二元一次方程组(培优)精编版

二元一次方程组培优一、二元一次方程组的解性质1、已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+7282y x y x ，则=-y x ，=+y x 。

变式：已知方程组23321x y a x y a +=⎧⎨+=+⎩的解的和是9，求a 的值2.若方程3x y +=，1x y -=和20x my -=有公共解，则m 的取值为 ．变式：（1）.当a ＝时，方程组⎩⎨⎧-=+=-1872253a y x a y x 的解x 、y 互为相反数，方程组的解为． （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ky x k y x 7252的解满足方程1253x y -=,那么k 的值为.3.已知方程组⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x 与⎩⎨⎧=-=+5235y x by x 有相同的解，则a =，b =.4.m 取什么整数值时，方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩的解是整数，并求出它的所有正整数解.5.已知方程4x ﹣3y ﹣6z=0与方程x ﹣3y ﹣3z=0有相同的解，求x ：y ：z ．变式：如果z y x ,，的值满足()0,,05,03均不为z y x z y x z y x =--=-+， 则代数式=+-++222222223zy x z y x ____二、二元一次方程和一次函数（一）、每一个二元一次方程都对应一个一次函数1、已知24x y =⎧⎨=⎩是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么由两个方程得到的一次函数y ＝___________和y ＝___________的交点坐标是．2.关于x 、y 的二元一次方程0px qy r ++=(0)pq ≠对应的一次函数图像如图所示则下列条件正确的是（ ）.,1A p q r ==.,0B p q r ==.,1C p q r =-=.,0D p q r =-=3、在图中的两直线l 1、l 2的交点坐标可以看作方程组 的解．4．直线4y ax =-和直线1y bx =-+交于一点(2,4)，则方程组41ax y bx y -=⎧⎨+=⎩的解为．5．如图，已知直线l 1：y=3x +1与y 轴交于点A ，且和直线l 2：y=mx +n 交于点P （﹣2，a ），根据以上信息解答下列问题：（1）求a 的值；（2）不解关于x ，y 的方程组，请你直接写出它的解；6.由方程组⎩⎨⎧+=-=121a y a x 可得y 与x 之间的关系是.7．已知关于x ，y 的方程组 （1）当k ，b 为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k ，b 为何值时，方程组有无数组解；（3）当k ，b 为何值时，方程组无解．8．k 为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？9.若关于x、y的二元一次方程组232x y nmx y-=⎧⎨+=⎩有无数个解，则m，n.练习：1．如图，直线y=﹣2x+6与直线y=mx+n相交于点M（p，4）．（1）求p的值；（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解；（3）判断直线y=3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．2．已知关于x，y的方程组的解满足x+y=2k．（1）求k的值；（2）试判断该方程组的解是否也是方程组的解．3．是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2﹣（m﹣2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解，试计算a2010+的值．5．已知方程组与的解相同，试求a+b的值．6．已知关于x，y的方程组（1）请直接写出方程x+2y﹣6=0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．7．一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC（1）求△ABC的面积和点C的坐标；（2）如果在第二象限内有一点P（a，），试用含a的代数式表示四边形ABPO 的面积．（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（6，0），交y轴于点C （0，6），直线AB与直线OA：y=x相交于点A，动点M在线段OA和射线AC 上运动．（1）求直线AB的解析式．（2）求△OAC的面积．（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．。

