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下面求 A 5E .
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5（矩阵正定的必要条件）
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵，
证明： 因为A正定，所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性：设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性： f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P
1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0
A i I PX 0
PX i
X P 1 i
例3 设A是n阶方阵, 其特征多项式为 f A ( ) E A n a n 1 n 1 a 1 a 0 , 求 : (1)求 AT 的特征多项式; ( 2)当A非奇异时, 求 A1 的特征多项式.
T T . 于是可将 A QQT 写成
2
A QQT QTTQT (TQT )T (TQT )
若记P TQT 则定理得证.
说明 定理3的换个说法是：“实对称矩阵A正定
的充要条件是A合同于单位矩阵 I .”
定理4 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a11 0, 0, , a21 a22 an1 ann 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式 5 2 4 5 2 2 1 2 1 0, 5 0, 1 0, 2 1 4 2 5 故上述二次型是正定的.
是否正定.
第三节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x Cy 及 x Pz 使 及
解 (1) f AT ( ) E AT (E A)T
E A f A ( ),
A与 AT 有相同的特征多项式 .
f A ( ) E A n an1 n1 a1 a0 ,
(2)设 1 , 2 ,, n 是A的全部特征值, 则
习题课
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵, 证明 A E [2 /(aT a )]a aT 为正交矩阵.
证明
先 求 A , 然后根据正交矩阵的定 义验证
T
A AT E . T T T T A [ E ( 2 / a a ) a a ] E ( 2 / aT a )a aT A, AT A AA
即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 2 f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
2 5 2 解 f 的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4
a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
T T T T 2
故得 f 或矩阵 A 正定. 必要性
因为A是实对称矩阵，故必存 在正交阵Q, 使 QT AQ 即 A QQT
其中 diag[1 ,, n ].又因A正定，故i 0,即有
i i , i 1,, n. 若记矩阵T diag[ 1 ,, n ], 则显然成立
f AX f X .
因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值,
所以f ( i )(1 i 3)是 f ( A) A3 5 A2 B的全 部特征值.故
B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 )
( 4)( 6)( 12) 288.
故a(a a) a (a a)(a a ),
T T T T
AT A E [4 /(aT a )]a aT [4 /(aT a )]a aT E ,
故A是正交矩阵.
特别当a a 1时, A E 2a a 是正交矩阵.
T T
例2 设n阶方阵A的全部特征值为 1 , 2 , , n , 属 于 i 的特征向量为 i ,问 P 1 AP的特征值与特征向 量为何？
同理，有“A负定的必要条件是 aii 0.”
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
(1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
1 1 1 , , , 是 2 n A 的全部特征值, 故 A1的特征多项式为 1 1
f A1 ( ) E A1
(
n
1
1
)(
1
2
)(
1
n
)
1 a1 n1 a n1 . a0 a0 a0
1 用特征根计算方阵 A的行列式 A
即A的特征值必然都是正数 ，故A正定.
可逆 定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是存在 矩阵P , 使A P T P . 证明 充分性 因为A P T P , 且P可逆，故对任意 x 0, 必有
Px 0,于是有
f x Ax x P Px ( Px ) Px Px 0
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r yr2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
ki 0, i 0,
则k 1 , , k r 中正数的个数与 1 , , r 中正数的个数 相等. 且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数，
负系数个数称为负惯性指数，
规范形：f y1 y p y p1 yr
2
2
2
2
化标准型
2 2 f 1 z1 2 z 2 r zr2
i 0
为规范型。
f Z T Z，令 Z DY f Y T DT D Y 其中
1 r
2
1 1 D 0 0
2 2
1 r
1 1
f y1 y p y p1 yr
2
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) xT Ax , 如果对任何 x 0,
例1 已知A为n阶实对称矩阵，且满足
A3 6 A2 11A 6I O, 试证明A是正定矩阵.
证明： 设是A的任一特征值，且有 Ax x,
那么由
即
A3 6 A2 11A 6I O, 可得
3 62 11 6 0 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1 或 2 或 3
1
r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例2 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
[ E ( 2 / aT a ) a aT ] [ E ( 2 / aT a ) a aT ]
E [2 / (a a )] a a [2 / (a a )] a aT
T T
T
[4 / (a a ) ]a (aT a ) aT .
T
2
a 0, aT a为一非零数,
(1) f ( x ) 0, 则称 f 是正定二次型，对应的
实对称矩阵A为 正定矩阵. ( 2) f ( x ) 0, 则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵. 显然 f 0 0
例如 f x, y, z x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
