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．【点评】本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上．13．已知向量=（m，3），=（1，2），且∥，则•的值为7.5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由向量平行的坐标关系得到m，然后利用平面向量的数量积公式求解．【解答】解：由向量=（m，3），=（1，2），且∥，得到2m=3，得到m=1.5，所以•=m+6=7.5；故答案为：7.5【点评】本题考查了平面向量平行和数量积公式的公式的运用；属于基础题．14．我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩ξ～N（100，a2）（a＞0，满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的60%，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有200 人．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】先根据正态分布曲线的图象特征，关注其对称性画出函数的图象，观察图象在80分到120分之间的人数概率，即可得成绩不低于120分的学生人数概率，最后即可求得成绩不低于120分的学生数．【解答】解：∵成绩ξ～N（100，a2），∴其正态曲线关于直线x=100对称，又∵成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的60%，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的=0.2，∴此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：0.2×1000=200．故答案为：200．【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．15．设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为：．【考点】简单线性规划；基本不等式．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而=．当且仅当时取等号，则的最小值为．故答案为．【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．16．a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a+c=4，sinA（1+cosB）=（2﹣cosA）sinB，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理，余弦定理化简已知整理可得：2b=a+c，利用基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵sinA（1+cosB）=（2﹣cosA）sinB，∴由正弦定理可得：a（1+cosB）=b（2﹣cosA），由余弦定理可得：a（1+）=b（2﹣），整理可得：2b=a+c，∵a+c=4，可得：b=2，∴16=（a+c）2≥4ac，解得：ac≤4，（当且仅当a=c=b=2等号成立，此时B=），∴S△ABC=≤×4×=．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017春•东坡区校级月考）已知数列{an }的前n项和为Sn．且Sn=2n2+2n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若点（bn ，an）在函数y=1og2x的图象上，求数列{bn}的前n项和为Tn．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据数列{an }的前n项和Sn，表示出数列{an}的前n﹣1项和Sn﹣1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，故此数列为等差数列，求出的an即为通项公式．（2）求出数列{bn }的通项，利用等比数列的求和公式，即可求数列{bn}的前n项和为Tn．【解答】解：（1）当n≥2时，有an =Sn﹣Sn﹣1=2n2+2n﹣2（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=4n，而a1=S1=4适合上式，所以：an=4n．（2）∵点（bn ，an）在函数y=1og2x的图象上，∴4n=1og2bn ，∴bn=24n，∴数列{bn }的前n项和为Tn==．【点评】本题考查数列递推式，考查了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．18．（12分）（2017春•东坡区校级月考）据四川省民政厅报告，2013年6月29日以来，四川省中东部出现强降雨天气过程，局地出现大暴雨．暴雨洪涝灾害已造成遂宁、德阳、绵阳等12市34县（市、区）244万人受灾，共造成直接经济损失85502.41万元．适逢暑假，小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图（如图）．（1）小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议．现请你解决下列两个问题：①若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这2户不在同一分组的概率；②若从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望．（2）洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的50户居民的捐款情况如表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：K2=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）①由频率直方图得到，损失不少于6000元的以及损失为6000～8000元的居民数，再由古典概型结合排列组合便可得出两户在同一分组的概率；②由频率分布直方图，得损失超过4000元的居民有15户，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（2）由频率直方图计算数据补全表格后，代入临界值公式算出K2，与表格数据相对比，便可得到结论．【解答】解：（1）①由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6户，损失为6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，这两户在同一分组的概率为P==，②由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有：（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，损失超过8000元的居民共有：0.00003×2000×50=3户，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：E ξ=0×+1×+2×=；（2）如表：K 2=≈4.046＞3.841所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否项500元有关．【点评】本题考查独立性检验及分布直方图的应用，考查古典概型，考查分析问题解决问题得能力，属于中档题．19．（12分）（2015•衡水三模）如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AC=AB=2，E 为AB的中点，点F 在BC 上，且EF ⊥BC ．