九年级数学全效学习答案

九年级数学上册期末全效学习卷答案一、单选题1．光明中学的七年级学生对月球上是否有水的猜想，有35%的人认为有水，45%的人认为无水，20%的人表示不知道，该校现有七年级学生480人，则认为有水的学生约有（）A．96人B．216人C．168人D．200人2．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，Aα∠=，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．35sinα米B．35sinα米C．35cosα米D．35cosα米3．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm4．方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数5．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点(4,3)P在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A ．2.4mB ．1.2mC ．1mD ．0.5m6．下列说法正确的是（ ）A ．在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是随机事件B ．要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生C ．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包D ．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查7．如图，矩形ABCD 的两对角线相交于点O ，若3AD =1CD =，则ADB ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒8．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -=B ．()2170%a x a +=C ．()2130%a x a -=D ．()230%1x a a += 10．已知反比例函数2y x =，下列结论中不正确的是（ ） A ．其图象经过点()2,1B ．其图象分别位于第一、第三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而减小D ．当1x >时，2y >11．在一次捐款活动中，某学习小组共有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）A ．小王的捐款数不可能最少B ．小王的捐款数可能最多C ．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数可能排在第12位D ．将捐款数按从少到多排列，小王的捐款数一定比第7名多12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．2222⎛ ⎝⎭B ．(1,0)C ．2222⎛-- ⎝⎭D ．(0,1)-13．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若13,1AB EF ==，则GM 有长为（ ）A 22B 22C ．324D 4214．方程340x x -=的解是（ ）A ．2或0B ．±2或0C ．2D ．－2或015．如图，点D 是OABC 内一点，CD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，2,135,2ABD BD ADB S=∠=︒=．若反比例函数()0ky x x =>的图像经过A 、D 两点，则k 的值是（ ）A ．22B ．4C ．32D ．6二、填空题16．卖鱼的商贩为了估计鱼塘中有多少斤鱼，就用渔网先捞出了20条鱼，总重60斤，并在每条鱼上做了标记，随后仍放入鱼塘，一个小时后，再次捞出了30条鱼，发现其中有3条带有标记．根据此数据，可估计鱼塘中有鱼__________斤．17．如图，矩形ABCD 的边AB 上有一点P ，且54,33D BP A ==，以点P 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC ，线段BC 于点E ，F ，连接EF ，则tan PEF ∠=__18．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，2AO =，4=AD ，6OC =，8BC =，如果DAO CBO ∠=∠，那么ABCD ∶的值是___________．19．对于实数m ，n ，先定义一种断运算“⊗”如下：22m m n m n m n n m n m n ⎧++≥⊗=⎨++<⎩，当时，当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 的值为___．20．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x=的图象经过点(4,)P m ，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，则点P 在第______象限．三、解答题21．解方程：(1)()()22452x x -=-．(2)23610x x -+=．(3)()235210x x ++=． (4)()()212180x x ----=．22．某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你依据图中信息解答下列问题：(1)参加此次问卷调查的学生人数是______人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是______；(2)通过计算将条形统计图补充完整；(3)若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？23．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：⊥BGC ⊥⊥DGF ；(2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；(3)若点G 是DC 中点，求GF CE的值． 24．某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x （元）(020)x <<之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？答案1--10CABAB CBBCD 11--15DADBD16．600 17．1225 18．23 19．320．四21．（1）解：（1）()()22452x x -=-， ()452x x ∴-=±-，所以1213x x ==，；（2）方程变形得：2123x x -=-， 配方得：22213x x -+=，即()2213x -=， 开方得： 61x -=， 解得： 161x =161x = （3）方程化为一般形式，得231050x x ++=，3105a b c ===，，，2241043540b ac ∴-=-⨯⨯=，⊥10210510x -±-±== ⊥1510x -+=， 2510x --=； （4）方程分解得： ()()14120x x ---+=，可得50x -=或10x +=，解得：5x =或1x =-．22．（1）解：参加此次问卷调查的学生人数是：714%50÷=； 选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：936064.850︒⨯=︒． 故答案为：50，64.8︒；（2）“绘画”的人数为：50918716(---=人)，补全条形统计图如图所示．（3）1860021650⨯=名． 答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．23．（1）证明：⊥四边形ABCD 是正方形⊥90BCD ADC ∠=∠=︒⊥BF DE ⊥⊥90GFD ∠=︒⊥BCD GFD ∠=∠，又⊥BGC DGF ∠=∠，⊥⊥BGC ⊥⊥DCF ．（2）证明：由（1）知⊥BGC ⊥⊥DGF ， ⊥BG BC DG DF=， ⊥DG BC DF BG ⋅=⋅⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB BC =⊥DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知⊥BCC ⊥⊥DGF ，⊥FDG CBG ∠=∠，在⊥BGC 与⊥DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠⊥⊥BGC ⊥⊥DEC （ASA ）⊥CG EC =⊥G 是CD 中点⊥CG DG =⊥::GF CE CF DC =⊥⊥BGC ⊥⊥DGF⊥::GF DG CG BG =在Rt⊥BGC 中，设CG x =，则2BC x =，5BC x = ⊥5CG BG =⊥5GF CE =24．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为：y =kx +b ，把（2，120）和（4，140）代入得，21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10100k b =⎧⎨=⎩， ⊥y 与x 之间的函数关系式为：y =10x +100（0＜x ＜20）； （2）解：根据题意得，x =3时销售量103100130y =⨯+=， ()603401302210--⨯=（元），答：当每千克干果降价3元时，超市获利2210元；（3）解：根据题意得，(60-x -40)(10x +100)=2090； 解得：x 1=1，x 2=9；整理得：x 2-10x +9=0为了让顾客获得更大实惠，x =9答：这种干果每千克应降价9元．。

