第二课时函数的最大值

重庆供卵的费用？【⒈⒌⒐.⒉⒎⒈⒋O. ⒋⒈O.】1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值阅读教材P30至“例3”以上部分，完成下列问题．最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标1．函数f(x)＝1x，x∈[－1,0)∪(0,2]()A．有最大值12，最小值－1B ．有最大值12，无最小值C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】 函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】 因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5.【答案】 1 5[小组合作型]利用函数的图象求函数的最值(值域)【精彩点拨】 先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域．【自主解答】 y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x ≥12x －1，x <1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤 作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5].(1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图1-3-2【解】 (1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．利用函数的单调性求最值(值域)求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】 先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．【自主解答】 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数．同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．2．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f (x )＝1x －2， (1)判断f (x )在[3,5]上的单调性，并证明； 【导学号：97030054】(2)求f (x )在[3,5]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )在[3,5]上为减函数．证明：任取x 1，x 2∈[3,5]，有x 1＜x 2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝x2－x1(x1－2)(x2－2).∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴x2－x1(x1－2)(x2－2)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝13.函数最值的实际应用每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】(1)函数y＝f(x)＝出租自行车的总收入－管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【自主解答】(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N，∴3≤x≤6，且x∈N.当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝⎩⎨⎧ 50x －115，3≤x ≤6，x ∈N －3x 2＋68x －115，6<x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax＝185元．当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113， ∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .∵R (x )＝⎩⎨⎧ －0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)8.2－x (x >5). (2)当x ＞5时，函数f (x )递减，∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型] 二次函数的最值问题 探究1 上的最大值和最小值分别是什么？【提示】 函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b 2a 与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值．【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝a 2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1. (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12，①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1； ③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【导学号：97030055】【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)m ax＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)m ax＝f(0)＝－1.1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为()A．3,5 B．－3,5C．1,5 D．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是() 【导学号：97030056】A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.11。

第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

第2课时 函数的最大(小)值素养目标学科素养1.了解函数最大值、最小值的定义．(重点) 2．理解导数与函数最值的关系．(难点)3．掌握利用导数求函数最值的方法．(重点、难点)4．掌握利用导数解决实际问题中的求最大(小)值的方法．(难点)1.数学抽象；2．直观想象； 3．数学运算； 4．数学建模情境导学蓝鲸是一种海洋哺乳动物，是地球上现存的体积最大的动物，长可达33米，重达181吨．有一种代号为H 39的原生动物，其最大直径长0.3微米，估计将1 000万亿个这种原生动物放在一起，才不过1克重，是目前地球上最小的动物．动物有大小，函数也有最大值与最小值，函数的最大(小)值与导数有什么关系呢？1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值一般地，如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．函数在区间[a ，b ]上最值的求法一般地，求函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的极值；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数的极大值一定是函数的最大值．(×) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(√) (3)函数f (x )＝1x在区间[－1,1]上有最值．(×)1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上图象连续的函数一定存在最值D解析：根据最值的概念与求法可知，连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最值，最值可能是极值或端点值f(a)，f(b)，具体要根据大小来判断其是最大值，还是最小值．2．函数f(x)＝x3－3x＋3在[－3,3]上的最小值为()A．1 B．5C．12 D．－15D解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝1，f(－1)＝5，f(－3)＝－15，f(3)＝21.故选D．3．函数f(x)＝2x－cos x在R上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A解析：f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，无极值，也无最值．4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4C解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍去)．比较f(0)，f(－1)，f(1)的大小可知f(x)max＝f(0)＝2.5．已知f(x)＝－x3＋3x2＋m在[－2,2]上的最小值为1，则实数m＝________.1解析：f′(x)＝－3x2＋6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x∈(－2,0)时，f′(x)<0；当x ∈(0,2)时，f′(x)>0.∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值，f(0)＝m＝1.【例1】求下列函数的最值．(1)f (x )＝2sin x －x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2；(2)f (x )＝(x 2－3)e x . 