现沿EF 将△BEF 折1起到△PEF 的位置，使PF ⊥CF ，点D 在PC 上，且PD=DC ． （1）求证：AD ∥平面PEF ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣F 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）建立以F 为原点，分别以FC 、FE 、FP 所在直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，求出平面PEF 的一个法向量，由此利用向量法能证明AD ∥平面PEF ．（2）求出平面APC 的一个法向量和平面PCF 的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A ﹣PC ﹣F 的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵EF ⊥BC ，PF ⊥CF ，∴建立以F 为原点，分别以FC 、FE 、FP 所在直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，如右图所示，则F （0，0，0），C （3，0，0），A （1，2，0），D （1，0，），由题意知=（3，0，0）为平面PEF 的一个法向量，又∵=（0，﹣2，），∴=0，又AD ⊄平面PEF ，∴AD ∥平面PEF ．（2）解：由（1）知P （0，0，1），E （0，1，0），∴=（x 1，y 1，z 1），，令x 1=1，解得=（1，1，3）为平面APC 的一个法向量，又∵=（0，1，0）为平面PCF 的一个法向量，∴cos ＜＞==，∴二面角A ﹣PC ﹣F 的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•兰州模拟）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A 、B 两点，l 2交椭圆于C 、D 两点，且l 1⊥l 2． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，得到椭圆方程为，将点P （1，）代入椭圆方程，能求出椭圆方程为．（Ⅱ）当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，四边形的面积为S=6；若与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为﹣，直线l 2的方程为y=k （x+1），设A （x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，得|AB|=，用﹣代替k ，得|CD|=，由此能求出四边形ABCD 面积的S ∈[，6]．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （1，），∴，即a=2c ，∴a 2=4c 2，b 2=3c 2，…（2分）∴椭圆方程为，将点P （1，）代入椭圆方程，得：，解得c 2=1，…（4分）∴所求椭圆方程为．…（Ⅱ）当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0， 此时四边形的面积为S=6，…（7分）若与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为﹣．∴直线l 2的方程为y=k （x+1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，消去y 整理得，（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，（1）∴，，…（8分）∴|x 1﹣x 2|=，∴|AB|==，（2）…（9分）注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用﹣代替（2）中的k ，得|CD|=，…（10分）∴S=|AB|•|CD|=，令k 2=t ∈（0，+∞），∴S===6﹣≥6﹣=，∴S ∈[），综上可知，四边形ABCD面积的S∈[，6]．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）（2016•太原二模）设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x）＜h（1）=0，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…（2分）∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…（4分）故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x∈（3，4），故n=3．…（6分）（Ⅱ）令g （b ）=xb+x 2﹣alnx ，b ∈[﹣2，﹣1]，则g （b ）为关于b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意b ∈[﹣2，﹣1]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则在x ∈（1，e ）上，有解，令h （x ）=x 2﹣x ﹣alnx ，只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于，令φ（x ）=2x 2﹣x ﹣a ，x ∈（1，e ），φ'（x ）=4x ﹣1＞0，∴φ（x ）在（1，e ）上单调递增，φ（x ）＞φ（1）=1﹣a ，…（9分）①当1﹣a ≥0，即a ≤1时，φ（x ）＞0，即h′（x ）＞0，h （x ）在（1，e ）上单调递增，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意．②当1﹣a ＜0，即a ＞1时，φ（1）=1﹣a ＜0，φ（e ）=2e 2﹣e ﹣a若a ≥2e 2﹣e ＞1，则φ（e ）＜0，所以在（1，e ）上φ（x ）＜0恒成立，即h′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜h （1）=0，符合题意．若2e 2﹣e ＞a ＞1，则φ（e ）＞0，∴在（1，e ）上一定存在实数m ，使得φ（m ）=0， ∴在（1，m ）上φ（x ）＜0恒成立，即h′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜h （1）=0，符合题意．综上所述，当a ＞1时，对任意b ∈[﹣2，﹣1]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立．…（12分）【点评】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．[选修4-4极坐标与参数方程]22．（10分）（2017春•东坡区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=8，圆C 的参数方程是（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中0＜α＜）与圆C交于O，P两点，与直线l交于点M，射线ON：θ=α﹣与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求•的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的方程是y=8，利用y=ρsinθ即可化为极坐标方程．圆C的参数方程是（φ为参数），化为普通方程：x2+y2﹣4x=0，即可化为极坐标方程．（2）•=•||=≤，即可得出．【解答】解：（1）直线l的方程是y=8，化为极坐标方程为：ρsinθ=8．圆C的参数方程是（φ为参数），化为普通方程：（x﹣2）2+y2=4，展开为：x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（2）•=•||=≤（2α∈（0，π））．∴•的最大值为．【点评】本题考查了极坐标系下的直线与曲线相交弦长问题、参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