二元一次方程培优讲义(精品)
本讲义主要介绍如何高效解决二元一次方程的方法及策略，适用于需要掌握解二元一次方程的中学生和初级大学生。

以下是本讲义的主要内容：
一、二元一次方程基础知识回顾
回顾二元一次方程的定义、形式和求解过程，使学生能够对二元一次方程有更深入的理解。

二、消元法
介绍消元法的基本思想和具体实现方法，并逐步引导学生掌握消元法的思维模式和求解技巧。

三、代入法
介绍代入法的基本思想和求解过程，并通过实例演示如何运用代入法解决二元一次方程。

四、比较法
介绍比较法的基本思想和求解过程，让学生掌握比较法的优点和适用条件，并通过实例演示如何运用比较法解决二元一次方程。

五、图像法
介绍图像法的基本思想和具体操作，让学生了解图像法的优点和局限，并掌握基本的图像法思维模式。

六、应用实例
通过实际应用实例，让学生感受到各种方法的适用场景和实际效果。

通过本讲义的学习，学生不仅能够掌握解二元一次方程的多种方法和技巧，而且能够根据题目特点灵活选择和运用合适的方法，提高解题效率和准确性。

期末复习：《二元一次方程组》培优训练一．选择题1．方程组的解是（）A．B．C．D．2．若二元一次方程组的解为则a+b的值为（）A．0 B．1 C．2 D．44．某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间，且每个房间都住满，则租房方案共有（）种．A．3 B．4 C．5 D．65．我们知道方程组：的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D．6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把7m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（）A．1 B．2 C．3 D．47．如果关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（）A．B．C．D．8．关于x，y的方程组的解满足x＝y，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二．填空题11．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为．12．一张试卷只有25道选择题，答对一题得4分，答错倒扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了道题．13．用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共块．14．若二元一次方程组的解为，则m+n＝15．有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨.1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x吨，1辆小货车的额定载重量为y吨，依题意，可以列方程组为．三．解答题18．解方程（1）（2）19．对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．21．某厂准备生产甲、乙两种商品销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．求甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？22．已知甲种物品毎个重4kg，乙种物品毎个重7kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg．（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x＝12，则y＝．（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有个．24．阅读理解：小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：解：将方程②变形为：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入方程③得：2×3+y＝5解得y＝﹣1把y＝﹣1代入方程①得x＝4∴方程组的解是（1）模仿小聪的解法，解方程组（2）已知x，y满足方程组，解答：（ⅰ）求x2+4y2的值；（ⅱ）求3xy的值．参考答案一．选择题1．解：，①+②得，x＝2，把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得，故原方程组的解为：．故选：D．2．解：把代入方程组得：，解得：，则a+b＝2，故选：C．3．解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，．故选：A．4．解：设宾馆有客房：单人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得，，解得：y+2z＝9，y＝9﹣2z，∵x，y，z都是小于9的正整数，当z＝1时，y＝7，x＝1；当z＝2时，y＝5，x＝2；当z＝3时，y＝3，x＝3当z＝4时，y＝1，x＝4当z＝5时，y＝﹣1（不合题意，舍去）∴租房方案有4种．故选：B．5．解：∵方程组：的解是，∴由方程组可得，解得．故选：C．6．解：设截成2m的彩绳x根，截成1m的彩绳y根，依题意，得：2x+y＝7，∴y＝7﹣2x．又∵x，y均为非零整数，∴或或或，∴共有4种不同的截法．故选：D．7．解：由方程组得，根据题意知，即，故选：C．8．解：解方程组得：，∵x＝y，∴＝+1，解得：k＝0．故选：B．9．解：设雉有x只，兔有y只，依题意，得：，解得：．故选：A．10．解：如图，图中的鞋子为x只，小猪玩具为y只，字母玩具为z只，依题意得：，解得，故x+yz＝5+5×2＝15．故选：B．二．填空题（共7小题）11．解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，则a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，则a＝2，故a+b＝5．故答案为：5．12．解：设他做对了x道题，则他做错了（25﹣x）道题，根据题意得：4x﹣（25﹣x）＝70，解得：x＝19．故答案为：19．13．解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，依题意，得：，（①+②）÷5，得：x+y＝11．故答案为：11．14．解：①+②得：5x+5y＝10∴x+y＝2方程组的解为，∴m+n＝x+y＝2．故答案为：2．15．解：由题意可得，，故答案为：．16．解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴关于a．b的二元一次方程组满足，解得．故关于a．b的二元一次方程组的解是．故答案为：．17．解：设笼中有x只雉，y只兔，根据题得，①，解得，不符合题；②，此方程组无整数解，不符合题意；③，解得，符合题意；④，解得，符合题意；故答案为：③④．三．解答题（共7小题）18．解：（1），把①代入②得：3x+10﹣4x＝4，解得：x＝6，把x＝6代入①得：y＝﹣7，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，把②代入①得：3x+2x+6＝11，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．19．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5；（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y＝1，则x+y＝．20．解：设合伙人为x人，羊价为y钱，依题意，得：，∴甲同学列的方程组正确，解该方程组，得：．答：合伙人为21人，羊价为150钱．21．解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，依题意，得：，解得：．答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．22．解：（1）由题意知4x+7y＝76；（2）当x＝12时，48+7y＝76，解得y＝4，故答案为：4；（3）当y＝8时，4x+56＝76，解得：x＝5，即甲种物品有5个，故答案为：5．23．解：（1）4+3＝7（张），1+2＝3（张）．故答案为：7；3．（2）设可加工的竖式容器x个，横式容器y个，依题意，得：，解得：．答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个．（3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，依题意，得：，解得：．∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片，∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张），∴可做铁盒76÷4＝19（个）．答：最多可以加工成19个铁盒24．解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19 ③把①代入③得：15﹣2y＝19，得y＝2把y＝2代入①得x＝3则方程组的解为（2）（ⅰ）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2＝③②式整理得2（x2+4y2）+xy＝36 ④将③代入④得解得xy＝2将xy＝2代入③得x2+4y2＝17（ⅱ）由（ⅰ）知xy＝2，则3xy＝6。

二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。

2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。

（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。

⎩⎨⎧==y x 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。

（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。

主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。

代入——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。

加减——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。

②找：找出能够表示题意两个相等关系。

③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。

④解：解这个方程组，求出两个未知数的值。

⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

6、二元一次方程组的解的情况有以下三种：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①当时，方程组有无数多解。

二元一次方程组培优讲义类型一：二元一次方程的概念及求解例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ______，b _____．如果25mx y x -=+是关于x 、y 的二元一次方程，则m _____．（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．类型二：二元一次方程组的求解例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数例（5）．已知⎩⎨⎧==12y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．（6）．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。

若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。

类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。

设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝121，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+634323x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．练习：若450x y -=，那么125125x y x y-+=_________． 由方程组⎩⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1） 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。

初一数学培优二元一次方程组应用题一．数字问题1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？2．小宏与小英是同班同学，小英家的住宅小区有1号楼至22号楼共22栋楼房，小宏问了小英下面两句话，就猜出了小英住几号楼几号房间．小宏问：“你家的楼号加房间号是多少？”小英答：“220．”小宏问：“楼号的10倍加房间号是多少？”小英答：“364．”你知道为什么吗？3．炎热的夏天，游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．如果每个男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每个女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？4．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（）二．配套问题1.（08山东省日照市）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？2.（2008年山东省威海市）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？三．行程问题1.甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑10米，甲5秒追上乙；如果让乙先跑2秒，那么甲4秒追上乙.甲、乙每秒分别跑x、y米，由题意得方程组____________.2.小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时两人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米.请求出两人的速度.3.一船顺水航行43.5公里需要3小时，逆水行47.5公里需5小时，求此船在静水中的速度和水流的速度.四．工程问题1．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产25套．那么客户订做的工作服是多少套，要求完成的期限是多少天？2．（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用五．含量浓度问题1．(2008山东烟台)据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2%～0.5%的衣服放入最大容量为15的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到，假设洗衣机以最大容量洗涤）2.要配制浓度为15%的硫酸500公斤，已有60%的硫酸100公斤，问还需要加水和加浓度为80 %的硫酸各多少公斤?六．图形问题1．如图4，周长为68的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的长方形，则长方形ABCD 的面积是多少？2．用一些长短相同的小木棍按图5所示，连续摆正方形和六边形．要求每两个相邻的图形只有一条公共边．已知摆放的正方形比正六边形多4个，并且一共用了110根小木棍，问连续摆放的正方形和正六边形各有多少个？3．（2006年烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为()A．35 B．43C．89 D．97七．整数解问题1．把面值为1元的纸币换为1角或5角的硬币，则换法共有_____种．练习：1．古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）答：_______________．2.某公司去年的总收入比总支出多50万元，今年比去年的总收入增加10％，总支出节约20％，今年的总收入比总支出多100万元.如果设去年的总收入是x万元，总支出是y元，那么可列方程组是_________________.—、填空题（每题2分，共20分）1。

