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数学五年级下册教案- 长方体和正方体总复习(2) 西师大版教学目标：1. 知识与技能：复习长方体和正方体的特征，理解长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，能够熟练进行相关计算。
2. 过程与方法：通过观察、操作、实践等活动，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生合作学习的能力，培养学生良好的学习习惯。
教学重点：1. 长方体和正方体的特征及其计算方法。
2. 长方体和正方体的体积和表面积的计算方法。
教学难点：1. 长方体和正方体的体积和表面积的计算方法。
2. 空间想象能力的培养。
教学准备：1. 教学课件或黑板、粉笔。
2. 学生用书、练习本、铅笔等学习用品。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一个长方体和一个正方体的模型，引导学生观察并说出它们的特征。
2. 学生回答后，教师总结长方体和正方体的特征，并板书。
二、探究长方体和正方体的体积和表面积（15分钟）1. 教师出示一个长方体和一个正方体的模型，引导学生探究它们的体积和表面积的计算方法。
2. 学生分组讨论，每组派代表分享探究成果。
3. 教师总结长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，并板书。
三、练习（15分钟）1. 教师出示一些长方体和正方体的题目，学生独立完成。
2. 教师选取部分学生的作业进行讲解，纠正错误。
四、巩固（10分钟）1. 教师出示一些长方体和正方体的实际问题，学生分组讨论解决方法。
2. 每组派代表分享解决问题的方法，教师点评并总结。
五、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课的内容，总结长方体和正方体的特征及计算方法。
2. 学生分享学习收获，教师点评并鼓励。
教学反思：本节课通过观察、操作、实践等活动，让学生复习了长方体和正方体的特征，理解了它们的体积和表面积的计算方法。
在练习环节，学生能够独立完成题目，并能够解决实际问题。
但在巩固环节，部分学生对于空间想象能力的培养还有待提高。
第2课时长方体和正方体的表面积（2）▷教学内容教科书P25~26“练习六”第1题、第5～13题。
▷教学目标1.进一步认识长方体和正方体的展开图。
2.巩固长方体和正方体的表面积计算方法，形成技能。
3.灵活运用计算方法解决一些简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
▷教学重点掌握长方体和正方体的表面积计算方法，形成技能。
▷教学难点灵活运用长方体和正方体的表面积计算方法解决实际问题。
▷教学准备课件。
▷教学过程一、长方体和正方体的展开图练习1.辨析长方体的展开图。
（1）课件依次出示以下两道题。
（2）先让学生独立思考，再交流解答。
2.巩固认识正方体的展开图。
（1）课件出示。
（2）学生自由发言，进行辨析，找到正确答案。
3.找相对的棱。
◎教学笔记【教学提示】当学生有不同的结果时，教师要耐心倾听学生是怎么想的。
（1）课件出示教科书P25“练习六”第1题。
（2）学生在教科书上独立完成。
（3）全班集中交流展示，课件同步呈现。
【学情预设】因为涉及对应的棱，不同的剪开方法，也有不同的展开图，本题的答案不唯一。
教师要关注学生的不同思维和不同结果。
【设计意图】对于哪些图形能围成长方体、正方体，有的学生会感到比较困难，这个内容也是学生将二维图形与三维图形进行转化的重要内容，多次练习，帮助积累推理思维经验和培养想象能力。
二、具体问题具体分析，解决实际问题1.分析探究教科书P25“练习六”第5题。
（1）课件出示问题，学生自主解答。
（2）展示交流。
师：这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？求的是哪几个面的面积？【学情预设】大部分学生都能知道少算的两个面具体是用哪两个数据相乘的，对于有困难的学生仍可借助学具演示得出。
引导学生理解：上、下两个面的长是长方体的长，上、下两个面的宽是长方体的宽。
这两个面的面积不能算。
师小结：这张商标纸的面积是饼干盒前、后、左、右4个面的面积之和。
2.分析探究教科书P26“练习六”第10题。
（1）课件呈现问题。
五年级下册数学教案四长方体（二）长方体和正方体整理和复习｜北师大版在上一节课中，我们学习了长方体和正方体的特征，这节课我们将对所学内容进行整理和复习，进一步巩固长方体和正方体的相关知识。
一、教学内容我们使用的教材是北师大版五年级下册的数学教材，本节课的教学内容是第四章第三节“长方体（二）”。
这部分内容主要包括长方体和正方体的特征、性质以及它们的表面积和体积的计算方法。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够：1. 理解和掌握长方体和正方体的特征、性质及表面积和体积的计算方法；2. 能够运用所学的知识解决实际问题；3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
三、教学难点与重点本节课的重点是长方体和正方体的特征、性质及表面积和体积的计算方法。
难点主要是如何引导学生理解和掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法。
四、教具与学具准备为了更好地进行课堂教学，我准备了一些教具和学具，包括长方体和正方体的模型、卡片、练习题等。
五、教学过程1. 情景引入：我会通过展示一些生活中的长方体和正方体的实物，如牙膏盒、魔方等，引导学生关注这些物体的特征，激发学生的学习兴趣。
2. 知识回顾：我会让学生回顾上一节课所学的内容，包括长方体和正方体的特征、性质以及表面积和体积的计算方法。
3. 知识讲解：我会通过模型和图示，详细讲解长方体和正方体的特征、性质，以及表面积和体积的计算方法，让学生在直观的基础上，理解和掌握这些知识。
4. 例题讲解：我会选取一些典型的例题，引导学生运用所学的知识解决问题，加深学生对知识的理解和运用。
5. 随堂练习：我会设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，及时巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：长方体和正方体的特征和性质1. 长方体和正方体的定义2. 长方体和正方体的特征六个面都是矩形（正方体是正方形）相对的面面积相等12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的面积相等3. 长方体和正方体的性质体积计算公式：长×宽×高表面积计算公式：2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)七、作业设计1. 请列举出你生活中的长方体和正方体，并描述它们的特征和性质。
