第二章 匀变速直线运动的研究
§2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【学习目标 细解考纲】
1．会用“面积法”推导匀变速直线运动的位移与时间的关系公式。
2．会用atvv0和2021atvx推导位移和速度的关系公式。
3．会用匀变速直线运动的规律求解有关问题。
【知识梳理 双基再现】
1．做匀速直线运动的物体，其位移公式为___________，其 v-t 图象为__________。在 v-t 图象中某段时间内位移的大小与____________相等。
2．匀变速直线运动的 v-t 图象是________________，其中图象的斜率表示物体的__________，图象与坐标轴所围面积是物体的______________。
3．匀变速直线运动中，初末速度与位移的关系式为________________。
4．匀变速直线运动的平均速度公式：____________。
【小试身手 轻松过关】
1．一物体运动的位移与时间关系)(462为单位以stttx则（ ）
A．这个物体的初速度为12 m/s
B．这个物体的初速度为6 m/s
C．这个物体的加速度为8 m/s2
D．这个物体的加速度为-8 m/s2
2．根据匀变速运动的位移公式2/20attvx和tvx，则做匀加速直线运动的物体，在 t 秒内的位移说法正确的是（ ）
A．加速度大的物体位移大 B．初速度大的物体位移大
C．末速度大的物体位移大 D．平均速度大的物体位移大
3．质点做直线运动的 v-t 图象如图所示，则（ ）
A．3 ~ 4 s 内质点做匀减速直线运动
B．3 s 末质点的速度为零，且运动方向改变
C．0 ~ 2 s 内质点做匀加速直线运动，4 ~ 6 s 内质点做匀减速直线运动，加速度大小均为2 m/s2
D．6 s 内质点发生的位移为8 m
4．物体从静止开始以2 m/s2 的加速度做匀加速运动，则前6 s 的平均速度是____________，第6 s 内的平均速度是_____________，第6 s 内的位移是___________。
- 1 - 第二章第三节 匀变速直线运动位移和时间的关系
要点精讲
1. 匀变速直线运动位移公式的推导
（1）图象法
匀速直线运动的位移 x＝vt，在速度时间图象上正好对应着这段时间内图线与坐标轴所围成的区域的面积。如图1所示。
既然匀速直线运动的位移在速度时间图象上正好对应着这段时间内图线与坐标轴所围成的区域的面积，我们有理由大胆地猜想：匀变速直线运动的位移，在速度时间图象上也对应着这段时间内图线与坐标轴所围成的区域的面积。如图1所示。
这种猜想有没有道理，我们先看下面一个例子：
例：一位同学在“探究小车的运动规律”实验中测得小车速度和时间的关系如下表所示，表中“速度v”一行是这位同学用某种方法（方法不详）得到的小车在0、1、2……5几个位置的瞬时速度。原始的纸带没有保存。
位置编号 0 1 2 3 4 5
时 间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度v/（m·s－1） 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28
你能不能根据表中的数据用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？
计算小车从位置0到位置5的位移时，把小车在每个0.1s分别看作是以这个0.1s初小车的速度做匀速直线运动，在图象2上每个0.1s内位移就是跟这个0.1s相对应的矩形区域的面积，从位置0到位置5的总位移等于这5个矩形区域的面积之和。这样做会带来一定的误差，因为小车的速度是在不断增加的。但在时间间隔比较小、精确度要求不高的时候，可以这样估算。
x＝0.08×0.1＋0.12×0.1＋0.16×0.1＋0.20×0.1＋0.24×0.1＝0.08m
可以把每个时间间隔取的更小些，如取0.05s（如图3所示）、0.01s…每个时间间隔取的越小，过程分的越细，每个小矩形面积之和越接近整个运动的位移。如果每个时间间隔小到趋近于零，每个时间间隔内的位移总和就等于整个运动的位移，这时在速度时间图象上整个小矩形区域的上端就不会再有“锯齿”，小矩形区域的面积之和就是图线与坐标轴所围成的区域（梯形）的面积。
匀变速直线运动的位移与时间的关系
【考点归纳】
（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。
（2）公式的推导
①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝vt+at可导出位移公式：x＝v0t+at2
（3）匀变速直线运动中的平均速度
在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度vt/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝vt/2。
即有：＝＝vt/2。
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（4）匀变速直线运动推论公式：
任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△xMN＝xM﹣xN＝（M﹣N）aT2。 推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
【命题方向】
例1：对基本公式的理解
汽车在平直的公路上以30m/s的速度行驶，当汽车遇到交通事故时就以7.5m/s2的加速度刹车，刹车2s内和6s内的位移之比（ ）
A.1：1 B.5：9 C.5：8 D.3：4
分析：求出汽车刹车到停止所需的时间，汽车刹车停止后不再运动，然后根据位移时间公式求出2s内和6s内的位移。
解：汽车刹车到停止所需的时间＞2s
所以刹车2s内的位移＝45m。
t0＜6s，所以刹车在6s内的位移等于在4s内的位移。
＝60m。
所以刹车2s内和6s内的位移之比为3：4．故D正确，A、B、C错误。
匀变速直线运动位移与时间的关系
知识集结
知识元
匀变速直线运动的位移与时间的关系
知识讲解
匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x=v0t+ at2．
公式的推导
①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示．
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即 ．结合公式x=vt和v=v0+at可导出位移公式：x=v0t+ at2
例题精讲
匀变速直线运动的位移与时间的关系
例1.
一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s内的位移是1m，物体在第3s内的位移是（ ）
A．2m B．3m C．5m D．8m
例2.
为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度（轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动），某人拍摄一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度为（ ）
A．1m/s2 B．2.25m/s2
C．3m/s2 D．4.25m/s2
例3.
2015年9月2日，“抗战专列”在武汉地铁4号线亮相，引得乘车市民纷纷点赞．若该地铁列车先从甲站开始做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，通过位移L后，立即做加速度大小也为a的匀减速直线运动，恰好到乙站停下．则列车从甲站到乙站所用时间为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
当堂练习
单选题
练习1.
一个物体在水平直线上做匀加速直线运动，初速度为3m/s，经过4s它的位移为24m，则这个物体运动的加速度等于（ ）
A．1.5m/s2 B．2m/s2
C．4m/s2 D．0.75m/s2
练习2.
小球以某一较大初速度冲上一足够长光滑斜面，加速度大小为5m/s2则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是（ ）
