【试卷】湖北省八校高三上第一次联考数学试卷理科

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2015-2016学年湖北省武汉市八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）

答案与解析

一、选择题

1、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁RA）∩B=（ ）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（3，5） D．（﹣1，5）

解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，

∴∁RA={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），

又∵B={x|log2（x﹣1）＜2}={x|0＜x﹣1＜4}=（1，5），

∴（∁RA）∩B=（1，3），选A

2、命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（ ）

A．若x2+y2=0，则x≠0且y≠0

B．若x2+y2=0，则x≠0或y≠0

C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0

D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0

解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0．选D

3、欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解：e2i=cos2+isin2，

∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．

4、函数f（x）=，则f[f（）]=（ ）

A．﹣ B．﹣1 C．﹣5 D．

解：∵函数f（x）=，

∴f（）==，∴f[f（）]=f（）=﹣2=．

5、等差数列{an}前n项和为Sn，且=+1，则数列{an}的公差为（ ）

A．1 B．2 C．2015 D．2016

解：设等差数列{an}的公差为d．

∵，

∴=﹣==d

又=+1，

∴等差数列{an}的公差为2．选B

6、若a=ln2，b=5，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（ ）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a

解：∵=ln＜ln2＜lne=1， ∴＜a＜1，

b=5=＜，

c=sinxdx=﹣cosx|=（1+1）=，

∴b＜c＜a，选D

7、已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（ ）

A． B．﹣ C． D．﹣

解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，

则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，选C

8、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．12 B．16 C．20 D．32

解：由三视图可知该几何体为直三棱柱与四棱锥的组合体， 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2word版本可编辑.欢迎下载支持. V棱柱=×4××3=12，V棱锥=×4×（6﹣3）×=8，

∴组合体的体积为V棱柱+V棱锥=20．选C

9、已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ）

A．π B． C． D．

解：由函数f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，

故f（x）=﹣cos2x．

若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；

再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+，a=+，k∈Z．

则实数a的最小值为．选D

10、如图，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设（λ，μ∈R）则λ+μ的取值范围（ ）

A．[1，2] B．[2，3] C．[2，4] D．[3，4]

解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），

C（3，），D（2，2 ），E（0，2 ），F（﹣1，）

则EC的方程：x+y﹣6=0；CD的方程：x+y﹣4 =0；

因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为

又 ，

则 =（x，y），=（2，0），=（﹣1，），

所以（x，y）=λ（2，0）+μ（﹣1，）

得 ⇒⇒⇒3≤λ+μ≤4．

则λ+μ的取值范围为[3，4]．选D

11、若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ）

A．3 B．2 C．2 D．3

解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，

∵V棱锥S﹣ABCD=•a2•h=9，∴a2=，

∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，

（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，

（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，

∵SM⊥平面ABCD，

∴△OMB是直角三角形，

∴OM2+MB2=OB2，

∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2

∴2hR=h2+， 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3word版本可编辑.欢迎下载支持. 即R=+=+=≥3=．

当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．选A

12、关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（ ）

A．x=2是f（x）的极小值点

B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点

C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立

D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4

解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，

∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；

y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；

f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，

令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，

∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；

对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．选C

二、填空题

13、已知平面直角坐标系中，=（3，4），•=﹣3，则向量在向量的方向上的投影是

．

解：向量在向量方向上的投影为：

=．

14、若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a= ．

解：∵f（x）=，

∴g（x）=f（x）+ax=， 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4word版本可编辑.欢迎下载支持. ∵g（x）=为偶函数，

∴g（﹣1）=g（1），即﹣a﹣1=1+a﹣1=a，

∴2a=﹣1，

∴a=﹣．

15、设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为

．

解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（4，2），

化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，

由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+2=10．

16、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为边AC上的一点，K为BD上的一点，且∠ABC=∠KAD=∠AKD，则DC= ．

解：由题意，tan∠ABC=，

∵∠ABC=∠KAD=∠AKD，

∴∠BDC=2∠ABC，

∴tan∠BDC=tan2∠ABC==

∴= ∴DC=．

三、解答题

17、在等比数列{an}中，a3=，S3=．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记bn=log2，且{bn}为递增数列，若Cn=，求证：C1+C2+C3+…Cn＜．

解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，

∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．

当q≠1时，a1q2=，=，

解得a1=6，q=﹣． 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.

5word版本可编辑.欢迎下载支持. 综上可得：an=或an=6•（﹣）n﹣1；

（Ⅱ）证明：由题意可得bn=log2=log2=log222n=2n，

则Cn===（﹣），

即有C1+C2+C3+…Cn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=（1﹣）=﹣＜．

故原不等式成立．

18、如图，△ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，且AC=10，BC=15

（1）求△ABC的面积；

（2）已知平面直角坐标系xOy，点D（10，0），若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象绕过A、C、D三点，且A、D为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式．

解：（1）在△ABC中，∵角B、A、C成等差数列，

∴2A=B+C，即3A=180°，则A=60° …（1分）

由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccos60°，…（2分）

∴c2﹣10c﹣125=0，

则c=|AB|=5+5． …（4分）

又∵|AO|=10cos60°=5，

∴|BO|=5，

则△ABC的面积S=（5+5 ）×=（3）．…（6分）

（2）T=2×（10+5）=30，

∴ω=． …（8分）

∵f（﹣5）=Msin[×（﹣5）+φ]=0，

∴sin（﹣+φ）=0，

则﹣+φ=kπ，即φ=+kπ，k∈Z

∵|φ|＜，∴φ=，…（10分）

∵f（0）=Msin=5，

∴M=10，

则f（x）=10sin（x+）．…（12分）

19、如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM

（Ⅰ）求证：AD⊥BM