二元一次方程组培优讲义
类型一：二元一次方程的概念及求解
例（1）．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ______，b _____．
如果25mx y x -=+是关于x 、y 的二元一次方程，则m _____．
（2）．二元一次方程3x ＋2y ＝15的正整数解为_______________．
类型二：二元一次方程组的求解
例（3）．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2
互为相反数，则a ＝______，b ＝______．
（4）．2x －3y ＝4x －y ＝5的解为_______________． 类型三：已知方程组的解，而求待定系数
例（5）．已知⎩⎨⎧==1
2y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．
（6）．若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6
)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______． 练习：若方程组⎩
⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5
243y x by x a 有相同的解，则a = ，b= 。 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．
例（7）．已知2a ＝3b ＝4c ，且a ＋b －c ＝12
1，则a ＝_______，b ＝_______，c ＝_______． （8）．解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+63432
3x z z y y x ，得x ＝______，y ＝______，z ＝______．
练习：若450x y -=，那么125125x y x y
-+=_________． 由方程组⎩
⎨⎧=+-=+-0432032z y x z y x 可得，x ∶y ∶z 是（ ） A 、1∶2∶1 B 、1∶（－2）∶（－1） C 、1∶（－2）∶1 D 、1∶2∶（－1）
说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．
当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。
类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．
例（9）．若⎩⎨⎧-==20y x ，⎪⎩
⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为
（10）．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨⎧-==11y x ，⎩
⎨⎧==12y x ，则这个二元一次方程是 练习：如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+1
0cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）
A 、a ＋4c ＝2
B 、4a ＋c ＝2
C 、a ＋4c ＋2＝0
D 、4a ＋c ＋2＝0
类型六：方程组有解的情况。（方程组有唯一解、无解或无数解的情况）
方程组⎩⎨⎧=+=+2
22111c y b x a c y b x a 满足 条件时，有唯一解；
满足 条件时，有无数解；
满足 条件时，有无解。
例（11）．关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-2
312y mx y x 没有解时，m
（12）二元一次方程组23
x y m x ny -=⎧⎨+=-⎩ 有无数解，则m= ，n= 。
类型七：解方程组
例（13）．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+．022
325232y x y y x （14）．⎪⎩⎪⎨⎧⨯=++=-8001005.8%60%10)503(5)150(2y x y x
（15）．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--．6)(2)(3152y x y x y x y x （16）．⎪⎩
⎪⎨⎧=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x
类型八：解答题
例（17）．已知⎩⎨⎧=+-=-+0
254034z y x z y x ，xyz ≠0，求222
223y x z xy x +++的值．
（18）．甲、乙两人解方程组⎩⎨⎧=+-=-514by ax by x ，甲因看错a ，解得⎩
⎨⎧==32y x ，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得⎩⎨
⎧-=-=2
1y x ，求a 、b 的值．
练习：甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧-=-=+ ②
by x ①y ax 24155,由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为
⎩⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为⎩⎨⎧==4
5y x ，求原方程组的正确解。
（19）．已知满足方程2 x －3 y ＝m －4与3 x ＋4 y ＝m ＋5的x ，y 也满足方程2x ＋3y ＝3m －8，求m 的值．
（20）．当x ＝1，3，－2时，代数式ax 2
＋bx ＋c 的值分别为2，0，20，求：
（1）a 、b 、c 的值； （2）当x ＝－2时，ax 2＋bx ＋c 的值．
（21）．对于X,Y 定义一种新运算“*”：*X Y aX bY =+，已知3*5=15 , 4*7=28 ，求2*3的值。
