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基本不等式中常用公式
①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)
②√(ab)≤(a+b)/2
③a²+b²≥2a b
④ab≤(a+b)²/4
⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本不等式三大定理
•基本不等式有两种：基本不等式和推广的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要应用于求某些函数的最大（小）值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
（1）基本不等式
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
向左转|向右转
向左转|向右转
（2）推广的基本不等式（均值不等式）
向左转|向右转
时不等式两边相等。
•不等式运用示例
某学校为了美化校园,要建造一个底面为正方形,体积为32的柱形露天喷水池,问怎样才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少?
答：设底面正方形边长为x，则水池高为
32/x^2y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x≥
3(1*64*64)^(1/3)=48所以当x^2=64/x,x=4时花费最少。
上面解法使用了均值不等式
向左转|向右转
时不等式两边相等。
高三基本不等式知识点不等式是数学领域中重要的概念之一，它们在求解实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。
高三是学习不等式的重要阶段，基本不等式是其中的基石。
本文旨在介绍高三基本不等式的知识点，帮助同学们更好地理解和运用这一概念。
一、基本不等式的定义基本不等式是不等式理论的基础，它为不等式的推导和运用奠定了基础。
在高三阶段，我们主要学习的基本不等式包括以下几个：1. 乘法不等式：对于实数a和b，当a大于0时，有a \cdot b > b；当a小于0时，有a \cdot b < b。
这个不等式指明了正数与负数的相对大小关系。
2. 加法不等式：对于实数a、b、c，如果a > b，则a + c > b + c。
这个不等式说明了不等式方程可以通过同加、同减等方式来对不等式进行处理。
3. 平方不等式：对于实数a，如果a > 0，则有a^2 > 0。
这个不等式告诉我们，正数的平方也是正数。
4. 倒数不等式：对于正实数a和b，如果a < b，则\frac{1}{a} > \frac{1}{b}。
这个不等式是有关倒数的大小比较。
二、基本不等式的运用基本不等式不仅仅是理论概念，还可以应用于解决实际问题和证明数学定理。
下面是一些常见的基本不等式的运用：1. 利用乘法不等式，可以推导出分式不等式的性质。
例如，在求解不等式\frac{1}{x+2} > \frac{2}{3}时，可以通过乘法不等式将其转化为x+2 < \frac{3}{2}的形式。
2. 平方不等式在求解二次函数不等式时起着重要的作用。
例如，当求解不等式x^2 - 4x > 0时，可以将其转化为(x - 2)(x + 2) > 0的形式，进而得到x > 2或x < -2的解集。
3. 不等式的证明中，基本不等式常常用于构造等式。
通过适当的变形和推导，可以将不等式转化为等式，从而得到证明过程。
基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+ （1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R （5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R （7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．（1）已知54x <，求函数14145y x x =-+-的最大值； （2）已知*,x y ∈R (正实数集)，且191x y+=，求x y +的最小值． 考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数． *网 （1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确； 对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设正实数,x y 满足1,12x y >>,不等式224121x y m y x +≥--恒成立,则m 的最大值为 A． B．C ．8D ．16典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 学*4．已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是_____________.1．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为 A ．12-B ．12C ．1D ．22．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是 A ．a+b ≥2 B ．+≥2 C ．|+|≥2D ．a 2+b 2>2ab3．（）的最大值为 A ． B ． C ．D ．4．已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为A B ．45C ．2D ．235．若正实数a ，b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 BC ．ab 有最小值14D ．22a b +有最小值26．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．D ．7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)D ．(-∞,-8]8．若对任意正数x ，不等式211ax x≤+恒成立，则实数a 的最小值为A ．1BC ．2D ．129．已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有A B ．最小值2CD ．最大值210．如图，在ABC △中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A ．B ．C ．D ．11．已知正实数满足当取最小值时，的最大值为A ．2B ．C ．D ．12．在锐角ABC △中，为角所对的边，且，若，则的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．713．函数的图象恒过定点，若定点在直线 上，则的最小值为A ．13B ．14C ．16D ．1214．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A ．9B ．C ．D ．15．当x >0时，22()1xf x x =+的最大值为 . 16．已知函数==,当时,函数()()g x f x 的最小值为 . 17．在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，_ ． 18．已知,,则的最小值为 .19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为2*182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年万元，第二年万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.(1)求该系统使用n 年的总费用(包括购买设备的费用)；(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).21．已知函数).(1)若,求当时函数的最小值;(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.△中，，，分别为角，，所对的边长，且．23．已知在ABC（1）求角的值；（2）若，求的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ．2．（2015陕西理科）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<D ．p r q =>3．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 4．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．5．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 学*科*网∴当4,12x y ==时，()min 16x y +=.3．【答案】C【解析】224121x y y x +--=()()22(21)2211(1)211121x x y y y x -+-+-+-++≥-- ≥=8，当且仅当12121x x -=-，111y y -=-时等号成立.所以m .故选C ． 4．【答案】43【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2， 即（m +1）+2n =3， 故1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23=43， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填43．1．【答案】B当且仅当14x x =时取等号,此时12x =，故选B. 2．【答案】C【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵，∴， ∴()()36922a a -++≤=，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B ． 学&【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B【解析】∵正实数a ，b 满足1a b +=，∴11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=,当且仅当12a b ==时取等号.故有最小值4，故A 不正确；由于212a b +=++=+≤,∴⩽,故有最大值，故B 正确；由基本不等式可得a +b =1⩾2,∴14ab ≤,故ab 有最大值14，故C 不正确； ∵()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=,故有最小值12，故D 不正确. 故选B.6．【答案】B7．【答案】D【解析】由9x +(4+a )·3x+4=0得4+a =943x x +-=-(3x +)≤--4,即a ≤-8, 当且仅当3x =2时等号成立.8．【答案】D 【解析】由题意可得21x a x ≥+恒成立． 由于211112x x x x=≤++（当且仅当1x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥，即a 的最小值为12，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵x >1，y >1，∴22log 0,log 0x y >>，又∵2log x ，14，2log y 成等比数列，∴221log log 16x y =⨯，由基本不等式可得221log log 2x y +≥=， 当且仅当22log log x y =，即x y =时取等号， 故21log 2xy ≥，即xy ≥xy本题选择A 选项.10．【答案】D【解析】易知x ，y 均为正，设，共线，，，则，()141141419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时等号成立. 则的最小值为，故选D ． 学&科*网11．【答案】C12．【答案】C【解析】由正弦定理及题中条件，可得，即.因为，所以.又，所以，所以，则，所以选C.13．【答案】D【解析】时，函数的值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，当且仅当时取“=”，则的最小值为，故选D ．14．【答案】B当且仅当取等号，故选B ．15．【答案】1【解析】∵x >0，∴2222()1112x f x x x x==≤=++， 当且仅当1x x=，即x =1时取等号．16．【答案】【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x++=311122x x ++≥1(当且仅当3122x x =,即x =).17．【答案】14【解析】2242642222244a a a a q q q q ⎛⎫+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭故答案为. 学&20．【解析】(1)设该系统使用年的总费用为依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年的维修费为则(2)设该系统使用的年平均费用为则()20.2280800.22210f n n n S n n n n ++===++≥=, 当且仅当即时等号成立.故该系统使用20年报废最合算.22．【解析】(1)因为x >0,y >0,所以由基本不等式得≥,因为2x+y =4,所以≤2,所以xy ≤2,当且仅当2x =y 时,等号成立,由242x y x y +=⎧⎨=⎩ ,解得12x y =⎧⎨=⎩, 所以当x =1,y =2时,xy 取得最大值2,所以lg x+lg y =lg(xy )≤lg 2,当且仅当x =1,y =2时,lg x+lg y 取得最大值lg 2.(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b =,ab =4a+b-1.所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.因为a >1,所以a-1>0.所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a =2时等号成立.故所求最小值为27. 学#科#网1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】C【解析】p f ==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()0,+∞上单调递增，因为，所以，所以，故选C ．3．【答案】【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．4．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．5．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，。
高三不等式知识点归纳图不等式是高中数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、几何和实际问题中。
在高三阶段，学生需要深入理解不等式的性质、求解方法以及在应用问题中的运用。
本文将通过归纳图的形式对高三不等式的知识点进行整理和归纳，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：如果 a>b，b>c，则有 a>c；2. 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；3. 不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；4. 不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1. 不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元一次不等式的解法：通过移项和化简，找到不等式的解集；4. 一元一次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集；5. 不等式的解空间：解多个不等式组成的方程组。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 一元二次不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元二次不等式的解法：利用一元二次不等式的性质和变形求解；4. 一元二次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的性质：|a|＜b 等价于 -b＜a＜b；2. 绝对值不等式的解法：通过移项和化简，根据情况分析绝对值的正负，找到不等式的解集。