数学全效学习九年级答案一、一元一次方程1、解一元一次方程解：一元一次方程指的是只有一个未知数的一次方程，它的解法是：首先将方程化为两边同乘以未知数的共同因子，使其等号两边的系数都为1，然后将等号两边的常数相减，得到未知数的值。

例如：求解方程2x-7=11解：首先将2x乘以-1，得到-2x，两边同乘以-2，得到-2x-14=22，然后将等号两边的常数相减，得到-2x=8，除以-2，得到x=4，即解为x=4。

2、求一元一次方程的解解：一元一次方程的解可以通过等式两边同乘以未知数的共同因子，使其等号两边的系数都为1，然后将等号两边的常数相减，得到未知数的值来求解。

例如：求解方程3x+7=20解：首先将3x乘以-1，得到-3x，两边同乘以-3，得到-3x-21=60，然后将等号两边的常数相减，得到-3x=39，除以-3，得到x=13，即解为x=13。

二、二元一次方程1、解二元一次方程解：二元一次方程指的是同时有两个未知数的一次方程，它的解法是：首先将等式两边同乘以未知数的共同因子，使其等号两边的系数都为1，然后将等号两边的常数相减，得到其中一个未知数的值，再将这个值代入到原方程中，求出另一个未知数的值。

例如：求解方程2x+3y=17解：首先将2x乘以-3，得到-6x，两边同乘以-3，得到-6x-9y=51，然后将等号两边的常数相减，得到-9y=34，除以-9，得到y=3，将y=3代入到原方程中，得到2x+3×3=17，除以2，得到x=6，即解为x=6，y=3。

2、求二元一次方程的解解：二元一次方程的解可以通过等式两边同乘以未知数的共同因子，使其等号两边的系数都为1，然后将等号两边的常数相减，得到其中一个未知数的值，再将这个值代入到原方程中，求出另一个未知数的值来求解。

例如：求解方程3x-2y=8解：首先将3x乘以-2，得到-6x，两边同乘以-2，得到-6x+4y=16，然后将等号两边的常数相减，得到4y=8，除以4，得到y=2，将y=2代入到原方程中，得到3x-2×2=8，除以3，得到x=4，即解为x=4，y=2。

全效学习九年级数学答案1. (江苏省常州市2006年10分)如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画?O，P是?O上一动点，且P在第一象限内，过点P作?O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由;(2)在?O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形,若存在，请求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解:(1)线段AB长度的最小值为4。

理由如下:连接OP，?AB切?O于P，?OP?AB。

取AB的中点C，则AB=2OC 。

当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。

此时AB=4。

(2)设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形若OA是对角线，如图?，?OP?AB，OP=OQ?四边形APOQ为正方形。

? 在Rt?OQA中， OQ=2，?AOQ=450，?Q点坐标为( )。

若OP是对角线，如图?，?OQ?PA，OP?AB，??POQ=900。

又?OP=OQ，??PQO=450。

? PQ?OA，? 轴。

设轴于点H，在Rt?OHQ中，OQ=2，?HQO=450，?Q点坐标为( )。

综上所述，符合条件的点Q的坐标为( )或( )。

【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故?OPC 是直角三角形，有OP,OC，所以当OC与OP重合时，OC最短。

(2)分两种情况:如图(1)，当OA是对角线时，?OPA，?OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( ):如图(2)，当OP是对角线时，可求得?QOP=?OPA=90?，由于OP=OQ，故?OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( )。

13. (江苏省常州市2007年9分)已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接 ((1)当时，求的面积;(2)设，用含的代数式表示的面积;(3)判断的面积能否等于，并说明理由(【答案】解:(1)?正方形的边长为6，，? 。

