二元一次方程组讲义

金牌数学初二专题系列之一次函数1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

第一章 二元一次方程组【知识要点】1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量； ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程， 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解 （二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组例：解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或x=ay+b ）的形式；③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

《二元一次方程组》复习讲义知识导航知识点1 二元一次方程组的概念概念：含有个未知数，且且含有的次数都是1方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.知识点2 解二元一次方程组（1）二元一次方程的解：一般的，使二元一次方程两边的两个未知数的值，就是二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.（2）二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解.（3）解二元一次方程组的思想是.知识点3 解二元一次方程组的基本方法是：（1）消元法：把二元一次方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.（2）消元法：当二元一次方组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程..知识点4 三元一次方程组及解法（1）三元一次方程组的概念：一个方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是，并且一共有，像这样的方程组叫做三元一次方程组.（2）三元一次方程组的解法：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.方法总结①方程思想:方程思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想方法,是指在求指数学问题时,从已知和未知量之间的数学量关系入手,得出相等关系.把方字语言转化为符号语言即转化为方程(组),再通过解方程(组)使数学问题获得解决.②消元的数学思想消元是解方程的基本思想,消元的目的是将多元方程逐步转化为一元方程,本章中消元的两个基本策略是代入消元和加减消元.第三部分：考点突破考点1 二元一次方程组的概念 1.下列是二元一次方程的是.（1）2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0 (4) x 2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=1 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a .考点2 方程组的解法及解的应用 3.解二元一次方程组 （1）⎩⎨⎧-=-=+13y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=22332y x yx （3）（5）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=-+725222z y x z y x z y x （4）4.已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.求m ，n 的值．考点3 方程组的应用5..小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买)，中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买__支．6.小明在某商店购买商品A 、B 共两次，这两次购买商品A 、B 的数量和费用如表：若小丽要购买3个商品A 和2个商品B ，则她要花费多少元钱？4 393 6 6 1627.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，甲矿泉水的成本是24元/箱，销售价是36元/箱；乙矿泉水的成本价是33元/箱，销售价是48元/箱. （1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？8.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？9.由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电，规定：在每天7：00至24：00为用电高峰期，电价为a 元/度，每天0：00至7：00为用电平稳期，电价为b 元/度，若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的31，5月份在平稳期的用电量占当月用电量的41，已知4月份用电12万度，交电费6.4万元，5月份用电16万度，交电费8.8万元.（1）求a 、b 的值；（2）若平稳期用电为x 万度，电费为y 元，已知6月份用电20万度． ①求出y 与x 之间的函数关系式；②为将电费控制在10万元至10.6万元之间，那么该厂6月份在平稳期用电量占当月总用电量比例应在什么范围？《二元一次方程组》过关测试卷（总分：100分 时间：60分钟 命题人：任艳霞）一、选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩2.方程组⎩⎨⎧=-=-82352y x y x ，消去y 后得到的方程是（ ）A 、01043=--x xB 、8543=+-x xC 、8)25(23=--x xD 、81043=+-x x3.已知b a 、满足方程组⎩⎨⎧=-=+43125b a b a ，则b a +的值为（ ）A.－4B.4C.－2D.24.一等腰三角形的两边长为x ，y ，满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ，则此等腰三角形的周长为（ ）A.4B.5C.3 D5或45.若二元一次方程，，有公共解，则的取值（ ） A 、3 B 、－3 C 、－4 D 、46.若0125=+-+++b a b a ，则=-2015）（a b （ ）A.－1B.1C.20155D.－20155二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 7.方程52=+y x 的正整数解是_.8.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值是____．9.若⎩⎨⎧==12y x 是方程⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx m x 的解，则()=+2012n m 的值是__________.10.若，则＝ ，＝ .三、解答题（共56分） 11.（10分）解方程组 （1）⎩⎨⎧=+=-24352y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-632223y x y x12.（12分）已知方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩，由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解是多少？13.（12分）运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？14.（14）某服装店用6 000元购进A ，B 两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)，这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？15.某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5 000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数． (1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．。

二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1.方程41ax yx -=-是二元一次方程，则a 的取值为（ ）A 、0a ≠B 、1a ≠-C 1a ≠D 、2a ≠ 例2.若二元一次方程321x y-=有正整数解，则x 的取值应为（ ）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为 。

2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

二元一次方程知识点一：二元一次方程（组）的概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程，一般形式可表示为ax+by+c=0(a≠ 0,b≠ 0)※注意：1)方程中含有两个不同的未知数2）方程中含有未知数的项的次数都是1，但不能理解为未知数的次数是1，例如：-3xy=6不是二元一次方程3）方程必须是整式方程，即分母中不能含有未知数4）看最终化简形式是否是二元一次方程2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组，一般形式是： a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，(其中a1,a2,b1,b2不全为0）注意：组成二元一次方程组的不一定全是二元一次方程，但必须满足两个方程中共含有两个未知数知识点二：二元一次方程（组）的解的概念1、二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解注意：1）二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值； 2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，是二元一次方程组的解，它是两个方程的公共解注意：1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；（而每个方程的解不一定是方程组的解）2）二元一次方程组需用大括号“{”表示，方程组的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如()⎩⎨⎧=+=+422yxyx，有的方程组无解，如⎩⎨⎧=+=+63yxyx.知识点三：二元一次方程组的解法1、代入消元法（消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；3）把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；4）．写出方程组的解。

二元一次方程组§8.1二元一次方程组1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的二元一次方程，并且00≠≠b a ，)。

使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有且只有一个解。

一、填空题1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x=3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程。

4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=____；当y=0时，则x=____。

5、方程2x+y=5的正整数解是______。

6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2= 。

7、方程组⎩⎨⎧==+b xy a y x 的一个解为⎩⎨⎧==32y x ，那么这个方程组的另一个解是 。

二、选择题1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+yx ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。

Ａ、１ Ｂ、２ Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）A 、10x+2y=4B 、4x-y=7C 、20x-4y=3D 、15x-3y=6 4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ）A 、1B 、－1C 、－3D 、以上答案都不对5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k值为（ ）A 、2B 、-2C 、2或-2D 、以上答案都不对．6、若⎩⎨⎧-==12y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）A 、⎩⎨⎧=+=-5253y x y xB 、⎩⎨⎧=--=523x y x yC 、⎩⎨⎧=+=-152y x y xD 、⎩⎨⎧+==132y x y x7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ）A 、35-=x yB 、3--=x yC 、35+=x yD 、35--=x y 8、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ）Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 9、下列说法正确的是（ ）Ａ、二元一次方程只有一个解 Ｂ、二元一次方程组有无数个解Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解10、若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是（ ）Ａ、ｋ＝６ Ｂ、ｋ＝１０ Ｃ、ｋ＝９ Ｄ、ｋ＝101§8.2消元——二元一次方程组的解法1、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。

第八章-二元一次方程组讲义(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二元一次方程组讲义一、二元一次方程的概念：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为零的整式方程； 注：满足4个条件：①含有两个未知数， ②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为零④整式方程（分母中不含字母）2、一般形式： ax+by+c=0(00≠≠b a ，)例1、（1）已知5)2(1=---a by x a 是关于x ，y 的二元一次方程， 则a= b=（2）若13212+--++n m n m y x=1是关于y x ,的二元一次方程，则m = ；n = .（3）若().,13252的值求是二元一次方程a y a xa =-+-二、二元一次方程组：1、定义：由几个一次方程组成，并且共含有2个未知数的方程 注：①方程组中有且仅有2个未知数，②每个方程必须为整式方程（分母中不含字母） ③不要求每个方程都要含有2个未知数； ④不要求必须由2个方程组成；例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是 .（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+211y x y x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x xy ；（4）⎩⎨⎧==+01x y x ；（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2111y x y x ； （6）⎩⎨⎧=+=+212z y y x ；（7）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x ；（8）⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x .；（9）()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-2312y y x x y x例2、若方程组()⎩⎨⎧=-=+-+-43332b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组，则代数式c b a ++的值是 ．2、二元一次方程（组）的解1、若⎩⎨⎧-==22y x 是二元一次方程3=+by ax 的一个解，则=--1b a .2、方程组⎩⎨⎧=+-=-8332y x y x 和⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 同解，求b a 、的值。

二元一次方程组的定义及解法4、基础知识。

知识点1二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

1、含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若ax m+by n=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1知识点2二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（不必记）注：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

知识点3方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。

方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

知识点4用代入消元法解二元一次方程组。

步骤１、选择一个未知数系数较简单的方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。

步骤２、将其代入到另一个方程中消去一个未知数并求出另一个未知数的值。

步骤３、将求出的未知数的值代入方程中求出另一个未知数的值。

知识点5加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

当同一个未知数的系数相同时，用减法；当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法。

5、典例分析。

例1、代入法解方程 ⎩⎨⎧-=+=-1244y x y x变式训练：例2、加减法解方程．1．⎩⎨⎧-=-=-8254076y x x y 3、⎩⎨⎧=+=-524y x y x2．⎩⎨⎧=-=-322543y x y x4．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x例3.关于x 、y 的方程组 ，当a 为何值时，方程组有唯一解？无解？无数解？知识链接：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

《二元一次方程》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程是指含有两个未知数（通常用 x 和 y 表示），并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

例如：2x ＋ 3y ＝ 8 ，x 5y ＝－1 ，这些都是二元一次方程。

它的一般形式可以写成 Ax ＋ By ＝ C ，其中 A、B 不同时为 0 。

这里要注意几个关键点：首先，方程中必须含有两个未知数；其次，未知数的最高次数是 1 ；最后，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。

二、二元一次方程的解既然有方程，那就会有解。

那什么是二元一次方程的解呢？对于一个给定的二元一次方程，如果存在一组数（x，y），将这组数代入方程后，能使方程左右两边相等，那么这组数就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 8 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 2 ，代入方程左边得到 2×1 ＋ 3×2 ＝ 8 ，方程左右两边相等，所以（1，2）就是这个方程的一个解。

