小学奥数讲义：长方体与正方体

长方体和正方体长方体和正方体这部分知识，是学生首次比较系统全面地接触到的立体图形・它是学生空间观念的形成、建立和发展的基础。

首先要构建一个完整的知识体系，对长方体、正方体的特征.,表面积和体积的意义及公式的推导有一个全面细致的掌握。

长方体的特征：8个顶点，6个面，12条棱，相对的两个面完全相同，相对的四条棱的长度都相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高，分别用字母a、b、h表示。

正方体的特征：8个顶点，6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，正方体是特殊的长方体，棱长用字母a表示。

长方体的表面积：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2正方体的表面积：S＝a×a×6＝6a²长方体的体积：V＝a×b×h＝Sh（S表示长方体的底面积）正方体的体积：V＝a×a×a＝a³其次在掌握长方体特征、表面积、体积意义及计算方法的基础上，重点是培养学生的空间想象能力，通过对长方体和正方体的切割、拼摆等动态变化，并且和生活实际相结合，化“整”为“零”，使问题简单化，以利于问题的解决，同时也可以站在整体的立场上，直接综观全局研究问题，以利于培养学生的整体思想。

例1一个长方体正好可以切割成3个完全一样的正方体，且没有剩余，三个正方体的表面积比原来增加了32平方厘米，求原来长方体的表面积。

分析：如下图所示：这个长方体切割成三个正方体，需切割两次，每切割一次增加2个切面，一共增加了4个切面，每个切面的面积就是32÷4＝8（平方厘米），组成原长方体的6个面实际上就是14个面积为8平方厘米的正方形。

解：32÷4×14＝8×14＝112（平方厘米）例2：把一个长方体的高减少2厘米后，就成了一个正方体，且表面积比原来减少了40平方厘米，求原长方体的体积是多少？分析：如上图所示，由于高减少2厘米后，就成了一个正方体，可得这个长方体的底面是一个正方形。

正方体、长方体（一）姓名1、一个正方体木块的表面积是24平方厘米，将它锯成两个同样大小的长方体，求每个长方体木块的表面积？2、一个正方体表面积是12平方厘米，用4个这样的正方体拼成一个长方体，求长方体的表面积？3、用6个大小完全一样的正方体拼成一个大长方体，它的表面积比留个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个小正方体的表面积？4、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积是多少？5、有一个正方体木块，把他分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少？6、一根长2米的长方体木料沿横截面锯成3段之后，表面积增加了0.48平方米，原来这根木料的体积是多少立方米？7、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？8、把一个长方体木块，长4分米，宽3分米，高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？9、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米，宽是4厘米，高2厘米，现在把三块积木搭成一个大的长方体，怎么样搭表面积最大？最大的表面积是多少平方厘米？10、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？11、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？12、一个正方体木块，表面积是96平方厘米。

把它锯成体积相等的8个小正方体小木块，每个小木块的表面积是多少平方厘米？13、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。

已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？14、一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？15、一个长方体的体积是385立方厘米，并且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积16、有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，那么表面积增加了多少平方米？17、一个长方体，若高截去2分米，则成为一个正方体，表面积比原来减少32平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba H GF ED CB A①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条)．【答案】8个面，18条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？例题精讲长方体与正方体（一）【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】9个面，21条棱．【答案】9个面，21条棱【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【答案】600【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【答案】15000【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．【答案】12【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，10题【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．【答案】百分之八【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【答案】120【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．【答案】3【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，1 4⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【答案】1 294【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？【答案】1252【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米．68766【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.剩下的体积应是()33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【答案】24【巩固】一个表面积为2cm．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cm)⨯=．【答案】168【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 13】 有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n 为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以(3096362)14421n =-⨯÷=．【答案】21【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.【答案】502【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【答案】54【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。

在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=62a，V正方体=3a例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为22a平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋22a＝240，可知，2a＝25，故a＝5（厘米）．又因为22a＋4ah＝190，解得19022545h-⨯=⨯=7（厘米）所以，原来长方体的体积为：V＝2a h＝25×7＝175（立方厘米）．例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。