二次函数的图象和性质(68分)一、选择题(每题4分，共32分)1．[2014·某某]对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(C)A．开口向下B．对称轴是x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点2．把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为(B)A．b＝2，c＝－3 B．b＝4，c＝3C．b＝－6，c＝8 D．b＝4，c＝－7【解析】函数y＝(x－1)2－4的顶点坐标为(1，－4)，∵新图象是由原图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，且1－3＝－2，－4＋3＝－1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为(－2，－1)，∴平移前的抛物线解析式为y＝(x＋2)2－1，即y＝x2＋4x＋3，∴b＝4，c B.3．[2015·某某]设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B)A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)4．[2015·某某]某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格：x …－2－1012…y …－11－21－2－5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是(D)A．－11 B．－2 C．1 D．－5【解析】 由函数图象关于对称轴对称，得(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上， 把(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－2，c ＝1，a ＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝1，函数解析式为y ＝－3x 2＋1，x ＝2时y ＝－11.5．[2014·某某]如图17－1是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图象，使y ≤1成立的x 的取值X 围是(D)A ．－1≤x ≤3B ．x ≤－1C ．x ≥1D ．x ≤－1或x ≥36．[2015·某某]在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是(D)【解析】 先由一次函数y ＝－mx ＋n 2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝x 2＋m 的图象相比较看是否一致．7．[2015·某某]已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图17－2所示，对称轴是直线x ＝－1，下列结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＞0；④4a －2b ＋c ＜0.其中正确的是(D) A ．①② B ．只有① C ．③④D ．①④图17－1图17－28．[2015·某某]已知抛物线y ＝－16x 2＋32x ＋6与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C .若D为AB 的中点，则CD 的长为(D) A.154 B.92 C.122D.152【解析】 令y ＝0，则－16x 2＋32x ＋6＝0，解得x 1＝12，x 2＝－3，∴A ，B 两点坐标分别为(12，0)，(－3，0)， ∵D 为AB 的中点，∴D ，0)，∴OD ，当x ＝0时，y ＝6，∴OC ＝6，∴CD ＝错误!＝错误!. 二、填空题(每题4分，共16分)9．[2015·某某]二次函数y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x ＝－1__.10．[2015·某某]函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝__－1__；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而__增大__(选填“增大”或“减小”)．【解析】 把y ＝0代入y ＝x 2＋2x ＋1，得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1， 当x ＞－1时，y 随x 的增大而增大， ∴当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．11．[2015·某某]定义：给定关于x 的函数y ，对于该函数图象上任意两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，都有y 1＜y 2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有__①③__(填上所有正确答案的序号)． ①y ＝2x ；②y ＝－x ＋1；③y ＝x 2(x ＞0)；④y ＝－1x.【解析】 y ＝2x ，2＞0，∴①是增函数；y ＝－x ＋1，－1＜0，∴②不是增函数； y ＝x 2，当x ＞0时，是增函数，∴③是增函数； y ＝－1x，在每个象限内是增函数，因为缺少条件，∴④不是增函数．12．[2014·某某]设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__y ＝18x2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2__． 【解析】 ∵点C 在直线x ＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1或x ＝3，当对称轴为直线x ＝1时，设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋k ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝2，9a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，k ＝158，所以，y ＝18(x －1)2＋158＝18x 2－14x ＋2；当对称轴为直线x ＝3时，设抛物线解析式为y ＝a (x －3)2＋k ， 则⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋k ＝2，a ＋k ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，k ＝258，所以，y ＝－18(x －3)2＋258＝－18x 2＋34x ＋2，综上所述，抛物线的函数解析式为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2.三、解答题(共20分)13．(10分)已知抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a 的值；(2)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m <n <3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小． 解：(1)∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)， ∴a (1－3)2＋2＝－2，∴a ＝－1；(2)解法一：由(1)，得a ＝－1<0，抛物线的开口向下， 在对称轴x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵m <n <3， ∴y 1<y 2.解法二：由(1)，得y ＝－(x －3)2＋2，∴当x ＝m 时，y 1＝－(m －3)2＋2， 当x ＝n 时，y 2＝－(n －3)2＋2，y 1－y 2＝(n －3)2－(m －3)2＝(n －m )(m ＋n －6)． ∵m <n <3，∴n －m >0，m ＋n <6， 即m ＋n －6<0. ∴(n －m )(m ＋n －6)<0. ∴y 1<y 2.14．(10分)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．解：(1)解法一：∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；解法二：抛物线的解析式为y ＝－(x －3)(x ＋1)， 即y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)解法一：∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．解法二：∵由抛物线的顶点坐标公式得x ＝－22×（－1）＝1，y ＝4×（－1）×3－224×（－1）＝4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(20分)15．(5分)如图17－3，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为(B)A ． 2B ．4C ．8D ．16图17－3【解析】 如答图，过顶点C 作CA ⊥y 轴于点A ，由抛物线y ＝12x 2－2x ＝12(x 2－4x )＝12(x 2－4x ＋4)－2＝12(x －2)2－2得，其顶点坐标为C (2，－2)，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积，即为2×2＝4，故选B.16．(15分)[2015·某某改编]如图17－4，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积． 解：(1)将A ，B 点坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；(2)将抛物线的解析式化为顶点式，得y ＝(x －1)2－4， ∴M 点的坐标为(1，－4)，M ′点的坐标为(1，4)，第15题答图图表 1图17－4设AM ′的解析式为y ＝kx ＋m ， 将A ，M ′点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋m ＝0，k ＋m ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，m ＝2，AM ′的解析式为y ＝2x ＋2，联立AM ′与抛物线，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝x 2－2x －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝5，y 2＝12， ∴C 点坐标为(5，12)．S △CAB ＝12×4×12＝24.(12分)17．(12分)[2015·某某]已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线． (1)求m ，n 的值；(2)如图17－5，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ∶PB ＝1∶5，求一次函数的表达式．图17－5解：(1)∵对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线，∴－m2×1＝－1，∴m ＝2，∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)， ∴9－3m ＋n ＝1，得出n ＝3m －8， ∴n ＝3m －8＝－2； (2)∵m ＝2，n ＝－2， ∴二次函数为y ＝x 2＋2x －2，作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ， ∴PC BD ＝PA AB， ∵P (－3，1)， ∴PC ＝1， ∵PA ∶PB ＝1∶5， ∴1BD ＝16， ∴BD ＝6， ∴B 的纵坐标为6，代入二次函数为y ＝x 2＋2x －2得，6＝x 2＋2x －2， 解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)， ∴B (2，6)，设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝1，2k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4， ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋4.。

