2015年广东省湛江市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）函数f（x）＝log
2（x﹣1）的定义域是（ ）
A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|x＜1} C．{x∈R|x≥1} D．{x∈R|x≤1}
2．（5分）已知（1+bi）2
＝2i（b∈R，i是虚数单位），则b＝（ ）
A．2 B．1 C．±1 D．1或2
3．（5分）“a＞2”是“函数y＝ax
是增函数”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5
分）已知向量＝（x，2）
，＝（1，1）
，若（
+
）⊥，则x＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
5．（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两
段绳子的长都不小于1米的概率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
6．（5分）已知等比数列{a
n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a
2
、a
3、a
1成
等差数列，则公比q＝（ ）
A
．
或 B
． C
．
或 D
．
7．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ）
A．24π B．15π C．15 D．24
8．（5分）抛物线8y﹣x2
＝0的焦点F到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离是（ ）
A
． B． C
． D
．
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9．（5分）若f（x）是奇函数，且x
0是y＝f（x）+ex
的一个零点，则﹣x
0一定是
下列哪个函数的零点（ ）
A．y＝f（﹣x）ex
﹣1 B．y＝f（﹣x）e﹣x
+1
C．y＝ex
f（x）﹣1 D．y＝ex
f（x）+1
10．（5分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量
（i＝1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列
图表．规则是：对于∀n∈N*
，第n行共有2n﹣1个向量，若第n行第k个向量为，则
＝，例如＝（1，1），＝（1，2），
＝（2，2），＝（2，1），…，依此类推，则＝（ ）
A．（44，11） B．（44，10） C．（45，11） D．（45，10）
（一）必做题（11～13题）
11．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合 A＝{2，4}，则∁
UA＝ ．
12．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝ ．
13．（5分）已知实数x，y
满足条件：，若条件为目标函数z＝ax+by
最大值为6，则ab的最大值是 ．
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（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（5分）极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为 ．
15．如图，从圆O外一点P作圆O的割线 PAB、PCD． AB是圆O的直径，若
PA＝4，PC＝5，CD＝3，则∠CBD＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
16．（12分）设函数f（x）＝sin（2x
+）﹣4cos（π﹣x）sin（x
﹣）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的值域．
17．（12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试．成绩
各记为 A、B、C、D、E五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其
中笔试成绩为 B的考生有10人．
（1）求这批考生中面试成绩为 A的人数；
（2）已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为 A．在笔试和面试成
绩至少一项为 A的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概
率．
18．（14分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面 ABC，△ABC是正三角
形，AC＝2 PA＝2，D、E分别为棱 AC和 BC的中点．
（1）证明：DE∥平面PAB；
（2）证明：平面 PBD⊥平面PAC；
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（3）求三棱锥P﹣BDE的体积．
19．（14分）已知数列{a
n}的前n项和S
n满足S
n+1+S
n﹣1＝2S
n+1（n≥2，n∈N*
），
且a
1＝2，a
2＝3．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）设b
n＝4n
+（﹣1）n﹣1
•λ
•（λ为非零整数，n∈N*
），求λ的值，使得对
任意n∈N*
，b
n+1＞b
n恒成立．
20．（14分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e
＝，
F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|
＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：x＝ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y
1），点N（，
y
2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 MN为直径的圆过x轴上
的定点，并求出定点坐标．
21．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2
﹣x（a∈R）在x＝0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）证明：ln（x+1）≤x2
+x；
（3）若关于x的方程f（x
）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，
求实数b的取值范围．
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2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）函数f（x）＝log
2（x﹣1）的定义域是（ ）
A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|x＜1} C．{x∈R|x≥1} D．{x∈R|x≤1}
【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，
∴函数f（x）的定义域是{x∈R|x＞1}，
故选：A．
2．（5分）已知（1+bi）2
＝2i（b∈R，i是虚数单位），则b＝（ ）
A．2 B．1 C．±1 D．1或2
【解答】解：∵2i＝1﹣b2
+2bi，
∴1﹣b2
＝0，2＝2b，
∴b＝1．
故选：B．
3．（5分）“a＞2”是“函数y＝ax
是增函数”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若函数y＝ax
是增函数，则a＞1，
则“a＞2”是“函数y＝ax
是增函数”的充分不必要条件，
故选：B．
4．（5
分）已知向量＝（x，2）
，＝（1，1）
，若（
+
）⊥，则x＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
【解答】
解：由向量＝（x，2）
，＝（1，1），
则
•＝x+2
，＝（）2
＝2，
若（
+
）⊥，
则（
+）
•＝0，
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即有
+＝0，
即x+2+2＝0，
即有x＝﹣4．
故选：C．
5．（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两
段绳子的长都不小于1米的概率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，
则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，
所以事件A发生的概率 P（A
）＝．
故选：B．
6．（5分）已知等比数列{a
n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a
2
、a
3、a
1成
等差数列，则公比q＝（ ）
A
．
或 B
． C
．
或 D
．
【解答】解：因为a
2
、a
3、a
1成等差数列，
所以2
×a
3＝a
1+a
2，则a
3＝a
1+a
2，
因为等比数列{a
n}的各项均为正数，且公比q≠1， 所以，化简得q2
﹣q﹣1＝0，
解得q
＝或q
＝（舍去），
故选：D．
7．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ）