二元一次方程组培优专题一：二元一次方程（组）有关概念1、二元一次方程（组）的识别（二元一次方程组是指含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的方程组.）例1 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A 、23x y y z +=⎧⎨+=⎩；B 、2325x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩；C 、226y x y =⎧⎨-=⎩；D 、236x y xy +=⎧⎨=⎩ 2、方程组的解例2 方程组379475x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） A ．21x y =-⎧⎨=⎩ ；B ．237x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩；C ．237x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；D ．237x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 专题二：利用二元一次方程组求字母系数的值例3、在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，一同学把c 看错而得到22x y =-⎧⎨=⎩，而正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，求a ，b ，c 的值．练习：1、 解方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩时，甲由于看错系数a ，结果解得31x y =-⎧⎨=-⎩；乙由于看错系数b ，结果解得54x y =⎧⎨=⎩，则原来的a =______，b =______. 2、如果关于x 、y 的方程组62x y ax y b -=⎧⎨+=⎩的解与38x ay x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求a 、b 的值.专题三：解二元一次方程组1、求二元一次方程的整数解例4 求方程2x +5y =50的所有正整数解.2、解二元一次方程组(1)()()()1523254345x y x y ⎧+=+⎪⎨--+=⎪⎩(2)2344143m n n m n m +-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩(3)()()()213464216x y x y x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪+=-+⎩ (4)280096%64%280092%x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩22,(5)45,2250.x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩（6）练习：1、下列方程组适用代入法消元的是( )A .()112325y x y x y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩；B .536x y x y =⎧⎨-=⎩；C .231327x y x y -=⎧⎨+=⎩；D .234345x y x y +=⎧⎨+=⎩. 2、方程组13225x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解是( )A .无解；B .只有一个解；C .有两个解；D .有无数多个解.3、方程3x +7y =20的正整数解为 .专题四：二元一次方程组的应用1、二元一次方程的应用例5、 小明口袋里有5角和1元的硬币若干枚，面值6.50元，问5角和1元的各有多少枚？2、二元一次方程组的应用例6、（2011年高新一中20题）剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀﹙刀片不可更换﹚和新式剃须刀﹙刀片可更换﹚．有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？专题五：二元一次方程（组）与一次函数的综合应用例7、 （2011年高新一中21题）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O-A-B-C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分钟；（2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系；（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？作业综合测试一、选择题1、（2012山东德州中考）已知24,328.a b a b +=⎧⎨+=⎩则a b +等于（ ）（A ）3 （B ）83（C ）2 （D ）1 2．已知二元一次方程组03mx y x ny +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，那么m ＋2n 的值是 ( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．03．用代入法解方程组34225x y x y +=⎧⎨-=⎩ 使得代入后化简比较容易的变形是 ( )． A ．由①得x ＝243y - B ．由①得y ＝234x - C ．由②得x ＝52y + D ．由②得y ＝2x －5 4．如果方程组28477x y p x y p -=⎧⎨+=⎩的解也是方程3x －7y ＝35的解，那么p 的值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．05．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组( )．A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 6．若二元一次方程3x －y ＝7，2x ＋3y ＝1，y ＝k x －9有公共解，则k 的取值为( )．A ．3B ．－3C ．－4D ．4① ②7．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图(1)方式放置，再交换两木块的位置，按图(2)方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )．A ．73 cmB ．74 cmC ．75 cmD ．76 cm8．有一根7米长的钢条，要把它锯成两段，使得每一段的长度都是整数，有（ ）种锯法．A ．3B ．4C ．5D ．69．父子二人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，10•年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么儿子出生时，父亲的年龄是（ ）．A ．30B ．27C ．26D ．2510．（培优）关于x ，y 的方程组||10,62||y x y x =+⎧⎨=-⎩的解的情况是（ ）． A ．只有一解 B ．无解C ．两解且y 的值相同D ．两解且x ，y 的值各是一对相反数二、填空题1．方程3x+y=8的正整数解是_______．2．若方程组1,325x y x y +=⎧⎨+=⎩的解也是方程3x+ky=10的一个解，则k=______．3．（培优）若x ＋y ＋z ≠0且k y x z z y x x z y =+=+=+222， 则k ＝_______．4．（培优）若2x －5y ＝0，且x ≠0，则y x yx 5656+-的值是___ _．5．a 与b 互为相反数，且4=-b a ，那么112+++-ab a ab a = ．6．如果2006200520044321=+-+-+n m n m y x 是二元一次方程，那么32n m +的值是 ．7．（培优）如果⎩⎨⎧-==66y x ，⎩⎨⎧=-=62y x ，都能使方程1=+b y a x 成立，那么当4=x 时，=y ． 8. 如果以x ，y 为未知数的二元一次方程组23,27x y m x y m +=⎧⎨-=⎩的解满足4x-3y=8，那么m=_______． 三、计算题1、（2012山东东营，21，9分）如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？2、（培优）（2012年浙江省宁波市）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”[已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元（1）求a,b的值（2）随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 %，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？3、（培优）如图，L1，L2•分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．(1)根据图像分别求出L1，L2的函数关系式．(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．。

二元一次方程组及其解法(培优)二元一次方程组及其解法在研究二元一次方程组之前，需要先了解二元一次方程的概念。

二元一次方程必须同时具备三个条件：（1）这个方程中有且只有两个未知数；（2）含未知数的次数是1；（3）对未知数而言，构成方程的代数式是整式。

解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义是相同的，都是指方程的解集。

熟练掌握二元一次方程组的解法，可以用来解决许多实际问题。

例如，已知下列方程2xm1+3yn3=5是二元一次方程，则m+n=0.根据二元一次方程的概念可知：m-1=1，n+3=1，解得m=2，n=-2，故m+n=0.除了解二元一次方程组的基本方法外，还有加减消元法、代入法等解法。