第14讲长方体和正方体（二）一、知识要点在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练【例题1】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。
从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？练习1：1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问水面高多少？2.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米？【例题2】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
练习2：1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。
【例题3】有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？练习3：1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。
五年级下册数学教案四长方体（二）长方体与正方体复习｜北师大版教案：长方体与正方体复习一、教学内容本节课主要复习五年级下册数学教材中关于长方体和正方体的相关内容。
具体包括：长方体的特征、长方体的表面积和体积的计算方法、正方体的特征、正方体的表面积和体积的计算方法。
二、教学目标1. 使学生掌握长方体和正方体的特征。
2. 培养学生运用长方体和正方体的知识解决实际问题的能力。
3. 帮助学生熟练运用长方体和正方体的表面积和体积公式进行计算。
三、教学难点与重点1. 教学难点：长方体和正方体表面积和体积公式的运用。
2. 教学重点：长方体和正方体特征的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：长方体和正方体的模型、课件。
2. 学具：练习本、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一个长方体和一个正方体的模型，让学生观察并说出它们的特征。
2. 知识点讲解：讲解长方体和正方体的特征，以及表面积和体积的计算方法。
3. 例题讲解：出示一个长方体和一个正方体的例子，让学生计算它们的表面积和体积。
4. 随堂练习：让学生独立完成练习题，计算长方体和正方体的表面积和体积。
5. 板书设计：长方体：特征：……表面积公式：……体积公式：……正方体：特征：……表面积公式：……体积公式：……6. 作业设计：题目1：计算下面长方体的表面积和体积。
长方体的长：10cm，宽：6cm，高：4cm。
答案：……题目2：计算下面正方体的表面积和体积。
正方体的边长：5cm。
答案：……六、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过长方体和正方体的复习，让学生掌握了它们的特征和计算方法。
在教学过程中，注意引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
2. 拓展延伸：让学生运用长方体和正方体的知识，设计一个立方体模型，并计算其表面积和体积。
重点和难点解析一、实践情景引入环节中模型展示的方式在实践情景引入环节，我使用了长方体和正方体的模型进行展示。
五年级下册数学教案-四长方体（二）长方体和正方体的整理复习｜北师大版教学目标1. 让学生通过复习，进一步理解长方体和正方体的特征，掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 培养学生合作学习、自主探究的学习习惯，激发学生对数学的学习兴趣。
教学内容1. 长方体和正方体的特征：面的数量、面的形状、棱的数量、棱的长度、顶点的数量。
2. 长方体和正方体的表面积计算方法。
3. 长方体和正方体的体积计算方法。
4. 长方体和正方体在实际生活中的应用。
教学重点与难点1. 教学重点：长方体和正方体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：长方体和正方体的表面积和体积的计算在实际问题中的应用。
教具与学具准备1. 教具：长方体和正方体的模型、多媒体课件。
2. 学具：练习本、文具盒、计算器。
教学过程1. 导入：通过提问的方式，引导学生回顾长方体和正方体的特征，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：通过多媒体课件，展示长方体和正方体的模型，引导学生观察并总结长方体和正方体的特征。
3. 知识讲解：讲解长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，通过例题，让学生理解和掌握计算方法。
4. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：让学生分组讨论长方体和正方体在实际生活中的应用，培养学生的合作学习能力和解决问题的能力。
6. 课堂小结：总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
板书设计1. 长方体和正方体的特征2. 长方体和正方体的表面积计算方法3. 长方体和正方体的体积计算方法4. 长方体和正方体在实际生活中的应用作业设计1. 基础题：计算长方体和正方体的表面积和体积。
2. 提高题：解决实际问题，应用长方体和正方体的知识。
3. 拓展题：研究长方体和正方体的其他性质。
课后反思1. 教学过程中，是否充分激发了学生的学习兴趣？2. 学生是否理解和掌握了长方体和正方体的表面积和体积的计算方法？3. 学生是否能够将所学知识应用到实际生活中？4. 教学过程中，是否注重培养学生的合作学习能力和解决问题的能力？5. 作业设计是否合理，是否能够有效巩固所学知识？通过本节课的教学，希望学生能够进一步理解和掌握长方体和正方体的知识，提高学生的数学素养，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。
这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。