解：(1)f ′(x )＝2cos x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝π3，x 2＝－π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，x ＝π3为极大值点，x ＝－π3为极小值点，f ⎝⎛⎭⎫π3＝3－π3，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3＋π3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－π2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2＋π2. 通过比较知，f (x )max ＝3－π3，f (x )min ＝－3＋π3.(2)函数的定义域是R ，且f ′(x )＝2x ·e x ＋(x 2－3)e x ＝e x (x 2＋2x －3)．令f ′(x )>0，得x >1或x <－3；令f ′(x )<0，得－3<x <1，所以函数f (x )在(－∞，－3)和(1，＋∞)内单调递增，在(－3,1)内单调递减．因此函数f (x )在x ＝－3处取得极大值，极大值等于f (－3)＝6e －3；在x ＝1处取得极小值，极小值等于f (1)＝－2e.又由f (x )>0，得x >3或x <－3；由f (x )<0，得－3<x <3，所以函数的大致图象如图所示．从函数图象可得函数f (x )的最小值就是函数的极小值f (1)＝－2e ，而函数无最大值．1．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的方法： (1)求函数f (x )的导函数f ′(x )；(2)计算函数f (x )在区间(a ，b )内使得f ′(x )＝0的所有点以及端点的函数值f (a )与f (b )； (3)比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值．2．求一个函数在无穷区间(或开区间)上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．求下列函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2－10，x ∈[－1,1]； (2)f (x )＝x －1x 2＋3.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 f ′(x ) ＋0 －f (x )－14极大值－10－12所以当x ＝－1时，函数取最小值f (－1)＝－14；当x ＝0时，函数取最大值f (0)＝－10. (2)f ′(x )＝－(x ＋1)(x －3)(x 2＋3)2， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.容易验证函数在x ＝－1处取得极小值，在x ＝3处取得极大值．又因为当x ＝1时，y ＝0；当x <1时，y <0；当x >1时，y >0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示．由图象可知，函数的最大值等于f (3)＝3－132＋3＝16，最小值为f (－1)＝－1－1(－1)2＋3＝－12.【例2】已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：存在．显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①若a >0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：x [－1,0] 0 (0,2] f ′(x ) ＋0 －f (x )最大值又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3， f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②若a <0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [－1,0) 0 (0,2] f ′(x ) －0 ＋ f (x )最小值∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.(1)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．结合已知求出参数，进而使问题得以解决．要注意极值点是否在区间内．(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值． 解：f ′(x )＝3x 2－3ax ＝3x (x －a )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝a .根据x 1，x 2列表，分析f ′(x )的符号和函数f (x )的单调性.x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )b －1－32abb －a 321－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 2.∵f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)， f (0)－f (1)＝32a －1>0，∴f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.∵f (－1)－f (a )＝12(a 3－3a －2)＝12(a ＋1)2·(a －2)<0，∴f (x )的最小值为f (－1)＝b －1－32a ＝－32a ＝－62，∴a ＝63.综上可知，a ＝63，b ＝1.【例3】设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t );(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)，∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1. (2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ， 由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2) g ′(t ) ＋0 －g (t )极大值1－m∴g (t )在(0,2)h (t )<－2t ＋m 在(0,2)上恒成立，等价于g (t )<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m <0，所以m 的取值范围为(1，＋∞)．有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题，确定这个函数，要看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．设l 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程．(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解：设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2，所以f ′(1)＝1，所以l 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)，g (x )满足g (1)＝0.且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0， 故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0， 故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)，所以除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．探究题1 请设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图)．试问：当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则1<x <4. 由题设可得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2，故底面正六边形的面积为 6×34×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13(x －1)＋1 ＝32(16＋12x －x 3)， 求导得V ′(x )＝32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数． 故当x ＝2时，V (x )最大，且最大值V (2)＝16 3.所以当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为163m 3.探究题2 某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的利益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(单位：百万元)时，每投入x (单位：百万元)广告费，增加的销售额可近似地用函数y 3＝－2x 2＋14x (单位：百万元)来计算；每投入x (单位：百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似地用函数y 1 ＝－13x 3＋2x 2＋5x (单位：百万元)来计算．现该公司准备共投入3(单位：百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司的销售额最大．