12.2_三角形全等的判定(HL)

A
A′
口答：
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等， 这两个直角三角形全等吗？为什么？ 答：全等，根据AAS 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相 等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 答：全等，根据ASA
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
课本43页练习1题
证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A和∠B都是直角。
又∵C是AB的中点， ∴AC=BC
D A E B
∵C到D、E的速度、时间相同， C ∴DC=EC 在Rt△ACD和Rt△BCE中， AC=BC DC=EC ∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB （全等三角形对应边相等）
A B
Ｒｔ Ｒｔ ∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ） ∴ＡＥ＝ＤＦ
已知∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？ 写出这些条件，并写出判定全等的理由。
（ 1） AD=BC BD=AC （
（ 2）
（ 3） （ 4）
（
HL ） HL ） AAS ） AAS ）
D C
∴BC=AD（全等三角形对应边相等）
练习1：如图，C是路段AB的中点，两人从 C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线 行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB， EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？ 为什么？ D 实际问题 数学问题 CD 与CEwenku.baidu.com相等吗？ A
①ＡＣ＝ＢＣ ②ＣＤ＝ＣＥ
C B
E
E
D
C
F
A
两个角和其中一个角的 对边对应相等的两个三 角形全等。（简写成 B “角角边”或“AAS”）
E
D
C
F
思考：
B
A 如图，△ABC中，∠C =90°，
C
BC 、_____ AB 。 直角边是_____ AC ，斜边是______
我们把直角△ABC记作 Rt△ABC。
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对 直角三角形是否适用？
练习2：如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF.求证AE=DF.
C ∵ＣＥ=ＢF ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
D
F
A
E
B
课本43页练习2题
练习2 如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。 又∵ＣＥ=ＢF D C ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。 F E 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中 ＣF＝ＢE ＡＢ＝ＤＣ
D
B
C
E
F
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画 一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画一画 ⑴ 作∠MC´N=90°; B
A
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC;
⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. 现象： 两个直角三角形能重合。 说明：
旧知回顾
我们学过的判定三角形全等的方法：
SSS SAS
ASA AAS
A
B
D
C
三边对应相等的两个三 角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”）
E F
A
两边和它们夹角对 应相等的两个三角 B 形全等。(简写成 “边角边”或“SAS”）
E
D
C
F
A
两角和它们的夹边 对应相等的两个三 B 角形全等。(简写成 “角边角”或“ASA”）
∠ DAB= ∠ CBA （ ∠ DBA= ∠ CAB （
A
B
巩固练习
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD平分EF
B
A
E
F G
C
D
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
你能帮工作人员想个办法吗？
A D
B
C
E
F
情境问题1:
A
∠B=∠F=Rt ∠
D
B
C
E
F
①若测得AB=DF，∠A=∠D， 则利用 A SA 可判定全等； 则利用 A AS 可判定全等； ②若测得AB=DF，∠C=∠E， 则利用 A AS 可判定全等； ③若测得AC=DE，∠C=∠E， ④若测得AC=DE，∠A=∠D， 则利用 A AS 可判定全等； ⑤若测得AC=DE，∠A=∠D，AB=DE， 则利用 S AS 可判定全等；
1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一 般三角形的判定全等的方法，而且还有直角三 角形特殊的判定方法----“HL” 2.两个直角三角形中，由于有直角相等的隐含 条件，所以只须找两个条件即可（两个条件中 至少有一个条件是一对对应边相等）
（HL）
通过刚才的探索，发现工作人员 的做法 是完全正确的。
例：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. D 求证：BC=AD.
（课本）
C
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C=∠D=900
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
A
B
AB=BA AC=BD ∴Rt△ABC≌ Rt △BAD （HL）
想想：BD平分EF吗?
B
E
A F G
C
D
联系实际 综合应用 如图，有两个长度相同的滑梯， 左边滑梯的高度AC与右边滑梯 水平方向的长度DF相等，两个滑 梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大 小有什么关系？
议一议
∠ABC+∠DFE=90°
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
情境问题2:
A D
B
C
E
F
工作人员只带了一条尺，能完成 这项任务吗？
情境问题2:
工作人员是这样做的，他分别测量了没有 被遮住的直角边和斜边， 发现它们对应相等， 对于两个直角三角形，若满足 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。 一条直角边和一条斜边对应相等时， 你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
C N A A ´´
∟ ∟
´ M BB ´
C´ ´
三角形全等判定定理5
A A´
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 (简写为“斜边、直角边”或“HL”。)
∟
∟
B
C
B´
C´
几何语言： ∵在Rt △ABC和Rt△A´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´ Rt △ABC ´B´C´ ∴ Rt ≌ Rt△ARt