2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

第1页，共26页一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.平面内，的半径为3，若点P在外，则OP的长可能为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.一元二次方程的根的情况是2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根3.下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是( )A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm4.如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，若的周长为6，则的周长等于( )A. 24B. 18C. 12D. 95.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为( )A. 98mB. C. 49mD. 6.平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t的值为( )A. B. 第2页，共26页C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。7.若，则为__________.8.点C是线段AB的黄金分割点，若，则__________9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为__________.10.一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为__________11.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为__________.12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为__________.13.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为__________.14.分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为__________第3页，共26页15.如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为__________16.中，，，点I是的内心，点O是的外心，则__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.解下列一元二次方程．；四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题8分已知二次函数为常数求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；若，当x__________时，y随x的增大而减小．19.本小题8分如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻BC在地面的影长，AC在地面的影长，求窗户的高度．20.本小题8分近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象．某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下单位：人：第4页，共26页时间周一周二周三周四周五周六周日人数65055071042065023203100该周到馆人数的平均数为__________人、众数为__________人、中位数为__________人；周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数一个月按30天计21.本小题8分“三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划假定生男生女的概率相同：甲家庭已有一个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是__________；乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率．22.本小题8分已知关于x的一元二次方程、b、c是常数，的两个实数根分别为，，证明：，23.本小题8分图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为求拱桥所在抛物线的函数表达式；因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？结果保留根号24.本小题8分如图，AB是的弦，AC是的切线，，BC交于点D，E是的中点．第5页，共26页求证：；判断四边形ACDE的形状，并说明理由．25.本小题8分定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形．初步运用如图是的正方形网格每个小正方形的边长均为，请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为______再思探究如图③，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由．26.本小题8分某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件．为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价．售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件．若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？第6页，共26页分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写下表用含x的式子表示，并化简；调价后的每件利润调价后的销售量甲种礼品__________乙种礼品____________________解答：__________27.本小题8分问题呈现：探究二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象公共点．问题解决：问题可转化为：二次函数的图象与一次函数__________的图象的公共点．在下列平面直角坐标系中画出的图象．请结合中图象，就m的取值范围讨论两个图象公共点的个数．问题拓展：若二次函数其中，m为常数的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为__________.第7页，共26页答案和解析1.【答案】A 【解析】解：的半径为3，点P在外，，故选：根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．2.【答案】D 【解析】【解析】解：把一元二次方程化为一般形式为：，，，， ，方程有两个相等的实数根．故选：先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3.【答案】B 【解析】解：正方体集装箱的体积，棱长xm，则，故不是二次函数；B.高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm，则，故是二次函数；C.妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；D.小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶x h，距上海y km，则南京与上海之间的距离，故不是二次函数．故选：根据二次函数的定义逐项判断即可．第8页，共26页本题考查了二次函数的定义，根据实际问题列函数解析式，熟练掌握二次函数定义是解题关键．4.【答案】B 【解析】解：，∽，，的周长为6，的周长为18，故选：根据，得∽，则有，从而得出答案．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．5.【答案】B 【解析】解：把代入得，故选：把代入可得答案．本题考查二次函数的实际应用，根据题意把代入是解题关键.6.【答案】C 【解析】解：如图①，作过A、B两点的与y轴相切与点C，第9页，共26页，，，与y轴相切于点C时，最大．如图②，作，连接CM、MA、MB，与y轴相切与点C，，，，，，，，，，，，故选：先确定过A、B两点的与y轴相切与点C时最大，再利用圆的有关知识求出OC的长即可．本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点C的位置．7.【答案】 第10页，共26页【解析】解：，可以假设，，故答案为由，可以假设，，代入计算即可解决问题．本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】 【解析】解：点C是线段AB的黄金分割点，，而，故答案为 根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．9.【答案】 【解析】解：设平均每次增产的百分率是x，根据题意可得：故答案为：设平均每次增产的百分率是x，那么第一次增产后的产量是原来的倍，那么第二次增产后的产量是原来的倍，根据题意列方程解答即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量．10.【答案】120 【解析】解：设扇形的圆心角为，第11页，共26页根据题意得，解得故答案为利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．11.【答案】或 【解析】解：由“左加右减，上加下减”知：将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，则新的抛物线函数解析式为，即或故答案是：或根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．12.【答案】②③ 【解析】解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本故②③正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故①错误，故答案为：②③．根据离散程度的定义一一判断即可．本题考查数据的波动程度等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13.【答案】 【解析】解：设，，，在中，，，第12页，共26页，，故答案为：设，在中，根据，可得，求出r，即可解决问题．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．14.【答案】 【解析】解：过A作于D，，，，，，的面积为，，，故答案为：其面积=三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出阴影部分的面积=三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积是解此题的关键．15.【答案】 【解析】解：，，，即，第13页，共26页，，，即，，解得，，，即灯杆AB的高度为故答案为：根据题意抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列式计算即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量影长的高度测量距离；借助标杆或直尺测量物体的高度．16.【答案】 【解析】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．设BC边的中点为D，连接AD，根据等腰三角形的性质得到，，得到内心I和外心O都在直线AD上，根据勾股定理得到，设的内切圆半径为r，外接圆半径为R，则，根据勾股定理列方程得到，求得，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．【解答】解：设BC边的中点为D，连接AD，，，，点O为的外心，点I为的内心，内心I和外心O都在直线AD上，