五年级奥数长方体与正方体（二）
教师版
如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱．
c
b
a H
G
F
E
D
C
B
A
①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体．
长方体与正方体的体积
立体图形 示例
体积公式 相关要素
长方体
V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h
、S 二要素： 正方体
3
V a =
V Sh
= a
一要素： h
、S 二要素：
不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法
例题精讲
长方体与正方体（二）
③先补后去法
④实际操作法
⑤画图建模法
【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分
【解析】由题意知长、宽、高的和为2847
÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米
【答案】8
【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有
___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题
【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。
【答案】6
【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米
多多少?
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【关键词】小数报,决赛
【解析】0.078(1.30.3)0.2
÷?=(米)．
0.2米=2分米．
??-=(立方米)．
1.30.30.30.0780.039
所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方
米．
【答案】0.039
【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分
【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。
【答案】100
【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三
个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米,405厘米,485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
高
长
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,口试 【解析】 长方体中
高+宽1(3655)1802
=-=, ⑴
高+长1(4055)2002
=-=, ⑵
长+宽1(4855)2402
=-=, ⑶
⑵-⑴：长-宽20=, ⑷ ⑷+⑶：长130=,从而宽110=, 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为
701101301001000??=(立方厘米) 1.001=(立方米)
【答案】1.001
【例 6】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别为235厘米、445厘
米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图）,若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,9题 【解析】 长方形的长为：()44551523554180+--=÷（厘米）；
长方形的宽为:()51551802275--=?÷（厘米）； 长方形的高为：()2355752240--=?÷（厘米）；
长方形的体积为:61807540100.54=??÷（立方米）。 【答案】0.54
【例 7】 一个长方体的表面积是33.66平方分米,其中一个面的长是2.3分米,宽是2.1分米,
它的体积是_____立方分米.
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯
【解析】 长方体的高是30
(33.66 2.1 2.32)2(2.1 2.3)11
-??÷÷+=(分米).
长方体的体积是3019
2.1 2.31311110
??=(立方分米)．
【答案】
19 13 110
【例 8】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图),表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯,决赛
【解析】96812
÷=(平方厘米),
122402880
?=(立方厘米)．
所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．
【答案】2880
【例 9】一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【关键词】小数报,决赛
【解析】设大长方体的宽(高)为a分米,则长为2a,右(左)面积为2a,其余面的面积为2
2a,根据题意,
222
22862600
a a a
?++?=所以225
a=,5
a=．
大长方体的体积2555250
=???=(立方分米)．
【答案】250
【例 10】有三个大小一样的正方体,将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状,表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】三个小正方体拼接成图中的样子,减少了小正方体的4个侧面正方形的面积,表面积减少了16平方厘米,每个正方形侧面为1644
÷=平方厘米,每个正方体棱长为2厘米,三个小正方体体积(即所成形体的体积)是3
3224
?=立方厘米.
【答案】24
【例 11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了_____块木块,最少用了____ __块木块。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,决赛,第8题,10分 【解析】 从上往下看,分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。
321321223
2
1
3
001300203
【答案】最多25,最少9
【例 12】 边长为5的正方形,被分割成55?的小方格。每个小方格上堆放边长为1cm 的正方
体积木,个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸,其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴 张红纸。恰贴3张红纸的有 块积木。
1
5
3
3
1
12543234252342154141
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,4年级,决赛,第11题,12分 【解析】 从正面看,需要贴5525?=（张）；
从左边看,需要贴5455524++++=（张）； 从右边看,需要贴5455524++++=（张）； 从前面看,需要5545524++++=（张）； 从后面看,需要5545524++++=（张）；
再看中间凹进去的部分,需要贴644224426++++++=（张）, 所以一共需要贴252424242426147+++++=（张）； 先看四条边上,有14块积木贴3张红纸； 非边上的积木,有1块积木恰好贴3张, 所以一共有14115+=（块）积木。
【答案】共贴26张,共有15块
【例 13】 有一个长方体,长是宽的2倍,宽是高的3倍；长的12与高的13
之和比宽多1厘米．这
个长方体的体积是 立方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 长的12即宽,所以高的13
就是1厘米,高是3厘米,宽是339?=厘米,长是9218?=厘
米,体积是3918486??=(立方厘米)．
【答案】486
【巩固】一个长方体的各条棱长的和是48厘米,并且它的长是宽的2倍,高与宽相等,那么这
个长方体的体积是______ 立方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,决赛 【解析】 依题意,这个长方体的长、宽、高之和是48412÷=(厘米),
于是它的宽与高都等于12(211)3÷++=(厘米), 它的长是326?=厘米．
所以这个长方体的体积是63354??=(立方厘米)．
【答案】54
【例 14】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体,已知每块砖的体积是3288cm ,
则大长方体的表面积为多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量,但我们只知道它们的乘积,但可以
从图中发现隐含的数量关系．
由图可知每块砖的长、宽、高的比值,两个长等于三个宽,所以长、宽之比为3:2,四个高等于一个长,所以长、高之比为4:1,长、宽、高之比为12:8:3,设砖的长为12单位,那么体积应该为1283288??=个立方单位,所以一个单位长度就是1厘米,所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米,12厘米,11厘米,所以大长方体的表面积为：24121211112421368?+?+??=（）平方厘米．
【答案】1368
【例 15】 有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎
石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积,就等于所沉入的碎石的体积．
因此,沉入水池中的碎石的体积是 330.060.54??=(米3),
而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16??=(米3)． 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7+=(米3)．
把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是6636?=(米3)．所以水面升高了
0.70.73636÷=(米)7036=(厘米)17118
=(厘米)． 故大水池的水面升高了17
118
厘米．
【答案】17
118
【例 16】 一个正方体容器,容器内部边长为24厘米,存有若干水,水深17.2厘米,现将一些碎
铁块放入容器中,铁块沉入水底,水面上升2.5厘米,如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱,重新放入池中,则水面升高几厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米,则有水面升高后水的总体积=原来水的体积+铁块浸入水中的体积,22
242417.2
x S x
?=?+?