在解题时需要根据具体情况选择最合适的方法。

变式题组：01.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由。

⑴2x+5y=16 - 是二元一次方程，符合三个条件。

⑵2x+y+z=3 - 不是二元一次方程，因为含有三个未知数z。

02.若方程2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x是二元一次方程，则a=,b=。

根据二元一次方程的定义，2xa1+3=y2b+(-5/1)+y=21(4)x2+2x+1=(5)2x+10xy=5x不是二元一次方程，因为含有x的二次项。

03.在下列四个方程组①{4x+3y=10.2x-4y=9}，②{4x+y=12.7xy=29}，③{1/x-2y=-45.2x+3y=4}，④{7x+8y=5.x-4y=1}中，是二元一次方程组的有（）只有①和③是二元一次方程组，因为它们都符合三个条件。

例2：（十堰中考）二元一次方程组{3x-2y=7.x+2y=5}的解是（）解法：二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解。

根据此概念，此类题有两种解法：（1）若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；（2）若方程组较易解，则直接解方程组可得答案。

专题5.27 求解二元一次方程组100题（专项练习）（培优篇）1．解二元一次方程组（1）()()34427x y x y x y ì+--=í+=î（2）21322543132054x y x y --ì+=ïïí++ï-=ïî2．已知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k -=ìí-=î的解满足以x ，y 为横，纵坐标的点P (x ，y )在第四象限，求k 的取值范围．3．请用指定的方法解下列方程组（1）521137a b a b +=ìí+=î①②（代入消元法）（2）25245231x y x y -=ìí+=î①②（加减消元法）4．解下列方程组：（1）2536x y x y +=ìí-=î；（2）1243231y x x y ++ì=ïíï-=î．5．（1）求方程中x 的值：()3164x -=（2）解方程组：238575x y y x -=ìí-=î6．观察下列两个等式：1122133-=´+，2255133-=´+，给出定义如下：我们称使等式1a b ab -=+成立的一对有理数a 、b 为“共生有理数对”，记为(),a b ，如：数对12,3æöç÷èø，25,3æöç÷èø，都是“共生有理数对”．（1）判断数对()2,1-，13,2æöç÷èø是“共生有理数对”，并说明理由．（2）若(),m n 是“共生有理数对”，且4m n -=，求()4mn-的值．（3）若(),m n 是“共生有理数对”，则()2,2n m --是“共生有理数对”吗？请说明理由．7．解方程或方程组：（1）225640-=x ． （2）()32127x +=-．（3）53x y x y +=ìí=+î（4）2316413x y x y +=ìí+=î8．（1（2）解方程组1367x y x y -=ìí=-î9．已知关于x 、y 的方程组32312343x y a x y a +=-ìí+=-î，其中13a ££，若1x £，求y 的取值范围．10．在平面直角坐标系中，已知点 (),A x y ，点 (),B x my mx y --（其中m 为常数，且0m ¹），则称B 是点A 的“m 族衍生点”．例如：点()1,2A 的“3族衍生点”B 的坐标为()132,312-´´-，即()5,1B -．（1）点()20,的“2族衍生点”的坐标为；（2）若点A 的“3族衍生点”B 的坐标是 ()1,5-，则点A 的坐标为；（3）若点(),0A x （其中0x ¹），点A 的“m 族衍生点”为点B ，且AB OA =，求m 的值．11．对于实数x ，y 我们定义一种新运算L （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为广益数，记为L （x ，y ），其中（x ，y ）叫做广益数对．若实数x ，y 都取正整数，此时的（x ，y ）叫做广益正格数对．（1）若L （x ，y ）＝x +3y ，则L （32，12）＝ ，L （﹣2，m ）＝ ；（用含m 的式子表示）（2）已知L （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 互为相反数）L （2，3）＝n ﹣3，L （1，﹣2）＝2n +1，求n 的值．（3）已知L（x，y）＝3x+cy，其中L（32，12）＝2．若L（x，kx）＝18（其中k为整数），问是否存在满足这样条件的广益正格数对？若存在，请求出这样的广益正格数对；若不存在，请说明理由．12．在解关于x，y的方程组()()11821m x nyn x myì+-=ïí++=ïî时，可以用①×7-②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5 消去未知数y．（1）求m和n的值：（2）求原方程组的解13．①3211 23---=x x；②3213 410x yx y-=ìí+=î．14．若21xy=ìí=î是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．15．解方程组：（1）263x yx y+=ìí+=î；（2）431 3418m nm n+=ìí-=-î．16．已知方程组51542ax yx by+=ìí-=-î①②甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为31xy=-ìí=-î乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为54xy=ìí=î若按正确的a，b计算，求原方程组的解．17．解下列方程组和不等式组：（1）解方程组231524x yx y-=ìí+=î；（2）解不等式组2(1)53112x xxx--£ìïí++<ïî．18．阅读理解，解答下列问题：在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（kx y +，x ky -），则称点B 为点A 的“k 级湘一点”，如点A （2，5）的“2 级湘一点”为B （225´+，225-´），即B （9，8-）．（1）已知点P （2-，1）的“5级湘一点”为P 1 ，则点P 1的坐标为 ；（2）已知点Q 的“4 级湘一点”为Q 1（5，3），求Q 点的坐标；（3）如果点C （1-，1c +）的“2 级湘一点”C 1在第二象限，①求c 的取值范围；②在①中，当c 取最大整数时，连接OC 1，坐标平面内是否存在点M （2，21m +），使得17OC M S £ ，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由．19．解下列方程（组）（1）321123x x -+-=（2）33814x y x y -=ìí-=î20．我们把一个n 位整数（或n 位小数，n 为不小于2的自然数）按数位顺序移动各数位上的数，得到一个新的n 位整数叫做原数的“换位数”．比如：34的“换位数”是43；0.123有两个“换位数”分别是0.2310.312、；3528有三个“换位数”分别是528328358352、、．（1）请写出0.2468的三个“换位数”．（2）0.990.999，的“换位数”都是它本身，若·0.9表示以9为单循环节的无限循环小数，其“换位数”也是它本身，则100.99.9´=g g，请说明：0.91=g；（3）已知百位上的数为1的一个三位数，其每个数位上的数互异且它们之和小于14，如果这个三位数与它的两个“换位数”之和能被7整除，求这个三位数．21．解方程组：（1）2520,5180.x y x y --=ìí-+=î（2）213,4311.x y x y +=ìí-=î（3）()()41231,2.23x y y x yì--+=-ïí+=ïî22．解下列方程组：（1）243213a b a b +=ìí-=î；（2）111234x y x y -+ì+=ïíï+=î．23．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定：a bad bc c d=-，根据这一规定，解答下列问题：若x ，y 同时满足()()1365xy -=-，()344y x =-，求x ，y 的值．24．解方程组：（1）27320y x x y =-ìí+=î；（2）()5156524m n m n +=ìí-=-î．25．阅读理解：对于任意一个三位正整数n ，如果n 的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个正整数n 为“相异数”．将一个“相异数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新的“相异数”，把这6个“相异数”的和与111的商记为()M n ．例如213是“相异数”，交换三个数位上的数字后可以得到123、132、231、312、321这5个新的“相异数”，这6个“相异数”的和为1231322132313123211332+++++=，所以()213133211112M =¸=．（1）计算：()125M 和()361M 的值；（2）设s 和t 都是“相异数”，其中4和2分别是s 的十位和个位上的数字，2和5分别是t 的百位和个位上的数字，当()()4M s M t -=时，求s 和t ．