2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝑀={𝑥|𝑦=√𝑥−2}，集合𝑁={𝑥|𝑦=log2(3−𝑥)}，则∁𝑅(𝑀∩𝑁)=( )

A. [2,3) B. (−∞,2]∪(3，+∞)

C. [0,2) D. (−∞,2)∪[3，+∞)

2. 在复平面内，复数𝑧=cos3+𝑖sin3(𝑖为虚数单位)，则|𝑧|为( )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

3. 设𝑎=(12)0.7，𝑏=(12)0.8，𝑐=log30.7，则 ( )

A. 𝑐<𝑏<𝑎 B. 𝑐<𝑎<𝑏 C. 𝑎<𝑏<𝑐 D. 𝑏<𝑎<𝑐

4. 已知m，n表示两条不同的直线，𝛼，𝛽表示两个不同的平面，且𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛽，则“𝑎⊥𝛽”是“𝑚//𝑛”的________条件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要 D. 既不充分也不必要

5. 已知向量𝑎⃗ =(2,1),𝑎⃗ ⋅(𝑎⃗ −𝑏⃗ )=15，则𝑏⃗ 在𝑎⃗ 方向上的投影为( )

A. 10 B. −10 C. 2√5 D. −2√5

6. 若𝑠𝑖𝑛𝛼=45,𝛼∈(0,𝜋2)则𝑐𝑜𝑠2𝛼等于( )

A. 725 B. −725 C. 1 D. √75

7. 若函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2+𝑎𝑥−𝑎−1)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )

A. (−3,+∞) B. [−3,+∞) C. (−4,+∞) D. [−4,+∞)

8. 重庆某医院组建的由7位专家组成的医疗队施援湖北，负责三个不同病房的医疗工作，每个病房至少2人，则不同的安排方案共有( )

A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种

9. 若x，y满足{𝑥+𝑦⩾1,𝑚𝑥−𝑦⩽0,3𝑥−2𝑦+2⩾0且𝑧=3𝑥−𝑦的最大值为2，则实数m的值为( )

A. 13 B. 23 C. 1 D. 2

10. 已知𝐹1，𝐹2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，过点𝐹2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足|𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的离心率是( ) A. √2 B. √52 C. √5 D. √62

11. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( )

A. 43 B. 32 C. 4√23 D. 2√2

12. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝜋3).给出下列结论：

①𝑓(𝑥)的最小正周期为2𝜋；

②𝑓(𝜋2)是𝑓(𝑥)的最大值；

③把函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥的图象上的所有点向左平移𝜋3个单位长度，可得到函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象．

其中所有正确结论的序号是( )

A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 样本数据3，9，5，2，6的中位数是________．

14. 甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为________．

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若𝑎2−𝑐2=√3𝑏𝑐，𝑠𝑖𝑛𝐵=2√3𝑠𝑖𝑛𝐶，则角𝐴= ______ ．

16. 已知抛物线C：𝑥=𝑎𝑦2的准线为l：𝑥=−1，则其焦点为________；设直线𝑙ˈ：𝑦=3𝑥+4，过抛物线C上一点P作l和𝑙ˈ的垂线，垂足分别为M，N，则|𝑃𝑀|+|𝑃𝑁|的最小值为________．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知𝐵𝑛是数列{𝑐𝑛}的前n项和，2𝐵𝑛=3𝑐𝑛−2．

(1)求数列{𝑐𝑛}的通项公式；

(2)已知𝑑𝑛=12𝑐𝑛log3(𝑐2𝑛2)，求数列{𝑑𝑛}的前n项和𝑇𝑛．

18. 在直角梯形ABCD中，𝐴𝐷 // 𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐵𝐷⊥𝐷𝐶，点E是BC的中点.将△𝐴𝐵𝐷沿BD折起，使𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，连接AE，AC，DE，得到三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷．

(1)求证：平面𝐴𝐵𝐷⊥平面BCD

(2)若𝐴𝐷=1，二面角𝐶−𝐴𝐵−𝐷的余弦值为√77，求二面角𝐵−𝐴𝐷−𝐸的正弦值．

19. 某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：

(1)可用线性回归模型拟合y与x之间的关系吗？如果能，请求出y关于x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；