铁块的底面积
,
其中2
2424 2.5 S?=?
铁块的底面积,得到24 2.5
S=?
铁块的底面积
,解得19.2
x=,
所以水面升高了19.217.22
-=(厘米)．
【答案】2
【例 17】如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱）,且穿透．另有一长方体容器,从内部量,
长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米,内部有水,水深3厘米．若将正方体
铁块平放入长方体容器中,则铁块在水下部分的体积为立方厘米．
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空
【关键词】迎春杯,初赛,6年级
【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体,高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱,高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方
体.
由于长方体容器内原有水深3厘米,所以正方体铁块放入水中后,铁块最下面一层肯
定全部在水中,而水也不可能上升到最上面一层,即恰在中间一层.设水面上升了h
厘米,则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.
由于水面上升是由于铁块放入水中导致,水面上升的体积即等于铁块在水下部分的
体积,即：
222
1512(104)334
h h
??=-?+??,解得
7
4 h=,
故铁块在水下部分的体积为
7
1512315
4
??=(立方厘米).
【答案】315
【例 18】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体,这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等,那么最少可分割成
个小正方体．
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空
【关键词】迎春杯,决赛
【解析】因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然,棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的
小正方体,剩余部分再切割出33322227819
??-??=-=个棱长是1厘米的小正方体,这样总共可以分割成11920
+=(个)小正方体．
【答案】20
【巩固】有一个长方体的盒子,从里面量长40厘米,宽12厘米,高7厘米,在这个盒子里放长5厘米,宽4厘米,高3厘米的长方体木块．最多可放块．
4
4443
3
33
3
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 上图表明34?的长方形可以填满712?的长方形．
于是534??的长方体可以填满40712??的长方体,即盒子中最多可放这种长方体 40712(534)56??÷??=(个)．
【答案】56
【例 19】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块,棱长比是1:2:3．如果用这三种正方体拼成
尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设甲的棱长是1,则乙的棱长是2,丙的棱长是3．一个甲种木块的体积是1,一个乙种
木块的体积是2228??=,一个丙种木块的体积是33327??=．
由于每种正方体都要用到,那么所拼成的正方体的棱长最小应为325+=． 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时,体积是555125??=．
要想使三种正方体的总数最小,则体积较大的木块应尽可能多．由于棱长为5,所以其中丙种木块只能有1个．
有了1个丙种木块后,乙种木块最多可以有4217++=块．
丙种木块的体积是27,乙种木块的体积是8756?=,余下的体积为125275642--=．所以还需要甲种木块42142÷=块． 所以共需要至少174250++=块．
【答案】50
【例 20】 用112??、113??、122??三种小木块拼成333??的正方体．现有足够多的
122?? 的小木块,还有14块113??的小木块,如果要拼成10个333??的正方体,则最少需要112??的小木块________块．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 112??、113??、122??三种木块的体积分别为2,3,4,其中只有3为奇数,2,4都是偶
数．
因为33327??=,体积为奇数,所以每个333??的正方体中,113??的木块要有奇
数块．
当只用1块113??时,剩下的体积为24,但无法完全用122??完成,还需要112??的小木块,由于24和4都是4的倍数,所以112??的小木块的体积和也是4的倍数,至少要用2块112??的小木块．检验可知用1块113??的小木块、2块112??的小木块和5块122??的小木块可以拼成333??的正方体．
当用3块113??的小木块时,体积剩下18,可以再用4块122??的小木块和1块112??的小木块拼成．
当用5块113??的小木块时,体积剩下12,此时可以再用3块122??的小木块拼成,即此时不需要用112??的小木块拼成．
为了尽量少用112??的木块,所以要尽量多用其他木块．而一共只有14块113??的木块,所以可以在8个333??的正方体中各用1块113??的木块,另2个333??的正方体各用3块113??的木块；也可以在9个333??的正方体中各用1块113??的木块,另1个333??的正方体用5块113??的木块．前者需要281218?+?=个,后者需要2918?=个,数量相同,所以最少需要112??的木块18块．
【答案】18
【例 21】把一个长方体形状的木料分割成3小块,使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米,宽为12厘米,高为9厘米．分割时要求只能锯两次,如图1就是一种
分割线的图．除这种分割的方法外,还可有其他不同的分割方法,请把分割线分别
画在图2的各图中．
图1
图2
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】分割方法很多,如图3,给出以下9种分割方法：
图4
【答案】答案不唯一,给出以下9种分割方法：
图4
【例 22】如图,把正方体用两个与它的底面平行的平面切开,分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时,用最简单的整数比表示这三个长方体的体积
比：：：
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯,六年级,初赛
【解析】由于分出的三个长方体的底面积相同,所以体积之比等于三个长方体的高之比,设正方体的棱长为1,三个长方体的高分别为
1
h,
2
h,
3
h,所以
123
1
h h h
++=,根据“分成三个
长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5”得
123
(24):(24):(24)3:4:5
h h h
+++=,
而
123123
(24)(24)(24)64()10
h h h h h h
+++++=+++=,所以有
1
3
2410
345
h
+=?
