人教版五年级奥数练习：最大公约数 (3)

第25讲最大公约数一、专题简析：1、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

2、求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

二、精讲精练：例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习一1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？练习二1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练习三1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？例题4一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？1、一条公路由A经B到C。

第25讲最大公约数一、专题简析：1、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

2、求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

二、精讲精练：例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习一1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？练习二1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练习三1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？例题4一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？1、一条公路由A经B到C。

第25周最大公约数专题简析：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

练习一1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。

要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。

现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。

（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米练习二1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？分析要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。

五年级奥数最大公约数和最小公倍数练习题文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）五年级下最大公约数和最小公倍数一、知识导航（熟记！！！）1．几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

2．几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

3．求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。

4．两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

二、经典例题例1．甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。

把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？同步演练1：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余。

每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例2．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。

兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？同步演练2：三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次。

上次三人是星期二在图书馆相逢的，至少要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？例3．两个数的最大公约数是14，最小公倍数是84。

已知其中一个数是28，则另一个数是多少？同步演练3：甲数是28，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。

例4．三个连续自然数的最小公倍数是360，求这三个数。

同步演练4：三个连续自然数的最小公倍数是1092，求这三个数。

例5．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？同步演练5：大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花坛的周长。

亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

人教版小学五年级数学最大公约数和最小公倍数练习题一.填空题。

1.a和b都是自然数，如果a b10，a和b的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

2.甲235，乙237，甲和乙的最大公约数是（）×（）＝（），甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）。

3.所有自然数的公约数为（）。

4.如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

5.在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。

6.用一个数去除15和30，凑巧都能整除，这个数最大是（）。

*7.两个持续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

*8.两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

**9.某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（）。

10.根据下面的要求写出互质的两个数。

（1）两个质数（）和（）。

（2）持续两个自然数（）和（）。

（3）1和任何自然数（）和（）。

（4）两个合数（）和（）。

（5）奇数和奇数（）和（）。

（6）奇数和偶数（）和（）。

二.判断题。

1.互质的两个数必定都是质数。

（）2.两个例外的奇数一定是互质数。

（）3.最小的质数是所有偶数的最大公约数。

（）4.有公约数1的两个数，一定是互质数。

（）5. a是质数，b也是质数，a b m，m一定是质数。

（）三.直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13（）13和6（）4和6（）5和9（）29和87（）30和15（）13、26和52（）2、3和7（）四.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

（三个数的只求最小公倍数）45和6036和6027和7276和8042、105和5624、36和48**五.动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平衡奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？试题答案一.填空题。

第四讲最大合约数和最小公倍数本讲重点解决与最大合约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数 . 它们的最大合约数、最小公倍数之间的互有关系的问题。

定理 1 两个自然数分别除以它们的最大合约数，所得的商互质 . 即如果〔a，b〕=d，那么〔a÷ d，b÷ d〕＝1。

证明：设 a÷ d=a1，b÷ d=b1，那么 a＝a1d，b=b1d。

假设〔a1，b1〕≠1，可设〔a1，b1〕＝m〔m＞1〕，于是有 a1=a2m，b1＝b2m.〔a2，b2 是整数〕因此 a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么 m d是 a、b 的合约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与 d 是 a、b 的最大合约数相矛盾 . 因此，〔a1，b1〕≠1 的假设是不正确的 . 因此只能是〔 a1，b1〕=1，也就是〔 a÷ d，b÷ d〕＝1。

定理 2 两个数的最小公倍数与最大合约数的乘积等于这两个数的乘积. 〔证明略〕定理 3 两个数的合约数必然是这两个数的最大合约数的约数 .〔证明略〕下面我们就应用这些知识来解决一些详尽的问题。

例 1 甲数是 36，甲、乙两数的最大合约数是 4，最小公倍数是 288，求乙数.解法 1：由甲数×乙数 =甲、乙两数的最大合约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4× 288，乙数=4× 288÷ 36，解出乙数=32。

答：乙数是 32。

解法 2：由于甲、乙两数的最大合约数为 4，那么甲数=4× 9，设乙数=4 × b1，且〔b1，9〕=1。

第 1 页由于甲、乙两数的最小公倍数是 288，那么 288 ＝4× 9× b1，b 1＝288÷ 36，解出 b 1＝8。

因此，乙数 =4× 8=32。

答：乙数是 32。

第 25 周最大条约数例题 1、一张长方形的纸，长7 分米 5 厘米，宽 6 分米。

此刻要把它裁成一块块正方形，并且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？假如要使裁得的正方形面积最大，能够裁多少块？1、把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成相同大小的正方形，起码能裁多少块？2、一块长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无节余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3、将一块长 80 米、宽 60 米的长方形土地区分红面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题 2、一个长方体木块，长 2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不准有节余，正方体的棱长最大是多少分米？1、一个长方体木块的长是4 分米 5 厘米、宽 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不准有节余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有 50 个梨， 75 个橘子和 100 个苹果，要把这些水果均匀分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多能够分给几个小组？3、五年级三个班分别有24 人、 36 人、42 人参加体育活动，要把他们分红人数相等的小组，但各班同学不可以打乱，最多每组多少人？每班各能够分几组？例题 3、有三根钢管，它们的长度分别是240 厘米、 200 厘米和 480 厘米，假如把它们截成相同长的小段，每小段最长能够是多少厘米？1、有一个长方体木块，长60 厘米、宽 40 厘米，高 24 厘米。

假如要切成相同大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2、用一张长1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有节余，这些正方形的边长最长是多少？3、工人加工了三批部件，每加工一批部件，除了王师傅比其余工人多加工若干个外，其余工人加工的都相同多。