【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(五)函数的定义域和值域 理 新人教A版

2.2 函数的定义域与值域考纲要求1．理解函数的定义域和值域的概念．2．掌握求简单函数的定义域和值域的常用方法．1．求函数定义域的主要依据(1)分式的分母不得为______；(2)偶次方根的被开方数________；(3)对数函数的真数必须________；(4)指数函数和对数函数的底数必须______________．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是____．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为__________；当a ＜0时，值域为__________．(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是________． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域为________．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是____．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是________．(7)y ＝tan x 的值域是____．1．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )． A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－13 B ．⎝⎛⎭⎫－13，13 C ．⎝⎛⎭⎫－13，1 D ．⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 2．函数y ＝2x 5x ＋1的值域为( )． A ．⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≠52 B ．{y |y ≠0} C ．{y |y ≠2且y ≠5} D ．⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≠25 3．函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则k 的取值范围是( )．A ．k ≥0或k ≤－9B ．k ≥1C ．－9≤k ≤1D ．0＜k ≤14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值是__________． 5．(2013届浙江龙游高三考试)已知f (x )＝x 2＋bx ＋2，x ∈R .若函数F (x )＝f [f (x )]与f (x )在x ∈R 时有相同的值域，则b 的取值范围是__________．6．求函数y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤4)的值域．一、求函数定义域【例1】求下列函数的定义域：(1)f (x )＝x 2－5x ＋6＋(x －1)0x ＋|x |的定义域．(2)求函数y ＝2x －x 2ln (2x －1)的定义域． (3)已知函数f (x )的定义域是(a ，b )，求函数F (x )＝f (3x －1)＋f (3x ＋1)的定义域． 方法提炼1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值构成的集合．2．实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式的意义，还要看其实际意义．3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何关系，进而求解．请做演练巩固提升1二、求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝4x 2－4x －5； (2)y ＝－x ＋1－2x ；(3)y ＝x －3＋5－x .方法提炼求函数值域或最值的常用方法：①观察法；②换元法；③配方法；④根据单调性，求出函数的值域；⑤不等式法；⑥导数法(导数部分深述)；⑦判别式法；⑧数形结合法．注意：(1)“求值有法，法无定法”，即求最值的方法多种多样，要根据实际情况选择恰当的方法来解决，不可生搬硬套；(2)求函数值域或最值，一定要注意到定义域的范围；(3)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．请做演练巩固提升3三、函数定义域、值域的综合应用【例3】已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有__________个．方法提炼1．对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．2．若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．请做演练巩固提升5转化化归思想的巧妙应用【典例】(2012全国高考)设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数．由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.答案：2答题指导：1．本题考查求函数最值，分式最值首先考虑分离常数，化简为部分函数为奇函数，而无需求出各自最大、最小值．2．平时求解函数问题时，应从函数的性质、单调性、奇偶性、周期性入手．1．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为( )． A ．[－4,1] B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x ＋4x，且当x ∈[－3，－1]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是( )．A ．13B ．23C ．1D ．433．函数y ＝16－4x 的值域是( )．A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)4．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )．A ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫－94，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有__________个．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)零 (2)不小于零 (3)大于零 (4)大于零且不等于12．(1)R (2)⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≤4ac －b 24a (3){y |y ≠0} (4){y |y ＞0} (5)R (6)[－1,1] (7)R基础自测1．C 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，3x ＋1＞0， 解得－13＜x ＜1. 2．D 解析：y ＝25－25(5x ＋1)， ∵25(5x ＋1)≠0，∴y ≠25，答案为D. 3．B 解析：∵kx 2－6x ＋k ＋8≥0恒成立，k ≤0显然不符， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝36－4k (k ＋8)≤0，解得k ≥1，选B. 4．195．b ≤－2或b ≥46．解：∵y ＝－(x －2)2＋2,1≤x ≤4，∴当x ＝2时，y max ＝2，当x ＝4时，y min ＝－2.∴所给函数的值域为 [－2,2]．考点探究突破【例1】解：(1)由函数解析式有意义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6≥0，x －1≠0，x ＋|x |＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2或x ≥3，x ≠1，x ＞0⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2或x ≥3. 故函数的定义域是(0,1)∪(1,2]∪[3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x 2≥0，ln(2x －1)≠0，2x －1＞0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,2]．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜3x －1＜b ，a ＜3x ＋1＜b ⇔⎩⎨⎧ a ＋13＜x ＜b ＋13，a －13＜x ＜b －13.∵函数的定义域不可能为空集，∴必有a ＋13＜b －13，即b －a ＞2， 此时，a ＋13＜x ＜b －13，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫a ＋13，b －13.【例2】解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1，且x ≠5}， 令u ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴u ≥－9且u ≠0，即u ＞0或－9≤u ＜0⇒4u ＞0或4u ≤－49， ∴函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，－49∪(0，＋∞)． (2)函数的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 换元，令1－2x ＝t ⇒x ＝1－t 22(t ≥0)， ∴y ＝f (t )＝t 2－12＋t ＝12(t ＋1)2－1. ∴f (t )在[0，＋∞)上为增函数．∴y ≥f (0)＝－12. ∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，5－x ≥0得3≤x ≤5，∴函数的定义域为[3,5]． 又∵y 2＝2＋2(x －3)(5－x )＝2＋21－(x －4)2.当x ＝4时，y max 2＝4，当x ＝3或5时，y min 2＝2.∴2≤y 2≤4.∵y ＞0，∴2≤y ≤2.∴所给函数的值域为[2，2]．【例3】5 解析：由0≤4|x |＋2－1≤1， 即1≤4|x |＋2≤2得0≤|x |≤2， 满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个． 演练巩固提升1．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，－x 2－3x ＋4≥0得－4≤x ＜0或0＜x ≤1，故选D. 2．C3．C 解析：∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16.∴16－4x ∈[0,4)．4．D 解析：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g (x )，x 2－x －2，x ≥g (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，x 2－x －2，x ∈[－1，2] ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ∈[－1，2]，所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f (x )的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1,2]时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0，故选D. 5．9。

