高考数学第一轮复习单元试卷4-三角函数的图象和性质(含答案)

4.3三角函数的图象与性质基础篇考点一三角函数的图象及其变换考向一函数y=A sin(ωx+φ)的图象1.(2022银川一中一模,4)函数f(x)=2sin(ωx+φ)>0,−π2<<,则ω,φ的值分别是()A.2,-π3B.2,-π6C.4,-π6D.4,π3答案A2.(2022云南名校11月联考,11)在同一平面直角坐标系中,三个函数f(x)=sin2+g(x)=cos2h(x)=sin x的部分图象如图所示,则()A.a为f(x),b为g(x),c为h(x)B.a为h(x),b为f(x),c为g(x)C.a为g(x),b为f(x),c为h(x)D.a为h(x),b为g(x),c为f(x)答案C3.(2021哈尔滨三中一模,9)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图所示,圆O的半径为4米,P0在水平面上,盛水筒M从点P0处开始运动,OP0与水平面所成的角为30°,且2分钟恰好转动1圈,则盛水筒M距离水面的高度H(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系式是()A.HB.H−C.H−D.H−答案D考向二函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换1.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3+有的点()A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度答案D2.(2023届山西临汾期中,5)为了得到y=sin3x的图象,只需将y=cos3−()A.向左平移3π4个单位长度B.向左平移7π12个单位长度C.向右平移5π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度答案B3.(2021全国乙,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin−,则f(x)=()− B.sin2+C.sin2D.sin2答案B4.(2022皖南八校三模,6)若将函数y=sin B+ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后,与函数y=sin B+,则ω的最小值是() A.14 B.12 C.34 D.1答案A5.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且=2,则f() A.-2 B.-2 C.2 D.2答案C考点二三角函数的性质及其应用考向一三角函数的定义域与值域1.(2021安徽滁州一模,4)函数y−2的定义域是()−π8,χ2+k∈ZB.χ−π4,χk∈Z−π4,χ2+k∈ZD.χ+π4,χ+k∈Z答案A2.(2023届昆明一中双基检测三,4)若函数f(x)∈则f(x)的值域为()A.[3,+∞),+∞C.[1,3]1答案D3.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos2x,则该函数为()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98答案D4.(2020北京,14,5分)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为.答案π2(答案不唯一)考向二三角函数的周期性和对称性1.(2023届皖南八校开学考,9)函数f(x)=tan2()0 B.12,0C.−5π12,0D.−π12,0答案D2.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin B+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)2中心对称,则() A.1 B.32 C.52 D.3答案A3.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为() A.π2 B.π3 C.π4 D.π5答案C4.(2019课标Ⅱ,9,5分)下列函数中,以π2为周期且在区间()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A5.(2023届广西桂林七星田家炳中学月考,5)已知将函数f(x)=sin B−ω>0)的图象向右平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象,若f(x)和g(x)的图象都关于直线x=π4对称,则ω的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6答案B6.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)−π2<<的图象关于直线=π3对称,则φ的值是.答案-π67.(2020江苏,10,5分)将函数y=3sin2+的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.答案x=-524π考向三三角函数的单调性1.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin−()A.0,B.C. D.2π答案A2.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在−π2B.f(x)在−πC.f(x)在0,D.f(x)答案C3.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π答案A4.(2023届河南信阳质检一,10)已知函数f(x)=23cos x-2sin2x,若f(x)在区间s,则实数m的取值范围是()B. C. D.答案C综合篇考法一根据图象确定函数解析式1.(2021全国甲,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件op−−op−的最小正整数x为.答案22.(2023届赣南五校期中,18)函数f(x)=A sin(ωx+φ)>0,>0,<π2所示,将f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在−π613π24.解析(1)由题图可知A=2,4=7π12−π3=π4,即T=π,则ω=2π=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),因为函数f(x)7π12−2,所以-2=2sin2×7π12+,即2×7π12+=3π2+∈Z,所以φ=π3+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin2+π3将f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到=2sin2−π12+π3=2sin2π6图象,再向下平移1个单位长度,得到y=2sin2+π6的图象,所以g(x)=2sin2+π6.(2)因为x∈−π6,13π24所以2x+π6∈−π65π4.令=2+π6,则θ∈−π65π4.所以sin∈−21,所以2sin2+π6[-1,2],所以g(x)∈[-2,2-1].考法二三角函数的性质及其应用1.(2022全国甲,11,5分)设函数f(x)=sin B(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()B.D.答案C2.(2022河南名校联盟一模,8)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,下列关于函数g(x)=A cos(ωx+φ)(x∈R)的表述正确的是()A.函数g(x)0对称B.函数g(x)在−π8C.函数g(x)的图象关于直线x=π8对称D.函数h(x)=cos2x的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g(x)的图象答案B3.(2020天津,8,5分)已知函数f(x)=sin给出下列结论:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)的最大值;③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.其中所有正确结论的序号是()A.①B.①③C.②③D.①②③答案B4.(2019课标Ⅰ,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数②f(x)π单调递增③f(x)在[-π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是() A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③答案C5.(2019课标Ⅲ,12,5分)设函数f(x)=sin Bω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在0,④ω其中所有正确结论的编号是() A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④答案D6.(2023届河南名校联考,15)已知函数f(x)=2cos B+ω>0)的最小正周期为T,f(x)的一个极值点为x=π.若π3<<23π,则ω的最大值是.答案2347.(2022全国乙,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)x=π9为f(x)的零点,则ω的最小值为.答案38.(2020课标Ⅲ,16,5分)关于函数f(x)=sin x+1sin有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.答案②③考法三三角函数的最值1.(2022贵州4月模拟,11)函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,现将f(x)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)()A.[-2,2]B.[-1,2]C.[0,2]D.[0,2]答案C2.(2022江西萍乡二模,12)设函数f(x)=sin2在区间s+M,最小值为m,则M-m的最小值为()B.12答案B3.(2023届陕西安康9月联考,11)下列函数中,最大值是1的函数是()A.y =|sin x |+|cos x |B.y =cos 2x +4sin x -4C.y =cos x ·tan xD.y答案D4.(2018课标Ⅰ,16,5分)已知函数f (x )=2sin x +sin 2x ,则f (x )的最小值是.答案-3325.(2019浙江,18,14分)设函数f (x )=sin x ,x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π),函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y =++的值域.解析(1)因为f (x +θ)=sin (x +θ)是偶函数,所以对任意实数．．．．．x ．都有．．sin ．．．(．x ．+．θ．)．=sin ．．．．(．-．x ．+．θ．)．,即sin x cos θ+cos x sin θ=-sin x cos θ+cos x sin θ,故2sin x cos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.(2)y =++=sin212++π4=+=1−12·2x -3sin 2x 2+因此,函数的值域是1−32,1+。