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：设3百万元中技术改造投入为x 百万元，广告投入为(3－x )百万元，则广告投入带来的销售额增加值为[－2(3－x )2＋14(3－x )]百万元，技术改造投入带来的销售额增加值为⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2＋5x 百万元，∴投入带来的销售额增加值F (x )＝－2(3－x )2＋14(3－x )－13x 3＋2x 2＋5x .整理上式，得F (x )＝－13x 3＋3x ＋24.F ′(x )＝－x 2＋3，令F ′(x )＝0， 解得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 当x ∈[0，3)时，F ′(x )>0； 当x ∈(3，3]时，F ′(x )<0.∴当x ＝3≈1.73时，F (x )取得最大值．∴当该公司用于广告投入1.27百万元，用于技术改造投入1.73百万元时，该公司的销售额最大．1．求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题．解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决．必要时，可选择建立坐标系，通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程，以便于问题的解决．2．利用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)．常见的基本等量关系如下：(1)利润(收益)＝收入－成本；(2)利润(收益)＝每件产品的利润(收益)×销售量．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．有关统计数据显示，从上午6时到12时，车辆通过该市某一路段的用时y (单位：min )与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，t 8＋554，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12.求在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻．解：当6≤t <9时，y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t 1＝－12(舍去)，t 2＝8. 当6≤t <8时，y ′>0；当8<t <9时，y ′<0. 所以当t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. 当9≤t ≤10时，y ＝t 8＋554是增函数，所以当t ＝10时，y 有最大值，y max ＝15. 当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 所以当t ＝11时，y 有最大值，y max ＝18.综上所述，通过该路段用时最多的时刻为上午8时．1．函数f (x )＝(1＋x )e x 有( ) A ．最大值为e －2 B ．最大值为e －1 C ．最小值为－e 2D ．最小值为－e －2D 解析：f ′(x )＝(1＋x )e x ＋e x ＝(x ＋2)e x . 当x <－2时，f ′(x )<0；当x >－2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增． 所以f (x )有最小值，为f (－2)＝－e －2.故选D ．2．(多选)函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的( ) A ．最大值为5 B ．极大值为5 C ．最小值为－15 D ．极小值为－15ACD 解析：f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2，所以当x ∈[0,2]时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，即f (x )为增函数．所以f (x )min ＝f (2)＝－15.又f (0)＝5，f (3)＝－4，所以f (x )max ＝f (0)＝5.故选ACD ． 3．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数D 解析：因为f ′(x )＝x ＋sin x ，依题意可知该函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称，且f ′(－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f ′(x )，所以函数f ′(x )为奇函数．另一方面f ″(x )＝1＋cos x ，因为－1≤x ≤1，所以0<cos1≤cos x <1，所以f ″(x )＝1＋cos x >1，故f ′(x )在[－1,1]上单调递增，最大值为f ′(1)＝1＋sin1，最小值为f ′(－1)＝－1－sin1.故选D ． 4．函数f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[0,1]上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1D解析：因为当x∈[0,1]时，f′(x)＝e x－1≥0恒成立，所以f(x)＝e x－x在[0,1]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝e－1.故选D．5．已知函数f(x)＝x3－3ax－1在x＝－1处取得极值．(1)求实数a的值；(2)当x∈[－2,1]时，求函数f(x)的最小值．解：(1)因为f(x)＝x3－3ax－1，所以f′(x)＝3x2－3a.又函数f(x)＝x3－3ax－1在x＝－1处取得极值，所以有f′(－1)＝0，即3(－1)2－3a＝0，解得a＝1.(2)由(1)可知：f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)－1＝－3，f(1)＝13－3×1－1＝－3，故函数f(x)的最小值为－3.1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．4．生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题．求实际问题的最大(小)值，主要步骤如下：(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系．(2)列模型：列出实际问题的数学模型．(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(6)结论：根据比较值写出答案．课时分层作业(十九)函数的最大(小)值(60分钟100分)基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求函数的最值1．(5分)函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (1)，f (2) B ．f (2)，f (5) C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)D 解析：f ′(x )＝2x －4＝0，解得x ＝2，当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，∴x ＝2是极小值点，f (2)＝－3.又f (1)＝－2，f (5)＝6， ∴最大值是f (5)，最小值是f (2)．2．(5分)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5在区间[－4,4]上的最大值是( ) A ．10 B ．－71 C ．－15D ．－22A 解析：f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.当x ＝－1时，函数有极大值f (－1)＝10；x ＝3时函数有极小值f (3)＝－22.而f (4)＝－15，f (－4)＝－71.所以最大值是f (－1)＝10.知识点2 与最值有关的参数问题3．(5分)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12B 解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a ，f ′(x )＝0有解， ∴a ＝x 2.又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B ．4.(5分)若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________．3－1 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a<x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.5.(5分)已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．－37 解析：令f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. ∵f (x )在(－2,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数， ∴最大值为f (0)＝m ＝3，∴f (x )＝2x 3－6x 2＋3. 又f (－2)＝－37，f (2)＝－5， ∴此函数在[－2,2]上的最小值为－37. 知识点3 生活中的优化问题6．(5分)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时的年产量是( ) A ．100 B ．150 C ．200D ．300D 解析：由题意，得总成本函数为C ＝C(x )＝20 000＋100x ，总利润P (x )＝R (x )－C(x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.所以P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．7．(5分)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( ) A ．