五、分式不等式1. 分式不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 分式不等式的解法：通过移项和化简，确定分式不等式的解集。
六、不等式应用1. 几何意义：利用不等式解决三角形、多边形的不等式问题；2. 实际问题：应用不等式解决数学建模、经济学、物理学等实际问题。
七、不等式的证明1. 证明不等式的基本方法：利用不等式的性质和变形进行证明；2. 数学归纳法的应用：通过数学归纳法证明不等式的正确性。
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )【答案】错误解：由0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦得到0sin 1x <≤， 令sin t x =，则4y t t =+，因为01t <≤，所以函数4y t t =+为减函数，当1t =时，min 145y =+=，故答案为：错误.2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 【答案】正确 ∵102x <<， ∴()()2112121122122228x x x x x x +-⎛⎫-=-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当且仅当212x x =-，即14x =时，取等号， 故()12x x -的最大值为18.故答案为：正确 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3 B ．32C ．D ．【答案】D 由92x x +≥x = 可得当0x >时，92x x+的最小值为故选：D2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立. 故选：D.3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5C ．32D ．52【答案】D因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52.故选：D4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =【答案】D对A ，y 可取负数，故A 错误； 对B ，2(1)11y x =-+≥，故B 错误；对C ，21)23y =+≥，故C 错误；对D ，222y =≥，等号成立当且仅当0x =，故D 正确；故选：D高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】B02x <<，20x ∴->，又(2)2x x +-=[]2(2)(2)14x x x x +-∴-≤=，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，所以(2)x x -的最大值为1 故选：B2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】D因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7 B ．y 有最小值7 C ．y 有最小值4 D ．y 有最大值4【答案】B解：因为3x >，所以30x ->，所以()44333733y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当433x x -=-，即5x =时取等号，所以y 有最小值7； 故选：B4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A 1x >-，∴函数(1)114441311y x x x x =+=++-≥=-=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号． 因此函数41y x x =++的最小值为3． 故选：A ．5．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______． 【答案】4因04x <<，则40x ->，于是得2(4)(4)[]42x x x x +--≤=，当且仅当4x x =-，即2x =时取“=”， 所以()4x x -的最大值为4. 故答案为：4②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16 B ．4C ．24D ．12【答案】A因为261x y+=，所以()2618233661224x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当182x y y x =，即3y x =时取等号，又因为261x y+=，所以4x =，12y =， 所以16x y +=. 故选：A.2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________. 【答案】94##2.25()21121152222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭159224⎛≥⨯+= ⎝， 当且仅当242,,233y x x y x y ===时等号成立. 故答案为：944．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.【答案】16因为0,0a b >>，31a b +=所以313133()(3)101016b a a b a b a b a b +=++=++≥+ 当且仅当，3331b aab a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即14a b ==时，取“=”号， 所以31a b+的最小值为16.故答案为：165．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b ab>>+=，则4a b +的最小值为_______________. 【答案】94##2.25解：因为110, 0, 4a b a b>>+=，所以()111141944554444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1144a b b a a b⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3438a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以4a b +的最小值为94.故答案为：94.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1【答案】D2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.3．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】因为2x >-，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x =时，等号成立，所以，当2x >-时，函数2462++=+xx y x 的最小值为故答案为：4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----， 因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.【答案】12令1x t -=，则1x t =+，0t >，所以222111447(1)4(1)72422x t t x x t t t t t t -===≤=-++-++-++-，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立. 所以()21147x x x x ->-+的最大值为12. 故答案为：12.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-. 