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经济学的数学工具教学-第四章 二次型和正定矩阵

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线性代数 二次型与正定矩阵

线性代数 二次型与正定矩阵

0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

第四章3二次型及其标准型4正定二次型

第四章3二次型及其标准型4正定二次型

y 2
, ,
y n
)
d2
y 2
,
d n
y n
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
10
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 C AC B , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同，记为A B.
性质：①反身性
②对称性
等价
③传递性
因此，化二次型为标准型的问题就转化为如何使实对称 矩阵合同于一个对角阵的问题。
z
0
0 1 2 t Qt
0 1 6 0
则得
f 2z12 2z22 6z32 t12 t22 t32
24
而此标准形对应的可逆变换矩阵为
1 1 3 1 2 0
C2 C1Q 1
1
1
0
0
0 0 1 0 1 6
1 2 1 2
0
36 1 6 16
1 2 1 2
0
例：求二次型 f 的矩阵，并求二次型 f 的秩。
f ( x1, x2 , x3 ) x12 3 x32 4 x1 x2 x2 x3
解：
1 2 0
A 2 0
1
2
0
1
3
2
f 的秩=R(A)=3.
例：求二次型 f 的矩阵A：f ( x1, x2 , x3 ) x12 4x1x2 3x22.
1 1
16
1 2
P
1
2
0
1 1
6
3
1
1 6 2
1
,
3
1
P 1 AP
P AP
1
2
6 3
f y12 y22 2 y32

正定二次型和正定矩阵.ppt

正定二次型和正定矩阵.ppt
24
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.

正定二次型及正定矩阵.ppt

正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

数学中的二次型和正交矩阵的应用

数学中的二次型和正交矩阵的应用

数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。

其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。

一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。

二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。

在矩阵理论中，二次型的概念很重要。

它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。

当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。

当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。

当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。

这些性质在数学和物理中都有很多应用。

二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。

正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。

例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。

这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。

正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。

也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。

这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。

三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。

例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。

第四章 二次型和正定矩阵

第四章 二次型和正定矩阵

• 求特征向量
求解方法：将下列两式联立求解
( A i I )x 0
•
xx 1
•
例
求矩阵
A


2 2
2 1
特征向量的规范正交向量组。
已知A的两特征值为1 0 和2 3
1 0
由(A 1I )x 0 得到 Ax 0
即
2 2
2 1

1 1 3
故 A为半负定
• 定义 关于问题2，我们有如下定义：
（i）矩阵 A为正定的，如果对于所有非零实向量x ，xAx 0 （ii）矩阵A 为半正定的，如果对于所有实向量x ，xAx 0 （iii）矩阵 A为负定的，如果对于所有非零实向量 x ，xAx 0 （iv）矩阵 A为半负定的，如果对于所有实向量x ，xAx 0
i1 j1
a21x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn an1xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
其中 x1, x2 ,K , xn代表变量而aij 为常数 矩阵表示法：
xAx
常要求 A 为对称矩阵。
•例
二次型
8x12 3x1x2 6x1x3 4x22 5x2 x3 2x32
B I C1AC C1C
C1( A I )C 1 AI C
C
AI
因此B I 0 和 AI 0是同一方程。
• 幂等矩阵 定理 幂等矩阵的特征值为1或0。 证明 令A为幂等矩阵，考虑
Ax x
A2x Ax 2x
上下两式想减可得
2 2，A
2 5
0 1(1)33 1
2 1(5 4) 1

线性代数6.6 二次型与正定矩阵

线性代数6.6 二次型与正定矩阵

| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn


= ෍ ෍ ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵

5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵二次型是矩阵与向量的一种重要的数学结构。

它在数学分析、线性代数、凸优化等领域中有广泛的应用。

本文将介绍二次型的基本概念、性质以及与正定矩阵的关系。

首先，让我们来定义什么是二次型。

给定一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)和一个n*n的实对称矩阵A=(aij)，则二次型定义为：Q(x) = x^T * A * x = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + ... + 2an-1,nxn-1在二次型的定义中，对角线上的元素表示各个变量的平方系数，非对角线上的元素表示各个变量的二次交叉项系数。

观察定义可以发现，二次型是关于向量x的一个二次多项式函数。

接下来，我们将讨论二次型的一些重要性质。

首先，由于实对称矩阵的性质，二次型矩阵A一定是一个对称矩阵。

其次，二次型的零空间是通过矩阵A的特征向量所确定的。

若向量x是特征值λ对应的特征向量，则有A*x = λx，代入二次型的定义中得到Q(x) = λx^T * x = λ||x||^2，其中||x||表示向量x的范数。

由此可知，当特征值λ>0时，二次型的取值结果总是大于0，当特征值λ<0时，二次型的取值结果总是小于0。

因此，我们可以得出结论：若二次型的所有特征值均大于0，则该二次型为正定二次型；若所有特征值均小于0，则该二次型为负定二次型；若特征值中既有正数又有负数，则该二次型为不定二次型。

正定矩阵是与正定二次型联系密切的概念。

正定矩阵是指所有主子矩阵的行列式都大于0的矩阵。

而正定二次型则是指对于任意非零向量x，都有Q(x)>0成立的二次型。

可以证明，正定二次型与正定矩阵是一一对应的关系。

也就是说，如果一个二次型的矩阵A是正定矩阵，那么这个二次型就是正定二次型；反之亦然。

正定矩阵具有一系列重要的性质。

首先，正定矩阵的特征值都是正数。

这是因为正定矩阵的二次型取值结果都大于0，由前述性质可知特征值必为正数。

二次型,正定二次型

二次型,正定二次型

( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵
（matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a X AX ( x1 , x2 ,..., xn ) 21 a n1
a12 a22 an 2
... ... ...
§5.1 二次型及其矩阵表示
positive definite quadratic form
正定二次型
判定方法
1. 特征值法:对称矩阵A正定的充要条件是A的特征值全大于0。
2. 化标准形法:将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为正。 3. 定义法: 用正定矩阵的定义进项判定。 4. 顺序主子式法:对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式 全大于0。 5. 惯性指数判别法:一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其 中1的个数p称为正惯性指数 6. 合同法：实对称矩A正定的充要条件是A与单位矩阵E合同。
定义法
均是正定矩阵。 证明： 对任意的 x 0 ,
T T x Ax x Bx 0 x A B x
T
, 为n维向量 y , 其中 对任意的2n维 y 0 , 记 由 y 0 可得 0 或 0 故
故A B是正定矩阵。
1
由 C 1可逆矩阵可知道 y 0 ;又
T 1 T 1 x C C A CC x f x Ax T 1 C x C T AC C 1 x yT By 0 .
T
T
故
f xT Ax 是正定的。
T
f ( x1, x2 ,, xn ) x Ax
2 当 t 0 , t 2 1 0, t 1 (t 2) 0 即 t 2 时二次型是正定的

d第四章 二次型和正定矩阵

d第四章 二次型和正定矩阵

x′Ax = y′Q′AQy = y ′Dy
{λ δ }
j ij
其中 为对角矩阵 引言所提第二个问题，我们有如下定理： 引言所提第二个问题，我们有如下定理： A x′Ax定理 的每个特征值都为正（ （i）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二 次型
A 的所有特征值都非负（非正） （ii）当且仅当 ii） 的所有特征值都非负（非正）且至 少一个为零时， x′Ax 为半正（半负） 少一个为零时，二次型 为半正（半负）定 A iii） 的特征值有正有负时， x′Ax （iii）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不定 例 2 2 A 的特征值为0和3， 的特征值为0 A= 2 1 故 为半正定的，因此 为半正定的，
B = C −1 AC
定理 如果A 是相似矩阵，其具有相同的特征值。 如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 相似， 令A和B相似，考虑
B − λ I = C −1 AC − λ C −1C
= C −1 ( A − λ I )C
= 1 A − λI C C
= A − λI
B− 因此 λ I = 0 同一方程。 同一方程。
定理 如果A为对称矩阵， 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量 正交。 正交。
• 证明 λi λ j 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 是两个不同特征值， 令 xi x j 和 。那么有 Ax j = λ j x j Axi = λi xi x′j 分别左乘 xi′ 和 ` ，有
第8节 另一种方法：运用行列式
• 定义
A
的顺序主子式为
a11 a12
a11 a12 a13
a11 ，a21 a22 a23 a21 a22 a31 ， ， 。 a32 a33

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，它与正定矩阵有着密切的联系。

本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。

一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式，其中每一项的次数都是2。

一个一般的二次型可以表示为：Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量，a_ij 是实数系数，对于所有的 i 和 j 都成立。

简单来说，二次型就是一个多项式，其每一项的次数都是 2。

二次型可以用矩阵的形式表示：Q(x) = x^TAx其中，A 是一个 n×n 的实对称矩阵，其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。

二、二次型的性质1. 对称性：二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵，即 a_ij = a_ji。

这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。

2. 齐次性：对任意非零实数 k，有 Q(kx) = k^2Q(x)。

这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。

3. 加法性：对任意两个 n 维向量 x 和 y，有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。

这意味着二次型具有线性特性。

4. 正定性与负定性：一个二次型 Q(x) 是正定的（positive definite），如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) > 0。

类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有 Q(x) < 0，那么二次型就是负定的（negative definite）。

如果既存在正值又存在负值的向量 x，那么二次型就是不定的（indefinite）。

5. 非负定性与非正定性：如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) ≥ 0，则二次型是非负定的（nonnegative definite）。

类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有Q(x) ≤ 0，那么二次型是非正定的（nonpositive definite）。

正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法

正定二次型和正定矩阵的概念判别二次型或矩阵正定的方法
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
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例17 判别二次型
f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz
的正定性。
解
f 的矩阵是
5 A 2
2 6
2 0 ,
2 0 4
A 的各阶主子式为：
a11
5
0,
a11 a21
A 80 0,
a12 5 a22 2
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正，
则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A
是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形
中的正平方项个数判断;
上页
返回
a12 1 a22 1
1 1 0,
0
112
A 1 0 0 1 0,
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
上页 下页 返回
例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，
则C TAC是正定的。
证
有f 由x 从而
0x及T A因Cxf为可A逆0x为,T,作得A正xxy定，yCC所Ty(1,以Cx则T对fA任0C, 意)yyTx(C0T,0A, C
上页
返回
第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
)

[全]线性代数之正定二次型和正定矩阵的判定方法总结[下载全]

[全]线性代数之正定二次型和正定矩阵的判定方法总结[下载全]

线性代数之正定二次型和正定矩阵的判定方法总结
正定二次型和正定矩阵的知识点：
正定二次型的定义：
正定二次型的定义
正定二次型的判定方法：
正定二次型的判定方法
题型一：正定型的判别
例1：
解法一：写出二次型对应矩阵A，并用A的全部顺序主子式大于0判别。

利用顺序主子式大于0进行判别
解法二：二次型为正定二次型当且仅当A的全部特征值大于零。

利用矩阵的特征值大于零进行判别
题型二：已知二次型为正定二次型，求参数的取值范围。

解题思路：二次型为正定二次型当且仅当矩阵A对应的顺序主子式全大于零。

解：
题型三：正定二次型的证明
例3：已知n阶矩阵A是正定矩阵，证明A的伴随矩阵也是正定矩阵。

总结：n阶矩阵A正定时，与A有关的如下矩阵也是正定矩阵：。

§4 正定二次型

§4 正定二次型
A = −1 0 , A = 1 > 0 0 −1
A = C ′C = C > 0.
2
(
)
不是正定二次型 正定二次型. 但 X ′AX = − x12 − x2 2 不是正定二次型
4、顺序主子式、主子式 顺序主子式、
n×n 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
、
a11 K a1k k ×k 1) A(1,2,L , k ) = M O M ∈ R a L a kk k1
ai1i2 a i2 i 2 L a ik i2
L L L L
ai1ik a i2 ik L a ik ik
即行指标与 列指标相同 的k阶子式 阶子式
称为A的一个 主子式. 称为 的一个k 阶主子式. 的一个
5、（定理6） 、（定理6 定理
实二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∑∑ aij xi x j = X ′AX 正定
规范形为
z12 + z2 2 + L + zn 2 .
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X ′AX 定义： 为实对称矩阵，
是正定的，则称A 正定矩阵. 是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
与单位矩阵E合同. 1）实对称矩阵A正定 ⇔ A与单位矩阵E合同. 实对称矩阵A
Q 正定二次型的规范形为z12 + z2 2 + L + zn 2 = Z ′EZ 实对称矩阵A正定 2) 实对称矩阵 正定
(i )
f ( X 0 ) = d i xi2 > 0, 则
∴ d i > 0, i = 1,2,L , n
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性. ）非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证明： 证明：设正定二次型 f ( x1 , x2 ,K , xn ) = X ′AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 ＝
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2，A
25
01(1)331
2 1(54)1
2 6
25
0 11
这些顺序主子式符号交替变化，其第一个为负，则A 为负 定矩阵。
• 定义
A n n的主子式为A 剔除同号行列后形成的子方阵的行列式 定理
令 A 为对称矩阵，则
（i）当且仅当所有的主子式大于等于零时，其为半正定。
（ii）当且仅当所有奇阶数主子式小于等于零而所有的偶 阶数主子式大于等于零时，其为半负定。
2 1
特征向量的规范正交向量组。
已知A的两特征值为 1 0 和 2 3
1 0
由(A1I)x0得到 Ax 0
即
2 2
2 1
x1 x2
0
由方程可得 x2 2x1，那么 作为特征向量x我12们x2 2取1 3x121 x113
x1
1 1
3 2
2 3
即 x1
由 (A2I)x0可得
ij
0 1
i j i j
如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。
• 证明
令 i 和 j 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 x i 和x j。
那么有
Axi i xi
Axj j xj
分别左乘x j 和 x i ，有
xjAxi ixjxi xiAxj jxixj
由于x j x i 是数量，(xjxi) xixj，同理，(xjAxi)xiAxj x j A xi
• 定义 关于问题2，我们有如下定义：
（i）矩阵 A 为正定的，如果对于所有非零实向量x ，xAx0 （ii）矩阵A 为半正定的，如果对于所有实向量x ，xAx0 （iii）矩阵 A 为负定的，如果对于所有非零实向量 x ，xAx0 （iv）矩阵 A 为半负定的，如果对于所有实向量x ，xAx0
（v）矩阵 A 为不定的，如果对于某些向量x A x 为正，而对 于某些向量x A x 为负。
定理
Q 是正交矩阵
证明 显然
x 1
Q
x 2
x
n
那么 Q Q xixjijI
因此，Q Q1
定理 矩阵Q A Q 为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。 证明
Q A Q ijQ A i Qj
xiAx j
j xix j
j ij
第6节 二次型的对角化
引言所提第一个问题：能否对二次型进行简化？
经济学的数学工具教学-第四章 二次型 和正定矩阵