26．甲、乙两人解同一个关于x ，y 的方程组51542ax y x by +=ìí-=-î①②，甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为31x y =-ìí=-î乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54x y =ìí=î．（1）求a 与b 的值；（2）求20202021110ab æö+-ç÷èø的值．27．解下列方程组：（1）23374x y x y =+ìí+=-î；（2）2333211x y x y +=ìí-=î．28．解方程：()()()172332 1x x --=-()1322134x x x --=+-()3解方程组:()62323324x y x yx y x y +-ì+=ïíï+-+=î29．已知关于x 的二次三项式x 2+mx +n 有一个因式（x +5），且m +n =17，试求m 、n 的值．30．解方程组：2325%30% 1.35x y x y =ìí+=î．31．小鑫、小童两人同时解方程组11217ax by ax y ì-=ïíï-=î①②时，小鑫看错了方程②中的a ，解得41x y =ìí=î，小童看错了①中的b ，解得57x y =ìí=-î，求原方程组的正确解．32．甲、乙两人共同解方程组24ax y x by +=ìí+=î①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为71x y =ìí=î，乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为17x y =-ìí=î．试求出方程组正确的解．33．解下列方程组：（1）524365y x x y -ì=ïíï+=î （2）23123417x y x y +=ìí+=î34．（1）先化简，再求值：2(2)(21)4(1)x y x y y x x y -×+-+-+-，其中2x =，12y =-．（2）解方程组：2()()134123()2()3x y x y x y x y -+ì-=-ïíï+--=î．35．解二元一次方组：（1）32820x y x y -=-ìí+=î；（2）44335962x y x y ì+=ïíï-=-î（）（）．36．解方程组（1）25342x y x y -=ìí+=î（2）2320235297m n m n n --=ìï-+í+=ïî37．解方程或方程组（1）12226y y y -+-=-（2）11233210x y x y +ì-=ïíï+=î38．解下列方程组．（1）1325xy x y ì+=ïíï-=î（2）259546x y x y -=ìí+=î39．解方程组：335x y x y -=-ìí+=î．40．如图1所示的是一个长为4a ，宽为b 的长方形，沿图中虛线用剪刀平均分成四块小长方形．然后用四块小长方形拼成如图2所示的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为______．①a b +；②b a -；③()()a b b a +-．（2）由图2可以直接写出()2a b +，()2b a -，ab 之间的一个等量关系是______．（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：①8x y +=，7xy =，求()2x y -的值；②将一根铁丝剪成两段，用这两段铁丝围成两个正方形，拼成如图3所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠，铁丝的厚度忽略不计），若铁丝总长为28cm ．两个正方形的面积之差为214cm ，则阴影部分的面积为____2cm ．41．甲、乙两位同学一起解方程组51542ax y x by +=ìí=-î…①…②由于甲看错了方程①中的a ，得到的解为31x y =-ìí=-î，乙看错了方程②中的b ，得到的解为54x y =ìí=î，试根据上述条件，求解下列问题：（1）求a 、b 的值；（242．已知21x y =ìí=-î是二元一次方程2x +y ＝a 的一个解．解答下列问题：（1）a ＝ ；（2）完成下表，使上下每对x ，y 的值是方程2x +y ＝a 的解：x ﹣1m3234y 530n ﹣5①则m ＝ ，n ＝ ；②若将二元一次方程的解所包含的未知数x 的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y 的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解就可以对应平面直角坐标系中的一个点，请将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，在所给的平面直角坐标系中描出这五个点；（3）观察如图这五个点的位置，你发现了什么？43．已知y kx b =+，当2x =时，3y =-；当1x =-时，3y =．（1）求k ，b 的值；（2）当x 取何值时，y 的值为4-？44．（1）解方程组：()521823425y x x y x y ì--=ïí++=ïî①②；（2）解不等式组：()554131722x x x x ì+<+ïí-£-ïî①②；并把解集在数轴上表示出来．45．解下列方程组：（1）25271x y x y -=ìí+=-î；（2）231734121623x y x y ì+=ïïíï-=-ïî．46．解方程组：（1）25342x y x y +=ìí-=î；（2）233327x y x y -=ìí-=î．47．对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：()()(),ax by x y A x y ay bx x y ì+³ï=í+<ïî（其中0ab ¹）．（1）若已知1a =，2b =-，则()4,3A =_________．（2）已知()1,13A =，()1,20A -=．求a ，b 的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p mì->ïí---³ïî恰好有2个整数解，求m 的取值范围．48．对任意一个三位数m ，如果m 满足各数位上的数字互不相同且都不为0，则称m 为“称心数”．将一个“称心数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()Q m ．例如124m =，对调百位与十位上的数字得到214，对调百位与个位上的数字得到421，对调十位与个位上的数字得到142，这三个新三位数的和为214421142777++=，7771117¸=，所以()1247Q =．（1）直接写出最小和最大的“称心数m ”；（2）若m 、n 都是“称心数”，其中10032m x =+，150n y =+（19x ££，19y ££，x ，y 都是正整数），当()()18Q m Q n +=时，求()()Q m Q n 的值．49．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是2()a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：222()2a b a ab b +=++．（类比探究（1））：如图2，正方形ABCD 是由四个边长分别是a ，b 的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a ，b 表示）（应用探索结果解决问题）：已知：两数x ，y 满足7x y +=，6xy =，求x y -的值．（类比探究（2））：如图3，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用a ，b ，c 表示，结果尽可能化简）（应用探索结果解决问题）：正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当22103,3a xb y ==时，4c =；当232a x =，22b y=时，3c =，求x ，y 的值．50．阅读下列材料，然后回答问题：对于实数x 、y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+，（其中a 、b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x 、y 叫做线性数的一个数对，若实数x 、y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x 、y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,3L =_______，31,22L æö=ç÷èø_______；（2）已知(),3L x y x by =+，11,232L æö=ç÷èø，若正格线性数(),18L x kx =（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．51．材料一：对于一个四位数n ，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：5247n =，∵54279+=+=，∴5247是“间位等和数”；3145n =，∵3415+¹+，∴3145不是“间位等和数”材料二：将一个四位数n 千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数m ，记()99n mF n -=．