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四川省绵阳市中学英才学校2018年高三数学理月考试卷含解析

四川省绵阳市中学英才学校2018年高三数学理月考试卷含解析

四川省绵阳市中学英才学校2018年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集，设集合，集合，则A. B. C. D.参考答案：D略2. 在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（）A．1 B．2 C. 4 D．8参考答案：C3. 已知P（，1），Q（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（）A. B. C. － D.参考答案：B【分析】由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。

【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因为，所以，故选B。

【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。

4. 如图，数轴上点A对应的数值为，点B对应的数值为，点M对应的数值为，现将线段AB弯折成一个边长为2的正方形，使A、B两点重合于点P（P为该边的中点），设线段PM的长度为,则建立了一个关于的映射关系，有下列论断：（1）（2）为偶函数（3）有3个极值点（4）在上为单调函数。

其中正确的个数为 ( )个 A . 1 B. 2 C.3 D. 4参考答案：C略5. 已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为A.4B.8C.D.参考答案：A略6. 若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形参考答案：B略7. 右图是正态分布N～(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为①②③④A．1 B. 2 C. 3 D . 4参考答案：C8. 如图，函数的图象为折线，设，则函数的图象为（）参考答案：A9. 已知z是纯虚数，复数是实数，则z=（）A. －2iB. 2iC.D.参考答案：D【分析】根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵是实数，∴设a，a是实数，则z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai，∴z＝2a﹣1﹣ai，∵z为纯虚数，∴2a﹣1＝0且﹣a≠0，即a，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．10. 右图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半网），则该几何体的表面积A．20+3πB．24+3πC．20+4πD．24+4π参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 记曲线与直线，和轴围成的区别为，现向平面区域内随机投一点，则该点落在内的概率为.参考答案：12. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是．参考答案：[-2，0]考点：程序框图与函数的定义域.13. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____。