§4.2三角函数的图象与性质考纲解读分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2答案D2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则( )A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为答案A3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )A. B. C. D.答案D4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx==sin.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin.因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.教师用书专用(6—15)6.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案D7.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sin x+cos x答案A8.(2015山东,3,5分)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位答案B9.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案C10.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案B11.(2013湖北,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )A. B. C. D.答案B12.(2013山东,5,5分)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A. B. C.0D.-答案B13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案A14.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.答案715.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减答案D2.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)答案B3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B4.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z答案D5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2·sin xcos x(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin=,cos=-,f=--2××,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sin xcos x得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).教师用书专用(7—16)7.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( )A. B.π C. D.2π答案B8.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π答案B9.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A10.(2013浙江,4,5分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B11.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)12.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.答案13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos-=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=sinsin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos2x)=sin2x-cos2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin+.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018四川德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin2x图象上的点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin答案C2.(2017河南百校联考,6)已知将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位后与f(x)的图象重合,则ω=( )A.9B.6C.4D.8答案B3.(2016福建福州一中1月模拟,6)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到函数g(x)=Asinωx的图象,只需要将y=f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案D考点二三角函数的性质及其应用4.(2018辽宁鞍山一中一模,4)函数f(x)=2sin xcos x+cos2x图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)答案D5.(2017豫南九校2月联考,7)已知函数f(x)=sin2x-2cos2x,下列结论错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)的图象关于直线x=对称C.函数f(x)在区间上是增函数D.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin2x-1的图象向右平移个单位长度得到答案D6.(2017河北武邑第三次调研,4)已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线( )A.x=B.x=C.x=D.x=-答案D7.(人教A必4,一,1-4A,3,变式)函数f(x)=sin+cos2x的振幅和最小正周期分别是( )A.,B.,πC.,D.,π答案BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018河北衡水模拟,9)设函数f(x)=2cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f=f,若函数g(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)+2,则g的值是( )A.2B.0C.2或4D.1或3答案D2.(2018广东广雅中学、华东中学、河南名校第一次联考,12)已知函数f(x)=(1-2cos2x)sin-2sin xcos xcos,f(x)在上单调递增,若f≤m恒成立,则实数m的取值范围为( )A. B. C.[1,+∞) D.答案C3.(2017山西五校3月联考,8)设k∈R,则函数f(x)=sin+k的部分图象不可能为( )答案D4.(2017河北名校二模,8)函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数ω的值为( )A. B. C.2D.答案C5.(2016福建龙岩一模,11)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案A二、解答题(共20分)6.(2018江苏常州武进期中,15)如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点P是图象上的一个最高点,点Q是与点P相邻的与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题图可知A=2,T=4×=4π,∴ω==,故f(x)=2sin.又∵点P在函数图象上,∴2sin=2,即+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin.(2)由(1)得,f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin的图象,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故g(x)的单调递增区间是(k∈Z).7.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,17)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos2x(x∈R).(1)若f(α)=且α∈,求cos2α;(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(3)记函数f(x)在x∈上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.解析(1)f(x)=sin2x-cos2x=2sin.∵f(α)=,∴sin=,又α∈,∴2α-∈,∴cos=-.∴cos2α=cos=-×-×=-.(2)∵f'(x)=4cos,∴f'(0)=2,又f(0)=-,∴所求切线方程为y=2x-.(3)当x∈时,2x-∈,f(x)∈[1,2],∴b=2.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).又函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,∴[aπ,2π]⊆,∴-+2π≤aπ<2π,∴a min=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 根据图象确定函数解析式1.