第6课 开放探索问题
第一部分 讲解部分
一、专题诠释
开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．
开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、考点精讲
（一）开放型问题
考点一：条件开放型：
第二部分 专题一
类型1 数式规律
1．(2018·梧州)按一定规律排列的一列数依次为：2,3,10,15,26,35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是( A )
A．9 999 B．10 000
C．10 001 D．10 002
2．(2017·贺州)将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：
2，2，6，22，10；
23，14，4,32，25；
…
若2的位置记为(1,2)，23的位置记为(2,1)，则38这个数的位置记为( B )
A．(5,4) B．(4,4)
C．(4,5) D．(3,5)
3．(2018·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是( A )
A．639 B．637
C．635 D．633
4．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2 018在第__45__行．
5．(2018·百色)观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…，则第20个数是__41400__.
6．(2016·贵港)已知a1＝t1＋t，a2＝11－a1，a3＝11－a2，…，an＋1＝11－an(n为正整数，且t≠0,1)，则a2 016＝__－1t__(用含有t的代数式表示)．
7．(2018·成都)已知a＞0，S1＝1a，S2＝－S1－1，S3＝1S2，S4＝－S3－1，S5＝1S4，…(即当n为大于1的奇数时，Sn＝1Sn－1；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1)，按此规律，S2 018＝__－a＋1a__.
第12讲 操作与探究性问题
探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答．开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征，因而探究性问题的设置就显得非常重要．
中考中要解决此类型问题，需在平时学习和练习中注重这方面独立自主能力的培养和开发．
问题探究1（2013年陕西省 第25题）
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且ab，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
【变式练习】（2013年日照市 第20题）
问题背景:
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．
lBB'ACODABPDABCFE图① 图② 图③ PDBCAMDBCA图a 图b 图c （1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
问题探究2（2013年潜江市 第24题）
一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为
2019年
第二部分 专题一
类型1 数式规律
1．(2018·梧州)按一定规律排列的一列数依次为：2,3,10,15,26,35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是( A )
A．9 999 B．10 000
C．10 001 D．10 002
2．(2017·贺州)将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：
2，2，6，22，10；
23，14，4,32，25；
…
若2的位置记为(1,2)，23的位置记为(2,1)，则38这个数的位置记为( B )
A．(5,4) B．(4,4)
C．(4,5) D．(3,5)
3．(2018·绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是( A )
A．639 B．637
C．635 D．633
4．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行
1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
…
则2 018在第__45__行．
5．(2018·百色)观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…，则第20个数是__41400__. 2019年
6．(2016·贵港)已知a1＝t1＋t，a2＝11－a1，a3＝11－a2，…，an＋1＝11－an(n为正整数，且t≠0,1)，则a2 016＝__－1t__(用含有t的代数式表示)．
7．(2018·成都)已知a＞0，S1＝1a，S2＝－S1－1，S3＝1S2，S4＝－S3－1，S5＝1S4，…(即当n为大于1的奇数时，Sn＝1Sn－1；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1)，按此规律，S2 018＝__－a＋1a__.
