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【VIP专享】第十九次课 正定二次型9

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正定二次型

正定二次型

正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。

在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。

正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。

设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。

如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。

二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。

这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。

2. 正定二次型的特征值全为正数。

设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。

由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。

因此，正定二次型的特征值全为正数。

3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。

正定二次型可以通过配方法化简为标准型。

化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。

正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。

4. 正定二次型的零空间只包含零向量。

设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。

三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。

1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。

对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。

通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。

2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。

协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。

正定二次型

正定二次型

解: 用特征值判别法. 用特征值判别法. 二次型的矩阵为
2−λ 令 A − λE = 0 −2 0 4−λ 0
2 0 − 2 A = 0 4 0 , − 2 0 5
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
−2 9 =0 5−λ ⇒ λ1 = 1, λ 2 = 4, λ 3 = 6.
可见A不是负定的，也不是正定的. 可见A不是负定的，也不是正定的.
正定矩阵的简单性质
定阵 为正定阵， 也为正定阵.
T −1 ∗
均为正定阵， 也为正定阵. 2. 若 A, B 均为正定阵，则 A + B 也为正定阵
思考题
设A, B分别为 m 阶, n阶正定矩阵 , 试判定分块 A 0 矩阵C = 是否为正定矩阵 . 0 B 解 C是正定的. T T T 因为, 设 z = ( x , y )为m + n维向量 , 其中x , y分 别是m 维和n维列向量 , 若z ≠ 0, 则x , y不同时为零向
例如
f ( x , y) = x 2 + 4 y2 f ( x , y, z ) = x + 4 y
2 2
正定二次型 为正定二次型 半正定二次型 为半正定二次型 负定二次型 为负定二次型
2 2
f ( x1 , x2 ) = − x − 3 x
2 1
2 1
2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) = − x − 3 x
⇔
a12 M > 0. > 0 , L, A = M a22 an1 L ann
a11 L an1
判别二次型是否正定. 例1 判别二次型是否正定

正定二次型及正定矩阵.ppt

正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

正定二次型

正定二次型

§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。

如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。

正定二次型和正定矩阵.ppt

正定二次型和正定矩阵.ppt
特征值都是负数.
6
6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
E A 6
2 2 2 2
6
2
2 0 7
5
0
0 2 7 2
5
0
7
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
15
定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与
负单位矩阵
En
合同.
16
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵 A (aij )nn , 则其前s行前s列元素组成的行列式 As | aij |ss , s 1, , n 称为A的顺序主子式.即
a11 A1 (a11 ), A2 a21 a11 a12 , A3 a21 a22 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 ,
2
例
f ( x1 x2 ) x x 2 x1 x 2 x 正定二次型,
2 2 2 2 1 2 2
1 1 Af 正定矩阵; 1 2 2 2 2 g ( x1 x2 )2 x2 x1 2 x1 x 2 x2 负定二次型, 1 1 Ag 负定矩阵; 1 2 1 0 h x x 不定二次型.Ah 不定矩阵. 0 1
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.

正定二次型

正定二次型

从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零， 式全大于零，
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的，那么二次 为正定的，
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的， 因实二次型 f = X T AX为正定的，所以对
任意的 X ≠ 0，均有 X T AX > 0， i 于是， 于是，取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ，
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理（惯性定理） 定理（惯性定理） 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .

【VIP专享】线性代数 5-5二次型的正定性9


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3. 定理：An×n实对称，则
(X TAX正定)
A 正定
A的正惯性指数p＝n,即 A ; E.
存在可逆阵P,使A(=PTEP)= PTP
A的特征值1, 2 ,L全, 为n 正数.
A的n个顺序主子式均为正值.
推论: A=(aij)n×n正定
(1) aii >0
a11 K a1k (2) Pk det A(1, 2,L , k) M O M
ak1 L akk
称为A的第k 阶顺序主子式.
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（3） k 级行列式
a a L i1i1
i1i2
Qk
ai2i1 L
ai2i2 L
L L
a a L iki1 iki2
ai1ik ai2ik L
2. n元实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 正定 秩 f ＝n＝ p（ f 的正惯性指数）.
证：设 f ( x1, x2 ,K , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形：f ( x1, x2 ,K , xn ) d1 y12 d2 y22 L dn yn2
由于 f正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x22 3 x32 为半正定二次型
而 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 x32 为不定二次型.
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注：正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn )的标准形为：
d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , di 0, i 1, 2,L ,n

线性代数 正定二次型 ppt课件


, a110,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a11 a1r
1r
0, r1,2, ,n.
ar1 a判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
推 论 1 二 次 型 正 定 的 充 要 条 件 是 它 的 标 准 型 为
fX = y 1 2+ y 2 2+ y n 2
推论2 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 a1n
P205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明: 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵,且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P 205 ex 2 设 A 为对称矩阵，证明当 t充分大时， tI A 是正定矩阵。 证明：因为 A为对称矩阵， A可对角化，存在可逆 矩阵 P，使得，
奇数阶顺序主子式为负而偶数阶顺序主子式为正即判别二次型xzxy22211211大家学习辛苦了还是要坚持大家学习辛苦了还是要坚持继续保持安静继续保持安静是a的特征值gx为任一多项式则g是ga的特征值

线性代数 正定二次型ppt课件

2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x

n
ki
y
2 i

0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.