四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案

四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案

绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。

四川省绵阳市三台中学2017-2018学年高考数学二诊试卷(文科) Word版含解析

四川省绵阳市三台中学2017-2018学年高考数学二诊试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年四川省绵阳市三台中学高考数学二诊试卷（文科）（2）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．1．设i为虚数单位，则复数z=的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列有关的说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆为真3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[40，50）元的同学有39人，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．3905．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则的最小值为（）A．B．5 C．25 D．246．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（）A．B．1 C．2 D．37．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．39．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为（）A．2p B．C．D．3p10．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0，若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b 是从区间[0，2]中任取的一个数，则上述方程有实根的概率______．12．函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是______．13．椭圆上的点到直线的最大距离是______．14．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为______．15．数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则a6=______；使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值是______．三、解答题：16-19题每题12分，20题13分，21题14分．16．某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．17．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．18．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．19．圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．21．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016年四川省绵阳市三台中学高考数学二诊试卷（文科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．1．设i为虚数单位，则复数z=的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简复数为a+bi的形式，判断共轭复数在复平面内所对应的点所在象限即可．【解答】解：复数==﹣1+2i．复数的共轭复数﹣1﹣2i在复平面内所对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．2．下列有关的说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆为真【考点】的真假判断与应用．【分析】对于A根据否的意义即可得出；对于B按照垂直的条件判断；对于C按照含有一个量词的的否定形式判断；对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．【解答】解：对于A，根据否的意义可得：“若x2=1，则x=1”的否为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原不正确，违背否的形式；对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x ﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆为真是正确的．故答案选：D．3．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[40，50）元的同学有39人，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．390【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，算出[10，40）的比例，得出[40，50）的比例从而得出总人数．【解答】解：由频率分布直方图可知，在[10，20），[20，30），[30，40）的比例为（0.01+0.023+0.037）×10=0.7所以[40，50）所占的比例为0.3．所以n=故选：C5．设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则的最小值为（）A．B．5 C．25 D．24【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=﹣x+，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=﹣x+的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣x+，，由图象可知当y=﹣x+经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（4，6）．此时z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即=1，则的最小值为（）（）=≥+2×=5，当且仅当，即a=b=1时，取等号，故的最小值为5；故选：B．6．设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（）A．B．1 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1，∴==2×1=2．∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直，∴==0，∴22﹣2λ=0，解得λ=2．故选：C．7．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设知F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），由△ABF2是锐角三角形，知tan∠AF2F1＜1，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（﹣c，），B（﹣c，﹣），∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2﹣c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，解得e＞，或e＜﹣，（舍），∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是（）．故选B．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，）∴解得：，则渐近线方程为y=x，即有点F到双曲线的渐进线的距离为d==，故选：A．9．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到y轴距离的最小值为（）A．2p B．C．D．3p【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】l：x=﹣，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d﹣即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=，由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=≥=2p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为=．故选：C．10．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．设有关x的一元二次方程9x2+6ax﹣b2+4=0，若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，则上述方程有实根的概率1﹣．【考点】几何概型．【分析】由题意可得整体区域为长方形，满足题意的为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}，求面积由概率公式可得．【解答】解：由方程9x2+6ax﹣b2+4=0有实根得△=36a2﹣36（﹣b2+4）≥0，∴a2+b2≥4，a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，∴构成“9x2+6ax﹣b2+4=0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a2+b2≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）．∴此时所求概率为．故答案为：1﹣12．函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】若函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f′（x）=1﹣≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立，构造函数将问题转化为最值问题，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，∴f′（x）=1﹣≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立，即≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立，即≤1，解得：a∈（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）13．椭圆上的点到直线的最大距离是．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】利用椭圆的参数方程来解，根据椭圆的标准方程，得到椭圆的参数方程，所以可设椭圆上的任意一点坐标为（4cosα，2sinα），代入点到直线的距离公式，化简为一角一函数．再根据正弦函数的有界性求出最大值即可．【解答】解：∵椭圆方程为，∴可设椭圆上的任意一点P坐标为（4cosα，2sinα）∴P到直线的距离d==∵∴∴d的最大值为14．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣3x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设t=lnx，则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，则g′（x）=f′（x）﹣3，∵f（x）的导函数f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，∵f（1）=4，∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，即f（t）＞3t+1的解为t＜1，由lnx＜1，解得0＜x＜e，即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），故答案为：（0，e）．15．数列{a n}中，a1=，a n+1=（其中n∈N*），则a6=3；使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值是238．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】利用a1=，a n+1=求出数列的前几项，判定出数列{a n}是以4为周期的数列，求出a6的值；求出一个周期的项的和，得出使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值．【解答】解：∵a1=，a n+1=（其中n∈N*），∴，，，，∴数列{a n}是以4为周期的数列，∴a6=a2=3；∵，∴60个周期的和为70，∵每个周期的后两个数是；∴加到第60个周期的前2个数时和超过72，∴使得a1+a2+a3+…+a n≥72成立的n的最小值是59×4+2=238．故答案为：3；238．三、解答题：16-19题每题12分，20题13分，21题14分．16．某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）由已知中A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，可得x+y=17且（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，结合x＜y，可求出表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，共有=10种不同的情况，记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，进而可求得结果．【解答】解：（1）∵=（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y），∵=，∴x+y=17…①∵=（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，= [4+（x﹣8）2+0.25+0.25+（y﹣8）2]，∵=，∴（x﹣8）2+（y﹣8）2=1…②由①②结合x＜y得：x=8，y=9．（2）记被检测的5件B种元件为：A，B，C，D，E，其中A，B，C，D为正品，从中选取的两件为（x，y）则共有=10种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），记“抽取2件都为正品”为事件A，则事件A共包含=6种不同的情况，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），故P（A）==，即2件都为正品的概率为．17．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=，则2sinxcosx=t2﹣1，且﹣1＜t＜．则，﹣1＜t＜．∴时，，此时．由于＜x＜π，故．所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）∵与的夹角为，∴．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x﹣α＜π，∴．∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．∴sin（x+α）+2sin2α=0，．∴，∴．18．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出c n=是表达式，利用错位相减法求出数列{c n}的前n项的和，即可得到结论．【解答】解：（1）∵点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上，∴，①当n≥2时，，②①﹣②得：，即，∵数列{a n}的各项均为正数，=4（n≥2），∴a n﹣a n﹣1又a1=2，∴a n=4n﹣2；∵b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n，∴，∴；（2）∵，∴，4T n=4+3•42+5•43+…+（2n﹣3）•4n﹣1+（2n﹣1）•4n，两式相减得，∴．19．圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为1，则可知C（1，﹣2），从而可得圆C的方程（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，联立直线方程与圆的方程，由△=（2+2b）2﹣4×2（b2+4b﹣4）＞0 可得＜b＜，由方程的根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0，可求b，从而可求直线方程【解答】解：（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2∴C（1，﹣2）∴圆C的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9﹣﹣（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0 ①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得2x2+（2b+2）x+（b2+4b﹣4）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使方程有两个相异实根，则△=（2+2b）2﹣4×2（b2+4b﹣4）＞0 即＜b＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即有b2+3b﹣4=0，b=﹣4，b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故存在直线L满足条件，且方程为y=x﹣4或y=x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a （2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…21．如图，已知抛物线C：y2=4x，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．（Ⅰ）若线段AB的长为5，求直线l的方程；（Ⅱ）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则联立方程化简可得y2﹣4my﹣4=0，从而可得，从而求直线l的方程；（Ⅱ）设M（a2，2a），则k MA==，k MB=，k MD=，则=，从而可得（a2﹣1）（m+）=0，从而求出点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（1，0）∵直线l的斜率不为0，所以设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由得y2﹣4my﹣4=0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4，，，∴，∴．∴直线l的斜率k2=4，∵k＞0，∴k=2，∴直线l的方程为2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设M（a2，2a），k MA==，同理，k MB=，k MD=，∵直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列，∴2=+恒成立；∴=，又∵y1+y2=4m，y1y2=﹣4，∴（a2﹣1）（m+）=0，∴a=±1，∴存在点M（1，2）或M（1，﹣2），使得对任意直线l，直线MA，MD，MB的斜率始终成等差数列．2016年9月26日。