解：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×92a（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝62a（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝122a（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝42a（平方厘米）．根据题意：6×92a－62a＋3（122a－42a）＝2592，化简得：542a－62a＋242a＝2592，解得2a＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。

长方体和正方体姓名：一、长方体和正方体的认识1、长方体的特征：长方体是由6个长方形围成的立体图形。

○1观察长方体，长方体有几个面？每个面都是什么形状？比一比相对面是不是完全相同？○2两个面相交的边叫做棱。

数一数，长方体有几条棱？这些棱可以分成几组？每组中的几条棱是不是相等？○3三条棱相交的点叫做顶点。

长方体有几个顶点？2、长方体通常画成下图那样：相交于通一丁点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。

3、正方体的特征：正方体是有6个完全相同的正方形围成的立体图形。

你也能从面、棱、顶点角度，说说可见，正方体是一种特殊的长方体。

如图1图1 图另外，还有一种特殊的长方体，如图2。

它的长厘米，宽厘米，高厘米，它的左面和面完全相同，都是正方形。

其余四个面。

都是长厘米，宽厘米的形。

4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4正方体的棱长总和=棱长×12练一练：1、请你画一个长方体和一个正方体。

长方体：正方体：2、一个长方体长4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的前面是（）形，长是（）厘米，宽是（）厘米；它的右面是（）形，长是（），宽是（）；长方体的下面、左面、前面分别和（）面、（）面、（）面完全相同。

3、小学数学课本的长是21厘米，宽14.5厘米，高0.8厘米，则它的底面是（），面积是（）。

4、用一根48厘米的铁丝围成一个正方体，其棱长是（）厘米。

5、李师傅用两根一样长的铁丝分别围成一个长方体和一个正方体，已知长方体的长10厘米，宽6厘米，高5厘米。

那么正方体的棱长是（）厘米。

6、一个长方体是由3个棱长4厘米的正方体拼成的，这个长方体的长是（），宽是（），高是（）。

他最多有（）面完全相同，面积为（）。

7、用一根长为60厘米的铁丝扎成一个正方体框架，长7厘米，宽5厘米，高是（）厘米。

8、用5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体所有棱长总和是112厘米，求长方体的底面积是（），原来一个正方体的棱长总和是（）厘米。

五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。

这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。

解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。

例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。

根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。

解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。

长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。

例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。

小学奥数知识点——长方体和正方体（一）长方体和正方体的特征（二）长方体和正方体的棱长总和（三）长方体和正方体的表面积1.概念：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它们的表面积。

2.计算公式：重点提示：不足6个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等。

（四）长方体和正方体的体积、容积奥数练习题【题目1】：一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。

已知长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，求正方体的表面积和体积？【解析】：要求出正方体的表面积和体积，必须先求出正方体的棱长。

长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高；正方体有12条棱，每条棱的长度都相等。

设这个正方体的棱长为x分米，根据题意，可以列出方程：12x=（6＋4＋2）×4解得：x﹦4正方体的棱长为4分米。

所以正方体的表面积为：42×6﹦96（平方分米）。

正方体的体积为：43﹦64（立方分米）。

【题目2】：一块长方形铁片（厚度不计），四个角剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升。

已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。

【解析】：546升﹦546立方分米，即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。

厚度不计，铁皮盒的容积也就相当于它的体积。

如上图，铁皮盒的体积为546立方分米，铁片盒的高为2.8分米，铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。

所以，铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。

则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。

由长方形铁皮原来的长、宽，可以求出它的面积为：21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。

【题目3】：一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少了72平方厘米，原来长方体的体积是多少？【解析】：如下图：从长方体高度方向锯掉3厘米的一段，表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面，同时表面积又增加了一个切面，切面面积正好与原长方体上面的面积相等，互相抵消。

1、 长方体和正方体的认识和掌握长方体与正方体的特征。

2、 掌握表面积的算法和组合图形的表面积的计算。

长方体正方体的认识：长方体正方体的表面积和体积： 形体 相同点 不同点联系 面 棱 顶点 面的形状 面的面积 棱长长方体 6 个面 12条棱 8个顶点 6个面都是长方形，有时有两个相对的面是正方形相对的两个面面积相等 相对的棱长度相等 正方体是一种特殊的长方体 正方体 6 个面 12条棱 8个顶点 6个面都是完全相同的正方形 6个面的面积都相等 12条棱的长度都相等形体 表面积体积（容积） 定义 计算公式 常用单位 定义 计算公式 常用单位 长方体 长方体或正方体6个面的面积之和，叫做它们的表面积 S=(ab+ah+bh) ×2 平方厘米 平方分米 平方米 物体所占空间的大小叫做物体的体积。

