五年级奥数——分数的最大公约数与最小公倍数

第1讲最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。

题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。

题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　2.公倍数和最小公倍数　③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。

一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。

不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。

又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。

第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ），如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。

3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即（a 、b ）×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数）（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3）n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）设两数为a 、b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ，b ）的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q......r1(0≤r1）。

若r1=0，则（a ，b)=b ；若r1≠0，则再用r1除b ，得b ÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零除数即为（a ，b ）。

小学奥数精讲：最大公约数与最小公倍数一、知识总结：1.如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

4.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

如求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

二、小试牛刀例1、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？例3、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例4、在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？例5 、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

五年级数学-最大公约数和最小公倍数什么是最大公约数和最小公倍数？最大公约数是指两个或多个数中能够同时整除它们的最大正整数。

最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被它们整除的最小正整数。

最大公约数的求法求最大公约数可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将两个或多个数分别进行因数分解，然后找出它们都含有的因数的最大次数，将这些最大次数相乘即为最大公约数。

例如，求69和92的最大公约数：- 69的因数分解为：3 × 23- 92的因数分解为：2 × 2 × 23它们共同的因数为23，所以最大公约数为23。

2. 短除法：也称作辗转相除法。

用较大的数除以较小的数，然后用余数去除较小的数，一直重复这个过程，直到余数为0时，除数就是最大公约数。

例如，求48和36的最大公约数：- 48 ÷ 36 = 1 (12)- 36 ÷ 12 = 3 0余数为0，所以最大公约数为12。

最小公倍数的求法求最小公倍数可以使用以下几种方法：1. 交叉相乘法：先将两个或多个数按照从小到大的顺序排列，然后逐个相乘，直到得到一个数在其中所有数的倍数。

例如，求5和8的最小公倍数：- 5的倍数为：5, 10, 15, 20...- 8的倍数为：8, 16, 24, 32, 40...其中20是它们的最小公倍数。

2. 最大公约数和最小公倍数的关系：最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。

例如，求14和21的最小公倍数：- 其最大公约数为7- 14 × 21 ÷ 7 = 42所以最小公倍数为42。

总结最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念。

通过合适的方法，我们可以求出两个或多个数的最大公约数和最小公倍数。

这些概念在解决数学问题和简化分数等运算中非常有用。

掌握小学数学中的最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数是小学数学中的重要知识点，对于学生在学习数学的过程中起着至关重要的作用。

本文将针对小学生掌握最大公约数与最小公倍数的方法和应用进行论述。

一、什么是最大公约数与最小公倍数最大公约数，简称最大公约数，是指两个或多个数字中能够同时整除的最大正整数。

最小公倍数，简称最小公倍数，是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。

二、最大公约数的求解方法1. 因数分解法我们可以将两个数进行因数分解，找出公共的因子，然后将这些公共的因子相乘即可得到最大公约数。

例如，对于数字24和36，我们可以将它们分解为2^3 * 3 和 2^2 * 3^2，其中共同的因子是2和3，所以最大公约数为2 * 3 = 6。

2. 辗转相除法辗转相除法是一种简单且常用的求解最大公约数的方法。

具体操作步骤如下：- 用较大的数除以较小的数，将得到的余数作为新的被除数，原来的被除数作为新的除数，重复此步骤直到余数为0。

- 当余数为0时，除数就是最大公约数。

例如，对于数字24和36，我们可以进行如下计算：36 ÷ 24 = 1 (12)24 ÷ 12 = 2 0因此，最大公约数为12。

三、最小公倍数的求解方法1. 公式法最小公倍数可以通过最大公约数求得。

根据最大公约数与最小公倍数的关系，可以得到最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。

例如，对于数字24和36，最大公约数为12，那么最小公倍数等于24* 36 / 12 = 72。

2. 直接列举法当两个数较小或者列举较为简单时，可以直接列举它们的倍数，并找出它们的共同倍数中最小的一个。

例如，对于数字6和8，我们可以列举它们的倍数：6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36, ...8的倍数：8, 16, 24, 32, 40, 48, ...可以看到，它们的共同倍数中最小的是24，因此最小公倍数为24。

四、最大公约数与最小公倍数的应用最大公约数与最小公倍数在小学数学中有诸多应用，下面分别进行介绍。

远辉教育奥数班第二讲——最大公约数和最小公倍数主讲人：杨老师学生：五年级电话：62379828一、基本概念和知识：1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍数有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

二、典例剖析：例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？例6 一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？对于例6，可做如下图解：例7 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

精品资料 欢迎下载 五年级第八讲 最大公因数数和最小公倍数我与知识手拉手★知识提要★求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法可以用短除法、分解质因数法或辗转相除法。

辗转相除法还可以判断两个数是否成互质关系。

★ 知识一、分数有关知识是公因数和公倍数的应用1、（ ）的分数，叫做最简分数，把一个分数约分应用分子、分母的（ ）分子、分母。

2、一个最简分数，它的分子和分母的积是24，这个分数是（ ）或（ ）3、分母是8的所有最简真分数的和是（ ）．4、一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍，是 ，原分数是（ ），它的分数单位是（ ）．5、5738 的分子、分母的最大公因数是（ ），约成最简分数是（ ）． 6、通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（ ）．★ 知识点二、学习分解质因数及利用分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数例1 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，已知甲数是36，求乙数。

例2 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是252，求甲、乙两个数分别是多少？（甲比乙小）例3 已知A 、B 两个自然数的和为50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数分别是多少？例4 甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。

如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？例5 做衬衣需要三道工序，第一道工序每人每小时可完成15件，第二道工序，每人每小时可完成9件，第三道工序每人每小时可以完成12件，现在要均衡生产，E三道工序至少各配多少名工人？1、两个自然数的最大公因数是7，最小公倍是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。

2、A 、B 两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数商是12。

A 、B 两数差为18，求A 、B 两个数各是多少？3、用一个数分别去除31、61、76，所得的商都余1，这个数最大是多少？4、一个数被8除余6，被7除余5，被6除余4，这个数最小是多少？5、一个数减去1后是2的倍数，减去2后是3的倍数，减去3后是4的倍数，减去4后是5的倍数，减去5后是6的倍数，减去6后是7的倍数。

最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程： 一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。

自然数n a a a ,,,21 的最大公约数通常用符号（n a a a ,,,21 ）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。

（8，12）=4，（6，9，15）=3。

2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 自然数na a a ,,,21 的最小公倍数通常用符号[na a a ,,,21 ]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

[8，12]=24，[6，9，15]=90。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别： 求n 个数的最大公约数：（1） 必须每次都用n 个数的公约数去除；（2） 一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）； （3） n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。