++
,
解得
1
1
8
h=,同理得
2
1
3
h=,
3
13
24
h=,所以
123
1113
::::3:8:13
8324
h h h==,即体积比为
3:8:13。
【答案】3:8:13
【例 23】如图从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【关键词】华杯赛,复赛 【解析】 容器的底面积是
(134)(94)45-?-=(平方厘米),
高为2厘米,所以容器的体积是,
45290?=(立方厘米)． 【答案】90
【巩固】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是5厘米的长方
体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好),你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米
?
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】祖冲之杯 【解析】 如图,在4020?的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮,然后焊接成长方
形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长405530=--=(厘米)． 宽205510=--=(厘米),高5=(厘米)． 体积301051500=??=(立方厘米)．
如图,在4020?长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块),紧密焊接 到右侧的中间部分,这样做成的无盖铁皮盒的长40535=-=(厘米), 宽205510=--=(厘米), 高5=(厘米),
体积351051750=??=(立方厘米)．
如图,在4020?的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块),分别焊到上、下的中间部分,这样做成的无盖铁皮盒的 长40555520=----=(厘米), 宽20=(厘米), 高5=(厘米),
体积202052000=??=(立方厘米)． 因此,最后一种容积最大．
【答案】2000
【例 24】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能
大的切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体,剩下的体积是多少立方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=,为了方便起见.
我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.
因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米,第二次切时,切下棱
长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时,切下棱长为2厘米的正方体符合要求． 那么对于原长方体来说,三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米,所以剩下的体积应是：()
33321151212961107??-++=（立方厘米）.
12
12
9
9966
6
3
12
12
63
9
12
【答案】1107
【例 25】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如下
图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了 块木块．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为右图中每一格都要
至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．
如右图,带阴影的3块不放时,小正方体块数最少,为23块．
【答案】23
【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体？由两
个小正方体组成的长方体有多少个？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体,有22个；
由8个小正方体构成的222
??的正方体,有4个．
所以共有正方体22426
+=(个)．
由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有++=(个)．
13131440
【答案】40
【例 26】有黑白两种颜色的正方体积木,把它摆成右图所示的形状,已知相邻(有公共面)的积木颜色不同,标A的为黑色,图中共有黑色积木多少块？
A
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】分层来看,如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.
【答案】17
【巩固】这个图形,是否能够由112
??的长方体搭构而成？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】每一个112
??的长方体无论怎么放,都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体,而黑色积木有17块,白色积木有15块,所以该图形不能够由112
??的长方体搭构而成.
【答案】17
【巩固】有许多相同的立方体,每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻,再将写着3的
立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体,它的六个
面上的所有数字之和是多少?
3
3223
3
2
33
2
23
2
31
111
11
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 第一层如下图,第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．
76543
4
565
第三层
65432
3
454
第二层第一层3
432
1
2345
上面的9个数之和是27,由对称性知,上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理,
下面的9个数之和是45,下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+?=．
【答案】216
【例 27】 如下图,用若干块单位正方体积木堆成一个立体,小明正确地画出了这个立体的正
视图、俯视图和侧视图,问：所堆的立体的体积至少是多少？
正视图
俯视图
侧视图
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题还原的技巧在于反用“切片法”,根据俯视图,最底层必有这么11个,这是不能再
少的；
第二步,不妨先根据正视图,再在一侧加上7块；
第三步,通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求： 所堆的立体的体积至少是11718+=．
当然,这里的形状不唯一,如下面两图都符合条件．
【答案】18
【例 28】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形,从上向下看这个立体图形,如下
图a ,从正面看这个立体图形,如下图b ,则这个立体图形的表面积最多是________．
a
b
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】华杯赛 【解析】 根据题意,这个立体应当有2层,由于这个立体图形是码成的而不是粘成的,这就意味
着,这个立体图形的每一个小正方体的下端必然有其他正方体支撑,所以这个立体图形的俯视图实际上可以看作该图形的“地基”．我们在此基础上构造立体图形,结合图b ,构筑“地基”以上的第二层的建筑,由视角分析,A 、B 、C 3个位置上都至少有一个正方体(如左下图),在“地基”的基础上构筑第二层时,随着第二层小正方体数目的增多,由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有3个,那么裸露在外面的面至少也有3个,所以每增加一个小正方体,其表面积不会减少．那么当第二层的小正方体最多时,其表面积也最大．而小正方体最多的情况如右下图所示,
C
B A
根据“三视图法”,该图形上、下面积为8216?=(平方厘米),前、后面积为8216?=(平方厘米),左、右面积为8216?=(平方厘米)(注意,左、右方向的面中,有4个从该图形以外的左、右方向无法观察到),所以此立体的表面积为16161648++=平方厘米．
【答案】48
【例 29】 用棱长为1的小立方体粘合而成的立体,从正面、侧面、上面看到的视图均如下
图所示,那么粘成这个立体最多需要 块小立方体．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级 【解析】 根据视图可以画出原立体图形,如右图所示,其中灰色部分和黑色部分都可以有小立
方体,白色部分则不可以有小立方体．
这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种,其中角上的有32864?=个,棱上的有12个（每条棱上1个）,所以总共最多有641276+=个．
【答案】76
【例 30】 第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行,北京
的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004,从左面
看是9的模型(如图)．问：N最大为多少？N最小为多少?
