直角三角形全等判定HL(全国优质课)

，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD，理由如下： ∵∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ ADB和Rt△ADC中, AB=AC AD=AD ∴Rt△ADB ≌Rt△ADC (HL)
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回 顾 与 思 考
SAS 。 1、判定两个三角形全等方法， SSS ， ASA ， AAS ， 2、如图，AB⊥BE于B，DE ⊥BE于E， 全等 （1）若 ∠A= ∠D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF ______, ASA （填“全等”或“不全等”）根据________. 全等 （2）若 ∠A= ∠ D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF_____ AAS （填“全等”或“不全等”）根据_________. （3）若AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△DEF 全等 （填“全等” SAS 或“不全等”）根据________ （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF 全等 （填 “全等”或“不全等”）, SSS 根据_______ A F C D2 E
A
{
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
B
P D
C
{
∴△ABC≌△DEF (ASA)
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
求证： △ABC≌△A’B‘C’
A(A′)
A A′
C
B
C′
B′
B
C(C′)
B′
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直角三角形全等的条件
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”定理 或“HL”
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斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
BC=
AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA ) BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)
A
(3) AB=DE,BC=EF ( HL
AB=DE (4) AC=DF, ______ ( HL )
)
C
D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS ) E
情况2：全等 ( HL)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
情况3：不全等
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5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.
不一定全等
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例1
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中
C
A
N
△ABC就是所求作的三角形.
5
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比 看，这些直角三角形有怎样的关系呢？
B
5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
B C Rt△ABC≌ Rt △ A ′′′
7
已知：如图，在△ABC和△A’B‘C’中， ∠ACB=∠A‘C’B‘=90°，AB=A’B‘，AC=A’C‘
3
∴AD⊥BC （垂直定义）
已知线段a=4cm、c=5cm,利用尺规作 一个Rt△ABC,使∠C=900 ，CB=a， AB=c.
4cm
5cm
4
按照下面的步骤做：
⑴ 作∠MCN=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
M B
M
C
N
C ⑷ 连接AB. M B
N
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧， 交射线CN于点A; M B C A N
F
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在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直 线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且 AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他 条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请 予证明，若不是请说明理由．
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如图，有两个长度相同的滑梯，左 边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜 角∠ABC和∠DFE的大小有什么关 系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
5、已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC
AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
{
A
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
分析： △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ
小结
P D
C
E
Q
F
小结
拓展
一般三角 形全等的 判定
“SAS”“ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ “ SAS “ ASA ” “ AAS ” SSS ” “ HL ” ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
把下列说明 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或 根据补充完整.
BD＝CD
∴ △BED≌△CFD(H.L) (2)证明 ：
(第 1 题)
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2.如图，AC＝AD， ∠C＝∠D＝90°， 求证： BC＝BD
证明:∵ ∠C＝∠D＝90° ∴ △ABC与△ABD都是直角三角形 在Rt△ABC与Rt△ABD中 AB=AB（公共边）
AC=AD
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（H．L．） ∴BC=BD(全等三角形对应边相等）
P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
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作业
课堂作业：随堂练习 课后作业：练习册同步内容。
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A B B A B C A D
D
C
A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
练习
1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足， DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD． (2)求证：△ABC是等腰三角形。
(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF
B
4.已知：如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD 是连结A与BC中点D的支架.求证：AD⊥BC
A
证明:在△ABD与△ACD中
2 1
（公共边） B D ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴∠1 = ∠2 （全等三角形的对应角相等）
C
∴∠1 =
1
∠BDC=900 （平角定义） 2
证明两直线垂直或一个角是 直角,可转化为证该角和它的 邻补角相等
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( ASA)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( SAS)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 不一定全等
情况1：全等 (SAS)
∴ BD=CD
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4、已知,如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC 求证：AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥BD ∴∠ABD=∠CDB=900 在RtABD和RtCDB中， ∵AB=CD,(已知) ∠ABD=∠CDB=900 BD=DB(公共边) ∴RtABC≌RtBAD（S.A.S.)
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变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
B P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A