(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈,则cos=( )A.±B.C.-D.答案C2.(2017湖北七市3月联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,x1≠x2且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )A.1B.C.D.答案D方法2 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略3.(2017河北衡水中学三调考试,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( )A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6kπ-3,6kπ],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.[6k-3,6k],k∈Z答案D方法3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法4.(2018广东东莞二调,10)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于x=-对称,若把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案D5.(2017广东清远清城期末,9)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数f是偶函数,下列判断正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)的图象关于直线x=-对称D.函数f(x)在上单调递增答案D。

第3讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为 ( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－3. 答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3 C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2. 答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos xx ≥cos x ，sin xx <cos x画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 10．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确． ④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)．12．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． ∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 14．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。

一、单项选择题1．若函数y＝3cos 2ωx－π3ω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于()A．1B．2C．3D．42．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos 2x－π6f(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增3．已知函数f(x)＝x＋π6a＝fπ7b＝fπ6c＝fπ4a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间π6，2π3单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f －5π12等于()A．－32B．－12C.12D.325．(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cos2x，则下列结论错误的是() A．f(x)为偶函数B．f(x)的最小正周期为πC．f(x)的最小值为－98D．f(x)的最大值为26．(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin ωx＋π4b(ω∈N+)的最小正周期为T，若π2<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为()A.－π12，0 B.π12，2C.7π12，2 D.π4，0二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝18．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin 在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．§4.5三角函数的图象与性质1．A2.D3.A4.D 5．B [因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．]6．C [由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N ＋，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．]7．AD [函数f (x )＝cos x ＋a sin x＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．]8．CD [因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ上单调，所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋＝1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.]9.2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )10．－cos 4x (答案不唯一)11.7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12.916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.13．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．解(1)函数f (x )＝a x－2cos＝a x x 1＝a xx ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．D [函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．]16.12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝πα＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。

三角函数的图像与性质一、选择题1．函数f (x)＝ln(cos x)的定义域为( )A．，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC．，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈ZC　[由题意知cos x＞0，则2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，故选C．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝( )A．2 B． C．1 D．A　[由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2．故选A．]3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是( )A．f (x)＝|sin 2x|B．f (x)＝tan|x|C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝cos|2x|C　[函数f (x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B．函数f (x)＝|sin 2x|在上不是单调函数，故排除A．函数f (x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，综上知选C．]4．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数( )A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为D　[函数f (x)定义域为R，且f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数，f (x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2＋，故最大值为，故选D．]5．已知函数f (x)＝sin(0＜ω＜π)，f ＝0，则函数f (x)的图像的对称轴方程为( ) A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈ZC．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈ZC　[f (x)＝sin＝cos ωx，则f ＝cos＝0，∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，即f (x)＝cos 2x．由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C．]二、填空题6．函数y＝cos的单调递减区间为________．(k∈Z)　[因为y＝cos＝cos，所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]7．若函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．　[由题意知ω＝，解得ω＝．]8．函数f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．