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】可以将2004这个模型分为5行,第一行有11个方块,第二行有7个方块,第三行有10个方块,第四行有6个方块,第五行有10个方块．
因为从左边看是9的模型,所以第一行的宽度为3个方块,第二行的宽度为2个方块,
第三行的宽度为3个方块,第四行的宽度为1个方块,第五行的宽度为3个方块, ?+?+?+?+?=,所以N最大为113．
1137210361103113
++++=,所以N至少是44块．但是,仅用44块显然不能满足从左边1171061044
看是9的模型．所以必须再加上一些木块以满足从左边看是9的模型．
模型“9”有3列,右面一列5个方块已经满足,中间一列有3个方块,所以得加上3个；
由于模型是粘贴出来而不是摆出来的,所以加上中间一列的3块并不能减少右边一
列的方块．而左边一列有4个方块,这4个也得加上,加上左边一列的4块后,由于其
中的上面3块是连续的,所以可以在右面一列去掉2块,仍然不会改变从正面看是
2004的效果．4434249
++-=,所以N最小为49．
【答案】49
【例 31】有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体．取其中的27个,拼成一个棱长是3cm的大正方体,每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例
图．例图中正方体的每一面的图案都相同,因此,用8个或9个黑色小正方体就可
拼成这样的大正方体．除例图的图案之外,还可以拼成每面的图案都相同的大正方
体．
问⑴：在下图的①~⑦中找出可以拼成每面都相同的图案．
问⑵：在问⑴中,可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几
个？最少的用几个？
例图①②③④⑤⑥⑦
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【关键词】日本算术奥林匹克
【解析】本题主要考查学生的空间想象能力．在原来的棱长为1cm的小正方体中,由于每一个的6个面的颜色都是相同的,要么是白色,要么是黑色,所以,在拼成的棱长为3cm
的大正方体中,如果出现有某一面上有黑色的小正方形,那么就要注意与这个小正方
形同属一个小正方体的其他面也应当是黑色的．
⑴：图中的③④⑤⑥可以；
⑵：最多用10个,最少用4个．
图①必然有黑色立方体出现角上,在选定了某一个顶点为黑色立方体后,相邻的正面
出现了图①所示的图案,则在上面必定是出现与选定的这个顶点相邻部分有一面是黑的,然而此时左面的情况就是至少三块成黑色了,与图①所示的图案不可能相同．所以图①不可以；
图②的正面如图所示,则上面也必定在某一个角上,如果是在相邻的角,则某一面上有3块黑色的；如果是在对角,而对角的情况与图①所示的图案不同．所以图②不可以；
图③可以,如下左图所示．通过“切片法”,可以知道最少5块,而最多可用6块（有一块在大立方体的中间,从表面看不到的那块）；
图④可以,如下左图所示．可以看出最少有4块,最多有5块；
图⑤中,最少有9块黑块,最多有10块．
请注意这里从最多角度考虑,所以把最中心的一块算在内,其实这一块从六个方向都
看不到；
图⑥中,最少有6块,最多有7块；
图⑦中,当把上下前后四个面染好后,左右两个面是无法染成相同图案的．所以图⑦
不可以．
【答案】图中的③④⑤⑥可以；最多用10个,最少用4个
【例 32】 一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体,在它的每组两两相对的面的正中
央都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿洞．那么这个长方体剩下部分的体积是 立方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】三帆中学 【解析】 如图,将长方体剩下的部分分割成六块,其中两块都是中间有一个长方体贯穿孔的长
方体,另外四块是相同大小的长方体．前面两块的体积之和为()()974122590?-?-=立方厘米,后面四个长方体的体积之和为
9272
247022--???=立方厘米,所以原长方体剩下部分的体积为59070660+=立方厘米．
7
9
12
【答案】660
【例 33】如图所示,一个555
??的立方体,在一个方向上开有115
??的孔,在另一个方向上开有215
??的孔,在第三个方向上开有315
??的孔,剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【关键词】武汉明心杯
【解析】求体积：
开了315
??的孔,挖去31515
??=,开了115
??的孔,
挖去11514
??-=；开了215
??的孔,
挖去215(22)6
??-+=,
剩余部分的体积是：555(1546)100
??-++=．
(另解)将整个图形切片,如果切面平行于纸面,那么五个切片分别如图：
得到总体积为：22412100
?+=．
求表面积：
表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138
??-=,内部的面积可以分为前
后、左右、上下三个方向,面积分别为()
22515121320
??+?-?-?=、
()
2153513132
??+?-?-=、()
2151511214
??+?-?-=,所以总的表面积为138203214204
+++=．
(另解)运用类似于三视图的方法,记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：
前后方向：32
上下方向：30左右方向：40
总表面积为()
2323040204
?++=．
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题,五层一样)
挖块成线(例如本题,在前一层的基础上,一条线一条线地挖) 这里体现的思想方法是：化整为零,有序思考！
【答案】204
【巩固】如图,原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除,图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小
正方体？
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
第8题
【关键词】香港保良局,小学数学世界邀请赛
【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做,所谓“切片法”,就是把整个立体图形切成一片一片的（或一
层一层的）,然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目,最后再把它们相
加．
采用切片法,俯视第一层到第五层的图形依次如下,其中黑色部分表示挖除掉的部分．
第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出,第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个,所以总共还剩下22111162272
++++=（个）小正方体．
【答案】72
【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体,从这个大正方体中抽出若干个小正方体,把大正方体中相对的两面打通,右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525
?=个,由侧面图形抽出的小正方体有5525
?=个,正面图
?=个,由底面图形抽出的小正方体有4520形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228
?+?+?=个,正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227
?+?=个,底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227
?+?+?=个,三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理,252520877452
-=,所++---+=,所以共抽出了52个小正方体．1255273以右图中剩下的小正方体有73个．
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个,必须知道是哪4块,这是最让人头疼的
事．
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型,再由第三个方向来穿过“花墙”． 这里,化虚为实的思想方法很重要． 解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层,得： ⑴从上到下五层,如图：
⑵或者,从右到左五片,如图：
请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．
比如：从上到下的每一层,首先都应该有第一层的空四块的情况,即—— 如果挖第二层：第(1)步,把中间这些位置的四块挖走如图：
第(2)步,把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去),如图：
第(3)步,把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：
【答案】73
【例 34】 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体
1111ABCD A B C D (如图),大正方体内的对角线1AC ,1BD ,1CA ,1DB 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体,其它部分都是无色透明玻璃小正方体,小红正方体共用了
五年级奥数训练——长方体和正方体（一） 姓名： 例题1一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 练习一 一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？ 例题2有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 练习二 有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 例题 3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？
把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 例题4把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。 练习四 一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 例题5 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 练习五 有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
1、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 2、如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？ 3、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 4、有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。 5、一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。
长方体和正方体（一） 一、知识要点 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 二、精讲精练 【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？ 表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 练习1： 1.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。 【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 练习2： 1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 体积为4^3-1^3=64-1=63立方厘米 表面积不变，大小为6×42=96平方厘米
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 练习3： 1.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 2.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 【例题4】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 练习4： 1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 依题意长*宽+长*高=88 即长*（宽+高）=88 而长宽高都是质数，长*（宽+高）=11*（5+3） 可知长宽高分别为11，5，3 长方体的体积是11*5*3=165立方厘米。 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960立方厘米，求它的表面积。 960=10×96，而96=8×12， 表面积是2×(10×12+10×8+8×12)=592平方厘米 3.一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。 (6+4+2)*4=48 48/12=4 4*4*4=64
长方体和正方体（二） 【例题1】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 练习1： 1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 【例题2】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了100平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 练习2： 1.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 2.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 【例题3】一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？ 练习3： 1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？ 2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米?
【例题4】有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？ 练习4： 1.把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？ 3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？ 【例题5】一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）二个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？ 练习5： 1.把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？ 2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
长方体与正方体 【知识要点】 1、正方体棱长和=棱长×12 长方体棱长和=（长+宽+高）×4 2、长方体和正方体的表面积，就是长方体和正方体6个面的总面积。 长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 表面积在计算时的特殊情况： （1）一般情况需要计算6个面的面积； （2）有时只要计算5个面的面积： 如计算游泳池粉刷，游泳池贴瓷砖，浴缸，教室、房间的粉刷面积，无盖的盒子…… （3）有时只要计算4个面的面积： 如计算饮料的包装纸，通风管…… （4）有时只要计算1个面的面积： 如游泳池的占地面积，冰箱、洗衣机的占地面积…… 3、正方体体积=棱长×棱长×棱长长方体体积=长×宽×高 通用体积公式：体积=底面积×高 【精选例题】 1、一个长方体，长12厘米，宽8厘米，高6厘米。 （1）如果从这个长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积应该是多少？ （2）如果将这个长方体切成若干个大小一样的正方体（不许有剩余），最少能切多少块？ （3）如果用若干个这样相同的长方体拼成一个更大的正方体，至少需要多少个长方体？ 2、把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米？
3、一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 4、一个长方体纸盒，长8厘米，宽是长的 4 3，高是宽的一半。这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 5、一个体积为160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别为20厘米，32厘米，如图，求这个长方体底面的面积（即图中阴影部分的面积）。 6、一个底面长为25厘米，宽为20厘米的长方体容器，里面盛有水。当把一个正方体木块放入水中时，木块的 12 部分没入水中，此时水面升高了1厘米。问正方体木块的棱长是多少厘米？ 7、用一个底面边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积。 8、一个棱长为5的正方体，将其表面涂成红色，如果将其切成若干个棱长为1的小正方体，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
长方体和正方体的体积 例1、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的体积是多少立方厘米？ 例2、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 例3、一个棱长为3厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具。它的体积是多少平方厘米?
例4、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 例5、有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？ 例6、将表面积分别为54平方厘米，96平方厘米和150平方厘
米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 例7、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽是7厘米，求它的高。 例8、有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
例9、一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方体，容器里直立一个高1米，底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里的水深多少厘米？ 例10、一个长方体容器内装水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问，大球的体积是小球的多少倍？ 应用与拓展
小学五年级长方体正方体的练习题 1、把一张长20厘米，宽16米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，最多可裁多少个？ 2、两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离中点36千米，甲乙两地相距多少千米？ 3、一块长40厘米、宽30厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边长为4厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的盒子。它的容积是多少升？ 4、楼房外壁用于流水的水管是长方体。如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米？ 5.把一根长2米的长方体木料,平均截成3段,表面积增加了12平方米,原来长方体木料的体积是多少立方分米？ 6.一个长方体长16分米，高6分米,沿水平方向横切成俩个小长方体,表面积增加160平方分米,求原长方体体积？ 7.一个长方体如果高减少3厘米,正好成为一个正方体,表面积少36平方厘米,原长方体的体积？ 8.一个长方体高减2厘米成一个正方体,面积减少24平方厘米.原长方体的体积是多少立方厘米
9.一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 10.一个长方体，如果高增加2厘米就成了一个正方体，而且表面积增加56平方厘米，求原长方体的体积？ 11.一段长方体木料，长1.2米如果锯短2厘米，它的体积就减少40立方厘米，求原长方体的体积？ 12.一个长方体，表面积是70平方分米,底面积是9.8平方分米,底面周长是 12.6分米,这个长方体的高是多少？体积是多少？ 13.一个长方体的表面积为16000平方分米,底面是边长为40厘米的正方形,求长方体的体积是多少？ 14.将一块棱长20厘米的正方体铁块锻压成一块，100厘米长,2厘米厚的铁板，这个铁板的宽是多少？ 15.把一棱长30厘米的正方体钢坯,锻压成高和宽都是5厘米的长方体钢材.能锻造多长？ 16.把一个棱长5厘米的正方体钢材，锻压成长5厘米,宽4厘米的长方体钢材,钢材厚多少厘米？
长方体和正方体的表面积和体积 一、方法讲解 我们学习了长方体和正方体，运用长方体和正方体的表面积和体积公式一般可以简单长方体和正方体问题，解决较复杂的立体图形问题要注意几点： 1、必须以基本概念和方法为基础，同时吧构成几何图形的诸多条件融合贯通起来。 2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化。 3、求一些不规则的物体的体积时，可以通过变形的方法来解决。 二、例题讲解 1、一个零件形状大小如右图所示：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图所示），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 3、一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方体，剩下的长方体的表面积比原来减少24平方厘米，求所切下的正方体的表面积是多少平方厘米？
4、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 5、一个凌长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成凌长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少平方厘米？ 三、达标练习 1、一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，被切去一块后（如图所示），剩下部分的表面积和体积各是多少？ 2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。 3、有一个长8厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，在它的左右两个角各切掉一个正方体（如图所示），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
4、有一个形状如上图所示的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米） 5、如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上，（如图所示）那么得到的物体的体积和表面积各是多少？ 6、一个正方体和一个长方体刚好拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体的表面积增加了60平方厘米，原来正方体的表面积是多少立方厘米？ 7、一根长1米，宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 8、把两个完全相同的长方体木块拼成一个正方体，表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了40 平方厘米，求原来每个长方体的表面积是多少平方厘米？
长方体和正方体一 【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 练习1： 1.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。 2.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每 块砖的体积是288 立方厘米，求大长方 体的表面积。 练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。 3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。 【例题5】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 练习5：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。 3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。 长方体和正方体（二） 【例题1】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 练习1： 1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6 分米、 - 1 -
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体． 板块一 长方体与正方体的表面积 【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？ 前 左面 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ 例题精讲 长方体与正方体
【例 2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【例 3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少? 【例 4】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【例 5】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
人教小学五年级长方体正方体的练习题 1、把一张长20厘米，宽16米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没剩余，最多可裁多少个？ 2、两车同时从甲乙两地相对开出，甲每小时行48千米，乙车每小时行54千米，相遇时两车离中点36千米，甲乙两地相距多少千米？ 3、一块长40厘米、宽30厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边长为4厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的盒子。它的容积是多少升？ 4、楼房外壁用于流水的水管是长方体。如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米。做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米？ 5.把一根长2米的长方体木料,平均截成3段,表面积增加了12平方米,原来长方体木料的体积是多少立方分米？ 6.一个长方体长16分米，高6分米,沿水平方向横切成俩个小长方体,表面积增加160平方分米,求原长方体体积？ 7.一个长方体如果高减少3厘米,正好成为一个正方体,表面积少36平方厘米,原长方体的体积？