【答案】（1）3；（2）10. （1）2111x x y x x x++==++∵10,2x x x >∴+≥=（当且仅当1x x =，即x =1时取等号）∴21(0)x x y x x++=>的最小值为3；（2）令1(0)t x t =->，则1x t =+，22226(1)2(1)6499=44101x x t t t t y t x t t t ++++++++∴===++≥=-当且仅当9t t=即t =3时取等号 ∴y 的最小值为10④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．14【答案】C因为0x >，0y >，由基本不等式得：2x y +≥所以8xy ≥解得：18xy ≥，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，等号成立 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．7 D ．6【答案】D 【详解】3,0,0a b b b a a >=++>,23()2a b a b +∴++≤,当且仅当a b =，即3a b ==时等号成立， 解得6a b +≥或2a b +≤-（舍去），a b ∴+的最小值为6故选：D3．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C由2a b ab +=可得121b a+=，又因为0a >，0b >，所以()1242244448a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当42a bb a a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩即42a b =⎧⎨=⎩时等号成立，所以2+a b 的最小值为8， 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 【答案】8由题意，正实数,x y ，由()22224x y x y xy xy +=++≥（x y =时等号成立），所以()24x y xy +≤，所以()284x x y y y x =++≤+，即2()4()320x y x y +-+-≥，解得4x y +≤-（舍），8x y +≥，（4x y ==取最小值） 所以x y +的最小值为8.故答案为：85．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______.【答案】5##5+∵2,1a b >>，且满足21ab a b =++， ∴13122a b a a +==+--， 2a b +=()33212255522a a a a ++=-++≥=--， 当且仅当32(2)2a a -=-时，2a b +的最小值为5. 故答案为：56．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______． 【答案】6由0a >，0b >，得a b +≥a b =时，等号成立）， 又因3a b ab +=-，得3ab -≥，即)130≥，由0a >，0b >3，即9ab ≥，故3936a b ab +=-≥-=. 因此当3a b ==时，a b +取最小值6. 故答案为：6.高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[)2,+∞ C ．[)4,+∞ D ．(],4-∞【答案】D 当2x >时，11222422x x x x +=-++≥=--（当且仅当3x =时取等号），4a ∴≤，即a 的取值范围为(],4-∞. 故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()+∞ B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B当[]1,5x ∈时，由220x ax -+>可得2a x x <+，则min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得2x x +≥x所以，a <故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．12 C ．16 D ．9【答案】D由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A因为x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，所以()222231124x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立； 又不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立， 所以只需2311424m m >+，即2230m m +-<，解得312m -<<. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C解：因为0x >，所以22221131x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A由题意，对任意0x >，则有221111313153x x x x x x x x ==≤=++++++， 当且仅当1x x =时，即1x =时，等号成立，即231xx x ++的最大值为15， 又由对任意0x >时，231x a x x ≤++恒成立，所以15a ≥，即a 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元 B ．300元 C ．512元 D ．816元【答案】D设这个箱子的箱底的长为x m ，则宽为16xm ， 设箱子总造价为f (x )元， ∴f (x )＝15×16+12×3(2x 32x +)＝72(x 16x +240＝816， 当且仅当x 16x=，即x ＝4时，f （x ）取最小值816元． 故选：D ．2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C．12D ．【答案】B由题意得：10p =，S =101032a b-+-=⨯当且仅当1010a b -=-，即7a b ==时取等号， 故选：B ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲 D ．丙、甲、乙【答案】A设提价前价格为1，则甲提价后的价格为：(1%)(1%)1%%0.01%p q p q pq ++=+++，乙提价后价格为：21%1%1%%0.01%222p q p q p q p q +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，丙提价后价格为：()%11%%p q p q +=+++， 因为0p q <<，所以22p q pq +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以1%1%(1%)(1%)12(%2)p q p p q p q q ++⎛⎫⎛⎫++>++>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+，即乙>甲>丙. 故选：A4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A因为对任意,a b ∈R ，有222a b ab +≥，而对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥， 所以22k -≤≤，因为[2,2]-是(,2]-∞的真子集，所以“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m > B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能【答案】A由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =， 5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭， 当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A.6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.【答案】4设BM x =，则由//DC AM 得434ND ND x=++，解得12ND x =，∴矩形AMPN的面积为1248(4)(3)2432448S x x x x =++=++≥+=，当且仅当483x x =，即4x =时等号成立． 