32,16 B ．30,15 C ．40,20D ．36,18A 解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场的宽为x 米，则长为512x 米，因此新砌墙壁总长L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(米)，可使L 最短.8.(10分)如图，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为x cm ⎝⎛⎭⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x )cm ，宽为(5－2x )cm ， V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18.因为在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大．能力提升练能力考点 适度提升9.(5分)如果函数f (x )＝x 4－8x 2＋c 在[－1,3]上的最小值是－14，那么c ＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2B 解析：令f ′(x )＝4x 3－16x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2或x ＝2，由f (－1)＝c －7，f (0)＝c ，f (2)＝c －16，f (3)＝c ＋9，得最小值为f (2)＝c －16＝－14.∴c ＝2. 10．(5分)内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2RC ．43RD ．34RC 解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2， ∴r 2＝2Rh －h 2.∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3.V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 故当h ＝43R 时，圆锥体积最大．11．(5分)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于M ，N .则当|MN |最小时t 的值为( ) A ．1 B ．12C ．52D ．22D 解析：由题意，设F (t )＝t 2－ln t (t >0)．令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．F (t )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，则t ＝22时，F (t )取最小值，即|MN |最小． 12．(5分)内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) A ．R 2和32RB ．55R 和455R C ．45R 和75RD ．以上都不对 B 解析：设矩形的宽为x ，则长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4x R 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0； 当55R <x <R 时，l ′<0， 所以当x ＝55R 时，l 取得最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R ，455R . 13.(5分)函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时，x 的值为________． π6 解析：y ′＝1－2sin x ．由y ′≥0得0≤x ≤π6；由y ′<0得π6<x ≤π2. 所以原函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增，在⎣⎡⎦⎤π6，π2上递减．故当x ＝π6时，函数取得极大值，同时也是⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值. 14.(5分)当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是________．[0，e] 解析：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2·e x (e x )2＝2x －x 2e x ，x ∈[－1,1]，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)． ∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e，∴函数f (x )＝x 2ex ，x ∈[－1,1]的值域为[0，e].15.(5分)已知函数f (x )＝ax2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．[e ，＋∞) 解析：由f (x )＝ax 2＋2ln x 得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.16.(5分)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y (千克)与销售价格x (元/千克)满足关系式y ＝2x －3＋10(x －6)2，x ∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大． 4 解析：商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)·(x －6)2,3<x <6， f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6(舍去)．函数f (x )在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减， ∴当x ＝4时函数f (x )取得最大值f (4)＝42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.17.(15分)设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝2ax ＋1x2(a ∈R )．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >－1，试判断f (x )在(0,1)上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1)时，f (x )有最大值－6? 解：(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝－2ax ＋1x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．(2)a >－1时，f (x )在(0,1)上是增函数．证明如下： f ′(x )＝2a ＋2x 3＝2⎝⎛⎭⎫a ＋1x 3. ∵a >－1，x ∈(0,1)，1x 3>1，∴a ＋1x3>0，即f ′(x )>0.∴a >－1时，f (x )在(0,1)上是增函数．(3)由(2)知当a ≥－1时，f (x )在(0,1]上单调递增． 由f (x )max ＝f (1)＝－6得a ＝－52(不合题意，舍去)，当a <－1时，令f ′(x )＝0，得x ＝3－1a. 列表如下：可知f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3－1a ＝－6，解得a ＝－2 2. 此时x ＝22∈(0,1)． ∴存在a ＝－22，使得f (x )在(0,1)上有最大值－6.重难强化训练(四) 导数的应用(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视导数为零的情况致误 [防范要诀]f ′(x )>0⇒函数y ＝f (x )为增函数，但反之，当函数y ＝f (x )是增函数时，f ′(x )≥0，此处常会因漏掉导数等于零的情况致误． [对点集训]1．(5分)函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－∞，e －2) B ．(0，e －2) C ．(e －2，＋∞)D ．(e 2，＋∞)B 解析：y ＝x ＋x ln x 的定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2＋ln x <0，得0<x <e －2，即原函数的单调递减区间为(0，e －2)．2．(5分)若函数f (x )＝ax 3－x 是R 上的减函数，则( ) A ．a <0 B ．a ≤0 C ．a <13D ．a ≤13B 解析：f ′(x )＝3ax 2－1， ∵f (x )＝ax 3－x 在R 上递减，∴f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，故a ≤0.3．(5分)若f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞) C ．[0,3]D ．[3，＋∞) D 解析：f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立． 因为y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内递减，所以y <3.故a ≥3. 易错点2| 由极值求参数时因未检验致误 [防范要诀]可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，故已知极值求函数时，由f ′(x )＝0求出的参数的值要进行检验，否则易出错．[对点集训]4．(5分)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，那么( ) A ．a ＝－3，b ＝3 B ．a ＝4，b ＝－11C ．