限时集训(五) 函数的定义域和值域(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋12．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )4．(2013·南昌模拟)函数y ＝x (x －1)－lg 1x 的定义域为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]6．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． 8．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．9．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值． 11.设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB 的长，求函数y ＝x l (x )的值域． 12．已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x(a ∈R 且x ≠a )，求x ∈⎣⎡⎦⎤a －1，a －12时，f (x )的值域．限时集训(五) 函数的定义域和值域答 案1．C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C7．(－3,2) 8.[0，＋∞] 9.[－4,6]10．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12， ∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．解：依题意有x ＞0，l (x )＝(x －4)2＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l (x )＝x x 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x 2. 由于1－8x ＋25x 2 ＝25⎝⎛⎭⎫1x －4252＋925，所以 1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，53. 12．解：∵f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x， 当a －1≤x ≤a －12时， －a ＋12≤－x ≤－a ＋1， ∴12≤a －x ≤1.∴1≤1a －x≤2. ∴0≤－1＋1a －x ≤1，即f (x )的值域为[0,1]．。

第5讲 函数的性质(一)——单调性1.(2012·广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝(12)xD ．y ＝x ＋1x2.(2011·安徽宿州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3.(2013·海淀模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A ．(13，23) B ．[13，23) C ．(12，23) D ．[12，23) 4.若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，12) 5.函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为________________． 6.(1)函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上递增，则b 的取值范围是________；(2)函数y ＝x 2＋bx ＋c 的单调增区间是[0，＋∞)，则b 的值为______．7.判断函数f (x )＝ax x ＋1(a ≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．8.设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f （x ）－2f （－x ）5x<0的解集是__________． 9.若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m ，2m ＋1)上单调递增，则m 的取值范围为________． 10.(2012·南昌模拟题)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0，都有f (x y)＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x)<2.第5讲1．A 2.B 3.A 4.B 5.[34，＋∞) 6.(1)b ≥0 (2)07．解析：当a >0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．证明：设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1（x 2＋1）－ax 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝a （x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）.因为－1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，又当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是减函数．或用导数法：因为f ′(x )＝a（x ＋1）2(x >－1)，当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1，＋∞)上递增；当a <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上递减．8．(－1，0)∪(0，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (1)＝0＝f (－1)．又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )>0可得x ∈(－1，0)∪(1，＋∞)，由f (x )<0可得x ∈(－∞，－1)∪(0，1)，所以3f （x ）－2f （－x ）5x <0，即f （x ）x <0的解集为(－1，0)∪(0，1)．9．(－1，0] 解析：因为f ′(x )＝4（1－x 2）（x 2＋1）2.令f ′(x )>0，得－1<x <1，所以f (x )的增区间为(－1，1)．又因为f (x )在(m ，2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1，所以－1≤m ≤0.因为区间(m ，2m ＋1)隐含2m ＋1>m ，即m >－1，所以－1<m ≤0.10．解析：(1)令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0，所以f (1)＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，f (x 1x 2)>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (6)＝1，所以f (36)－f (6)＝f (6)，所以f (36)＝2f (6)＝2.由f (x ＋3)－f (1x )<2，得f (x 2＋3x )<f (36)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01x >0x 2＋3x <36⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >－3x >0－3－3172<x <－3＋3172 ⇒0<x <317－32. 所以原不等式的解集为(0，317－32)．。