故答案为：4．高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >【答案】B命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，设4()f x x x=+，对勾函数在2x =时取得最小值为4，在12x =时取得最大值为172，故172a <，故选：B ．2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-【答案】C若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即max 1a x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，max 52y =-，所以52a ≥-.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在【答案】B()2t t =≥，函数1y t t =+在()1,+∞上是增函数，1y t t∴=+在[)2,+∞上也是增函数．∴当2t =2，0x =时，min 52y =． 故选：B ．4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A解：121,1,[2,3]2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤，等价于121,1,[2,3]2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦， ()1max f x ()2max g x ≤，由对勾函数的单调性知4()f x x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以max 117()22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又()2xg x a =+在[2,3]上单调递增，所以max 32(8)g x a a =+=+，所以1782a ≤+，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值 【答案】A当0x ≠时，()3242221111113x x x x xx f x x x x x x x ---===++⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭， 设1x t x -=，易知1t x x =-在[]1,3上单调递增，故80,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()23t g t t =+，()00g =，当0t >时，()2133t g t t t t==++，双勾函数3y x x =+在(上单调递减，在83⎤⎥⎦上单调递增，且0y >，故()max g t g==，()min 0g t >， 综上所述：()max g t =，()min 0g t =，即()max f x =()min 0f x =. 故选：A.1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--， 因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数， 所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-， 所以24a b =-，即24a b +=， 所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=， 所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭14(1)2261b a a b +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦14(1)461b a a b +⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦1144(44)663⎡⎤≥=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4(1)1b a a b+=+，即1,32a b ==时取等号，所以121a b ++的最小值是43. 故选：B2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥当且仅当21a a b=且2b b =，即a b ==所以21ab ab ++的最小值为故答案为：4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. （1）2000245y x x x=+-，[60,110]x ∈2416≥= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ） A ．12x x+≥ B ．函数224x y +=4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8【答案】C对于选项A ,只有当0x >时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确； 对于选项B ,224x y +=2231x ++==(t t =≥，即(22y t t t =+≥在)+∞上单调递增，则最小值为min y ==, 则B 不正确；对于选项C ,()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤，则C 正确；对于选项D ,当3a >时，44333733a a a a +=-++≥=--，当且仅当 433a a -=-时，即5a =，等号成立，则D 不正确. 故选：C .2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+---，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x，12t ∴，2x t ∴=+. 将其代入，原函数可化为22(2)4(2)511122t t t y t t t t t t +-+++===+⋅=，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =. 故选：D3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ） A ．16 B ．24 C ．32 D ．40【答案】C正实数ab 满足121a b +=,所以18ab ≥≥当且仅当24b a ==时取等号，121a b +=化简得2ab a b =+，所以()()()228384322ab a b a a b b =+++=+≥++ 故选：C.4．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞- D ．(],2-∞【答案】A 解：由题得22x a x≥+对任意(),0x ∈-∞恒成立，22[()()]222x x x x +=--+-≤-- (当且仅当2x =-时等号成立) 所以2a ≥-. 故选：A5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V +=【答案】A易知120,0V V >>，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为11V ，逆流而上的时间为21V ，则平均速度12211V V V =+，由基本不等式可得V ≤，而122V V +≥当12V V =时，两个不等式都取得“=”，而根据题意12V V ≠，于是122V V V +. 故选：A.6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．()2,-+∞ C ．(]2,2- D ．