容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积V=abh V=sh 立方厘米（升毫） 立方分米（升） 立方米 正方体 S=6a²V =a³ V=sh 重难点知识框架长方体与正方体（一）：表面积例题精讲【例1】观察长方体与正方体，并回答下列问题：（1）长方体有（）个面；正方体有（）个面。

（2）长方体每个面是（）形；正方体每个面是（）形。

（3）长方体有（）条棱，哪些棱一样长？（）正方体有条（）棱，哪些棱一样长？（）（4）长方体有（）个顶点；正方体有（）个顶点。

【巩固】【例2】工人叔叔要把下图中的盒子四周镶上银边(即每条棱上贴上银丝)，那么需要多少厘米的银丝？(尺寸如图所示，单位：厘米)【巩固】一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（）分米。

【巩固】一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（）厘米。

【例2】下面中有四个立方体，只有一个三用右边的片折成的，请指出是哪一个（）。

【巩固】【巩固】在下面形状的硬纸片中，沿线对折能围成一个正方体的是（）A ．B ．C ．知识框架你知道正方体和长方体的表面积怎么计算吗？你还记得面积单位间的进率及单位换算吗？1.下面的面积单位中，最大的面积单位是（），最小的是（）A．平方千米B．平方米C．公顷D．平方分米表面积计算常用公式：立体图形示例表面积公式相关要素长方体S= 2(ab+bc+ac) 三要素：a、b、c 正方体S = 6a2 一要素：a易错点：1.长方体被截后表面积增加的面警示：长方体被截一次，要新增加两个相等的面。

五年级奥数讲义：长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算.这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值.解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧.例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积.【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高.根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况.解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3.长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积.【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米).例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米).练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积.2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积.4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体.那么，它的表面积减少多少平方厘米?7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块.沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和.9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?。

长方体和正方体的表面积和体积【知能大展台】1.长方体和正方体的特征：（1）定义：长方体和正方体六个面的总面积叫做它们的表面积。

（2）计算公式：长方体的表面积S=2（AB+AH+BH）正方体的表面积（3）长方体和正方体的体积(1)定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

（2）长方体的体积V=ABH(3)正方体的体积V=长方体或正方体的体积还可以这样计算：V=S·H【试金石】例１一个正方体的棱长５厘米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１厘米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两面涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？【分析】先看这个正方体可以切多少块小正方体。

如图：一共可以切成＝125块小正方体。

为方便起见，我们用不同的阴影表示不同涂色情况网影表示三面涂有红色的小正方体。

三面涂有的小正方体位于顶点处，每个顶点上有一块。

点影表示两面涂有红色的小正方体。

两面涂色的小正方体位于棱长，每条棱上有（5-2）块。

斜影表示一面涂有红色的小正方体。

一面涂色的小正方体位于面中，没个面中间有（5-2）2块。

没有涂上红色的小正方体位于大正方体内部，共有（5-2）3块。

【解答】三面涂有红色的正方体有8块。

两面涂有红色的小正方体有：(5-2)×12=36（块）一面涂有红色的小正方体有：没有涂上红色的小正方体有：面棱顶点面的形状面积大小棱长长方体6个12条8个都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形）相对的两个面的面积相等相对的4条棱长度相等正方体6个12条8个都是正方形6个面的面积相等12条棱长度相等【智力加油站】【针对性训练】一个正方体的棱长4分米，表面涂满了红漆，４它切成棱长为１分米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两面涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？【试金石】例2 把一块长30厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为5厘米的正方形，在焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是1500立方厘米。

小学奥数讲义：长方体与正方体长方体与正方体【知识要点】1、正方体棱长和=棱长×12 长方体棱长和=（长+宽+高）×42、长方体和正方体的表面积，就是长方体和正方体6个面的总面积。