例如5247n =，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以()5247524229757479F -==．（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；（2）若s 和t 都是“间位等和数”，其中1005240s a b =++，100010312t x y =++（17a ££，19b ££，19x ££，18y ££且a ，b ，x ，y 均为整数），规定：()()F t k F s =，若()()29F s F t -=，求k 的最小值．52．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-（x 、y 为正整数）．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=．所以2312x y +=的正整数解为32x y =ìí=î．问题：（1）请你直接写出方程328x y +=的正整数解___________．（2）若63x -为自然数，则求出满足条件的正整数x 的值．（3）关于x ，y 的二元一次方程组29210x y x ky +=ìí+=î的解是正整数，求整数k 的值．53．对于不为0的一位数m 和一个两位数n ，将数m 放置于两位数之前，或者将数m 放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为(),F m n ．例如：当1m =，68n =时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为618168450-=，而4501530¸=，所以()1,6830F =．（1）计算：()2,17F ．（2）若a 是一位数，b 是两位数，b 的十位数字为x （18x ££，x 为自然数），个位数字为8，当()()11,509,862F a F b +=时，求出所有可能的a ，b 的值．54．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k ，那么称这个四位正整数为“k 类诚勤数”，例如：2534，因为25347+=+=，所以2534 是“7类诚勤数”．（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；（2）若一个四位正整数A 为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．55．若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝111n n -+，那么我们称a 为第n个“1阶倒差数”，例如12＝1-12，∴12是第1个“1阶倒差数”，16＝12-13，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝1n -1n 2+，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．（1）判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；（2）若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且1d 1c-＝22，求c ，d 的值．56．在平面直角坐标系中，点(,0),(0,)A m B n ，且m ，n 满足n =．（1）求,A B 两点坐标．（2）如图①，若(,0)P a ，且三角形PAB 的面积为6，求a 的值．（3）如图②，若点C 为x 轴正半轴上一点，过点C 作//CD AB ，E 为线段AB 上一点，过点O 作OF OE ^交CD 点F ，其中11,33BEH BEO FCH FCO Ð=ÐÐ=Ð，试写出EHC Ð与BOF Ð之间的数量关系，并证明你的结论．57．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为()F m ．例如693，369+=Q ，∴693是“银翔数”，(693)6318F \=´=规定：(,)()()G m n pF m qF n =+（,p q 均为非零常数，,m n 为三位自然数）已知(253,121)11,(231,693)14G G ==-；（1）求,p q 的值及(473,275)G ；（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，,m abc n xby ==，19,19,19,19,19a b c x y ££££££££££，且,,,,a b c x y 为整数，且m 加上各个数位上数字之和被16除余7，若()()2F m F n -=，求(,)G m n 的最小值．58．对于数轴上的点A ，给出如下定义：点A 在数轴上移动，沿负方向移动a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是x ，沿正方向移动2a 个单位长度（a 是正数）后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的a 关联数”，记作G （A ，a ）＝{x ，y}，其中x <y ．例如：原点O 表示0，原点O 的1关联数是G （0，1）＝{－1，+2}（1）若点A 表示－3，a ＝3，直接写出点A 的3关联数．（2）①若点A 表示－1，G （A ，a ）＝{－5，y}，求y 的值．②若G （A ，a ）＝{－2，7}，求a 的值和点A 表示的数．（3）已知G （A ，3）＝{x ，y}，G （B ，2）＝{m ，n}，若点A 、点B 从原点同时同向出发，且点A 的速度是点B 速度的3倍．当|y －m|＝6时，直接写出点A 表示的数．59．（1）用代入法解方程组：3759x y x y -=ìí+=-î（2）用加减法解方程组：2232(3)31x y x y ì+=ïíï+-=î60．已知5a b +-的平方根是3±，4a b -+的立方根是2.求32a b -+的值.61．[阅读材料]善于思考的小明在解方程组253(1)4115(2)x y x y +=ìí+=î时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程(2)变形：4105x y y ++=， 即()2255(3)x y y ++=，把方程(1)代入(3)得：235y ´+=，所以1y =-，将1y =-代入(1)得4x =，所以原方程组的解为41x y =ìí=-î．[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=ìí-=î，（2）已知x ，y 满足方程组2222321250425x xy y x xy y ì-+=í++=î，求224x y +的值．62．阅读材料并回答下列问题：当m ，n 都是实数，且满足2m =8+n ，就称点P （m ﹣1，22n +）为“爱心点”．（1）判断点A （5，3），B （4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点A （a ，﹣4）是“爱心点”，请求出a 的值；（3）已知p ，q 为有理数，且关于x ，y的方程组3x y q x y q ì+=+ïí-=-ïî解为坐标的点B （x ，y ）是“爱心点”，求p ，q 的值．63．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +æö-ç÷èø为“爱心点”．（1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y的方程组3x y qx y q ì+=+ïí-=-ïî解为坐标的点(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．64．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．（1）解方程组321327x y x y -=-ìí+=î，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；（2）如何解方程组()()()()3523135237m n m n ì+-+=-ïí+++=ïî呢？我们可以把m +5，n +3看成一个整体，设m +5＝x ，n +3＝y ，很快可以求出原方程组的解为 ； （3）由此请你解决下列问题：若关于m ，n 的方程组722am bn m bn +=ìí-=-î与351m n am bn +=ìí-=-î有相同的解，求a 、b 的值．65．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,ax byT x y a y+=+（其中a ，b 是非零常数且0x y +¹），这里等式右边是通常的四则运算．如：()223193,1314a b a b T ´+´+==+，()24,22am b T m m +-=-．（1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）；（2）若()2,02T -=-且()5,16T -=．①求a 与b 的值；②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．66．已知关于x 、y 的方程组354526x y ax by -=ìí+=-î与2348x y ax by +=-ìí-=î有相同的解，求a 、b 的值．67．