[)2,+∞【答案】C解：()()22212a a b t a tab b b =+++-+=，①当20t -=，即2t =时，1a b +=，则a b +的最大值为1，符合题意； ②当20t ->，即2t >时， 则()()()()()222222244t t a b t ab a b a b a b -+++-≤+++=+， 所以()2214t a b ++≥，所以a b +≥a b =时取等号， 此时a b +有最小值，无最大值，与题意矛盾； ③当20t -<，即2a <时， 则()()()22224t a b t ab a b +++-≥+， 当20t +=，即2a =-时，()22221a a ab b b +=-=-，所以1a b -=，不妨设a b >，则1a b -=，即1a b =+，故21a b b +=+，此时a b +无最大值，与题意矛盾； 当20t +>，即22t -<<时，()2214t a b ++≤，所以0a b <+≤a b =时取等号， 此时a b +有最大值，符合题意；当20t +<，即2t <-时，()2214t a b ++≤恒不成立，不符题意， 综上所述，若a b +存在最大值，(]2,2t ∈-. 故选：C.7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米. 故选：C.8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞【答案】A解：设方程2320x x ab --=的两个异号的实根分别为1x ，2x ，则1203abx x =-<，0ab ∴>． 又211a b+=，0a ∴>，0b >，则()21422448a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4a =，2b =时取“=”）， 由不等式222a b m m +>+恒成立，得228m m +<，解得42m -<<．∴实数m 的取值范围是()4,2-． 故选：A ． 二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y+--=.则x y +的取值范围为__________. 【答案】[6,)+∞ 因为334x y x y+--=，0,0x y >>， 所以23()3()1242x y x y x y xy x y x y +++-=≥=++⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立， 即2()4()120x y x y +-+-≥， 解得6x y +≥或2x y +≤-（舍去） 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[)6,+∞10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________.【答案】不存在由已知可得()0,x ∀∈+∞，1m x x <+，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，2m <∴，故实数m 的最大值不存在. 故答案为：不存在.11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可. 在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =.在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.【答案】75设,615AG x x =≤<， 12124tan 15693B ===-， 15BG x =-，()()415tan 153EG x B x =-⨯=-， 所以矩形AGEH 的面积()244154225157533234x x x x -+⎛⎫-⋅≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1515,2x x x -==时等号成立. 故选：75 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【答案】（1）a =b =6时，它们的和最小，为12；（2）a =b =9时，它们的积最大，为81 设两个正数为a ，b（1）36ab =，则12a b +≥=，当且仅当6a b ==等号成立， 即a =b =6时，它们的和最小，为12.（2）18a b +=，则()2814a b ab +≤=当且仅当9a b ==等号成立即a =b =9时，它们的积最大，为81.14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.【答案】x =(212cm -.由题意，矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，且AB xcm =， ∴()4AD x cm =-，则4x x >-，∴24x <<， 又由AP AB PB AB DP x DP ''=-=-=-， 在Rt ADP △中，()()2224x DP x DP -+=-， 解得48x DP cm x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1148422ADP x S AD DP x x-=⋅=-⋅△812212212x x ⎛⎫=-+≤-⨯- ⎪⎝⎭当且仅当8x x=，即x =∴ADP △面积的最大值为(212cm -，此时x =15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M . (1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值. 【答案】(1){08}aa ≤<∣(2)1 (1)当0a =时，20>满足题意；当0a ≠时，要使不等式220ax ax ++>的解集为R ，必须2080a a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，综上可知08a ≤<，所以{08}M aa =≤<∣(2)∵08a ≤<，∴119a ≤+<， ∴441141311a a a a +=++-≥-=++，（当且仅当1a =时取“=”） ∴4521a a --≤+， ∵a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，∴2322t t +-≥， ∴2340t t +-≥，∴1t ≥或4t ≤-， 又0t >，∴1t ≥，∴ t 的最小值为1.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） (2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式为2104002500,040()100003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元. (1)当040x <<时，()229100105002500104002500L x x x x x =⨯---=-+-；当40x ≥时，()640064009100901630025003800L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以()2104002500,04064003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)当040x <<时，()()210201500L x x =--+， 当20x时，()max 1500L x =；当40x ≥时，()64003800380038001603640L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭ （当且仅当6400x x=即80x =时，“=”成立） 因为36401500>所以，当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元. 答：（1）2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式为2104002500,040()100003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.。
专题03基本不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力．二、教学建议基本不等式是解决问题的基本工具。