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6表面积在计算时的特殊情况：（1）一般情况需要计算6个面的面积；（2）有时只要计算5个面的面积：如计算游泳池粉刷，游泳池贴瓷砖，浴缸，教室、房间的粉刷面积，无盖的盒子……（3）有时只要计算4个面的面积：如计算饮料的包装纸，通风管……（4）有时只要计算1个面的面积：如游泳池的占地面积，冰箱、洗衣机的占地面积……3、正方体体积=棱长×棱长×棱长长方体体积=长×宽×高通用体积公式：体积=底面积×高【精选例题】1、一个长方体，长12厘米，宽8厘米，高6厘米。

（1）如果从这个长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积应该是多少？（2）如果将这个长方体切成若干个大小一样的正方体（不许有剩余），最少能切多少块？（3）如果用若干个这样相同的长方体拼成一个更大的正方体，至少需要多少个长方体？2、把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米？3、一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是多少？4、一个长方体纸盒，长8厘米，宽是长的43，高是宽的一半。

这个长方体的棱长总和是多少厘米？5、一个体积为160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别为20厘米，32厘米，如图，求这个长方体底面的面积（即图中阴影部分的面积）。

6、一个底面长为25厘米，宽为20厘米的长方体容器，里面盛有水。

当把一个正方体木块放入水中时，木块的12部分没入水中，此时水面升高了1厘米。

對於小學幾何而言，立體圖形的表面積和體積計算，既可以很好地考查學生的空間想像能力，又可以具體考查學生在公式應用中處理相關數據的能力，所以，很多重要考試都很重視對立體圖形的考查．如右圖，長方體共有六個面(每個面都是長方形)，八個頂點，十二條棱． c b a H G F ED CB A ①在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等．(疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形．)②長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積：2()S ab bc ca =++长方体；長方體的體積：V abc =长方体．③正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形． 如果它的棱長為a ，那麼：26S a =正方体，3V a =正方体．板塊一 長方體與正方體的表面積【例 1】 右圖中共有多少個面？多少條棱？后面前面右面左面下面上面例題精講長方體與正方體（一）【鞏固】右圖中共有多少個面？多少條棱？【例 2】如右圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8，寬為3，高為2的小長方體，那麼新的幾何體的表面積是多少？【鞏固】在一個棱長為50釐米的正方體木塊，在它的八個角上各挖去一個棱長為5釐米的小正方體，問剩下的立體圖形的表面積是多少？【例 3】如右圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那麼它的表面積減少了多少?【例 4】如圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那麼它的表面積減少了百分之幾?【例 5】右圖是一個邊長為4釐米的正方體，分別在前後、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l釐米的正方體，做成一種玩具．它的表面積是多少平方釐米?（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體）【例 6】如圖，有一個邊長為20釐米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小立方體後，表面積變為2454平方釐米，那麼挖掉的小立方體的邊長是多少釐米？【例 7】下圖是一個棱長為2釐米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1釐米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為12釐米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同為1釐米，那4麼最後得到的立體圖形的表面積是多少平方釐米？【例 8】從一個棱長為10釐米的正方形木塊中挖去一個長10釐米、寬2釐米、高2釐米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？(寫出符合要求的全部答案)【例 9】一個正方體木塊，棱長是15．從它的八個頂點處各截去棱長分別是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方體．這個木塊剩下部分的表面積最少是多少？【例 10】從一個長8釐米、寬7釐米、高6釐米的長方體中截下一個最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是平方釐米．86667【鞏固】一個長、寬、高分別為21釐米、15釐米、12釐米的長方形，現從它的上面盡可能大的切下一個正方體，然後從剩餘的部分再盡可能大的切下一個正方體，最後再從第二次剩餘的部分盡可能大的切下一個正方體，剩下的體積是多少平方釐米？【例 11】一個正方體木塊，棱長是1米，沿著水準方向將它鋸成2片，每片又鋸成3長條，每條又鋸成4小塊，共得到大大小小的長方體24塊，那麼這24塊長方體的表面積之和是多少？【鞏固】如右圖，一個正方體形狀的木塊，棱長l米，沿水準方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊．那麼，這60塊長方體表面積的和是多少平方米?【鞏固】一個表面積為256cm的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是2cm．【例 12】右圖是一個表面被塗上紅色的棱長為10釐米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個正方體，這些小正方體中沒有被塗上紅色的所有表面的面積和是多少平方釐米？【例 13】有n個同樣大小的正方體，將它們堆成一個長方體，這個長方體的底面就是原正方體的底面．如果這個長方體的表面積是3096平方釐米，當從這個長方體的頂部拿去一個正方體後，新的長方體的表面積比原長方體的表面積減少144平方釐米，那麼n為多少？【例 14】邊長分別是3、5、8的三個正方體拼在一起，在各種拼法中，表面積最小多少？【例 15】如圖，25塊邊長為1的正方體積木拼成一個幾何體，表面積最小是多少？25块积木【例 16】由六個棱長為1的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是．【例 17】將15個棱長為1的正方體堆放在桌子上，噴上紅色後再將它們分開。