a ＝－3，b ＝3或a ＝4，b ＝－11D ．以上均不正确B 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.经检验，当a ＝－3，b ＝3时，x ＝1不是极值点，故a ＝4，b ＝－11.5．(5分)函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．⎝⎛⎭⎫0，32 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，3)B 解析：y ′＝3x 2－2a .要使函数在(0,1)内有极小值，必有a >0.令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±23a .当x <－2a3时，y ′>0；当－23a <x <23a 时，y ′<0；当x >23a 时，y ′>0.故函数在x ＝23a 时取得极小值．令0<23a <1，得0<a <32. 练疑难6．(5分)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断中正确的是( )A ．f (x )在(－3,1)上单调递增B ．f (x )在(1,3)上单调递减C ．f (x )在(2,4)上单调递减D ．f (x )在(3，＋∞)上单调递增C 解析：由f (x )的增减性与f ′(x )的正负之间的关系进行判断，当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,4)上单调递减，其他判断均错．7．(5分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x －9的两个极值点为x 1，x 2，则x 1x 2＝( )A ．9B ．－9C ．1D ．－1D 解析：令f ′(x )＝3x 2＋2ax －3＝0，则x 1，x 2就是其两个根．由根与系数的关系知x 1x 2＝－33＝－1. 8．(5分)已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B ．12C ．－12D ．－12或－32 C 解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 9．(5分)函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝⎛⎭⎫－43，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 A 解析：设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－x 2＋a －x 2＋3x ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增．当x ＝3时，函数h (x )取得最小值．因为f (x )的图象始终在g (x )的图象上方，则有 h (x )min >0，即h (3)＝a >0，所以a 的取值范围是(0，＋∞)．10．(5分)设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A ．3VB ．3V πC ．34VD ．3V 2πD 解析：设底面圆半径为r ，高为h ，则V ＝πr 2h .∴h ＝V πr 2. ∴S 表＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2＋2πr ·V πr 2＝2πr 2＋2V r. ∴S 表′＝4πr －2V r 2.令S 表′＝0得，r ＝3V 2π. 又当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3V 2π时，S 表′<0； 当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3V 2π，V 时，S 表′>0. ∴当r ＝3V 2π时，表面积最小． 11．(5分)设F (x )＝f (x )ex 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)C 解析：∵函数F (x )＝f (x )ex 的导函数F ′(x )＝ f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0， ∴函数F (x )＝f (x )ex 是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e0， 故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e 2 016f (0)．故选C ．12.(5分)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0) 解析：f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减.13.(5分)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值； ④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法是________(填序号)．①④ 解析：从图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，于是f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②③错误；由于f (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确．故填①④.14.(10分)判断函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数．解：∵f (x )＝2x ＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内有且只有一个零点.15.(10分)若f (x )＝－12x 2＋b ln (x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，求b 的取值范围． 解：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立．∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0. ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1.16.(15分)设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2x (x ＋2)． 由e x 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2. ∴f (x )的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．由e x 2x (x ＋2)<0，解得－2<x <0. ∴f (x )的减区间为(－2,0)．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.∵f (－2)＝2e2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， ∴f (x )∈[0,2e 2]．又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0.故m 的取值范围为(－∞，0)．第五章质量评估(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．曲线f (x )＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15C 解析：由已知得切线的斜率k ＝f ′(1)＝3，所以切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝9，所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.2．下列结论正确的个数是( )①若f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；③若f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2x ln 2；④若f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1x ln 2. A ．0B ．1C ．2D ．3D 解析：①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可验证．3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)D 解析：f ′(x )＝(x －2)e x .由f ′(x )>0得x >2.所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．4．函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12C 解析：∵y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1.∴g ′(1)＝k ＝2，又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处切线的斜率为4.5．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12C 解析：令f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－a 3，由题意，知f ′(x )＝0的两根为0,2，所以2＝－a 3，所以a ＝－6. 6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9D 解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．