第28课时矩形、菱形、正方形(60分)一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是 (D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 mC．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 (C)A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠ABE＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 (B)A．AB＝BE B．BE⊥DC图28－1C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD綊BC，因为DE＝AD，所以DE綊BC所以四边形EDBC为平行四边形，A．假若AB＝BE，因为AB＝BE，AD＝DE，BD＝BD，所以△ADB≌△EDB，所以∠BDE＝90°，所以四边形EDBC为矩形；B．假若BE⊥DC，可得四边形EDBC为菱形；C．假若∠ADB＝90°，所以∠EDB＝90°，所以四边形EDBC为矩形；D．假若CE⊥DE，所以∠DEC＝90°，所以四边形EDBC为矩形，故选B.6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①②B．②③ C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边图28－5图28－6第11题答图上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F .(1)求证：AE ＝DF ；(2)若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AE ＝DF ；(2)若AD 平分∠BAC ，四边形AEDF 是菱形，理由如下：∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，∵AE ∥DF ，∴∠EAD ＝ADF ，∠DAF ＝∠FDA ，∴AF ＝DF ，∴平行四边形AEDF 为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ⊥AE ，垂足为E .(1)求证：△ABD ≌△CAE ；(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD .∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ，∴四边形ADCE 是矩形，∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ， ∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下：如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形，∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴DE ∥AB ，DE ＝AB .(20分) 14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由；(2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＋∠BED ＝90°. 图28－9第13题答图图28－10∴∠GFE ＋∠BED ＝90°，∴∠FHE ＝90°，即DE ⊥FG ；(2)证明：∵△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，∴CB ∥GE ，CB ＝GE .∴四边形CBEG 是平行四边形．∵∠ABC ＝∠GEF ＝90°，∴四边形CBEG 是矩形．∵BC ＝BE ，∴四边形CBEG 是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB ∥CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连结EF ，∠AEF ，∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF ，∠DFE 的平分线交于点H .(1)求证：四边形EGFH 是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G 作MN ∥EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作PQ ∥EF ，分别交AB ，CD 交于点P ，Q ，得到四边形MNQP .此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB ∥CD ，MN ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证▱MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ .由已知条件__FG 平分∠CFE __，MN ∥EF ，可证NG ＝NF ，故只要证GM ＝FQ ，即证△MEG ≌△QFH ，易证__GE ＝FH __，__∠GME ＝∠FQH __.故只要证∠MGE ＝∠QFH .易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，__∠GEF ＝∠EFH __，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH 平分∠BEF .∴∠FEH ＝12∠BEF ， ∵FH 平分∠DFE ，∴∠EFH ＝12∠DFE ， ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°，∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE )＝12×180°＝90°， 又∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH )＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF ＝90°，∵EG 平分∠AEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF ， ∵EH 平分∠BEF ，∴∠FEH ＝12∠BEF ， ∵点A ，E ，B 在同一条直线上．∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°.∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF )＝12×180°＝90°， 即∠GEH ＝90°.∴四边形EGFH 是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG 平分∠CFE ；GE ＝FH ；∠GME ＝∠FQH ；∠GEF ＝∠EFH .(16分)16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是 (D)A ．矩形B ．菱形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°.顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；…；按此规律继续下去，则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是__20__；四边形A 2 016B 2 016C 2 016D 2 016的周长是__521 005__．图28－12。

二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2015·某某]某某省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)图18－1A．－20 m B．10 mC．20 m D．－10 m【解析】根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－125x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m．即水面宽度AB为20 m.2．[2015·某某]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(B)A．16940 m B.174mC．16740 m D.154m图18－2【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ， ∴点C 的横坐标为－10，当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400(－10－80)2＋16＝－174，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2014·某某]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度T /℃－4 －2 0 1 4 植物高度增长量l /mm4149494625科学家经过猜想，推测出l 与T 之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃.【解析】 设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，16a ＋4b ＋c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，所以y 与x 之间的二次函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋49， 当x ＝－b2a ＝－1时，y 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.4．[2015·某某]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为__75__m 2.【解析】 设垂直于墙的材料长为x m ，则平行于墙的材料长为27＋3－3x ＝30－3x ， 则总面积S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m 2.图18－35．如图18－4，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC 的面积最小．【解析】 S 四边形APQC ＝12×12×24－12(12－2t )×4t ＝4t 2－24t ＋144，∴当t ＝－b 2a ＝－242×4＝3时，S 四边形APQC 最小．三、解答题(共30分)6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30 m 的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值X 围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值； (3)当这个苗圃园的面积不小于88 m 2时，试结合函数的图象，直接写出x 的取值X 围．图18－5【解析】 (1)用x 表示y ；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y ＝88，求x 的值，根据图象写出符合要求的x 的取值X 围． 解：(1)y ＝30－2x (6≤x ＜15)； (2)设矩形苗圃园的面积为S ，则S ＝xy ＝x (30－2x )＝－2x 2＋30x ＝－2(x －7.5)2，由(1)知6≤x ＜15；∴当x ，S 最大，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5 m 时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m 2；图18－4(3)图象略.6≤x ≤11.7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图18－6所示的关系．图18－6(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50，150k ＋b ＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝180，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋180； (2)w ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180) ＝－x 2＋280x －18 000 ＝－(x －140)2＋1 600，当售价x 定为140元/件时，w 最大＝1 600元，∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1 600元．(25分)8．(10分)[2014·某某]如图18－7，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x－6)2＋h .已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.图18－7(1)当h ，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值X 围)； (2)当h ，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值X 围．解：(1)∵h ，球从O 点正上方2 m 的A 处发出，∴抛物线y ＝a (x －6)2＋2.6过(0，2)点， ∴2＝a (0－6)2，解得a ＝－160， 故y 与x 的关系式为y ＝－160(x －6)2＋2.6； (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2，∴球能越过球网；当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0，解得x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)， ∴球会出界；(3)由题意，抛物线y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)， 代入点(0，2)的坐标得a (0－6)2＋h ＝2， 即36a ＋h ＝2且a ＜0，∴a ＝2－h36，且h ＞2.若球一定能越过球网，则当x ＝9时，y ≥， 即9a ＋h ，①若球不出边界，则当x ＝18时，y ≤0，即144a ＋h ≤0，②将a ＝2－h 36代入①②解得h ≥83.故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值X 围是h ≥83.9．(15分)[2015·某某]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x (m)，与桌面的高度为y (m)，运动时间为t (s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：t (s) 0… x (m) 012… y (m)…(1)当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a (x －3)2＋k . ①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14 m ，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．图18－8解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t ＝0.4(s)． 答：当t 为0.4 s 时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象，根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数，设y ＝a (x －1)2＋0.45. 将(0，)代入，可得a ＝－0.2. ∴y ＝－0.2(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.代入y ＝a (x －3)2＋k ，得a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－32＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a ； ②由题意，可知扣杀路线在直线y ＝110x 上．由①得y ＝a (x －3)2－14a .令a (x －3)2－14a ＝110x ，整理得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a ×175a ＝0时符合题意． 解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意，舍去；当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．答：当a ＝－6－3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点A .(15分)10．(15分)[2015·某某]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x ＋b 1，图18－9∵y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1，b 1＝60，∴这个一次函数的表达式为y 1x ＋60(0≤x ≤90)； (3)设y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝k 2x ＋b 2， ∵y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)．∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2，b 2＝120，∴这个一次函数的表达式为y 2x ＋120(0≤x ≤130)， 设产量为x kg 时，获得的利润为w 元，当0≤x ≤90时，w ＝xxx ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250， ∴当x ＝75时，w 的值最大，最大值为2 250；当90≤x ≤130时，w ＝xx ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535， 当x ＝90时，w ＝－0.6(90－65)2＋2 535＝2 160，由－0.6＜0知，当x ＞65时，w 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，w ≤2 160， 因此当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为2 250元．。