解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。
根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。
长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。
五年级下册数学教案-3.5长方体正方体问题解决（二）︳西师大版一、教学目标1. 让学生进一步理解长方体和正方体的特征，掌握它们的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用长方体和正方体的知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
4. 培养学生合作学习、积极探究的良好学习习惯。
二、教学内容1. 长方体和正方体的特征2. 长方体和正方体的表面积和体积的计算方法3. 长方体和正方体在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：长方体和正方体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：如何运用长方体和正方体的知识解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过上一节课的学习，我们已经掌握了长方体和正方体的特征以及它们的表面积和体积的计算方法。
今天，我们将进一步学习如何运用这些知识解决实际问题。
2. 讲解新课（1）长方体和正方体的特征长方体和正方体都是立体图形，它们有以下几个共同特征：1）六个面都是矩形，其中相对的两个面完全相同。
2）有12条棱，分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。
3）有8个顶点。
正方体是特殊的长方体，它的六个面都是正方形，12条棱的长度都相等。
（2）长方体和正方体的表面积和体积的计算方法长方体的表面积计算公式为：S = 2(ab ah bh)，其中a、b、h分别表示长方体的长、宽、高。
长方体的体积计算公式为：V = abh。
正方体的表面积计算公式为：S = 6a²，其中a表示正方体的边长。
正方体的体积计算公式为：V = a³。
（3）长方体和正方体在实际问题中的应用例1：一个长方体的长、宽、高分别为10cm、6cm、4cm，求它的表面积和体积。
解：表面积S = 2(10×6 10×4 6×4) = 376cm²，体积V = 10×6×4 = 240cm³。
例2：一个正方体的边长为5cm，求它的表面积和体积。
五年级奥数长方体与正方体（二）教师版如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形 示例体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h、S 二要素： 正方体3V a =V Sh= a一要素： h、S 二要素：不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法例题精讲长方体与正方体（二）③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。
【答案】6【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报,决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2÷⨯=(米)．0.2米=2分米．⨯⨯-=(立方米)．1.30.30.30.0780.039所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。
8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。
【答案】100【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米,405厘米,485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高长【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,口试 【解析】 长方体中高+宽1(3655)1802=-=, ⑴高+长1(4055)2002=-=, ⑵长+宽1(4855)2402=-=, ⑶⑵-⑴：长-宽20=, ⑷ ⑷+⑶：长130=,从而宽110=, 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)【答案】1.001【例 6】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图）,若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,9题 【解析】 长方形的长为：()44551523554180+--=÷（厘米）；长方形的宽为:()51551802275--=⨯÷（厘米）； 长方形的高为：()2355752240--=⨯÷（厘米）；长方形的体积为:61807540100.54=⨯⨯÷（立方米）。
【答案】0.54【例 7】 一个长方体的表面积是33.66平方分米,其中一个面的长是2.3分米,宽是2.1分米,它的体积是_____立方分米.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯【解析】 长方体的高是30(33.66 2.1 2.32)2(2.1 2.3)11-⨯⨯÷÷+=(分米).长方体的体积是30192.1 2.31311110⨯⨯=(立方分米)．【答案】19 13 110【例 8】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图),表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,决赛【解析】96812÷=(平方厘米),122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【答案】2880【例 9】一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小数报,决赛【解析】设大长方体的宽(高)为a分米,则长为2a,右(左)面积为2a,其余面的面积为22a,根据题意,22222862600a a a⨯++⨯=所以225a=,5a=．大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．