7．已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sinA)>f (cosB)B ．f (sinA)<f (cosB)C ．f (sinA)>f (sinB)D ．f (cosA)<f (cosB)A 解析：由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B>π2，即π2>A>π2－B>0，故sinA>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B >0，即sinA>cosB>0.故f (sinA)>f (cosB)．8．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A 解析：∵(ln x )′＝1x>0，(e x )′＝e x >0，(x 3)′＝3x 2≥0. ∴选项B ，C ，D 中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A 项符合．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 可取的范围有( )A．(－∞，－3]B．(－∞，－3)C．[6，＋∞)D．(6，＋∞)BD解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a<－3或a>6.故选BD．10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值C．在x3处函数y＝f(x)有极大值D．在x5处函数y＝f(x)有极小值ABCD解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y ＝f(x)有极大值. x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是()A．x＝3是函数f(x)的一个极值点B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)C．f(x)在区间(1,2)上单调递减D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点ACD解析：由题得f′(x)＝161＋x＋2x－10＝2x2－8x＋61＋x，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16＝f (2)，根据f (x )在(1,3)上单调递减得f (1)>f (2)>f (3)，得16ln 3－16<16ln 2－9，16ln 3－16>16ln 4－21，所以直线y ＝16ln 3－16与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，故D 正确．故选ACD ．12．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋m －2ln x ，( )A ．m ＝3时，f (x )有两个零点B ．m ＝3时，f (x )的极小值点为2C ．m ＝3时，f (x )≥0恒成立D ．若f (x )只有一个零点，则m ＝2＋2ln 2ABD 解析：对于选项A ，当m ＝3时，f (x )＝x 2－3x ＋3－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －3－2x ＝2x 2－3x －2x ＝(2x ＋1)(x －2)x. 令f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (2)＝1－2ln 2＝1－ln 4<0，且f (1)＝1>0，f (3)＝3－2ln 3>0，∴f (x )在定义域内有两个零点，故选项A 正确．对于选项B ，由上面的推导过程可知，当m ＝3时，f (x )的极小值点为2，故选项B 正确．对于选项C ，由上面的推导过程可知，f (2)<0，故选项C 错误．对于选项D ，若f (x )只有一个零点，则方程x 2－3x ＋m －2ln x ＝0只有一个根，即方程－m ＝x 2－3x －2ln x 只有一个根．令g (x )＝x 2－3x －2ln x ，x >0，则函数g (x )的图象与直线y ＝－m 只有一个交点．g ′(x )＝(2x ＋1)(x －2)x， 令g ′(x )＝0, ∴x ＝2，当0<x <2时，g ′(x )<0；当x >2时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (2)＝－2－2ln 2，且当x →0时，g (x )→＋∞；当x →＋∞时，g (x )→＋∞.∴函数g (x )的图象与直线y ＝－m 只有一个交点时，－m ＝－2－2ln 2，∴m ＝2＋2ln 2，故选项D 正确．故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1和x ＝－1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a ＋b ＋c ＝________.1 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，又f (－1)＝－a ＋b －c ＝－1，可解得a ＝－12，b ＝0，c ＝32，所以a ＋b ＋c ＝1. 14.已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数．若f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．[1，＋∞) 解析：由题意知f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对x ∈[－1，2]恒成立，b ＝9a ，所以f ′(x )＝3x 2－6ax －9a ≤0，即x 2－2ax －3a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立．因为2x ＋3>0，所以a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立，容易求得a ≥1.15.已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x ，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为4，则a ＝________；若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．1 (－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x. 令f ′(1)＝3a ＋1＝4，得a ＝1.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1x＝0有解， ∴3a ＝－1x3，而x >0， ∴a ∈(－∞，0).16.已知矩形的两个顶点A ，D 位于x 轴上，另两个顶点B ，C 位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．433，83解析：由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2， ∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)．∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0. ∴当x ＝233时，S 取得最大值为3239. 即矩形的边长分别是433，83时，矩形的面积最大． 四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0.又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，f (x )在原点处的切线斜率是－3，∴－a (a ＋2)＝－3，解得a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23. 又f (x )在(－1,1)上不单调，∴⎩⎨⎧ －1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧ －5<a <1，a ≠－12. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－5，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 18.(12分)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导函数f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ，从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称， 从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又因为f ′(1)＝0，所以6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. 所以实数a ，b 的值分别为3，－12. (2)由(1)知 ，f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－2)内为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(－2,1)内为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数；从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.19.(12分)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )． 解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减1单调递增所以函数f (x )f (0)＝1是f (x )的最小值．。