平行四边形(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．[2015·常州]如图27－1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是 (C)A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB【解析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断．图27－1 图27－22．[2014·宿迁]如图27－2，▱ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是(C)A．16° B．22° C．32° D．68°3．[2015·玉林]如图27－3，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于(C)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC＋CD＝7，∴CD＝5，则DM＝CD－MC＝3.4．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B)A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【解析】①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行图27－3四边形，故选B. 二、填空题(每题6分，共18分) 5．[2014·内江]如图27－4，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：__AD ＝BC (或者AB ∥DC ，答案不唯一)__，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线)．图27－4 图27－56．如图27－5，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD ＝12，则△DOE 的周长为__15__．【解析】 ∵▱ABCD 的周长为36，∴2(BC ＋CD )＝36，则BC ＋CD ＝18.∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD ＝12，∴OD ＝OB ＝12BD ＝6. 又∵点E 是CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线，DE ＝12CD ， ∴OE ＝12BC ， ∴△DOE 的周长＝OD ＋OE ＋DE ＝12BD ＋12(BC ＋CD )＝6＋9＝15，即△DOE 的周长为15. 7．[2015·湖北]在▱ABCD 中，AD ＝BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，则∠A 的度数为__55°或35°__.②第7题答图【解析】 当E 点在线段AD 上时，如答图①，∵BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，∴∠ADB ＝70°，∵AD ＝BD ，∴∠A ＝12(180°－70°)＝55°； 当E 点在AD 延长线上时，如答图②，∵BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，∴∠BDE＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDE＝35°.故答案为55°或35°.三、解答题(共30分)8．(10分)[2014·台州]如图27－6①是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图27－6②，雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD，且AD＝BC.这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC.请证明这一结论．图27－6证明：∵AB＝CD且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.9．(10分)[2015·广安]如图27－7，在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O.求证：OA＝OE.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠可知∠EBD＝∠CBD，BE＝BC，∴∠EBD＝∠ADB，∴BO＝DO，∵AD＝BE，∴AD－DO＝BE－BO，即OA＝OE.10．(10分)[2014·徐州]已知：如图27－8，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形．图27－8证明：连结BD与AC相交于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF，图27－7第10题答图∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．(13分)11．(13分)[2014·凉山]如图27－9，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.(1)试说明AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．解：(1)∵△AEB是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF＝12∠AEB＝30°＝∠BAC，AE＝AB，∠EFA＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠EFA＝∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS)，∴AC＝EF；(2)证明：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60°.由(1)的结论得AC＝EF，∴AD＝EF.又∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.又∵∠EFA＝90°，∴EF∥AD，又∵EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形(15分)12．(15分)[2015·毕节]如图27－10，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝12AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．图27－10【解析】(1)利用平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而利用已知得出DE＝FC，DE∥FC；(2)首先过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝12AD，F是BC边的中点，图27－9第12题答图∴DE ＝FC ，DE ∥FC ，∴四边形CEDF 是平行四边形；(2)过点D 作DN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°， ∴∠BCD ＝∠A ＝60°，∵AB ＝3，AD ＝4，∴FC ＝2，NC ＝12DC ＝32，DN ＝332， ∴FN ＝12，则DF ＝DN 2＋FN 2＝7， ∴CE ＝DF ＝7.。