四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案

四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案

绵阳市高中2017级第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .则下 列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)(5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD 内的概率为则BP BC .=A. 2B. 4C. 8 D . 168. 已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个A. 6B. 4C. 3D. 2第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y 2=4x 相交于A,B 两点，O 、F 分别为C 的顶点和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分）如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD 丄平面PAB(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.y=f(x)19. (本小题满分12分）已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值;n ∈N *恒成立的最大正整数m 的值；且与x 轴垂直，如图.(I)求椭圆C 的方程；为坐标原点)，且满足MQ PM t MQ PM .||||=+，求实数t 的取值范围.21. (本小题满分14分）绵阳市高2017级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 131415．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0∴ X的分布列为：∴X的数学期望0．∴ X………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，∵△PAB为等边三角形，∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ PO⊥AD．∵四边形ABCD是矩形，∴ AD⊥AB．②∵ AB 与PO交于点O，由①②得：AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB的中点O 为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y 轴，OP所在直线为z AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(03)，D(-1，3，0)．∴DF=(2，-2，0)，AP=(1，0，AD=(0，3，0)，可求得平面ADP的法向量0，-1)，若直线DF与平面sinθ=|cos<n，DF>|=|||||DF nDF n⋅=⋅θ为锐角，∴…………………………12分18ω=2．∴∴即函数y=g(x)………………………………6分（Ⅱ）∵ 2sin∴∵ cos(A+B)=-cosC，，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，解得1（舍），∴于是由余弦定理得：∴ a2+b2=12-ab≥2ab，∴ ab≤4(当且仅当)．∴ S△ABC∴△ABC………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分∴∴n∈N*恒成立，∴化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分又∵y<1y>1．∵n∈N*，都有b n≤b4成立，∴，解得-6<a1<-4，即a1(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：C的短半轴长为半径的圆与直线相切，，解得b=1．再由a2=b2+c2∴分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ⋅=-4∉[，不成立；∵直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，直线的方程可设为：x=my+1，2+2my-3=0∴而OP OQ ⋅5≤4m +111(1)1PM x y m y =-+=+⋅；(MQ x =||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅∴11||||MQPM m +=∴ m 2≤1…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵ ()f x ' ∴ 当2x-1>0，即 f (x)∴ 当2x-1<0，即时，()f x '<0，于是 (x) ∵ ，∴ m+2>2．①mf (x)在m+2)上单增，∴f (x)min ②当 f (x)在m+2]上单调递增，∴min ∴ 综上所述：当 f (x)min =2e ；当 f (x)…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，()F x '，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x>1时，()F x '≥0，即F(x)在(1)+∞，上单增，∴ F(1)=e 2-2t≥0，即t②当t>e 2时，()F x '=0得．∴ F(x)在(1，+∞)上单增，∴ F(x)min ．∴不成立．∴ 综上所述：t 分x>0e ， ∴ ∴∴。