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第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。
（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。
也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。
图题1－2画出了它的样本函数。
试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。
解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
第一章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义和统计描述随机过程分布律和数字特征复随机过程随机过程基本类型随机变量在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。
在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。
例如，接收机的噪声电压，此外，还包括生物群体的增长问题；电话交换机在一定时间段内的呼叫次数；一定时期内的天气预报；固定点处海平面的垂直振动；等等在第W i 次试验中测量获得的噪声电压X t 是一个样本函数)(1t X w =)(2t X w =)(3t X w =)(t X kw =)(t X n w =1t 2t定义2.1设（Ω,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t∈T，由一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e),t∈T}是（Ω,F,P）上的随机过程。
随机过程{X(t,e),t∈T}可以认为是一个二元函数。
对固定的t，X(t,e)是（Ω,F,P）上的随机变量；对固定的e，X(t,e)是是随机过程{X(t,e),t∈T}的一个样本函数。
X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。
X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间。
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。
在时间和状态上都连续连续型随机过程在时间上连续，离散型随机过程状态上离散在时间上离散，连续型随机序列状态上连续在时间上离散，离散型随机序列状态上离散有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族设X T ={X(t),t ∈T}是随机过程，对任意n ≥1和t 1,t 2, …,t n ∈T ，随机向量(X(t 1),X(t 2), …,X(t n ))的联合分布函数为})(,)({),,,(1121,,1n n n t t x t X x t X P x x x F n ≤≤=L L L 这些分布函数的全体}1,,,,),,,({2121,1≥∈=n T t t t x x x F F n n t t n L L L 称为X T ={X t ,t ∈T}的有限维分布函数。
有限维分布函数的性质对称性对于{t 1,t 2, …,t n }的任意排列},,,{21n i i i t t t L ),,(),,,(111,,21,,ni i n i in t t t t n t t x x F x x x F L L L L =相容性当m<n 时，),,,,,,(),,,(21,,,,21,,11∞∞=L L L L L L m t t t m t t x x x F x x x F n m m对称性有限维分布函数族相容性Kolmogorov存在定理设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。
设X T ={X(t),t ∈T}是随机过程，如果对任意t ∈T ，EX(t)存在，则称函数Tt t EX t m def x ∈=),()(为X T 的均值函数，反映随机过程在时刻t 的平均值。
若对任意t ∈T ，E(X(t))2存在，则称X T 为二阶矩过程，而称Tt s t m t X s m s X E t s B X X def X ∈−−=,)}],()()}{()([{),(为X T 的协方差函数，反映随机过程在时刻t 和s 时的线性相关程度。
[]Tt t m t X E t t B t D X X X ∈−==,)()(),()(2为X T 的方差函数，反映随机过程在时刻t 对均值的偏离程度。
Tt s t X s X E t s R X ∈=,)],()([),(为X T 的相关函数，反映随机过程在时刻t 和s 时的线性相关程度。
数字特征对于二阶矩随机过程，其协方差函数和相关函数一定存在，且有如下关系：)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X −=例题2.5设随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ其中，Y 和Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ ＝0，DY=DZ=σ2，求X(t)的均值函数和协方差函数。
例题2.6设随机过程X(t)=Y+Zt ，t>0，其中Y,Z 是相互独立的N(0,1)随机变量，求{X(t),t>0}的一、二维概率密度族。
两个随机过程之间的关系互协方差函数互相关函数定义：设{X(t),t ∈T}，{Y(t), t ∈T}是两个二阶矩过程，则称T t s t m t Y s m s X E t s B Y X XY ∈−−=,))],()())(()([(ˆ),(为{X(t),t ∈T}与{Y(t), t ∈T}的互协方差函数，称)]()([ˆ),(t Y s X E t s R XY =为{X(t),t ∈T}与{Y(t), t ∈T}的互相关函数。
两个随机过程{X(t),t ∈T}与{Y(t), t ∈T}的互不相关定义),(=t s B XY 互协方差函数与互相关函数之间的关系)()(),(),(t m s m t s R t s B Y X XY XY −=例题2.8：设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。
例题2.7设有两个随机过程X(t)=g 1(t+ε)和Y(t)=g 2(t+ε)，其中g 1(t)和g 2(t)都是周期为L 的周期方波，ε是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数R XY (t,t+τ)的表达式。
复随机过程定义：设{Xt , t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈TtttiYXZ+=其中，则称{Zt , t∈T}为复随机过程。
1−=i复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttZiEYEXZEtm+==)()(]))(())([(]|)([|)(2−−−−−−−−−−−−−−=−=tmZtmZEtmZEtD ZtZtZtZ][),(tsZZZEtsR=]))(())([(),(−−−−−−−−−−−−−−=tmZsmZEtsB ZtZsZ−−−−−−−=)()(),(),(tmsmtsRtsB ZZZZ相互之间的关系复随机过程的性质复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质：（1）对称性，（2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有−−−−−−=),(),(s tBt sB∑=≥nj ijijiaattB1,),(证明两个复随机过程{X t }，{Y t }的互相关函数定义为)(),(t s XY Y X E t s R =互协方差函数定义为−−−−−−−−−−−−−−=)]([)]([),(t m Y s m X E t s B Y t X s XY 例题2.9设随机过程，其中X 1,X 2, …,X n 是相互独立的，且服从N(0,σk 2)的随机变量，w 1,w 2, …,w n 是常数，求{Z t ,t ≥0}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t)。
0,1≥=∑=t e X Z n k t i k t k ϖ随机过程的几种基本类型1.正交增量过程2.独立增量过程3.马尔可夫过程4.正态过程5.维纳过程6.平稳过程定义：设{X(t),t ∈T}是零均值的二阶矩过程，若对任意的t 1<t 2≤t 3<t 4 ∈T ，有]))()(())()([(3412=−−−−−−−−−−−−−−−−−t X t X t X t X E 则称X(t)是正交增量过程。
例题设{X(t),t ∈T}是正交增量过程，T=[a,b]为有限区间，且规定X(a)=0，当a<s<t<b 时，求其协方差函数。
正交增量过程定义：设{X(t),t ∈T}是随机过程，若对任意的正整数n 和t 1<t 2<…<t n ∈T ，随机变量X(t 2)-X(t 1),X(t 3)-X(t 2), …,X(t n )-X(t n-1)是互相独立的，则称{X(t),t ∈T}是独立增量过程。
特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。
独立增量过程正交增量过程独立增量过程定义依据：不相重叠的时间区间上增量的统计相依性互不相关相互独立正交增量过程独立增量过程×正交增量过程独立增量过程二阶矩存在，均值函数恒为零平稳独立增量过程定义：设{X(t),t∈T}是独立增量过程，若对任意s<t，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称{X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。
例题2.10考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。
假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段[0,t]内更换设备的件数，通常可以认为{N(t)，t≥0}是平稳独立增量过程。
定义：设{X(t),t ∈T}是随机过程，若对任意正整数n 及t 1<t 2, …<t n ，P(X(t 1)=x 1, …,X(t n-1)=x n-1)>0，且其条件分布})(|)({})(,,)(|)({111111−−−−=≤===≤n n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X P L 则称{X(t),t ∈T}是马尔可夫过程。
马尔可夫性系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。
马尔可夫过程定义：设{X(t),t ∈T}是随机过程，若对任意正整数n 及t 1,t 2, …,t n ∈T ，(X(t 1),X(t 2), …,X(t n ))是n 维正态随机变量，则称{X(t),t ∈T}是正态过程或高斯过程。
特点：1.在通信中应用广泛；2.正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。
正态过程定义：设{W(t),-∞<t< ∞}为随机过程，如果1.W(0)=0;2.它是独立、平稳增量过程；3.对任意s,t ，增量W(t)-W(s)~N(0,σ2|t-s|)，σ2>0则称{W(t),-∞<t< ∞}为维纳过程，也称布朗运动过程。
定理：设{W(t),-∞<t< ∞}是参数为σ2的维纳过程，则1.对任意t ∈(-∞, ∞)，W(t)~ N(0,σ2|t|);2.对任意-∞<a< s,t< ∞,),min()}]()()}{()([{2a t a s a W t W a W s W E −−=−−σ证明维纳过程维纳过程是正态过程的一种特殊形式定义：设{X(t),t ∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n，t 1,t 2, …,t n ∈T ，t 1+τ,t 2+τ, …,t n +τ∈T ，(X(t 1),X(t 2), …,X(t n ))与(X(t 1+τ),X(t 2+τ), …,X(t n +τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t ∈T}为严平稳过程或侠义平稳过程。