P
1



P

n

n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结

正定二次型


A 负定与 ( - A )正定是等价的. 所以实对称矩 阵 A 负定的充要条件是 A 的奇数阶顺序主子式都
小于零，A 的偶数阶顺序主子式都大于零.
例 5 判别二次型
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 5 x 6 x 4 x
2 1 2 2
2 3
4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性.
解
二次型的矩阵为
1 1 1 2 0 3 1 3 , 2 0 9 6 1 3 6 19
它的顺序主子式分别为
P 1 | 1 | 1 0,
1 1 P2 2 0, 1 3
1 P3 1 2 1 2 3 0 0 9
的正定性.
四、正定矩阵的应用举例
在本节的最后，我们来看一个正定矩阵的简单 应用.
例 6 设 A 为 n 阶正定矩阵，X=(x1, …, xn)T ,
X Rn , b 是一固定的实 n 维列向量. 证明：
X T AX p( X ) X Tb 2
在 X0 = A-1b 处取得最小值，且 pmin
f ( x1, x2 , x3 ) x x x x1x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
2. 顺序主子式法
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个
二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或
规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入
定义 10.4.2(1) 子式
T
O ann
G O
1
En 1 G . T G a nn
再令
En1 G , C2 O 1
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二次型 f X T AX 经过可逆线性变换X CY， 化为标准形的过程 寻找一个与对称矩阵A 合同的对角矩阵B CT AC, 且二次型 f 的秩不变.
注意：
1. 二次型 f 的矩阵 A 必为对称矩阵. 2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.
设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:
定理
二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x≠0， 都有 f(x) = xTAx >0. (注：书上以后者为定义)
证
设 f ( x) xT Ax
x Cy C 可逆
k1 y12 k2 y22 kn yn2
必要性：设 f 正定，即 ki 0(i 1,2, , n) 对任意x≠0，则 y C 1 x 0，故
惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩
和正惯性指数唯一确定。
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2
c21 y1 c22 y2
c2n yn
,
记C (cij),
x Cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
f
k1 y12
k
p
y
2 p
我们重点讨论正定二次型(正定矩阵).
定理 ( 霍尔维茨定理 )
对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子 式全为正，即
a11 0,
a11 a12 0, a21 a22
,
a11 a1n
0
an1 ann
总结: 二次型 f(x) = xTAx 为正定二次型(A为正定矩阵) f ( x) xT Ax 0 ( x 0)
i ( A) 0
A C TC (C可逆) A的各阶顺序主子式 0
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
解
5 2 4
f 的矩阵为 A 2 1 2,
4 2 5
它的各阶顺序主子式
k
p1
y
2 p1
kr yr2
(ki
0)
yi
1 ki
zi
yi zi
i 1,2, , r i r 1, , n
D Diag( 1 , 1 1 ,1 1)
k1 k2
kr
Y DZ
f X T AX Y TCT ACY Z T DT CT ACDZ
推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述)
Ep
n阶实对称矩阵A合同于
-E r-p
，其中r是A的秩，
0
p是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计）
正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等. 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定.
思考并回答 (1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的 秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有 何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角 元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？
(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二 次型的规范形是什么？
思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩 阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？
定义 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，
则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标 准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为 负定矩阵。
f
k1 y12
k
p
y
2 p
k
p1
y
2 p1
kr yr2
(ki
0)
(思考为什么一定可化为上面形式？)
再做一次可逆的线性变换
思考：在可互化的二次型
yi
1 ki
zi
yi zi
i 1,2, , r
中最简单的是什么？在对 称矩阵合同等价类中最简 单的矩阵是什么？
i r 1, , n
则 f 化为
f
z12
z
2 p
z
2 p1
zr2
定理6.12(惯性定理) 任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn) = xTAx
总可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形
f
(z1,z2,
,zn )
z12
z22
z
2 p
z
2 p1
zr2
其中r是二次型f的秩， p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（
f ( x) k1 y12 k2 y22 kn yn2 0
充分性：反证。如果有某个 ki 0 ，取 x Cei 0
f ( x) eiT (CT AC )ei ki , 与 ki 0 矛盾。
定义6.13 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正 (秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩 阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定 二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵. 显然，如果 f 负定，则 – f 正定. 定义6.14 设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x， (1) 恒有f(x) ≥0 ，则称实二次型f(x) 是半正定的； (2) 恒有f(x) ≤0 ，则称实二次型f(x) 是半负定的.
定义6.10（二次型标准形）只含平方项的二次型
fkn
x2 n
k1 [x1, , xn ]
称为二次型的标准形(或法式)。
x1
kn xn
平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形
f
x2 1
x
2 p
x2 p 1
x2 r
称为二次型的规范形。（见书第五节二次型的规范形）
以上说明：
重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数
计），且规范形是唯一的. 证明略
二次型的标准形中正项个数称为二次型的
正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.
设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则
负惯性指为 r – p . f 的规范形为
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
正定二次型为 f ( x) xT Ax
化标准形 k1 y12 k2 y22 kn yn2 (ki 0) 化规范形 z12 z22 zn2
正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位 矩阵合同的对称矩阵。
A CT EC CT C (C可逆)
显然，如果 f 负定，则 – f 正定，以后只需讨论正定二 次型(正定矩阵)。