(2)公司决定再采购A，B两款车扩大市场，A，B两款车各100辆的资料如下表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？

参考数据：∑6𝑖=1 (𝑥𝑖−𝑥)2=17.5，∑6𝑖=1 (𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)=35，∑6𝑖=1 (𝑦𝑖−𝑦)2=76，√1330≈36.5.参考公式：相关系数𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1√∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦)2𝑛𝑖=1；回归直线方程𝑦^=𝑏^𝑥+𝑎^，其中𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1，𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥．

20. 已知定点𝐴(−3,0)、𝐵(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−19，记动点M的轨迹为曲线C．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)过点𝑇(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点𝑆(𝑠,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥2−𝑎𝑥有两个极值点𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2).

(1)求a的取值范围；

(2)求证：𝑒𝑥1+𝑒𝑥2>4．

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为{𝑥=2𝑡𝑦=12+√3𝑡(𝑡为参数)，曲线𝐶1：{𝑥=2sin𝜑𝑦=2(1+cos𝜑)(𝜑为参数)．

(1)求直线l及曲线𝐶1的极坐标方程；

(2)若曲线𝐶2：𝜃=𝜋3(𝜌∈𝑅)与直线l和曲线𝐶1分别交于异于原点的A，B两点，求|𝐴𝐵|的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|，𝑥∈𝑅．

(1)解不等式𝑓(𝑥)≥2−|𝑥+1|；

(2)若对于x，𝑦∈𝑅，有|𝑥−𝑦−1|≤13，|2𝑦+1|≤16，求证：𝑓(𝑥)<1．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：集合𝑀={𝑥|𝑦=√𝑥−2}={𝑥|𝑥−2≥0}={𝑥|𝑥≥2}，

集合𝑁={𝑥|𝑦=log2(3−𝑥)}={𝑥|3−𝑥>0}={𝑥|𝑥<3}，

则𝑀∩𝑁={𝑥|2≤𝑥<3}，

所以∁𝑅(𝑀∩𝑁)={𝑥|𝑥<2或𝑥≥3}

=(−∞,2)∪[3，+∞)．

故选：D．

化简集合M、N，根据交集与补集的定义写出运算结果．

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

2.答案：D

解析：

利用复数模的计算公式、三角函数平方关系即可得出．本题考查了复复数模的计算公式、三角函数平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解：|𝑧|=√𝑐𝑜𝑠23+𝑠𝑖𝑛23=1．

故选D．

3.答案：A

解析：

本题主要考查实数的大小比较，常常借助于“0”和“1”来比较．

解：由题意1>𝑎=(12)0.7>𝑏=(12)0.8>0，𝑐=log30.7<0，

故𝑐<𝑏<𝑎，

故选A．

4.答案：B

解析： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用面面垂直的性质是解决本题的关键．

根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质进行判断即可．

解：若𝑚//𝑛，则当𝑚⊥𝛼时，有𝑛⊥𝛼，

∵𝑛⊂𝛽，∴𝛼⊥𝛽，即必要性成立，

若𝑚⊥𝛼，𝑛⊂𝛽，则当𝛼⊥𝛽时，则𝑚//𝑛不一定成立，

故“𝛼⊥𝛽”是“𝑚//𝑛”的必要不充分条件，

故选B．

5.答案：D

解析：

本题考查平面向量的投影，根据平面向量的投影公式直接计算即可，属基础题．

解：因为向量𝑎⃗ =(2,1),    𝑎⃗⃗⃗ ⋅(𝑎⃗ −𝑏⃗ )=15，

所以| 𝑎⃗⃗⃗ |2−𝑎⃗ ·𝑏⃗ =15，解得𝑎⃗ ·𝑏⃗ =−10

则𝑏⃗ 在𝑎⃗ 方向上的投影为𝑎⃗ ·𝑏⃗

|𝑎⃗ |=−10√5=−2√5，

故选D．

6.答案：B

解析：解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼=45，𝛼∈(0,𝜋2)，

∴𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼

=1−2×1625

=−725．

故选B．

由余弦的二倍角公式𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−2𝑠𝑖𝑛2𝛼即可得到答案．

本题考查余弦的二倍角公式，掌握公式是解决问题的关键，属于基础题．

7.答案：A

解析：