2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析

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2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知⊙𝑂的半径为2𝑐𝑚，点𝑃到圆心𝑂的距离为2𝑐𝑚，则点𝑃在⊙𝑂( )

A. 外 B. 内 C. 上 D. 无法确定

2. 下列方程中，没有实数根的是( )

A. 𝑥2=𝑥 B. 𝑥2+1=0 C. 𝑥2+2𝑥+1=0 D. 𝑥2+2𝑥−1=0

3. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )

成绩/分 80 85 90 95

人数/人 2 8 6 4

A. 85，85 B. 85，87.5 C. 85，90 D. 90，90

4. 已知关于𝑥的一元二次方程(𝑚−1)𝑥2−2𝑥+𝑚2−𝑚=0有一根为0，则𝑚的值是( )

A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或−1

5. 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷、等边三角形𝐴𝐸𝐹内接于同一个圆，则𝐵𝐸⏜的度数为( )

A. 15°

B. 20°

C. 25°

D. 30°

6. 如图，在一张𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶纸片中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，⊙𝑂是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙𝑂的切线𝐷𝐸剪下一块三角形𝐴𝐷𝐸，则△𝐴𝐷𝐸的周长为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

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7. 方程𝑥2=1的解是______．

8. 已知⊙𝑂的半径为10𝑐𝑚，圆心𝑂到直线𝑙的距离为12𝑐𝑚，则直线𝑙与⊙𝑂的位置关系是______．

9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为𝑥，根据题意可列方程为______，𝑥=______．

10. 设𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑥2−3𝑥−2=0的两个根，则𝑥1𝑥2−𝑥1−𝑥2=______．

11. 正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹内接于⊙𝑂，⊙𝑂的半径为1，则由半径𝑂𝐴，𝑂𝐶和𝐴𝐶⏜围成的扇形的面积为______．

12. 若一组数据𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5的平均数是𝑎，另一组数据𝑥1+2，𝑥2+3，𝑥3−5，𝑥4−2，𝑥5+1的平均数是𝑏，则𝑎 ______𝑏(填写“>”、“<”或“=”)．

13. 将半径为3𝑐𝑚面积为3𝜋𝑐𝑚2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______𝑐𝑚．

14. 如图，圆的内接五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸满足𝐶𝐷=𝐸𝐷，𝐶𝐷//𝐴𝐸，∠𝐴𝐵𝐶=140°，则∠𝐷=______．

15. 已知𝑚是方程𝑥2−3𝑥−1=0的一个根，则𝑚3−10𝑚=______．

16. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，⊙𝑂的半径是1.过⊙𝑂上一点𝑃作等边三角形𝑃𝐷𝐸，使点𝐷，𝐸分别落在𝑥轴、𝑦轴上，则𝑃𝐷的取值范围是______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. (本小题8.0分)

解下列方程：

(1)4𝑥(2𝑥−1)=3(2𝑥−1)；

(2)𝑥2+6𝑥+3=0．

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18. (本小题8.0分)

如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于一圆，𝐶𝐸是边𝐵𝐶的延长线．

(1)求证∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐷𝐶𝐸；

(2)若∠𝐷𝐴𝐵=60°，∠𝐴𝐶𝐵=70°，求∠𝐴𝐵𝐷的度数．

19. (本小题7.0分)

一部电影的评分越高，说明这部电影越受欢迎，电影的评分是由这部电影的“星级”评价(5星、4星、3星、2星、1星)计算得来．已知电影𝐴，𝐵的星级评价统计如下：

约定5星为10分，4星为8分，3星为6分，2星为4分，1星为2分．通过计算电影的评分，比较电影𝐴，𝐵哪部更受欢迎．

20. (本小题8.0分)

如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面𝐴𝐵宽度为6米，拱高𝐶𝐷(弧的中点到水面的距离)为1米．

(1)求主桥拱所在圆的半径；

(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度．

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21. (本小题8.0分)

如图，已知∠𝐴𝑂𝐵=45°，𝑀是射线𝑂𝐵上一点，𝑂𝑀=√2.以点𝑀为圆心、𝑟为半径画⊙𝑀．

(1)当⊙𝑀与射线𝑂𝐴相切时，求𝑟的值；

(2)写出⊙𝑀与射线𝑂𝐴的公共点的个数及对应的𝑟的取值范围．

22. (本小题8.0分)