高考数学一轮复习函数知识点精讲：定义域根据同学们的需求，查字典数学网小编整理了高考数学一轮复习函数知识点，欢迎大家关注!定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。

平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

第五讲函数的定义域与值域班级________某某________考号________日期________得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(某某模拟)函数0()A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x≠-1}D.{x|x≠0且x≠-1,x∈R}解析:依题意有\left\{\begin{array}{l}x+1≠0|x|-x>0\end{array}\right.,解得x<0且x≠-1,故定义域是{x|x<0且x≠-1}.答案:C2.(某某某某模拟)下列表示y是x的函数,则函数的值域是()x 0<x<5 5≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 2 3 4 5A.[2,5]B.NC.(0,20]D.{2,3,4,5}解析:函数值只有四个数2､3､4､5,故值域为{2,3,4,5}.答案:D3.(2010·某某)设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x).\end{array}\right.则f(x)的值域是()A.\left[\begin{array}{l}-\frac{9}{4},0\end{array}\right]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.\left[\begin{array}{l}-\frac{9}{4},+∞\end{array}\right)D.\left[\begin{ar ray}{l}-\frac{9}{4},0\end{array}\right]∪(2,+∞)解析:令x<g(x),即x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.令x≥g(x),而x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.故函数f(x)=\left\{\begin{array}{l}x2+x+2(x<-1或x>2),x2-x-2(-1≤x≤2).\end{array}\right.当x<-1或x>2时,函数f(x)>f(-1)=2;当-1≤x≤2时,函数f\left(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}\right)≤f(x)≤f(-1),即-\frac{9}{4}≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是\left[\begin{array}{l}-\frac{9}{4},0\end{array}\right]∪(2,+∞).答案:D4.设f(x)=\left\{\begin{array}{l}x2,|x|≥1,x,|x|<1.\end{array}\right.g(x)是二次函数,若f[g(x)]的值域为[0,+∞),则g(x)的值域是()A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-1]∪[0,+∞)C.[0,+∞)D.[1,+∞)解析:设t=g(x),则f[g(x)]=f(t),∴t=g(x)的值域即为f(t)的定义域.画出函数y=f(x)的图象(如图).[TPTL19.TIF,BP]∵函数f[g(x)]值域为[0,+∞),∴函数f(t)的值域为[0,+∞).∵g(x)是二次函数,且g(x)的值域即为f(t)的定义域,∴由图象可知f(t)的定义域为[0,+∞),即g(x)的值域为[0,+∞).答案:C5.已知函数f(x)的定义域为[1,9],且当1≤x≤9时,f(x)=x+2,则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为()A.[1,3]B.[1,9]C.[12,36]D.[12,204]解析:∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须\left\{\begin{array}{l}1≤x≤9,1≤x2≤9,\end{array}\right.解得1≤x≤3.∴函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].∵当1≤x≤9时,f(x)=x+2,∴当1≤x≤3时,y=[f(x)]2+f(x2)=(x+2)2+(x2+2)=2(x+1)2+4,∴当x=1时,y min=12,当x=3时,y max=36,∴所求函数的值域为[12,36],故答案选C.答案:C评析:本题容易忽视复合函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,而错误地把f(x)的定义域[1,9]当作函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,从而得出错误的结果D.6.若函数y=x2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m的取值X围()A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)解析:函数y=(x-3)2-25,因为函数的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],而当x=0时,y=-16,当x=3时,y=-25,由二次函数的对称性可得m的取值X围为[3,6],故选C.答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数f(\sqrt{x})的定义域为________.解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数f(\sqrt{x})满足2≤\sqrt{x}≤3,∴4≤x≤9.∴f(\sqrt{x})的定义域为[4,9].答案:[4,9]8.函数y=\frac{2x-5}{x-3}的值域是{y|y≤0或y≥4},则此函数的定义域为________.解析:∵y≤0或y≥4,∴\frac{2x-5}{x-3}≤0或\frac{2x-5}{x-3}≥4.∴\frac{5}{2}≤x<3或3<x≤\frac{7}{2}.答案:\left[\begin{array}{l}\frac{5}{2},3\end{array}\right)∪\left(\begin{array}{l }3,\frac{7}{2}\end{array}\right][TPTL21.TIF,Y#]9.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为________.解析:由图象可知,[a,b]应为\left[\begin{array}{l}\frac{1}{3},3\end{array}\right]的一个子区间.当a=\frac{1}{3},b=1时b-a取最小值为\frac{2}{3}.答案:\frac{2}{3}10.(2010·某某模拟)函数f(x)=log\frac{1}{2}(x-1)+\sqrt{2-x}的值域为________.解析:由\left\{\begin{array}{l}x-1>02-x≥0\end{array}\right.,解得1<x≤2,∴函数f(x)的定义域为(1,2].又∵函数y1=log\frac{1}{2}(x-1)和y2=\sqrt{2-x}在(1,2]上都是减函数,∴当x=2时,f(x)有最小值,f(2)=log\frac{1}{2}(2-1)+\sqrt{2-2}=0,f(x)无最大值,∴函数f(x)的值域为[0,+∞).答案:[0,+∞)三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x2-2)的值域.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意可知\left\{\begin{array}{l}c=0a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c+x+1,x∈R\end{array}\right.