二元一次方程组应用的讲义

金牌数学初二专题系列之一次函数1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

盈亏问题解题技巧：1、将题目涉及的两个对象的值分别设为x和y2、根据两次总数不变来列方程3、解方程并答例1、我校运动员分组训练，若每组7人，则余3人；若每组8人，则缺5人。

求运动员人数和组数1、初一的学生去会议室听校长训话，每排座位坐12人，则有11人无处可坐。

每排座位坐14人，则余1人独坐一排。

求这件会议室共有多少座位？多少排？2、植树节到了，初一（3）班的学生在老师的组织下去参加植树活动。

如果每人种5棵，则还有3棵没种。

如果其中2人各种4棵，则其余每人种6棵，就恰好种完。

求这一波植树的人数和树木总数？3、有一群学生去住宿，如果每间住7人，那么有7人无房间可住，如果每间住9人，那么就空出一间房间，问该店有多少间房？住宿有多少人？4、实验中学的学生乘车去春游，如果每车坐60人，则有15人没座位坐，如果每车坐65人，则恰好多出一辆车。

问：一共有多少辆车？多少个学生？5、某中学组织初一的学生去春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位，若租同样数目的60座客车，则多出1辆车，且其余客车恰好坐满。

已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元。

回答下列问题：（1）初一学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？例2、小明从家赶路去学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，则可以提前2分钟到学校。

求小明家到学校的路程？6、七年（1）班课外活动小组计划做一批“中国结”。

如果每人做6个，那么比计划多了7个。

如果每人做5个，那么比计划少了13个。

求该组计划做了多少个“中国结”？7、七年（2）班的同学们去划船，如果增加1条船，正好每条船坐6人，如果减少1条船，正好每条船坐9人。

问：这个班共多少名同学？8、初一的学生分一批练习本，如果每人分4本，则多出8本，如果有1人分10本，其余每人分6本，则缺18本。

二元一次方程知识点一：二元一次方程（组）的概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程，一般形式可表示为ax+by+c=0(a≠ 0,b≠ 0)※注意：1)方程中含有两个不同的未知数2）方程中含有未知数的项的次数都是1，但不能理解为未知数的次数是1，例如：-3xy=6不是二元一次方程3）方程必须是整式方程，即分母中不能含有未知数4）看最终化简形式是否是二元一次方程2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组，一般形式是： a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，(其中a1,a2,b1,b2不全为0）注意：组成二元一次方程组的不一定全是二元一次方程，但必须满足两个方程中共含有两个未知数知识点二：二元一次方程（组）的解的概念1、二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解注意：1）二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值； 2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，是二元一次方程组的解，它是两个方程的公共解注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；（而每个方程的解不一定是方程组的解）2）二元一次方程组需用大括号“{”表示，方程组的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如()⎩⎨⎧=+=+422yxyx，有的方程组无解，如⎩⎨⎧=+=+63yxyx.知识点三：二元一次方程组的解法1、代入消元法（消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；3）把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；4）．写出方程组的解。

二元一次方程组专题知识讲义一、二元一次方程的定义及通解1、二元一次方程的特解2、二元一次方程的通解（整数解）3、二元一次方程和一次函数的关系4、二元一次方程组5、二元一次方程组的解的情况判定6、二元一次方程组的解法示例二、例练及应用练习1、已知方程组ax+by=-16 x=8 x=8 Cx+20y=-224 的解为 y=-10,小明解题时，把c抄错了因此得到的解是 y=-13 则a2+b2+c2=__________2、关于x、y的方程组x+ay+1=0bx-2y+1=0有无数组解，则a、b的值为_________3、已知m是整数，方程组4x-3y=66x+ my=20有整数解，求m的值4、已知二元一次方程组2x+y=7X+2y=8,则x-y=________,x+y=_________5、若关于x,y的方程组ax+3y=92x-y=1无解，则a的范围为__________6、 m为正整数，已知二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0,有正整数解，则m2=_______7、若对任意有理数a,b关于x,y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a+b有一组公共解，则公共解为__________8、若1/x +2/y +3/z=5, 3/x +2/y +1/z=7,则1/x +1/y +1/z=______9、方程︱x-2y-3︱+︱x+y+1︱=1的整数解得个数为________10.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品。

若铅笔3支，练习本7支，圆珠笔支共需6.3元；若购铅笔4支，练习本10支，圆珠笔1支，共需8.4元，现购买铅笔、圆珠笔、练习本各1本，共需多少元？11、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的工程由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元；若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，选甲公司还是选已公司？请说明理由。