知识点概况正方体长方体1、基本概念:1）长方体和正方体都是立体图形；都有6个面，12条棱，8个顶点。

2）从一个顶点引出的3条棱的长度就是长方体的长、宽、高。

3）长方体的6个面都是长方形，特殊的情况有两个相对的面是正方形，相对的面完全相同；相对的棱长度相等（有4条长、4条宽、4条高）。

4）当长方体有两个相对的面是正方形时，其他的4个面是相等的长方形。

（在长方体中最多可以有4个相同的面）5）正方体的6个面都是相等的正方形，12条棱的长度都相等。

6）正方体是特殊的长方体。

7）长方体和正方体最多可以看到3个面。

8）长方体和正方体的表面积是指6个面的总面积；体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积.9）常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米；容积单位一般都用体积单位，但计量液体的体积时用升和毫升。

10）1立方分米=1升；1立方厘米=1毫升。

2、基本计算公式:1)长方体的棱长总和=（长+宽+高）×42)正方体的棱长总和=棱长×12；正方体的棱长总和÷12=棱长3)长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×24)正方体的表面积=棱长×棱长×65)长方体的体积=长×宽×高6)正方体的体积=棱长×棱长×棱长7)长方体和正方体的体积=底面积×高8)如果长方体有2个面是正方形时，长方体的表面积=正方形的面积×2+长方形的面积×49)如果将一个长方体展开，那么长方体的表面积=长×宽×2+（长+宽）×2×高（底面周长=（长+宽）×2）专题练习【考点解析】1.长方体，正方体的特点：1）长方体有（）面，有（）棱，有（）点。

棱长有（）长有（）宽，有（）高。

2）长方体的面的形状一般是长方形，有时两个相对的面是正方形。

第八讲长方体、正方体表面积、体积一、课程引入长方体、正方体的知识是小学数学“空间与图形”领域的重要内容。

前面我们已经学习了长方体以及正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积，会利用公式计算长方体正方体的表面积以及体积。

对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，它们的表面积、体积又如何求呢？二、基本理论理论点1如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a²，体积a³；如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么长方体的表面积=（ab+ah+bh）×2，体积=abh。

理论点2对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。

三、例题精析【例题1】【题干】在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。

【答案】214平方分米【解析】解：上下方向：5×5×2=50（平方分米）侧面：5×5×4=100（平方分米）4×4×4=64（平方分米）这个立体图形的表面积为：50＋100＋64=214（平方分米）答;这个立体图形的表面积为214平方分米。

【例题2】【题干】一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块，如下图.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？【答案】24平方米【解析】解：每锯一刀，就会得到两个1平方米的表面，1×2=2（平方米）。

一共锯了2＋3＋4=9（刀），得到：2×9=18（平方米）的表面。

【小学五年级奥数讲义】长方体和正方体( 三 )一、知识重点解答相关长方体和正方体的拼、切问题，除了要确实掌握长方体、正方体的特点，熟习计算方法，认真剖析每一步操作后表面几何体积的等比状况外，还一定知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增添的表面积等于切面面积的两倍。