整理得\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1a≠0a+b=1c=0\end{array}\right.,解得\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}b=\frac{1}{2}c=0\end{array}\right.,∴f(x)=\frac{1}{2}x2+\frac{1}{2}x;(2)由(1)知y=f(x2-2)=\frac{1}{2}(x2-2)2+\frac{1}{2}(x2-2)=\frac{1}{2}(x4-3x2+2)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}x2-\frac{3}{2}\end{a rray}\right)2-\frac{1}{8},当x2=\frac{3}{2}时,y取最小值-\frac{1}{8},故函数值域为\left[\begin{array}{l}-\frac{1}{8},+∞\end{array}\right).12.已知函数y=\sqrt{mx^2-6mx+m+8}的定义域为R.(1)某某数m的取值X围;(2)当m变化时,若y的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.解:(1)依题意,当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.当m=0时,x∈R;当m≠0时,\left\{\begin{array}{l}m>0,Δ≤0,\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}m>0,(-6m)2-4m(m+8)≤0.\end{array}\right.解之得0<m≤1,故实数m的取值X围是0≤m≤1.(2)当m=0时,y=2\sqrt{2};当0<m≤1时,y=\sqrt{m(x-3)^2+8-8m},∴y min=\sqrt{8-8m},因此,f(m)=\sqrt{8-8m}(0≤m≤1),∴f(m)的值域为[0,2\sqrt{2}].13.(2011·某某某某模拟)已知函数f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{x},x≥1,\frac{1}{x}-1,0<x<1.\end{array}\right.(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求\frac{1}{a}+\frac{1}{b}的值;(2)是否存在实数a、b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域､值域都是[a,b],若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{x},x≥1,\frac{1}{x}-1,0<x<1,\end{array}\right.∴f(x)在(0,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数.由0<a<b,且f(a)=f(b),可得0<a<1≤b且\frac{1}{a}-1=1-\frac{1}{b},∴\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2.(2)不存在满足条件的实数a、b.若存在满足条件的实数a、b,则0<a<b.①当a,b∈(0,1)时,f(x)=\frac{1}{x}-1在(0,1)上为减函数.故\left\{\begin{array}{l}f(a)=b,f(b)=a,\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}-1=b,\frac{1}{b}-1=a.\end{array}\right.解得a=b.故此时不存在符合条件的实数a、b.②当a,b∈[1,+∞)时,f(x)=1-\frac{1}{x}在[1,+∞)上是增函数.故\left\{\begin{array}{l}f(a)=a,f(b)=b,\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{a}=a1-\frac{1}{b}=b.\end{array}\right.此时a,b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.故此时不存在符合条件的实数a、b. ③当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b],故此时不存在适合条件的实数a、b.综上可知,不存在适合条件的实数a、b.。

第二节 函数的定义域和值域[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x是圆满函数；②y ＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－xx －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0， 即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln x ＋1＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8.∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．——————————————————— 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ](2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1，即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (3)法一：(基本不等式法)当x >0时，x ＋4x≥2 x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．4分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋ba ≠0的函数可用此法求值域. 5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝x 2－xx －x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x－1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t－1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3.当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b2－a，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ，则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13， ∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例] (2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________________．[解析] ∵要使函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． [答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)．∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，2x >10－2x ，即52<x <5. 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x x －1－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≥0，1x>0，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B. )[0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2)8．设x ≥2，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．解析：y ＝[x ＋1＋4][x ＋1＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t＝t＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB的长，求函数y ＝xl x 的值域． 解：依题意有x ＞0，l (x )＝x －42＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧h m ＝n 2，h n ＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.。