第八章-二元一次方程组讲义(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二元一次方程组讲义一、二元一次方程的概念：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为零的整式方程； 注：满足4个条件：①含有两个未知数， ②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为零④整式方程（分母中不含字母）2、一般形式： ax+by+c=0(00≠≠b a ，)例1、（1）已知5)2(1=---a by x a 是关于x ，y 的二元一次方程， 则a= b=（2）若13212+--++n m n m y x=1是关于y x ,的二元一次方程，则m = ；n = .（3）若().,13252的值求是二元一次方程a y a xa =-+-二、二元一次方程组：1、定义：由几个一次方程组成，并且共含有2个未知数的方程 注：①方程组中有且仅有2个未知数，②每个方程必须为整式方程（分母中不含字母） ③不要求每个方程都要含有2个未知数； ④不要求必须由2个方程组成；例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 .（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+211y x y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x xy ；（4）⎩⎨⎧==+01x y x ；（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2111y x y x ； （6）⎩⎨⎧=+=+212z y y x ；（7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x ；（8）⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x .；（9）()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-2312y y x x y x例2、若方程组()⎩⎨⎧=-=+-+-43332b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组，则代数式c b a ++的值是 ．2、二元一次方程（组）的解1、若⎩⎨⎧-==22y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .2、方程组⎩⎨⎧=+-=-8332y x y x 和⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 同解，求b a 、的值。

二元一次方程组讲义二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念①二元一次方程是一个含有两个未知数的方程，且未知数项的次数都是1.需要满足四个条件：1、方程是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.②二元一次方程组是含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。

需要满足三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

在方程组中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

①二元一次方程：例1、下列方程中，只有3x+6=2x，xy=3，y-xy=4，10x-2y=0，x+y/4=2，2x+3xy=5是二元一次方程。

例2、方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值范围为实数。

例3、已知方程mx+(m+2)y=3m-1是关于x,y的二元一次方程，则m的取值范围是实数。

例4、若关于x，y的方程x+y/4-3y/2=1，其中a+b≤3，则a-b=7/4.②二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是3：{x+y=1.x^2+y^2=1.xy=1}。

例2、若方程组{x-(c+3)y=0.xy=3}是关于x,y的二元一次方程组，则代数式a+b+c 的值为2.题型二：二元一次方程（组）的解的概念二元一次方程的解是指使方程左右两边相等的一对数值。

需要注意的是：1）每一个解都是一对数值，而不是一个数值；2）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解：1) x=3.y=-12) x=3.y=2解答：将数值代入方程3x+y=11中，得：1) 3(3)+(-1)=8，不是方程的解。

2) 3(3)+(2)=11，是方程的解。

下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是：t=3.s=2t=2.s=4t=4.s=6t=2.s=1解答：将数值代入方程t-2s=-8中，得：1) 3-2(2)=-1，不是方程的解。

二元一次方程组本章知识点题型➢ 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有 解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是 的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ． 【例1】二元一次方程（组）定义1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n =．2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④12x y =⎧⎨=⎩，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【例2】二元一次方程（组）的解1. 如果32x y ì=ïí=ïî是方程632x by +=的解，则b =．2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5x y =⎧⎨=⎩★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ． 【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组：（1）23525x y x y ì+=ïí+=ïî；（2）13102428x y x y ì-+-=ïíï-+=-î；2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2x =-时，y 的值．【例4】二元一次方程组的变形若23135x y x y ++==，将原方程组化为111222a xb yc a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为 ．➢ 二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是 方程； ②方程组中共含有 未知数； ③每个方程都是一次方程．【例5】系数求解问题在解方程组51044ax yx by+=⎧⎨-=-⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为31xy=-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程组中的b，得到的解为54xy=⎧⎨=⎩．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【例6】方程同解1.已知关于x、y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解相同，求ab的值．2.已知关于x，y的二元一次方程组533321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩的解适合方程6x y+=，求n的值．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【例8】行程问题A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A ，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度． 【小练】已知某铁路桥长800m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s ，整列火车完全在桥上的时间是35s ，求火车的速度和长度．【例9】工程问题一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，那么甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？【小练】2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6公顷；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8公顷．1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．1. 下列方程（组）中，①20x +=；②321x y -=；③10xy +=；④121x x-=；⑤13x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑥201x y x z -=⎧⎨+=⎩，其中是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ．（填序号即可）2. 若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay ì+=ïí-=ïî的解是1x by ì=ïí=ïî，则b a 的值为 ．3. 若234326a b a b ì+=ïí+=ïî，则a b += ．4. 若5232m n x y +与3263m n x y +-是同类项，则m n -= ．5. 解方程组（1）3586510m n m n -=⎧⎨+-=⎩；（2）5115y z x x y z x z y +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩．6. 在解关于x ，y 的方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c ，因而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，试求a b c ++的值．7. 已知方程组23109x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组8432bx ay x y -=⎧⎨-=⎩的解相等，试求a 、b 的值．8. （2015•河北模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y a -=，求该方程组的解．9. 甲乙两地相距120千米，一辆汽车和一辆摩托车从两地同时出发相向而行，1.2小时相遇．相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留10分钟后原速返回，结果在第一次相遇后半小时再次遇到摩托车，问汽车、摩托车每小时各行驶多少千米？。