第三部分 统计与概率第十四单元 统计与概率 第39课时 数据的收集(60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．下列调查方式合适的是 (C) A ．为了了解市民对电影《南京》的感受，小华在某校随机采访了8名初三学生 B ．为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向3位好友做了调查 C ．为了了解“嫦娥一号”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 D ．为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式2．[2015·苏州]小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布则通话时间不超过15 min 的频率为 (D) A ．0.1 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9【解析】 ∵不超过15 min 的通话次数为20＋16＋9＝45次，通话总次数为20＋16＋9＋5＝50次，∴通话时间不超过15 min 的频率为4550＝0.9.3．[2014·温州]图39－1是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是 (C) A ．5～10元 B ．10～15元 C ．15～20元 D ．20～25元图39－14．[2015·呼和浩特]图39－2是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3，4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为 (B)图39－2A ．4月份三星手机销售额为65万元B ．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C ．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D ．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额【解析】 3月份三星手机的销售额为60×18%＝10.8万元，4月份三星手机销售额为65×17%＝11.05万元，故A ，C ，D 错误，B 正确．5．[2015·滨州]某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如图39－3的条形与扇形统计图．图39－3依据图中信息，得出下列结论：①接受这次调查的家长人数为200人； ②在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°； ③表示“无所谓”的家长人数为40人；④随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是110.其中正确的结论个数为(A)A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题(每题5分，共20分) 6．[2015·漳州]我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是__4__．图39－47．[2015·凉山]小明同学根据全班同学的血型绘制了如图39－4所示的扇形统计图，已知A 型血的有20人，则O 型血的有__10__人． 【解析】 全班的人数是：20÷40%＝50(人)， AB 型的所占的百分比是：36360×100%＝10%，则O 型血的人数是：50×(1－40%－30%－10%)＝10(人)．8．[2015·贺州]某校在一次期末考试中，随机抽取八年级30名学生的数学成绩进行分析，其中3名学生的数学成绩达108分以上，据此估计该校八年级630名学生中期末考试数学成绩达108分以上的学生约有__63__名．9．图39－5是某足球队全年比赛情况的统计图：图39－5根据图中信息，该队全年胜了__22__场． 【解析】 全年比赛场次＝10÷25%＝40，胜场：40×(1－20%－25%)＝40×55%＝22(场)． 三、解答题(共15分) 10．(15分)[2015·六盘水]某学校对某班学生“五·一”小长假期间的度假情况进行调查，并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图39－6中提供的信息解答下面的问题：图39－6(1)求出该班学生的总人数； (2)补全频数分布直方图；(3)求出扇形统计图中∠α的度数； (4)你更喜欢哪一种度假方式．【解析】 (1)根据其他的人数和所占的百分比求出总人数； (2)分别求出徒步和自驾游的人数，从而补全统计图； (3)用360°乘以自驾游所占的百分比，求出∠α的度数； (4)根据自己喜欢的方式即可得出答案． 解：(1)该班学生的总人数是：612%＝50(人)；(2)徒步的人数是：50×8%＝4(人)，自驾游的人数是：50－12－8－4－6＝20(人)； 频数分布直方图如答图：第10题答图(3)扇形统计图中∠α的度数是：360°×2050＝144°；(4)略．(20分)11．(20分)[2015·威海]某学校为了推动球类运动的普及，成立多个球类运动社团，为此，学生会采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个项目调查了若干名学生的兴趣爱好(要求每位同学只能选择其中一种自己喜欢的球类运动)，并将调查结果绘制成了如图39－7所示的条形统计图和扇形统计图(不完整)．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查，共调查了__400__名学生； (2)请将条形统计图和扇形统计图补充完整；(3)若该学校共有学生1 800人，根据以上数据分析，试估计选择排球运动的同学约有多少人？图39－7解：(1)100÷25%＝400(人)，∴本次抽样调查，共调查了400名学生；(2)乒乓球的人数：400×40%＝160(人)，篮球的人数：400－100－160－40＝100(人)， 篮球所占的百分比为：100400×100%＝25%，排球所占的百分比为：40400×100%＝10%；如答图所示：第11题答图(3)1800×10%＝180(人)，∴估计选择排球运动的同学约有180人．(20分)12．(20分)[2015·丽水]某运动品牌店对第一季度A ，B 两款运动鞋的销售情况进行统计．两款运动鞋的销售量及总销售额如图39－8所示：图39－8(1)一月份B 款运动鞋的销售量是A 款的45，则一月份B 款运动鞋销售了多少双？(2)第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额(销售额＝销售单价×销售量)；(3)综合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议． 解：(1)根据题意，得 50×45＝40(双)．所以一月份B 款运动鞋销售了40双；(2)设A ，B 两款运动鞋的销量单价分别为x 元，y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ＝40 000，60x ＋52y ＝50 000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝400，y ＝500.则三月份的总销售额是：400×65＋500×26＝39 000＝3.9万元；(3)从销量来看，A款运动鞋销量逐月增加，比B款运动鞋销量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋．。

