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§2.7对数函数1．对数函数的定义形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a <b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (2)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(3)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )(4)若a m >a n (a >0，a ≠1)，则m >n .( × ) 题组二 教材改编 2．已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1. ∴c >a >b .3．函数y 23log 21x (-)的定义域是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，1解析 由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y 23log 21x (-)⎝⎛⎦⎤12，1.题组三 易错自纠4．函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1,3]解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3－a ≥0，解得1<a ≤3.5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为________． 答案 (0，＋∞)解析 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0. 故f (x )的值域为(0，＋∞)．6．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).对数函数的图象及应用例1 (1)(2020·南京模拟)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.4x <log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫22，1解析 当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2.把点⎝⎛⎭⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.思维升华 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练1 (1)(2019·常州质检)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 由函数值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．(3)若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫116，1解析 只需f 1(x )＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可． 当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立， 只需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a12，解得a ≥116， 所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.对数函数的性质及应用命题点1 解对数方程、不等式例2 (1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案 x ＝ 5解析 原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)设f (x )＝212log ,0,log ,0,x x x x >⎧⎪⎨(-)<⎪⎩则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案 {－1,1}解析 当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1； 当a <0时，由f (a )＝12log ()a －＝log 2⎝⎛⎭⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. ∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 由题意，得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或1220,log ()log (),a a a >>⎧⎪⎨⎪⎩－－解得a >1或－1<a <0.命题点2 对数函数性质的综合应用 例3 已知函数f (x )＝212log (23).x ax +－(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 (1)由f (－1)＝－3，得12log (4+2)a ＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝212log (43),x x +－由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)． (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立， 则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0， 解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83.比较指数式、对数式的大小例4 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0， b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为________． 答案 f (c )>f (a )>f (b )解析 由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)， 又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |，所以f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)， 即f (c )>f (a )>f (b )．(4)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c <a <b解析 易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫14＝f (4)，所以c <a <b .思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3 (1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝⎛⎭⎫ln 32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 213，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫ln 32<f ⎝⎛⎭⎫12<f (log 23)＝f ⎝⎛⎭⎫log 213， ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得 1log 2a <1log 2b <1log 2c <0， 即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·扬州中学期中)函数y ＝12log (21)x -的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．[1，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤12，1 D ．(－∞，1)答案 A解析 要使函数y ＝12log (21)x -有意义，则2x －1>0，解得x >12，即函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0答案 D解析 由a ，b >0且a ≠1，b ≠1，及log a b >1＝log a a 可得，当a >1时，b >a >1，当0<a <1时，0<b <a <1，代入验证只有D 满足题意． 3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2020·南京质检)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是( ) A ．x >a B ．a <x <1 C ．x >1 D ．0<x <a答案 B解析 易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝212log (4)x －的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D 解析 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案 A解析 作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2 答案 BD解析 函数f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1， 其定义域满足(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，∴定义域为{x |－1<x <1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对． 函数y ＝21＋x－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2 ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是__________． 答案 [0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1. 综上可知x ≥0.9．(2019·南通模拟)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab ＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝⎛⎭⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1， 化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，所以0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 设t ＝ax 2－x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2－14a. 若f (x )在[2,4]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a ≥4，16a －4>0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，12a ≤2，4a －2>0，解得a >1. ∴存在实数a 满足题意，即当a ∈(1，＋∞)时，f (x )在[2,4]上是增函数．13．已知函数f (x )＝lne x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝1 010(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫e 2 021＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 021＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 020e 2 021＝2 020， ∴1 010(a ＋b )＝2 020，∴a ＋b ＝2.∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号．14．(2019·无锡模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________.答案 2解析 令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.15．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1答案 A解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.16．已知函数f (x )＝lg x －1x ＋1. (1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. ∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0， ∴f (x )为奇函数．∴f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m (x ＋1)(7－x )恒成立． 即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
