8-3走向高考数学章节
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第8章 第3节一、选择题1．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两平面平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] (2)(3)(4)正确．2．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 [答案] B[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD 的长分别为245或24. 3．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．4．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外的一点，过BC 的平面与平面P AD 交于EF ，则四边形EFBC 是( )A．空间四边形 B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能[答案] C[解析]∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．5．已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[分析]本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析]命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．6．(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析]两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B.7．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误．．的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案] C[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ⊂平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．8．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()[答案] C故CC′∥面KEF而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．故此时与面PEF平行的有3条棱．若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF平行；若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．二、填空题9．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．[答案] 平面ABC 与平面ABD[解析] 连BN 延长交CD 于点E ，连AM 并延长也与CD 交于E 点(因为E 为CD 中点)，又EM AM ＝EN BN ＝12，故MN ∥AB . 10．已知平面α∩β＝m ，直线n ∥α，n ∥β，则直线m 、n 的位置关系是________．[答案] m ∥n[解析] 在α内取点A ∉m ，则点A 与n 确定一平面θ，且θ∩α＝a .同理可作平面γ且γ∩β＝b .∵n ∥α，n ∥β，∴n ∥a ，n ∥b .∴a ∥b .∵a β，b β，∴a ∥β.∵a α，α∩β＝m ，∴a ∥m ，∴n ∥m .11．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③[解析] 如图①，∵MN ∥AD ，NP ∥AC ，∴平面MNP ∥平面ADBC ，∴AB ∥平面MNP . 如图②，假设AB ∥平面MNP ，设BD ∩MP ＝Q ，则NQ 为平面ABD 与平面MNP 的交线，∴AB ∥NQ ，∵N 为AD 的中点，∴Q 为BD 的中点，但由M 、P 分别为棱的中点知，Q为BD 的14分点，矛盾，∴AB ∥\ 平面MNP . 如图③，∵BD 綊AC ，∴四边形ABDC 为平行四边形，∴AB ∥CD ，又∵M 、P 为棱的中点，∴MP ∥CD ，∴AB ∥MP ，从而可得AB ∥平面MNP .如图④，假设AB ∥平面MNP ，并设直线AC ∩平面MNP ＝D ，则有AB ∥MD ，∵M 为BC 中点，∴D 为AC 中点，这样平面MND ∥平面AB ，显然与题设条件不符，∴AB ∥\ 平面MNP .三、解答题12．(2010·天津和平模拟)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?[解析] 方法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过O 作OM ⊥AC于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .所以OM ⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB 綊12EC . 所以四边形OMBF 为矩形．故BM ∥平面AEF ，…此时点M 为AC 的中点．方法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ、PB、BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE、PB∥EF.故平面PBQ∥平面AEF，所以BQ∥平面AEF，故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．求证：(1)B1D1⊥AE；(2)AC∥平面B1DE.[证明](1)连接BD，则BD∥BD1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE.∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF、CF、EF.∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE綊B1F.∴四边形B1FCE是平行四边形．∴CF∥B1E.∵E、F是CC1、BB1的中点，∴EF綊BC.又BC綊AD，∴EF綊AD.∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E，∴平面ACF∥平面B1DE.又AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE.14．(2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E －ABC 的体积V .[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ，又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A . 在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2， ∴V E —ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13. 15．(文)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BB 1和DD 1中点．(1)求证：平面FB 1C 1∥平面ADE ；(2)试在棱DC 上求一点M ，使D 1M ⊥平面ADE ；[解析] (1)可证AD ∥平面FB 1C ，AE ∥平面FB 1C 1∵AD ∩AE ＝A ，AD ，AE 平面ADE∴平面ADE ∥平面FB 1C 1.(2)M 应是DC 的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M 平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1 平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图1)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析](1)在图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴AE＝BF＝1.∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.连接CE，则CE＝CB＝ 2.∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE.∵BC 平面BCDE，∴AE⊥BC.∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.(2)用反证法．假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD，CD 平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM＝E，∴平面AEB∥平面ACD.而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∵假设不成立．∴EM与平面ACD不平行．。