8.一个长方体高减2厘米成一个正方体,面积减少24平方厘米.原长方体的体积是多少立方厘米 9.一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 10.一个长方体，如果高增加2厘米就成了一个正方体，而且表面积增加56平方厘米，求原长方体的体积？ 11.一段长方体木料，长1.2米如果锯短2厘米，它的体积就减少40立方厘米，求原长方体的体积？ 12.一个长方体，表面积是70平方分米,底面积是9.8平方分米,底面周长是 12.6分米,这个长方体的高是多少？体积是多少？ 13.一个长方体的表面积为16000平方分米,底面是边长为40厘米的正方形,求长方体的体积是多少？ 14.将一块棱长20厘米的正方体铁块锻压成一块，100厘米长,2厘米厚的铁板，这个铁板的宽是多少？ 15.把一棱长30厘米的正方体钢坯,锻压成高和宽都是5厘米的长方体钢材.能锻造多长？
五年级奥数长方体与正方体（二） 教师版 如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体． 长方体与正方体的体积 立体图形 示例 体积公式 相关要素 长方体 V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h 、S 二要素： 正方体 3 V a = V Sh = a 一要素： h 、S 二要素： 不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 例题精讲 长方体与正方体（二）
③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法 【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分 【解析】由题意知长、宽、高的和为2847 ÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米 【答案】8 【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有 ___________块。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题 【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。 【答案】6 【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米 多多少? 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答 【关键词】小数报,决赛 【解析】0.078(1.30.3)0.2 ÷?=(米)． 0.2米=2分米． ??-=(立方米)． 1.30.30.30.0780.039 所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方 米． 【答案】0.039 【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分 【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。 【答案】100 【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三
长方体和立方体 班级：姓名：得分： 一、填空。 1、长方体有（）个面，（）条棱，（）个顶点，相对的棱长度（），相对的面（）。 2、一个长方体的长5厘米，宽3厘米，高2厘米，它的最大的一个面是（）面，面积是（）。这个长方体的表面积是（），体积是（）。 3、一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积是（），体积是（）。 4、把三个棱长为1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（），体积是（）。 5、把一个棱长是a米的正方体木材，任意截成两个小长方体后，表面积比原来多（）。 6、把一个棱长为4厘米的正方体，分割成两个长方体，这两个长方体表面积总和是（）。 7、一个正方体的棱长扩大到原来的5倍，则表面积扩大到原来的（）倍，它的体积扩大到原来的（）倍。 8、一个长方体各条棱长和是96厘米，并且它的长是宽的2倍，宽与高相等，那么这个长方体的体积是（）立方厘米。 9、将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是48厘米。则这个长方体的体积是（） 10、将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色没有涂的小立方体只有3块。原来长方体的体积是（）立方厘米。 二、判断。 1、正方体是特殊的长方体。（） 2、一个长方体可能有8条棱的长度都相等。（） 3、棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积相等。（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个正方体的棱长扩大a倍，那么它的体积扩大a2倍。（） 6、用三个长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体拼成一个大的长方体，这个大长方体的表面积最大是62平方厘米，最小是54平方厘米. 三、基础题。 1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是 多少平方厘米？ 2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加2平方分米，求这根木料原来的体积。
1、一个长方体的棱长之和是80厘米，如果把这个长方体平均截成两段，就成了两个大小相等的正方体，求：这个长方体的表面积和体积。 80÷2÷8=5（cm) 表面积：5X5X5X2=250（平方厘米） 体积：5X5X5=125（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是250平方厘米，体积是125立方 2、把3个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米，每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 350÷14X6=150（平方厘米） 答：每个正方体的表面积是150平方厘米？ 3、把一个长方体的木块截成两段，就成了两个完全相等的正方体，这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的体积是多少立方厘米？ 40÷8=5（厘米）5X2=10（厘米） 5X5X10=250（平方厘米） 答：原来那个长方体的体积是250立方厘米 4、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？ （7X6+7X5+6X5）X2=214（平方厘米） 214+6X7X2=298（平方厘米） 答：这时表面积之和是298平方厘米 5、一个长方体，前面和上面的面积之和是290平方厘米，这个长方体的长宽高都是质数，这个长方体的体积和表面积各是多少？ 290=29X10=29X（7+3）体积：29X7X3=609（立方厘米） 表面积：（29X7+29X3+7X3）=672（平方厘米） 答：这个长方体的体积j 609立方厘米，表面积是672平方厘米 6、一个长方体的表面积是78平方厘米，底面积是15平方厘米，底面周长是16厘米，求长方体的体积。 78－15－15=48（平方厘米）48÷16=3（厘米）15×3=45（立方厘米） 答：长方体的体积是45立方厘米 7、一个长方体水箱，从里面量，长20厘米，宽30厘米，深35厘米，箱中水面高5厘米，放进一个棱长20厘米的正方体的铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面的高多少厘米？ 20×30×5=3000（立方厘米）20×30－20×20=200（平方厘米） 3000÷200=15（厘米）
1、长方体与正方体基础 2、几何体的操作 3、水中浸物问题 1、有趣的立体图形 2、长方形与正方形 课前加油站 1、一个长方形的长、宽分别是7厘米，5厘米，那么长方形的面积和周长分别是多少？一个边长为3厘米的正方形面积和周长分别是多少？ 提示：回忆一下公式：长方形面积=长×宽，长方形周长=（长+宽）×2。 2、若干个边长为1的正方形摆成如图所示的平面图形，求外围的周长？ 长方体与正方体 本章知识 前铺知识
提示：还记得巧求周长的平移方法吗？ 3、从一个边长为5的正方形中，剪掉一个长、宽分别为3、2的长方形，剩下的部分周长可能是多少？ 长方体与正方体的特征： 1、长方体共有6个面（每个面都是长方形），8个顶点，12条棱。 2、长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积=S 长方体=2（ab+bc+ac ）；长方体的体积=V 长方体=abc 3、S 正方体=6a 2，V 正方体=a 3 1、如图，长方体ABCD-EFGH 中，长AB=a ，宽AD=b ，高AE=c ，完成下列各小题： （1）长方体中共有 个面，其中四边形ABCD 的对面是 ，四边形ABFE 的对面是 ，四边形ADHE 的对面是 ；长方体共有 条棱，其中与AB 相等的棱 有 ，与CD 相等的棱有 。 模块1 长方体与正方体基础
（2）四边形ABCD 的面积是 ，四边形ABFE 的面积是 ，四边形ADHE 的面积是 ，长方体的表面积是 ，长方体的所有棱长和是 。 【演练】一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、3厘米、4厘米，那么这个长方体的表面积是多少？体积是多少？一个正方体的棱长是3厘米，那么这个正方体的表面积是多少？体积是多少？ 【演练】制作一个无盖的长方体纸盒，长、宽、高分别是8厘米、5厘米、2厘米。纸盒的外观体积是多少？需要多少平方厘米的纸？ 题型一 切割问题1（切面） 几何体沿着某个面切开后，总体积不变，总表面积增加了2个截面。 1、如图一个长方体ABCD-EFGH ，长AB=6，宽AD=5，高AE=4，沿着竖直面MNPQ 切开变成两个小长方体，其中AM=2，BM=4，那么两个小长方体的体积之和是多少？表面积之和是多少？ 【演练】如图长方体的长、宽、高分别为10、8、5，平行于长、宽分别竖直切两刀，分成9个小长方体，那么这9个小长方体的表面积总共是多少？ 模块2 几何体的操作