如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，射线𝐴𝐶交⊙𝑂于点𝐶．

(1)尺规作图：求作𝐵𝐶⏜的中点𝐷.(保留作图痕迹)

(2)过点𝐷画𝐷𝐸⊥𝐴𝐶垂足为𝐸.求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．

23. (本小题8.0分)

某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价：①每涨价1元，每天要少卖出10件；②每降价1元，每天可多卖出20件．如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？

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24. (本小题8.0分)

解新类型的方程(组)时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．

原方程

𝑥−2𝑥=1 𝑥4−𝑥2−2=0

①转化 𝑥2−𝑥−2=0 设𝑥2=𝑡，则

______

②求解 𝑥1=2，𝑥2=−1 𝑡=

______

③检验 −1，2都是原方程的解 …

④结论 𝑥1=2，𝑥2=−1

(1)请按要求填写如表．

(2)解方程组：{𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2=16𝑥𝑦=3．

25. (本小题8.0分)

已知关于𝑥的方程(𝑥−2)(𝑥−3)−𝑘2=0．

(1)证明：无论𝑘取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根分别为𝑥1，𝑥2，且𝑥1>𝑥2，证明：𝑥1+2𝑥2≤7．

26. (本小题8.0分)

构造合适的图形，可以用线段的长表示一元二次方程的正根．

(1)如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的两直角边分别为𝑚2和𝑛，在斜边𝐴𝐵上截取𝐵𝐷=𝑚2，请说明𝐴𝐷的长为关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥=𝑛2的一个根．

(2)已知关于𝑥的方程𝑥2−𝑚𝑥−𝑛2=0(𝑚>2𝑛>0)，请构造合适的图形表示该方程的正根．(要求有必要的文字说明，并在图中作必要标注)

27. (本小题9.0分)

以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？

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Ⅰ.若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图1、2)；

Ⅱ.若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图3)；

Ⅲ.若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图4)．

(1)在图1、2中，取𝐴𝐶的中点𝑂，根据______得𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝐷，即𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共圆；

(2)在图3中，画⊙𝑂经过点𝐴，𝐵，𝐷(图5).假设点𝐶落在⊙𝑂外，𝐵𝐶交⊙𝑂于点𝐸，连接𝐷𝐸，可得______=180°，所以∠𝐵𝐸𝐷=______，得出矛盾；同理点𝐶也不会落在⊙𝑂内，即𝐴，𝐵，𝐶，𝐷共圆．结论Ⅲ同理可证．

(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．

已知：如图6，锐角三角形𝐴𝐵𝐶的高𝐵𝐷，𝐶𝐸相交于点𝐻，射线𝐴𝐻交𝐵𝐶于点𝐹．

求证：𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高．(补全以下证明框图，并在图上作必要标注)

(4)如图7，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶外部一点，过𝑃作直线𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴的垂线，垂足分别为𝐸，𝐹，𝐷，且点𝐷，𝐸，𝐹在同一条直线上．求证：点𝑃在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．

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答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：∵⊙𝑂的半径为2𝑐𝑚，点𝑃与圆心𝑂的距离为2𝑐𝑚，2𝑐𝑚=4𝑐𝑚，

∴点𝑃在圆上．

故选：𝐶．

直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙𝑂的半径为𝑟，点𝑃到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，当𝑑<𝑟时，点𝑃在圆内是解答此题的关键．

2.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴、方程整理得𝑥2−𝑥=0，

则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−1)2−4×1×0=1>0，方程有两个不相等的实数根，所以𝐴选项不合题意；

B、𝑥2+1=0，

则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=02−4×1×1=−4<0，方程没有实数根，所以𝐵选项符合题意；

C、𝑥2+2𝑥+1=0，

则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以𝐶选项不合题意；

D、𝑥2+2𝑥−1=0，

则𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=22−4×1×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以𝐷选项不合题意．

故选：𝐵．

分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．

本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，方程无实数根．

3.【答案】𝐵

【解析】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；

在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，所以中位数是两数的平均数：(85+90)÷2=87.5．