第十一单元解直角三角形【测试范围：第十一单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)1．如图1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A的值为(B)A．2 B.12C.55D.255【解析】tan A＝BCAC＝12.2．计算2sin45°的结果等于(B) A. 2 B．1 C.22D.12【解析】2sin45°＝2×22＝1.3．已知∠A是锐角，sin A＝35，则5cos A＝ (A) A．4 B．3 C.154D．54．计算：cos245°＋tan60°·cos30°等于(C) A．1 B. 2 C．2 D. 3【解析】原式＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋3×32＝12＋32＝2.5．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD＝(A)图2A.53B.23C.255D.52【解析】在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝3.∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.∴sin∠ACD＝sin B＝ACAB＝53.6．如图3，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝22，BC＝1，图1图3那么sin∠ABD的值是 (A)A.223B.24C.23D．2 2【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，AB＝12＋（22）2＝3.∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝ACAB＝223.7．如图4，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是(C)A．60°B．45°C．15°D．90°【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.8．如图5，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°，已知滑梯AB的长为3 m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是(C)图5A．2 2 m B．2 3 m C．3 2 m D．3 3 m【解析】设AC＝x，∴BC＝x.∵滑梯AB的长为3 m，∴2x2＝9，解得x＝322.∵∠D＝30°，∴2AC＝AD，∴AD＝3 2.故选C.9．如图6，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23h到达B处，那么tan∠ABP＝ (A)A.12B．2 C.55D.255【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相图4图6距20海里，∴PA＝20.∵客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23h到达B处，∴∠APB ＝90°，BP＝60×23＝40，∴tan∠ABP＝APBP＝2040＝12.故选A.10．如图7，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值(B)A.12B．2C.52D.13【解析】设菱形ABCD边长为t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cos A＝35，∴AEAD＝35，∴t－2t＝35.∴t＝5，∴AE＝5－2＝3.∴DE＝AD2－AE2＝52－32＝4.∴tan∠DBE＝DEBE＝42＝2.二、填空题(每题5分，共30分)11．如图8，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝__55__．图8【解析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，设小正方形的边长为1，在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝25，图7第11题答图∴sin A＝CDAC＝225＝55.12．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．13．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C＝__60°__．【解析】∵△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A＝32，cos B＝12，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.14．[2014·襄阳]如图9，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为__5＋53 __m(结果保留根号)．图9【解析】如答图，作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE＝CD＝5 m，CE＝BEtan30°＝5 3 m，在Rt△ACE中，AE＝CE·tan45°＝5 3 m，AB＝BE＋AE＝(5＋53)m.15．如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin A＝35，则DE＝__154__．【解析】∵BC＝6，sin A＝BCAB＝35，∴AB＝10，∴AC＝102－62＝8.∵D是AB的中点，∴AD＝12AB＝5.易证△ADE∽△ACB，第14题答图图10∴DEBC＝ADAC，即DE6＝58，解得DE＝154，故答案为154.16．[2015·杭州校级一模]如图11，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝32，AD＝4.则DC的长为__2__.【解析】作DH⊥AB于H，如答图，∵∠A＝30°，∴∠ADH＝60°，DH＝12AD＝2，∵∠ADB＝105°，∴∠BDH＝45°，∴△BDH为等腰直角三角形，∴BD＝2DH＝22，在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝BCBD＝32，∴BC＝22×32＝6，∴CD＝BD2－BC2＝ 2.三、解答题(共80分)17．(8分)[2015·安顺]计算：⎝⎛⎭⎪⎫－12－2－(3.14－π)0＋||1－2－2sin45°.解：原式＝4－1＋2－1－2×22＝4－1＋2－1－ 2＝2.18．(8分)如图12，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，且∠BAC＝60°，AD ＝10，求AB的值．图12解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.又∵AD＝10，∠C＝90°，∴AC＝53，∴AB＝10 3.19．(8分)[2014·宁波]为解决停车难的问题，在如图13一段长56 m的路段开辟停车位，图11第16题答图每个车位是长5 m，宽2.2 m的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：2＝1.4)图13解：如答图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×22≈1.54 m，CE＝5×sin45°＝5×22≈3.5 m，BE＝BC＋CE≈5.04 m，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷22≈3.1 m，(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．20．(8分)[2015·铜仁]如图14，一艘轮船航行到B处，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(参考数据：3＝1.732)图14解：由题意，得BC＝200，∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠BAD＝60°，∠D＝90°，∴∠BAC＝30°＝∠B，∠CAD＝30°，∴AC＝BC＝200，∴CD＝12AC＝100，∴AD＝3CD≈173.2.∵AD的距离为173.2>170，∴轮船无触礁的危险．21．(10分)[2015·徐州模拟]如图15，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向航行，1 h后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了航行的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变．求：(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲轮船后来的速度．解：(1)作BD⊥AC于点D，如答图所示．由题意，得AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，在Rt△ABD中，第19题答图图15第21题答图∵AB ＝30海里，∠BAC ＝30°，∴BD ＝15海里，AD ＝AB ·cos30°＝153海里， 在Rt △BCD 中，∵BD ＝15海里，∠BCD ＝45°， ∴CD ＝15海里，BC ＝152海里， ∴AC ＝AD ＋CD ＝153＋15(海里)， 即A ，C 间的距离为(153＋15)海里； (2)∵AC ＝153＋15(海里)，轮船乙从A 到C 的时间为153＋1515＝3＋1，由B 到C 的时间为3＋1－1＝3， ∵BC ＝152海里，∴轮船甲从B 到C 的速度为 1523＝56(海里/小时)． 22.(12分)[2014·广安]为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改．如图16，已知斜坡AB 长60 2 m ，坡角(即∠BAC )为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE (下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE 的坡比为3∶1，求休闲平台DE 的长是多少米？ (2)一座建筑物GH 距离A 点33 m 远(即AG ＝33 m)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B ，C ，A ，G ，H 在同一个平面内，点C ，A ，G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑GH 高为多少米？图16解：(1)∵BC ⊥AC ，∠BAC ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．∵DE ∥AC ，∴△BDF 为等腰直角三角形． ∵AB ＝602，∴AC ＝BC ＝60.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝30 2.∴BF ＝DF ＝30. ∵BE 的坡比为3∶1，∴∠BEF ＝60°.∴EF ＝BF 3＝303＝10 3.∴DE ＝30－EF ＝30－10 3.∴休闲平台DE 的长为(30－103)m ； (2)由题可知四边形GPDM 为矩形． ∵D 为AB 的中点，∴AD＝12AB＝30 2.∴AP＝DP＝GM＝30.∴MD＝GP＝33＋30＝63.∵tan∠HDM＝HMMD，即HM63＝33，∴HM＝6333＝21 3.∴GH＝GM＋HM＝30＋213(m)．∴建筑物GH高为(30＋213)m.23．(12分)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝12，cos30°＝32，则sin230°＋cos230°＝__1__；sin45°＝22，cos45°＝22，则sin245°＋cos245°＝__1__；sin60°＝32，cos60°＝12，则sin260°＋cos260°＝__1__；…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．(1)如图17，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cos A>0)且sin A＝35，求cos A.图17解：(1)如答图，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2＝AB2，则sin A＝BHAB，cos A＝AHAB.∴sin2A＋cos2A＝BH2AB2＋AH2AB2＝BH2＋AH2AB2＝1；(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sin A＝35，∴cos2A＝1－⎝⎛⎭⎪⎫352＝1625，∵cos A>0，∴cos A＝45.24．(14分)[2015·温州模拟]如图18，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C.(1)判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AC＝8，cos∠BED＝45，求AD的长．第23题答图图18解：(1)AC 与⊙O 相切．证明：∵弧BD 是∠BED 与∠BAD 所对的弧， ∴∠BAD ＝∠BED ，∵OC ⊥AD ，∴∠AOC ＋∠BAD ＝90°， ∴∠BED ＋∠AOC ＝90°， 又∵∠BED ＝∠C ，即∠C ＋∠AOC ＝90°，∴∠OAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，即AC 与⊙O 相切；(2)连结BD .∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°， 在Rt △AOC 中，∠CAO ＝90°，∵AC ＝8，∠ADB ＝90°，cos C ＝cos ∠BED ＝45，∴AC CO＝cos C ，∴CO ＝10， ∴AO ＝6，∴AB ＝12，在Rt △ABD 中，∵cos ∠OAD ＝cos ∠BED ＝45，∴AD ＝AB ·cos ∠OAD ＝12×45＝485.第24题答图。