【答案】250【例 10】有三个大小一样的正方体,将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状,表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】三个小正方体拼接成图中的样子,减少了小正方体的4个侧面正方形的面积,表面积减少了16平方厘米,每个正方形侧面为1644÷=平方厘米,每个正方体棱长为2厘米,三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.【答案】24【例 11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了_____块木块,最少用了____ __块木块。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,决赛,第8题,10分 【解析】 从上往下看,分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。
321321223213001300203【答案】最多25,最少9【例 12】 边长为5的正方形,被分割成55⨯的小方格。
每个小方格上堆放边长为1cm 的正方体积木,个数如图所示。
在每个积木外露的面上贴一张红纸,其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。
共贴 张红纸。
恰贴3张红纸的有 块积木。
1533112543234252342154141【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,4年级,决赛,第11题,12分 【解析】 从正面看,需要贴5525⨯=（张）；从左边看,需要贴5455524++++=（张）； 从右边看,需要贴5455524++++=（张）； 从前面看,需要5545524++++=（张）； 从后面看,需要5545524++++=（张）；再看中间凹进去的部分,需要贴644224426++++++=（张）, 所以一共需要贴252424242426147+++++=（张）； 先看四条边上,有14块积木贴3张红纸； 非边上的积木,有1块积木恰好贴3张, 所以一共有14115+=（块）积木。
【答案】共贴26张,共有15块【例 13】 有一个长方体,长是宽的2倍,宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 长的12即宽,所以高的13就是1厘米,高是3厘米,宽是339⨯=厘米,长是9218⨯=厘米,体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．【答案】486【巩固】一个长方体的各条棱长的和是48厘米,并且它的长是宽的2倍,高与宽相等,那么这个长方体的体积是______ 立方厘米．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,决赛 【解析】 依题意,这个长方体的长、宽、高之和是48412÷=(厘米),于是它的宽与高都等于12(211)3÷++=(厘米), 它的长是326⨯=厘米．所以这个长方体的体积是63354⨯⨯=(立方厘米)．【答案】54【例 14】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体,已知每块砖的体积是3288cm ,则大长方体的表面积为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量,但我们只知道它们的乘积,但可以从图中发现隐含的数量关系．由图可知每块砖的长、宽、高的比值,两个长等于三个宽,所以长、宽之比为3:2,四个高等于一个长,所以长、高之比为4:1,长、宽、高之比为12:8:3,设砖的长为12单位,那么体积应该为1283288⨯⨯=个立方单位,所以一个单位长度就是1厘米,所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米,12厘米,11厘米,所以大长方体的表面积为：24121211112421368⨯+⨯+⨯⨯=（）平方厘米．【答案】1368【例 15】 有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积,就等于所沉入的碎石的体积．因此,沉入水池中的碎石的体积是 330.060.54⨯⨯=(米3),而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16⨯⨯=(米3)． 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7+=(米3)．把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是6636⨯=(米3)．所以水面升高了0.70.73636÷=(米)7036=(厘米)17118=(厘米)． 故大水池的水面升高了17118厘米．【答案】17118【例 16】 一个正方体容器,容器内部边长为24厘米,存有若干水,水深17.2厘米,现将一些碎铁块放入容器中,铁块沉入水底,水面上升2.5厘米,如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱,重新放入池中,则水面升高几厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米,则有水面升高后水的总体积=原来水的体积+铁块浸入水中的体积,22242417.2x S x⨯=⨯+⨯铁块的底面积,其中22424 2.5 S⨯=⨯铁块的底面积,得到24 2.5S=⨯铁块的底面积,解得19.2x=,所以水面升高了19.217.22-=(厘米)．【答案】2【例 17】如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱）,且穿透．另有一长方体容器,从内部量,长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米,内部有水,水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中,则铁块在水下部分的体积为立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,初赛,6年级【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体,高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱,高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深3厘米,所以正方体铁块放入水中后,铁块最下面一层肯定全部在水中,而水也不可能上升到最上面一层,即恰在中间一层.设水面上升了h厘米,则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致,水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积,即：2221512(104)334h h⨯⨯=-⨯+⨯⨯,解得74 h=,故铁块在水下部分的体积为715123154⨯⨯=(立方厘米).【答案】315【例 18】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体,这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等,那么最少可分割成个小正方体．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,决赛【解析】因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然,棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体,剩余部分再切割出33322227819⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体,这样总共可以分割成11920+=(个)小正方体．【答案】20【巩固】有一个长方体的盒子,从里面量长40厘米,宽12厘米,高7厘米,在这个盒子里放长5厘米,宽4厘米,高3厘米的长方体木块．最多可放块．444433333【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 上图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体,即盒子中最多可放这种长方体 40712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．【答案】56【例 19】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块,棱长比是1:2:3．如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设甲的棱长是1,则乙的棱长是2,丙的棱长是3．一个甲种木块的体积是1,一个乙种木块的体积是2228⨯⨯=,一个丙种木块的体积是33327⨯⨯=．由于每种正方体都要用到,那么所拼成的正方体的棱长最小应为325+=． 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时,体积是555125⨯⨯=．要想使三种正方体的总数最小,则体积较大的木块应尽可能多．由于棱长为5,所以其中丙种木块只能有1个．有了1个丙种木块后,乙种木块最多可以有4217++=块．丙种木块的体积是27,乙种木块的体积是8756⨯=,余下的体积为125275642--=．所以还需要甲种木块42142÷=块． 所以共需要至少174250++=块．【答案】50【例 20】 用112⨯⨯、113⨯⨯、122⨯⨯三种小木块拼成333⨯⨯的正方体．现有足够多的122⨯⨯ 的小木块,还有14块113⨯⨯的小木块,如果要拼成10个333⨯⨯的正方体,则最少需要112⨯⨯的小木块________块．【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 112⨯⨯、113⨯⨯、122⨯⨯三种木块的体积分别为2,3,4,其中只有3为奇数,2,4都是偶数．因为33327⨯⨯=,体积为奇数,所以每个333⨯⨯的正方体中,113⨯⨯的木块要有奇数块．当只用1块113⨯⨯时,剩下的体积为24,但无法完全用122⨯⨯完成,还需要112⨯⨯的小木块,由于24和4都是4的倍数,所以112⨯⨯的小木块的体积和也是4的倍数,至少要用2块112⨯⨯的小木块．检验可知用1块113⨯⨯的小木块、2块112⨯⨯的小木块和5块122⨯⨯的小木块可以拼成333⨯⨯的正方体．当用3块113⨯⨯的小木块时,体积剩下18,可以再用4块122⨯⨯的小木块和1块112⨯⨯的小木块拼成．当用5块113⨯⨯的小木块时,体积剩下12,此时可以再用3块122⨯⨯的小木块拼成,即此时不需要用112⨯⨯的小木块拼成．为了尽量少用112⨯⨯的木块,所以要尽量多用其他木块．而一共只有14块113⨯⨯的木块,所以可以在8个333⨯⨯的正方体中各用1块113⨯⨯的木块,另2个333⨯⨯的正方体各用3块113⨯⨯的木块；也可以在9个333⨯⨯的正方体中各用1块113⨯⨯的木块,另1个333⨯⨯的正方体用5块113⨯⨯的木块．前者需要281218⨯+⨯=个,后者需要2918⨯=个,数量相同,所以最少需要112⨯⨯的木块18块．【答案】18【例 21】把一个长方体形状的木料分割成3小块,使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米,宽为12厘米,高为9厘米．分割时要求只能锯两次,如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外,还可有其他不同的分割方法,请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】分割方法很多,如图3,给出以下9种分割方法：图4【答案】答案不唯一,给出以下9种分割方法：图4【例 22】如图,把正方体用两个与它的底面平行的平面切开,分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时,用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯,六年级,初赛【解析】由于分出的三个长方体的底面积相同,所以体积之比等于三个长方体的高之比,设正方体的棱长为1,三个长方体的高分别为1h,2h,3h,所以1231h h h++=,根据“分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5”得123(24):(24):(24)3:4:5h h h+++=,而123123(24)(24)(24)64()10h h h h h h+++++=+++=,所以有132410345h+=⨯++,解得118h=,同理得213h=,31324h=,所以1231113::::3:8:138324h h h==,即体积比为3:8:13。