－　[f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，因为函数f (x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tan θ＝tan＝－．]三、解答题9．(2021·浙江高考)设函数f (x)＝sin x＋cos x(x∈R)．(1)求函数y＝的最小正周期；(2)求函数y＝f (x)f 在上的最大值．[解]　(1)因为f (x)＝sin x＋cos x，所以f ＝sin＋cos＝cos x－sin x，所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x．所以函数y＝的最小正周期T＝＝π．(2)f ＝sin＋cos＝sin x，所以y＝f (x)f ＝sin x(sin x＋cos x)＝(sin x cos x＋sin2x)＝＝sin＋．当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，函数y＝f (x)f 在上取得最大值，且y max＝1＋．10．已知f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f (x)的最大值为2．(1)求f (x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f (x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解]　(1)由T＝2知＝2得ω＝π．又当x＝时f (x)max＝2，知A＝2．且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴f (x)＝2sin＝2sin．(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤．得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5．故在上存在f (x)的对称轴，其方程为x＝．1．(2021·朝阳区二模)已知函数f (x)＝sin，则下列四个结论中正确的是( )A．函数f (x)的图像关于中心对称B．函数f (x)的图像关于直线x＝－对称C．函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点D．函数f (x)在区间上单调递增C　[对于函数f (x)＝sin，令x＝，求得f (x)＝，故函数f (x)的图像不关于中心对称，故排除A；令x＝－，求得f (x)＝sin，不是最值，故函数f (x)的图像不关于直线x＝－对称，故排除B；在区间(－π，π)上，2x－∈，当2x－＝－2π，－π，0，π时，f (x)＝0，故函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点，故C正确；在区间上，2x－∈，f (x)没有单调性，故D错误，故选C．]2．(2021·成都模拟)关于函数f (x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f (x)是偶函数；②f (x)在区间上单调递增；③f (x)在[－π，π]上有4个零点；④f (x)的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( )A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③C　[f (－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sinx＝2sin x，∴f (x)在上单调递减，故②不正确；f (x)在[－π，π]上的图像如图所示，由图可知函数f (x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin| x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C．]3．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (0＜ω＜1，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f (x)的单调递增区间；(3)x∈，求f (x)的最大值与最小值．[解]　(1)因为f (x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f (x)＝cos ωx．因为图像关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝．(2)由(1)得f (x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f (x)的递增区间是，k∈Z．(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f (x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f (x)的最小值为0．1．已知函数f (x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )A．－B．－C．D．C　[法一：∵f (x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C．法二：∵f (x)＝sin x＋cos x，∴f ′(x)＝cos x－sin x．又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴f ′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，则cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故选C．]2．已知函数f (x)＝a＋b．(1)若a＝－1，求函数f (x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f (x)的值域是[5，8]，求a，b的值．[解]　f (x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b．(1)当a＝－1时，f (x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f (x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1．依题意知a≠0，①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8．综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8．。

4.3 三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2. 已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A3．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上( ) A ．单调递增且有最大值 B ．单调递增但无最大值 C ．单调递减且有最大值 D ．单调递减但无最大值解析 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.答案 A5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D6．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数 C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数 D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13，∵当x ＝π2时，f (x )有最大值， ∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π3＋2k π，∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数． 答案：A 二、填空题8．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________． 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案：329．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案π6【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下. 10．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 2【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.11．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R)，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析 函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③12．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0.其中正确命题的序号是________．解析 ①正切函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0.答案 ④ 三、解答题13. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．解析 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)．14．已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解析 (1)由题设知，f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.15．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解析 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z. 16．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解析 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增， 即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z.又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减， 即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z. ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.。