第七单元 三角形一、选择题(每题5分，共50分)1．[2014·滨州]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)C ．2，3，4D ．1，2，32．[2015·某某]如图1，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC ＝50°，则∠ACD ＝(C)A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°图1第2题答图【解析】 如答图，延长AC 交EF 于点G .∵AB ∥EF ，∴∠DGC ＝∠BAC ＝50°，∵CD ⊥EF ，∴∠CDG ＝90°，∴∠ACD ＝90°＋50°＝140°.3．如图2，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点E ，F分别为AC 和AB 的中点，则EF ＝(A)A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 ∵在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝102－82＝6.∵点E ，F 分别为AC ，AB 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC ＝12×6＝3. 故选A.图24．如图3，一架梯子AB 长5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B与墙角C 距离为3 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为1 m ，则梯子顶端A 下落了(A)A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．5 m【解析】 在Rt △ABC 中，AB ＝5 m ，BC ＝3 m ，根据勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝4 m ，Rt △CDE 中，ED ＝AB ＝5 m ，CD ＝BC ＋DB ＝3＋1＝4 m ，根据勾股定理得CE ＝DE 2－CD 2＝3 m ，所以AE ＝AC －CE ＝1 m ，即梯子顶端A 下滑了1 m.5．如图4，AC ＝BC ＝10 cm ，∠B ＝15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD的长为(C)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm【解析】 ∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝15°，∴∠ACD ＝∠B ＋∠BAC ＝15°＋15°＝30°，∴在Rt △ACD 中，AD ＝12AC ＝12×10＝5 cm. 6．如图5，AD ，BE 是锐角△ABC 的高，两高相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为(B)A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ∵AD ，BE 是锐角△ABC 的高，∴∠ACB ＋∠DBO ＝∠ACB ＋∠DAC ＝90°，∴∠DBO ＝∠DAC .又∵BO ＝AC ，∠BDO ＝∠ADC ＝90°，∴△BDO ≌△ADC ，图3 图4图5∴BD ＝AD ，DO ＝CD .∵BD ＝BC －CD ＝5，∴AD ＝5，∴AO ＝AD －OD ＝AD －CD ＝3.7．[2014·某某]如图6，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，则∠C 的度数为(B)A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°图6 图78．[2014·某某]如图7，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C)A.53B.52C ．4D ．5 【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故线段BN 的长为4.9．[2014·黔西南]如图8，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是(C) A ．CB ＝CDB ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90° 【解析】 若添A 则由SSS 证明△ABC ≌△ADC ，若添B ，则由SAS 证明△ABC ≌△ADC ，若添图8D ，则由HL 证明△ABC ≌△ADC ，若添C 不能由SSA 证明全等．10．如图9，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连结BD .下列结论错误的是(C)A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BODD ．点D 为线段AC 的黄金分割点【解析】 A ．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝72°，∴∠C ＝2∠A ，故本选项结论正确；B ．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴∠DBC ＝72°－36°＝36°＝∠ABD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，故本选项结论正确；C ．根据已知不能推出△BCD 的面积和△BOD 的面积相等，故本选项结论错误；D ．∵∠C ＝∠C ，∠DBC ＝∠A ＝36°，∴△CBD ∽△CAB ，∴BC AC ＝CD BC ，∴BC 2＝CD ·AC .∵∠C ＝72°，∠DBC ＝36°，∴∠BDC ＝72°＝∠C ，∴BC ＝BD .又∵AD ＝BD ，∴AD ＝BC ，∴AD 2＝CD ·AC ，即点D 是线段AC 的黄金分割点，故本选项结论正确．故选C.二、填空题(每题5分，共30分)11．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图10，B 是图9观察点，船A 在B 的正前方，过B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E 、船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __.【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴DE ＝AB .12．如图11，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个论断①AB ＝CD ，②BP ＝DP ，③∠B ＝∠D ，④∠A ＝∠C 中选择一个论断作为条件，则不一定能使△APB ≌△CPD 的论断是__①__.图11 图1213．[2014·某某]如图12，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE ＝__15°__.14．如图13，已知：在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°，则∠BAC ＝__115°__.图13【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC ＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°，∴∠DAE ＝50°，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ，∠AED ＝∠EAC ＋∠C ，∴∠BAD ＝41°，∠EAC ＝24°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAE ＋EAC ＝41°＋50°＋24°＝115°.15．如图14，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图14 第15题答图【解析】 连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°， ∴DC ＝2BD .∵AB 的垂直平分线是DE ，∴AD ＝BD ，∴DC ＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)． 16．如图15是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后以此类推，若正方形①的边长为64 cm ，则第4个正方形的边长为__162__cm.图15【解析】 根据题意，第1个正方形的边长为64 cm ；第2个正方形的边长为22×64＝32 2 cm ； 第3个正方形的边长为22×322＝32 cm ； … 此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的22， 所以第n 个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1cm ， 则第4个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝16 2 cm. 三、解答题(共70分)17．(10分)如图16，在△ABC 中，已知∠ABC ＝46°，∠ACB＝80°，延长BC 至D ，使CD ＝CA ，连结AD ，求∠BAD 的度数．解：∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°.又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°，∴∠BAD ＝180°－∠ABC －∠D ＝180°－46°－40°＝94°.18．(10分)如图17，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，求∠C 的度数．解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠1.又∵∠B ＝30°，∴∠1＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠2＝∠1＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.图16图1719．(10分)如图18，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，BD ＝CE .求证：AD ＝AE . 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△ABD 与△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE .20．(10分)如图19，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E .求证：BD ＝CE .【解析】 证明BD ，CE 所在的两个三角形全等．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE .21．(15分)[2014·某某]如图20，已知点A ，F ，E ，C在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE .(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA ；(2)选△ABE ≌△CDF .证明：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵∠ABE ＝∠CDF ， 图19 图20∴△ABE ≌△CDF (AAS )．22．(15分)[2015·某某模拟]如图21，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 延长线上的一点，点E 是AC 的中点．连结BE 并延长交∠DAC 的平分线AM 于点F .(1)利用直尺和圆规把图形补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图21 第22题答图解：(1)如答图所示；(2)AF ∥BC 且AF ＝BC .理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C .由作图可知，∠DAC ＝2∠FAC ，∴∠C ＝∠FAC ，∴AF ∥BC .∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEF 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠ECB ，AE ＝EC ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝BC .。