线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵

二次型与正定矩阵二次型是矩阵与向量的一种重要的数学结构。

它在数学分析、线性代数、凸优化等领域中有广泛的应用。

本文将介绍二次型的基本概念、性质以及与正定矩阵的关系。

首先，让我们来定义什么是二次型。

给定一个n维向量x=(x1,x2,...,xn)和一个n*n的实对称矩阵A=(aij)，则二次型定义为：Q(x) = x^T * A * x = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + ... + 2an-1,nxn-1在二次型的定义中，对角线上的元素表示各个变量的平方系数，非对角线上的元素表示各个变量的二次交叉项系数。

观察定义可以发现，二次型是关于向量x的一个二次多项式函数。

接下来，我们将讨论二次型的一些重要性质。

首先，由于实对称矩阵的性质，二次型矩阵A一定是一个对称矩阵。

其次，二次型的零空间是通过矩阵A的特征向量所确定的。

若向量x是特征值λ对应的特征向量，则有A*x = λx，代入二次型的定义中得到Q(x) = λx^T * x = λ||x||^2，其中||x||表示向量x的范数。

由此可知，当特征值λ>0时，二次型的取值结果总是大于0，当特征值λ<0时，二次型的取值结果总是小于0。

因此，我们可以得出结论：若二次型的所有特征值均大于0，则该二次型为正定二次型；若所有特征值均小于0，则该二次型为负定二次型；若特征值中既有正数又有负数，则该二次型为不定二次型。

正定矩阵是与正定二次型联系密切的概念。

正定矩阵是指所有主子矩阵的行列式都大于0的矩阵。

而正定二次型则是指对于任意非零向量x，都有Q(x)>0成立的二次型。

可以证明，正定二次型与正定矩阵是一一对应的关系。

也就是说，如果一个二次型的矩阵A是正定矩阵，那么这个二次型就是正定二次型；反之亦然。

正定矩阵具有一系列重要的性质。

首先，正定矩阵的特征值都是正数。

这是因为正定矩阵的二次型取值结果都大于0，由前述性质可知特征值必为正数。

二次型与正定矩阵在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，它与正定矩阵有着密切的联系。

本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。

一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式，其中每一项的次数都是2。

一个一般的二次型可以表示为：Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量，a_ij 是实数系数，对于所有的 i 和 j 都成立。

简单来说，二次型就是一个多项式，其每一项的次数都是 2。

二次型可以用矩阵的形式表示：Q(x) = x^TAx其中，A 是一个 n×n 的实对称矩阵，其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。

二、二次型的性质1. 对称性：二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵，即 a_ij = a_ji。

这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。

2. 齐次性：对任意非零实数 k，有 Q(kx) = k^2Q(x)。

这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。

3. 加法性：对任意两个 n 维向量 x 和 y，有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。

这意味着二次型具有线性特性。

4. 正定性与负定性：一个二次型 Q(x) 是正定的（positive definite），如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) > 0。

类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有 Q(x) < 0，那么二次型就是负定的（negative definite）。

如果既存在正值又存在负值的向量 x，那么二次型就是不定的（indefinite）。

5. 非负定性与非正定性：如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) ≥ 0，则二次型是非负定的（nonnegative definite）。

类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有Q(x) ≤ 0，那么二次型是非正定的（nonpositive definite）。

第6.3节_正定矩阵微积分线性代数一、基本概念定义设A 为实对称矩阵，相应实二次型f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵，对任意非零向量x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有f ( x) 0,正定二次型，称为正定矩阵正定矩阵. 则称f (x) 是正定二次型，A 称为正定矩阵.负定二次型，注：(1)若恒有f ( x ) 0 ,则称f (x) 是负定二次型，(1)若恒有A 称为负定矩阵；称为负定矩阵负定矩阵；半正定二次型，(2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型，A称为半正定矩阵；称为半正定矩阵；半正定矩阵半负定二次型，(3)若恒有f ( x ) ≤ 0 ,则称f (x) 是半负定二次型，A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负不定二次型2微积分线性代数二、正定矩阵、正定二次型的判别正定矩阵、由定义，可得以下两个结论：由定义，可得以下两个结论：( 1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 + L+ dn yn2 2 2正定的充分必要条件是d i 0 .充分性是显然的；下面用反证法证必要性：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：假设某个d k ≤ 0 , yk = 1 ,其余y j = 0 ( j ≠ k ) , 取代入二次型，代入二次型，得 f ( 0, L ,1, L ,0) = d k ≤ 0 ,与二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) 正定矛盾. 正定矛盾.3微积分线性代数(1)二次型f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn 正定2 2 2的充分必要条件是d i 0 .若正定，(2) 二次型x Ax 若正定，经过可逆线性替换x = Cy ,T其正定性保持不变. 化为y ( C AC ) y ,其正定性保持不变.TT是可逆矩阵，这是因为C 是可逆矩阵，只要y ≠ o ,就有x ≠ o ,于是xT Ax 0 , 即y ( C AC ) y 0 .T T由替换的可逆性，正定，由替换的可逆性，若y ( C AC ) y 正定，也可推出正定. x Ax 正定.TTT由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性替将其化为标准形，要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性. 以下定理判别其正定性.4微积分线性代数定理n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它元实二次型系数全都大于零, 的标准形的n 个系数全都大于零,即 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn ,且di 0 . 推论1 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于它的正惯性指数等于n..推论2 元实二次型推论n元实二次型f = x T Ax 正定的充分必要条件是 2 2 2 它的规范为它的规范为 f = z1 + z2 + L+ zn . 准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的特准则实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正全为正. 征值全为正.5微积分线性代数例1 判别二次型2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 x 2 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为1 1 0 A = 12 1 , 0 1 3λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3微积分线性代数λ 1|λE A|= 1 01 0 λ2 1 1 λ 3λ 2 1 0 c1 c2 c3 2 λ λ 2 1 = (λ 2)(λ2 4λ + 1) , 2 λ 1 λ 3求得A 的特征值为2, 2 ± 3 ,全为正，因此二次型正定. 全为正，因此二次型正定.7 微积分线性代数定义设A = (aij ) nn , A的k 阶顺序主子式的是指行列式a11 a 21 | Ak | = L ak 1 a12 a 22 L ak 2 L a1 k L a2k , k = 1,2, L , n. L L L a kk准则2 准则n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的顺序主子式全大于零. 的顺序主子式全大于零.证略. 证略.8微积分线性代数例2 判别二次型2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 4 x1 x 2 4 x 1 x 3 2 x 2 x 3是否正定. 是否正定解二次型对应的矩阵为它的顺序主子式为：它的顺序主子式为：2 2 5 A= 2 5 1 , 2 1 5| A1 | = 5 0 ,5 2 | A2 | = = 21 0 , 2 52是正定的，因此A是正定的，是正定的正定. 即二次型 f 正定.92 | A3 | = 2 5 1 = 88 0 , 2 1 5 5微积分线性代数例3 设有实二次型2 2 f = x12 + 4 x 2 + 4 x 3 + tx1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3取何值时，该二次型为正定二次型？问t 取何值时，该二次型为正定二次型？t 1 1 2 解t 4 2 , f 的矩阵为A = 2 1 2 4 1 顺序主子式为：顺序主子式为：| A1 | = 1 0 , | A | = 2 t | A3 | = | A | = ( t 2)( t + 4) 0 , 2 解得 4 t 2 .t 2 = 4 1 t2 0 , 4 410微积分线性代数三、正定矩阵的性质正定矩阵矩阵，的行列式为正因而可逆. 为正， 1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.因| A | = λ1λ 2 L λ n 0.都是正定阵, 正定矩阵矩阵, 2.若A 为正定矩阵,则AT , A 1 , A , A k 都是正定阵, 其中k 为正整数. 为正整数. 这是因为：这是因为：有相同的特征值；矩阵 A 与它的转置AT 有相同的特征值；1 | A| k k ; λ(A ) = λ(A ) = ; λ ( A ) = [λ ( A)] . λ ( A) λ ( A) 111微积分线性代数正定矩阵矩阵，的主对角元全为正. 3.若A 为正定矩阵，则A 的主对角元全为正.T 因为 f ( x ) = x Ax = 证∑∑ai =1 j = 1nnij正定，x i x j 正定，取x ( i ) = ( 0 ,L ,1 ,L ,0 ) ,则有Tf ( x( i ) ) = aii 0, (i = 0,1,L.n ) .正定矩阵矩阵，也为正定4.若A 和B 为正定矩阵，则A+B ,hA(h0)也为正定也为矩阵. 矩阵. 对任意非零向量x 证对任意非零向量，有T x ( A + B ) x = x T Ax + x T Bx xT ( hA ) x = hx T Ax 0.12微积分线性代数5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P, 逆矩阵，使得 A = P T P . 实际上，实际上，正定二次型的规范形为2 2 2 z1 + z 2 + L + z n , 即A正定的充分必要条件是合同于单位矩阵，正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵正定的充分必要条件是合同于单位矩阵E 即存在可逆矩阵P 即存在可逆矩阵，使A = P T EP = P T P .微积分线性代数6.设矩阵，6.设A 为m × n 矩阵，A 的秩r ( A) = n , A A 为且则正定矩阵. 正定矩阵.T证因为( A A) = A A , 故A A 是n 阶对称矩阵. 阶对称矩阵.T TTT仅有零解，又r ( A) = n ,可知齐次线性方程组Ax = o 仅有零解，所以对任意x ≠ o ,必有Ax ≠ o , 于是x T ( AT A ) x = ( Ax )T ( Ax ) 0 ,为正定二次型，即二次型x ( A A ) x 为正定二次型，即矩阵TTAT A 为正定矩阵. 为正定矩阵.14微积分线性代数类似结论有：类似结论有：阶可逆矩阵, 为正定矩阵. 设A 为n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.T T阶正定矩阵, 设A 为n 阶正定矩阵,P 为n× m 矩阵,且r(P) = mn , × 矩阵, 为正定矩阵. 则P AP为正定矩阵.T显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正半正定) 由此，容易得出以下结论：定(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值微积分线性代数显然，是负定是负定( 的当且仅当- 是正定显然，A是负定(半负定)的当且仅当-A是正定半正定) 由此，容易得出以下结论：(半正定)的.由此，容易得出以下结论：半正定的充分必要条件是的特征值非(1)A半正定的充分必要条件是的特征值非负；半正定的充分必要条件是A的特征值负定的充分必要条件是A的特征值全负(2)A负定的充分必要条件是的特征值全负；负定的充分必要条件是的特征值全负；半负定的充分必要条件是A的特征值非正(3)A半负定的充分必要条件是的特征值非正；半负定的充分必要条件是的特征值非正；(4)A负定的充分必要条件是的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子负定的充分必要条件是式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；负定，的对角元全为负. (5)若A负定，则A的对角元全为负. 负定的对角元全为负注意: .最后一条只是必要条件. 注意: 1.最后一条只是必要条件. 2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的. . 的顺序主子式全非负也未必是半正定的顺序主子式全非也未必是半正定的16微积分线性代数* 例4设矩阵1 1 0 A = 1 1 0 , 0 0 1 显然A的显然的顺序主子式| A1 | = 1 0 , | A2 | =1 11 1= 0 , | A3 | = 1 1 0 = 0 , 1 1 0 0 1但对角元有正有负，显然是不定的是不定的. 但对角元有正有负，显然A是不定的.17微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(1) f 的矩阵为1 2 1 A= 1 6 0 , 1 0 4 顺序主子式2 1 = 11 0 , | A | = 38 0 , 20, 1 6 是负定的. 所以f 是负定的.18微积分线性代数*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 32 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 +3 x 34 x 1 x 2 4 x 2 x 3解(2) f 的矩阵为1 2 0 A = 2 2 2 , 0 2 3 顺序主子式1 2 1 0, = 2 0 , 2 2 定的. 所以f 是不定的.19。