• 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量， 然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运 用这些知识来判断二次型的正定性，与此 同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、 迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断 二次型正定性的方法，作为特征值方法的 补充。
第一节 引言
个为零时，二次型 x A x 为半正（半负）定
（iii）当且仅当的 A 的特征值有正有负时，二次型 x A x不
定
例
2 A 2
2 1
的特征值为0和3，故 A 为半正定的，因此对
于任意x 1 ，x 2 ，2x12x2 222x1x20
第7节 特征值与 A ，r ( A ) 和t r A
因为
1 0
• 二次型 完整形式：
nn
xiaijxj a11x12 a12x1x2 a1nx1xn
i1 j1
a21x2x1a22x22 a2nx2xn an1xnx1an2xnx2 annxn2
其中 x1,x2, ,xn代表变量而a i j 为常数 矩阵表示法：
x A x
常要求 A 为对称矩阵。
•例
二次型
Axx A2xAx2x
上下两式想减可得
0(1)x
由于x 0 ，则 0 或者 1
第4节 对称矩阵的特征向量
• 定义 向量集 x1,x2, ,xK（两两）正交，如果对于i j ，有xi x j 0
向量x 是标准化的，如果 xx 1
向量组x1,x2, ,xK为规范正交的，如果
定理
xixj
令Q 是列为A的特征向量的规范正交向量组的矩阵。考虑
非奇异替换：
x Q y 或者 y Qx
则 x A x y Q A Q y y D y
其中D 为对角矩阵 j ij
引言所提第二个问题，我们有如下定理： 定理 （i）当且仅当 A 的每个特征值都为正（负）时，二次型
x A x 为正（负）定
（ii）当且仅当 A 的所有特征值都非负（非正）且至少一
而
trQ A Q 1 2 n
trQ A Q trA Q Q trA
则有如下定理：
• 定理
对于对称矩阵 A ，trA 12n
第8节 另一种方法：运用行列式
• 定义 A 的顺序主子式为
a
11
a
，a
1 2
1 1
a12 a 22
a11
，a 2 1
a 31
a12 a13
a 22 a 23 ，
2 x2
1 2
2 2
x1 x2
0 0
标准化条件要求
x12 x22
1，从而
3
x
2 2
1
即
x2
1 3
因此我们取第二个特征向量为
x2
1
3
2
1
第5节 列为对称矩阵特征向量的矩阵
• Q 的列为对称矩阵A特征向量，A的特征值为1, ,n
• Q 的性质
Q(x1, ,xn)
定义
矩阵B是正交的，如果 B1 B
a 32 a 33
，A
。
定理
当 A 为n n对称矩阵，则
（i）当且仅当 A 的n 个顺序主子式都为正时，其为正定矩
阵。
（ii）当且仅当 A 的顺序主子式正负符号交替变化：第一 个为负，下一个为负，依此类推，其为负定矩阵
•例
考虑
1 2 0
A
2 0
6 1
1 1
其顺序主子式为
1 2 0
-1， 1
2
Q A Q
0 n
而
Q Q1 1/ Q
QAQQ AQ1AQA Q
Q AQ12 n
故有如下定理：
对于对称矩阵A A，12 n
1 0
•
r(QAQ)
r
A的非零特征值的个数
0 n
考虑到一个矩阵左乘或者右乘一个非奇异矩阵时，其秩保 持不变，故
定理
对于对称矩阵 A ，r ( A ) 等于其非零特征值的个数
而A对称，故 xiAxj xiAxj，则
0(i j)xixj
由于i j ，则xix j 0
• 定理
如果 i 为K重的特征值，存在着K个对应着 i 的特征向量， 它们和其他特征向量一起构成一个规范正交集。
• 求特征向量
求解方法：将下列两式联立求解
(AiI)x0
•
xx 1
•例求矩阵Fra bibliotekA2 2
8 x 1 2 3 x 1 x 2 6 x 1 x 3 4 x 2 2 5 x 2 x 3 2 x 3 2
用矩阵表示为
8 1.5 3x1
(x1 x2 x3)1.5
4
2.5x2
• 问题1：
3 2.5 2x3
我们能否通过对变量的一些技巧性变换而化简二次型？
• 问题2：
是否存在这样的情况，不论我们为变量赋以何值，二次型 总是取同一个正负号？
例
1 1 1
A
1
1
1
1 1 3
谢谢大家！
第2节 对称矩阵的特征值
• 定义
A为 n n矩阵，A 的特征值是一个数 ，对应存在着一个
非零向量x ，满足： Axx
该向量x 被称为 A 的特征向量。有如下定义式：
(AI)x0
为保证非平凡解的存在，要求
AI 0
一般而言，上式表达的是 的n 次多项式方程：
b 0 b 1 b 22 b nn 0
第3节 特殊矩阵的特征值
• 相似矩阵 定义
令A和B为nXn矩阵。A和B是相似矩阵，如果存在一非奇异 矩阵C使得
定理
BC1AC
如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 令A和B相似，考虑
BIC1ACC1C
C1(AI)C
1 AI C
C
AI
因此BI 0 和 AI 0是同一方程。
• 幂等矩阵 定理 幂等矩阵的特征值为1或0。 证明 令A为幂等矩阵，考虑