专题4.4 三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质. 【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )【微点提醒】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2【答案】 A【解析】 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 3.(必修4P47B2改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )【解析】 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 【真题体验】4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2【答案】 C【解析】 由题意T ＝2π2＝π.5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B.1C.35D.15【答案】 A【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________. 【答案】 －π6【解析】 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 【考点聚焦】考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 【规律方法】 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【解析】 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【答案】 A【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】 A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【规律方法】1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增 (2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32【解析】 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.【规律方法】 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 【答案】 (1)C (2)B【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ). 又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9. 【规律方法】1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C.π D.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . f (x )＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确. C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π【答案】 C【解析】 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. 2.(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8 【答案】 C【解析】 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 3.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2【答案】 C【解析】 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2. 5.若f (x )为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )| C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x 【答案】 B 【解析】 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增. 二、填空题6.(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________. 【答案】 5π6【解析】 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 7.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 【解析】 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 8.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.【答案】 23【解析】 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3. 10.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 【答案】见解析【解析】(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )【答案】 D【解析】 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ).12.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24 【答案】 A【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 13.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1. (2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2， ∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23. 【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.【答案】 π2【解析】 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2.。

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】专题4.4 三角函数图像与性质【基础巩固】一、填空题1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的函数有________(填序号)． 【答案】①②③2．(2017·南京模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )【解析】当k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3单调递增，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0<x <π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________． 【答案】2【解析】由题意可得π12ω＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z 且π≤2πω，解得ω＝2.4．(2017·徐州检测)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为________． 【答案】2，－2【解析】y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2.5．(2017·苏北四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π66．(2017·盐城调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.【答案】5π6【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.7．(2017·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出以下结论：①函数f (x )的最小正周期为π； ②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确的是________(填序号)． 【答案】①②④【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，④正确．8．(2017·承德模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.【答案】32【解析】法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.二、解答题9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．10．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3【能力提升】11．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 【答案】7【解析】在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．12．若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________． 【答案】±35【解析】因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值．则ω的值为________． 【答案】143【解析】f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则：①说明⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3中有最低点．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴最低点必为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π32＝π4. 代入πω4＋π3＝－π2＋2k π，得ω＝－103＋8k ，k 为整数．②说明⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3中无最高点，故T 2>π3－π6＝π6，∴T ＝2πω>π3，∴0<ω<6.由①和②得ω＝143.14．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