新定义，若关于x ，y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î的解是00x x y y =ìí=î，关于x ，y的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=ìí+=î的解是11x x y y =ìí=î，且满足1000.1x x x -£，1000.1y y y -£，则称方程组②的解是方程组①的模糊解．关于x ，y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+ìí-=+î的解是方程组10310x y x y +=ìí+=-î的模糊解，则m 的取值范围是________．68．阅读下列材料：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-（x 、y 为正整数）．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，由2，3互质，可知：x 为3的倍数，将3x =，代入得2423y x =-=．所以2312x y +=的一组正整数解为32x y =ìí=î．问题：（1）请你直接写出方程36x y -=的一组正整数解_______；（2）若123x -为自然数，则满足条件的正整数x 的值有（ ）个．A ．5B ．6C ．7D ．8（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．69．方程组3522710x y a x y -=ìí+=-î的解x 、y 的值互为相反数，求a 的值和方程组的解．70．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(,)a a -，点B 的坐标为(,)b c ，其中,,a b c 满足32824a b c a b c ++=ìí-+=-î．（1）若数a 没有平方根，判断点A 在第几象限并说明理由；（2）若点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴的距离的2倍，求点B 的坐标；（3）若点D 的坐标为(2,4)-，三角形OAB 的面积是三角形DAB 面积的3倍，求点B 的坐标．71．已知实数,,x y z 满足等式23651x y z ++=，321281x y z ++=．（1）若1z =-，直接写出x y +的值；（2）若实数m =m 的平方根；（3）直接写出多项式7824x y z ++的值．72．已知关于,x y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+ìí+=-î的解满足x y a -=，求22x y -的值．73．已知22x y m =ìí=î，23x ny =ìí=î都是关于x ，y 的二元一次方程y x b =+的解，且2112m n b b -=+-，求b 的值．74．已知25ax by bx ay +=-ìí+=î的解是12x y =ìí=î，求+a b 的值．75．已知方程组3257x y mx ny -=ìí+=î与231953mx ny y x -=ìí-=î有相同的解，求m 、n 的值．76．已知方程组210,3,mx y x ny -=ìí+=-î①②由于甲看错了方程②中的n 的值，得方程组解为21.x y =-ìí=-î；乙看错了方程①中的所得方程组为1.2.x y =ìí=î那么m ，n 的值是二元一次方程32m n -=的解吗？77．甲、乙两人同解方程组2,34ax by cx y +=ìí-=î①．②，甲因看错c 的值解得方程组解为11x y =ìí=î，乙求得正确的解为22x y =ìí=-î，求a ，b ，c 的值．78．在解方程组51542ax y x by +=ìí-=-î时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为31x y =-ìí=-î.乙看错了方程组中的b ，而得解为54x y =ìí=î.(1)求出原方程组的正确解.(2)甲把a 看成数是多少？乙把b 看成的数是多少？79．阅读型综合题对于实数x ，y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+(其中a ，b 均为非零常数)，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x ，y 叫做线性数的一个数对.若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对.(1)若(),3L x y x y =+，则()2,1L -=_________，31,22L æö=ç÷èø_________；(2)已知(),3L x y x by =+，11,232L æö=ç÷èø.①求字母b 的取值；②若(),18L x kx =(其中k 为整数)，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由.80．解方程组(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+ìí-+=++î81．定义运算“*”，规定2*x y ax by =+，其中a ，b 为常数，且1*25=，2*16=，求2*3的值.82．阅读探索解方程组(1)2(2)62(1)(2)6a b a b -++=ìí-++=î解：设a -1=x ，b +2=y ，原方程组可变为2626x y x y +=ìí+=î解方程组得22x y =ìí=î，即1222a b -=ìí+=î，所以30a b =ìí=î．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：(1)2(2)4352(1)(2)535ab a b ì-++=ïïíï-++=ïî（2）能力运用已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=ìí+=î的解为53x y =ìí=î，直接写出关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=ìí++-=î的解为_______．83．已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-ìí+=-î（k 为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）；（2）若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围；（3）若1k £，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．84．已知24221x y kx y k +=ìí+=+î，且x-y ＜0，求k 的取值范围85．已知关于x 的方程9x 3kx 14-=+有整数解，求满足条件的所有整数k 的值．86．综合探究题 等腰三角形ABC 中，AB ＝x ，BC ＝y ，周长为12.(1)列出关于x ，y 的二元一次方程；(2)求该方程的所有整数解．87．已知12x y =ìí=î是二元一次方程2x y a +=的一个解．(1)a=__________；(2)完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点(x ，y)，如果过其中任意两点作直线，你有什么发现？x 013y6288．甲、乙两位同学在解方程组3141ax y bx y +=ìí-=î①② 时，甲把字母a 看错了得到方程组的解为274x y =ìïí=-ïî；乙把字母b 看错了得到方程组的解为21x y =ìí=-î．（1）求a ，b 的正确值；（2）求原方程组的解．89．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x x y -==-，（x 、y 为正整数）∴01220x x >ìí->î，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423x y =-=∴2x+3y=12的正整数解为32x y =ìí=î问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： .（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值为 .（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？90．（1）阅读下列材料并填空：对于二元一次方程组4354{336x y x y +=+=，我们可以将x ，y 的系数和相应的常数项排成一个数表4354()1336，求得的一次方程组的解{x a y b == ，用数表可表示为10)01a b（．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：从而得到该方程组的解为x= ，y= ．（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组236{2x y x y +=+=的过程．91．(1)计算（2）解方程组257320x y x y -=ìí-=î(3)解不等式组，()3241213x x x x ì--£ïí+>-ïî并把解集在数轴上表示出来92．解方程组：2{52234x y x y -=+=.93．已知：甲、乙两人同解方程组()()5151422ax y x by ì+=ïí=-ïî时,甲看错了方程(1)中的a,解得21x y =-ìí=î,乙看错了(2)中的b,解得54x y =ìí=-î，试求a+b 的平方根。