五年级奥数讲义：长方体和正方体的表面积 在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。 例题选讲 例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。 解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方 体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2× 3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米) 例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方 体，求这个长方体的表面积。 【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。 例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中 有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前 面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是 相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前 面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。 练习与思考 1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单
五年级下长方体和正方 体奥数 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
一、上节课回顾及作业检查 知识点回顾，规律公式 二、新授重点内容 在数学中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点： 1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来； 2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化； 3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。 三、例题讲解及讲练结合 例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米） 分析（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）； （2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。 想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 练习一 1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？ 2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米） 分析（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）； （2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。 练习二 1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 分析一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是× 6=75（平方厘米）。 练习三
1、把3个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 2、把一个长方体的木块截成两段，就成了两个完全相等的正方体，这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米，原来那个长方体的体积是多少立方厘米？ 3、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，是这两个长方体的表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？ 4、一个长方体，前面和上面的面积之和是290平方厘米，这个长方体的长宽高都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 5、一个长方体的表面积是78平方厘米，底面积是15平方厘米，底面周长是16厘米，求长方形的体积。 6、一个长方体水箱。从里面量长20厘米，宽是30厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米，放进一个棱长20厘米的正方体的铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面的高多少厘米？ 7、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，成了一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？ 8、从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体后，剩下的部分正好是棱长4厘米的正方体，原来的长方体的表面积是多少平方厘米？ 9、一个长方体的纸盒，展开它的侧面得到一个边长是12分米的正方形。这个纸盒的体积是多少？ 10、边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长和宽都大于高，长方体的长和宽的和是几米？ 11、把一个正方体木块平均锯成3个长方体.已知每个长方体的表面积是150平方厘米,求原来正方体的表面积是多少？
长方体正方体奥数举一 反三 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
长方体和正方体（二） 例题1 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？ 【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。 练一练1：有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 解：设两个池中水面的高度为x米， 由题意得 8×6×x+4×4×x=8×6×3 48x+16x=144 64x=144 x=．答：水面的高度是米． 计算法：总水量是8×6×3=144立方分米甲的底面积是8×6=48平方分米 乙的底面积是4×4=16平方分米两者水面高度是：144÷（48+16）=（分米） 答：水面的高度是米． 练一练2：有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？ 水箱的底面积是：40×30＝1200（平方厘米）水的体积是：1200×10＝12000（立方厘米） 正方体铁块的底面积是：20×20＝400（平方厘米） 水箱放入正方体铁块后,底面积变成了 1200－400＝800（平方厘米） 现在水面高：12000÷800＝15（厘米）答：这时水面高15厘米。 典型例题精讲2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 分析因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。 体积=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米 答：这个大正方体的体积是216立方厘米。 练一练1：:有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
第13周长方体和正方体（一） 例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 练习一 1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？ 2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3，有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米） 练习二 1，有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 2，有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3，如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？ 例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 练习三 1，把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长
方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 2，一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？ 3，把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。 分析要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b 即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12，