二、精讲精练【例题 1】一个棱长为 6 厘米的正方体木块，假如把它锯成棱长为 2 厘米的正方体若干块，表面积增添多少平方厘米？练习 1：1.把 27 块棱长是 1 厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比本来全部的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？2.有一个棱长是1 米的正方体木块，假如把它锯成体积相等的8 个小正方体，表面积增添多少平方米？【例题 2】有一个正方体木块，把它分红两个长方体后，表面积增添了 24 平方厘米，这个正方体木块本来的表面积是多少平方厘米？练习 2：1.把三个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？2.有一个正方体木块，长 4 分米、宽 3 分米、高 6 分米，此刻把它锯成两个长方体，表面积最多增添多少平方分米？【例题 3】有一个正方体，棱长是 3 分米。

假如按下列图把它切成棱长是 1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？练习 3：1.用棱长是 1 厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，起码需要多少个小正方体？假如要摆一个棱长是 6 厘米的正方体，需要多少个小正方体？2.有一个长方体，长 10 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米，假如把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少？【例题 4】一个正方体的表面涂满了红色，而后以下列图切开，切开的小正方体中：（ 1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？练习 4：1.把一个棱长是 5 厘米的正方体的六个面涂满红色，而后切成 1 立方厘米的小正方体，这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？2.把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，而后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共有24 个，那么，这些小正方体一共有多少个？【例题 5】一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、 5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？练习 5：1. 有三块完整相同的长方体木块，每块长8 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米。

第 15 讲长方体和正方体（三）基础卷1．下图是把 19 个棱长为 1cm 的正方体堆放起来．其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少？表面积：9× 2＋10× 2＋8× 2＝54（平方厘米）.2．一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是6dm，宽是 4dm，高是 2dm。

求正方体的表面积和体积。

长方体的棱长和（也就是正方体的棱长和）（6+4+2）×4＝48dm所以正方体的棱长是 48÷12＝4dm正方体的体积是 4×4×4＝64立方分米正方体的表面积是 4×4×6＝96dm²3．有一个棱长 1m 的正方体，沿长、宽、高分别切 3 刀、 4 刀、5 刀后成为 120 个小长方体，这 120个小长方体的表面积总和是多少？棱长1米的正方体,每个面的面积是1平方米,每切一刀增加2个面,总共切了3+4+5=12刀,总共增加了24个面,加上正方体原来的6个面,总共有30个面,所以这120个小长方体的表面积总和是30平方米. 1²×[(3+4+5)×2+6]=1×30=30.这120个小长方体的表面积的总和是30平方米.4．把一根长 64dm 的粗铁丝截成几段，焊成二个长方体框架，再用铁皮包上各个面，要使做成的带盖的长方体铁皮箱尽量能装棱长为 1dm 的正方体木块，做这个长方体铁皮箱需要多大面积的铁皮？64÷4=16（分米）16=5+5+6（5×5+5×6+5×6）×2=（25+30+30）×2=（55+30）×2=85×2=170（平方分米5．一个正方体木块，表面积是 96cm2，把它锯成体积相等的 8 个正方体小木块，求每个小木块的表面积。

96÷6=16（cm2），大木块的棱长：4cm小正方体表面积：2×2×6=24（cm2）6．把若干体积相等的小正方体拼成一个大正方体，然后在大正方体的表面涂上红色．已知一面涂色的小正方体有 96 个，那么．两面涂色的小正方体有多少个？答：1面涂色的小正方体在每个面的中间,不靠边上96÷6=16个每个面有16个=4×4则每个面有(4+2)×4+2)=36个小正方形涂两面的小正方体在棱边上,但不在顶角上每条棱边有4个,共12条棱边所以：共有48个小正方体两面涂色提高卷1．如图所示，各个面上均涂有蓝色，按图上的方法切割成小正方体，切下的小正方体中，两面、三面均涂色的有多少块？两面17、三面102．有三个长、宽、高分别为 7cm、 9cm、 11cm； 5cm、 7cm、 9cm；3cm、 5cm、 7cm 的长方体，分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为 1cm 的小正方体，其中至少有一面是红色的小正方体有多少个？其中至少有一面是红色的小正方体有678个3．将一个长 9cm、宽 8cm、高 3cm 的长方体木块锯成若干个小正方体，然后再拼成一个大正方体，求大正方体的表面积。