一、选择题1．若方程组a 2b 43a 2b 8+=⎧⎨+=⎩，则a+b 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．2 D ．12．甲、乙两人分别从相距40km 的两地同时出发，若同向而行，则5h 后，快者追上慢者；若相向而行，则2h 后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：km/h)分别是（ ）A ．14和6B ．24和16C ．28和12D ．30和1 3．若关于x 、y 的方程组228x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．16 4．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有若干张正方形和若干张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则库存中正方形纸板与长方形纸板之和的值可能是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 5．如图，宽为25cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积是（ ）A ．2200cmB ．2150cmC ．2100cmD ．275cm6．解方程组232261s t s t +=⎧⎨-=-⎩①②时，①—②，得（ ） A ．31t -= ． B ．33t -= C ．93t = D ．91t = 7．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种8．方程组125x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．43x y =⎧⎨=-⎩D ．23x y =-⎧⎨=⎩9．解为12x y =⎧⎨=⎩的方程组是（ ） A ．135x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩C ．331x y x y -=⎧⎨-=⎩D ．2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩ 10．如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．280B ．140C ．70D ．19611．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下,那么一支笔和一本笔记本应付（ ）小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本售货员:好的,那你应付款52元小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付44元A ．10元B ．11元C ．12元D ．13元 12．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示．规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为（ ）A ．19分B ．20分C ．21分D ．22分 13．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是32=19423x y x y +⎧⎨+=⎩，在图2所示的算筹图所表示的方程组是（ ）A ．2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．21437x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．2274311x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2114327y x y x +=⎧⎨+=⎩14．二元一次方程组425x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为（ ） A ．13x y =⎧⎨=⎩ B ．22x y =⎧⎨=⎩ C ．31x y =⎧⎨=⎩ D ．40x y =⎧⎨=⎩15．下列方程是二元一次方程的是（ ）． A ．32x y -= B ．1xy = C ．2+3=x x D ．153x y -= 二、填空题16．渝北区某学校将开启“阅读节”活动，为了充实学校书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去7690元；语文组购买了A 、B 两种文学书籍若干本，用去8330元，已知A 、B 两种书的数量分别与甲、乙两种书的数量相等，且甲种书与B 种书的单价相同，乙种书与A 种书的单价相同，若甲种书的单价比乙种书的单价多8元，则乙种书籍比甲种书籍多买了______本．17．写出方程35x y -=的一组解_________．18．若2(321)4330x y x y -++--=，则x y -=_____． 19．二元一次方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是__________ ． 20．已知关于x 、y 的方程组2326324x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩的解满足2x y +=，则k 的值为__． 21．设 a 、b 是有理数，且满足等式2322152a b b ++=-则a+b=___________．22．已知关于x 、y 二元一次方程组31630mx y x ny -=⎧⎨-=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的二元一次方程组(1)3(1)163(1)(1)0m x y x n y +--=⎧⎨+--=⎩的解是___． 23．已知方程组32223x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的解适合8x y +=，则m =_______．24．我们称使方程2323x y x y ++=+成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为(),x y ． （1）若()6,y 是“相伴数对”，则y 的值为______；（2）若(),a b 是“相伴数对”，请用含a 的代数式表示b =______．25．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是_______cm ．26．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定a bad bc c d =-．已知x ，y 同时满足514x y=-，513y x =-，则xy =________．三、解答题27．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？28．“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p 元/千米计算，耗时费按q 元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表： 时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元）小明 7 512.1 小亮 64.5 10.8 （2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？ 29．某班举行数学知识竞赛，下面是班长安排小明购买奖品后的对话情景小明：买了两种不同的笔记本共40本，单价分别是5元和8元，我从你处领了300元，现在找回68元班长：你肯定搞错了小明：哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱款了班长：这就对啦！（1）根据上述信息，求两种笔记本各买了多少本？（2）请你解释，小明为什么不可能找回68元？30．近几年大部分家庭流行用不锈钢钢管做防盗窗，小芳家的防盗窗按设计要求，需要长为0.8米的钢管100根，及长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的，经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．（1）将一根长为6米的钢管进行裁剪（余料作废），有下面几种方法，请完成填空：方法①：只裁长为0.8米的钢管时，最多可裁________根．方法②：先裁下1根2.5米长的钢管，余下部分最多能裁0.8米长的钢管____根．方法③：先裁下2根2.5米长的钢管，余下部分最多能裁0.8米长的钢管________根．（2）用（1）中的三种方法里面的两种进行结合来裁剪6米长的钢管，在尽量减少用料的情况下，如何裁剪才能得到所需要的相应数量的材料？。