强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．三、自主先学1．基本不等式：2a b+(1)基本不等式成立的条件：00a b >>，． (2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号． (3)其中+2a b称为正数a ，b,a b 的几何平均数． 若0,0a b >>时, 211a b≤+2a b +≤当且仅当a b =时等号成 2．几个重要的不等式(1)重要不等式：22a b +≥2ab (),a b R ∈．当且仅当a b =时取等号．(2ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭(),a b R ∈，当且仅当a b =时取等号．(3()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知0,0x y >>，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y + 有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24s (简记：和定积最大)．四、高频考点+重点题型考点一、基本不等式求最值（消元法）1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，的（ ）A BC D 2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数a ，b 满足2a b +=，当a =______时，2-a b取到最大值为______．3.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是考点二、基本不等式求最值（“1”的活用）1．（2021·重庆高三其他模拟）已知0a >，0b >，122a b+=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．9 B ．5 C ．92 D ．522．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数m ，n 满足()14m n n -=，则4m n +的最小值是（ ） A ．25B ．18C ．16D ．83．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知0x >，0y >，且21x y +=，则1x xy+可能取的值有（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．124．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a ，b 满足1a b +=，则1aa b+的最小值是___________.5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数,x y 满足41x y +=，则1y x+的最小值为________．6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知0a >，0b >，且2a b +=，则1aa b+的最小值为___________.考点三、基本不等式求最值（配凑积、和）1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x ＞1，y ＞2，且满足xy ﹣2x ＝y ，则1812x y +--的值可以为（ ） A ．72B ．3C ．4D ．1122．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数x 、y 满足2221x xy y +-=，则22522x xy y -+的最小值为___________.3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________．4．（2021·天津高三二模）已知,,a b c +∈R ，且24ab ac +=，则22822a b c a b c+++++的最小值是___________.考点四、多次使用基本不等式1．（2021·天津高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知,x y 都为正实数，则()241xy x x y++的最小值为___________．3．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是________.4．（2021·全国高三其他模拟）已知0a b >>，则41a ab a b+++-的最小值为__________．考点五、基本不等式功能：创建不等关系1．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知正实数x ，y 满足()()419x y ++=，则xy 的最大值等于______．2.已知3,(0,0)ab a b a b =++>>，则ab 的取值范围是3.已知实数,x y 满足x y ，则x y +的最大值为4.已知01,0,,,=-+=++∈bc a c b a R c b a ，则a 的取值范围是考点六、比较式的大小1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且2a b +=，则下列判断正确的是（ ）A ．若a b >，则a c b c >B ．若a b <，则c a c b ->-C ．2122a b+≥D ．222a b +≥2．（多选）（2021·全国高三二模）已知正数a ，b 满足ab a b =+，则（ ）A ．11211a b +≥-- B ．221112a b +≥ C ．1222ab --+≥D ．22log log 2a b +≥3．（多选）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）若非负实数a 、b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ） A ．214ab ≤B ．2412a b +≥C b ≥D ．2234a b +≥4．（多选）（2021·江苏南通市·高三一模）已知0a >，0b >，a b ab +=则（ ）A ．23a b +≥+B ．228a b +≥C ．15abab+≥ D ≤5．（多选）（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（ ）A ．e e 1a b ->B ．e e 1a b -<C ．914a b-≤ D ．222log log 2a b -≥6．（多选）（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高三其他模拟）已知00a b >>，，且4a b ab +=，则下列不等式正确的（ ）A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥达标测试一、单项选择题1．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．23．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( ) A ．14B ．15C ．19D ．1124．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知a ，b R ∈，0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式中，成立的个数有①18ab ≤，①2127ab ≤，①23a b +<，①115a b+>（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）当0x >，0y >时，下列不等式中恒成立的有（ ）A ．2xyx y ≤+B ．114x y x y+≥+C ．11x y +D ．22334x y x y x y++≥三、填空题6．若正数,x y 满足2249330x y xy ++=，则xy 的最大值是________．7．已知()()2log 2f x x =-，若实数,m n 满足()()23f m f n +=，则m n +的最小值是 ．四、解答题8．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋2360x )升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．。