需要注意的是，二元一次方程一般有无数个解。

因为只要给定一个x 的值，就可以通过方程求出对应的 y 值。

三、二元一次方程组有时候，我们会遇到两个二元一次方程组合在一起的情况，这就形成了二元一次方程组。

例如：＼＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼x 5y ＝－1＼end{cases}＼二元一次方程组的解，就是同时满足这两个方程的未知数的值。

求解二元一次方程组的方法主要有代入消元法和加减消元法。

四、代入消元法代入消元法是求解二元一次方程组的一种常用方法。

举个例子，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以从第一个方程中解出 x ＝ 5 y ，然后将其代入第二个方程：2(5 y) y ＝ 1 ，10 2y y ＝ 1 ，10 3y ＝ 1 ，－3y ＝－9 ，y ＝ 3 。

二元一次方程组讲义二元一次方程组讲义题型一：二元一次方程（组）的概念①二元一次方程是一个含有两个未知数的方程，且未知数项的次数都是1.需要满足四个条件：1、方程是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.②二元一次方程组是含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。

需要满足三个条件：1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

在方程组中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

①二元一次方程：例1、下列方程中，只有3x+6=2x，xy=3，y-xy=4，10x-2y=0，x+y/4=2，2x+3xy=5是二元一次方程。

例2、方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值范围为实数。

例3、已知方程mx+(m+2)y=3m-1是关于x,y的二元一次方程，则m的取值范围是实数。

例4、若关于x，y的方程x+y/4-3y/2=1，其中a+b≤3，则a-b=7/4.②二元一次方程组：例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是3：{x+y=1.x^2+y^2=1.xy=1}。

例2、若方程组{x-(c+3)y=0.xy=3}是关于x,y的二元一次方程组，则代数式a+b+c 的值为2.题型二：二元一次方程（组）的解的概念二元一次方程的解是指使方程左右两边相等的一对数值。

需要注意的是：1）每一个解都是一对数值，而不是一个数值；2）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解：1) x=3.y=-12) x=3.y=2解答：将数值代入方程3x+y=11中，得：1) 3(3)+(-1)=8，不是方程的解。

2) 3(3)+(2)=11，是方程的解。

下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是：t=3.s=2t=2.s=4t=4.s=6t=2.s=1解答：将数值代入方程t-2s=-8中，得：1) 3-2(2)=-1，不是方程的解。

二元一次方程组本章知识点题型➢ 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有 解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是 的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ． 【例1】二元一次方程（组）定义1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n =．2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④12x y =⎧⎨=⎩，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【例2】二元一次方程（组）的解1. 如果32x y ì=ïí=ïî是方程632x by +=的解，则b =．2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5x y =⎧⎨=⎩★由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ． 【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组：（1）23525x y x y ì+=ïí+=ïî；（2）13102428x y x y ì-+-=ïíï-+=-î；2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2x =-时，y 的值．【例4】二元一次方程组的变形若23135x y x y ++==，将原方程组化为111222a xb yc a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为 ．➢ 二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是 方程； ②方程组中共含有 未知数； ③每个方程都是一次方程．【例5】系数求解问题在解方程组51044ax yx by+=⎧⎨-=-⎩时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为31xy=-⎧⎨=-⎩，乙看错了方程组中的b，得到的解为54xy=⎧⎨=⎩．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【例6】方程同解1.已知关于x、y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解相同，求ab的值．2.已知关于x，y的二元一次方程组533321x y nx y n+=⎧⎨+=+⎩的解适合方程6x y+=，求n的值．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 【例8】行程问题A 、B 两地相距36千米，两人步行，甲从A 到B ，乙从B 到A ，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度． 【小练】已知某铁路桥长800m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s ，整列火车完全在桥上的时间是35s ，求火车的速度和长度．【例9】工程问题一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，那么甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？【小练】2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割3.6公顷；3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割8公顷．1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．1. 下列方程（组）中，①20x +=；②321x y -=；③10xy +=；④121x x-=；⑤13x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑥201x y x z -=⎧⎨+=⎩，其中是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ．（填序号即可）2. 若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay ì+=ïí-=ïî的解是1x by ì=ïí=ïî，则b a 的值为 ．3. 若234326a b a b ì+=ïí+=ïî，则a b += ．4. 若5232m n x y +与3263m n x y +-是同类项，则m n -= ．5. 解方程组（1）3586510m n m n -=⎧⎨+-=⎩；（2）5115y z x x y z x z y +-=-⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩．6. 在解关于x ，y 的方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，老师告诉同学们正确的解是32x y =⎧⎨=-⎩，小明由于看错了系数c ，因而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩，试求a b c ++的值．7. 已知方程组23109x y ax by +=⎧⎨+=⎩与方程组8432bx ay x y -=⎧⎨-=⎩的解相等，试求a 、b 的值．8. （2015•河北模拟）已知关于x ，y 的二元一次方程组236228x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解满足x y a -=，求该方程组的解．9. 甲乙两地相距120千米，一辆汽车和一辆摩托车从两地同时出发相向而行，1.2小时相遇．相遇后，摩托车继续前进，汽车在相遇处停留10分钟后原速返回，结果在第一次相遇后半小时再次遇到摩托车，问汽车、摩托车每小时各行驶多少千米？。