2025年高考数学一轮复习-三角函数的图象与性质-专项训练基础巩固练1.函数f(x)=tanπ 2的最小正周期是()A.2πB.4πC.2D.42.函数f(x)=sin2 在0()A.1B.-1 D.[0,1]3.若tan2=a,tan3=b,tan5=c,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b4.已知函数f(x)=x5+tan x-3,且f(-m)=-2,则f(m)=()A.-4B.-1C.1D.45.(多选题)已知f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期是πC.f(x)0D.f(x)在06.(多选题)设函数f(x)=cos 则下列结论正确的有()A.y=f(x)的一个周期为2πB.y=f(x)的图象关于直线x=83π对称C.y=f(x+π)的一个零点为x=π6D.y=f(x)π上单调递减7.函数y=f(x)=sin2x,x∈-π6.8.若函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)为奇函数,则φ=.9.已知函数f(x)=A sin +A>0,ω>0)的最小值为-2,最小正周期为π.(1)求实数A,ω的值;(2)当x∈0,求函数f(x)的值域.综合提升练10.下列坐标所表示的点不是函数y=tan3 ()000011.已知函数f(x)=sin +ω>0)在区间0,但无最小值,则ω的取值范围是()12.已知函数f(x)=+ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4,则ω=()A.2B.4C.8D.1613.(多选题)已知函数f(x)=sin|x|+|sin x|,则下列结论正确的有()A.f(x)是偶函数B.f(x)π上单调递增C.f(x)在[-π,π]上有4个零点D.f(x)的最大值为214.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为.15.已知函数f(x)=4sinωx sin +1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值及f(x)的增区间;(2)求f(x)图象的对称中心.创新应用练16.已知f(x)=sinωx-3cosωx,ω>0,若函数f(x)0对称,且函数f(x)在0调,则ω的值为()A.4B.3C.2D.117.若x=π8是函数f(x)=2sin x∈R)的一个零点,且0<ω<10,则函数f(x)的最小正周期为.18.已知函数f(x)=a2cos2 2+sin +b.(1)若a=-1,求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.参考答案1.C2.A3.D4.A5.ABC6.ABC7.18.±π29.解(1)由题意知A=2,2π =π,解得ω=2.故A=2,ω=2.(2)由(1)知f(x)=2sin2因为x∈0所以2x+π3∈所以sin2 -21,所以2sin2 +∈-3,2,所以函数f(x)的值域为-3,210.C11.A12.B13.AD14 π2(答案不唯一)15.解(1)f(x)=4sinωx·12sinωx-1=2sin2ωx+23sinωx·cosωx-1=1-cos2ωx+3sin2ωx-1=3sin2ωx-cos2ωx=2sin2∵函数的最小正周期为π, 2π2 =π,∴ω=1,∴f(x)=2sin2令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,∴f(x)的增区间为-π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).(2)令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=π12+ π2,k∈Z,∴f(x)+ π2,0,k∈Z.16.D17.π18.解f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=2asin +(1)当a=-1时,f(x)=-2sin 1,由2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4(k∈Z),∴函数f(x)的增区间为2kπ+π4,2kπ+5π4(k∈Z).(2)∵0≤x≤π, π4≤x+π4≤5π4,∴≤sin +≤1.依题意知a≠0,①当a>0时,2 + + =8,=5,∴a=32-3,b=5;②当a<0时, =8,2 + + =5,∴a=3-32,b=8.综上所述,a=32-3,b=5或a=3-32,b=8.。

2025届新高考一轮复习特训 三 角函数的图象与性质一、选择题1．已知α、β均为锐角,若():sin sin ,:p q ααβαβ<++<A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知函数π()sin(2)||2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,则ϕ=( )3．已知函数()()ππ2sin 0,22x x f ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离5π,018⎫⎪⎭对称,则ϕ的值为( )4．已知函数π()2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且满足2ππ36f x f x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的最小值为( )C.1D.25．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>>≤≤的部分图象如图所示，且()01f =，则( )A.()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. D.6．当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin(36y x =-的交点个数为( )A.3B.4C.6D.87．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点.则a=( )C.1D.28．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||ϕ<π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ).A.1二、多项选择题9．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+<<π的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则( )A.()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C.直线x =()y f x=的对称轴D.直线y x =是曲线()y f x =的切线10．对于函数()sin2f x x =，下列选项中正确的有( )()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A.()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 的图象关于原点对称C.()f x 的最小正周期为2πD.()f x 的最大值为211．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,且π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则ω的取值可能为( )三、填空题12．函数()(12sin 44f x x x x=--≤≤且()1121m x x +>+的所有零点的和等于__________.13．已知函数()f x 满足下列条件:①()f x 的图象是由cos y x =的图象经过变换得到的;②对于x ∀∈R ,均满足ππ()44f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;③()f x 的值域为[1,3]-.请写出符合上述条件的一个函数解析式:________.14．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||AB =()f π=_________.四、解答题15．已知向量(cos ,sin )m x x =-,cos sin (,)s n x x x =-,x ∈R .设()f x m n =⋅.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)在ABC △中,若()1f BAC ∠=,2AB =,BC =BAC 的平分线交BC 于点D ,求AD 长.16．已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 的单调增区间;(3)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最小值及相应的x 的值.17．已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象,如图所示.（1）求函数()f x 的解析式;（2）求函数()f x 的单调递增区间.18．已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）在ABC △中，若2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ≤≤cos B C +的取值范围.19．已知函数1π()sin(226f x x =++（1）求()f x 的振幅、最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 的图象的对称轴方程和对称中心；（3）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合.参考答案1．答案：B解析：先证p q ⇒不成立:令α=π3=,则满足()1:sin 1sin 2p ααβ=<=+,但不满足:q αβ+<所以p q ⇒不成立;再证p q ⇐成立:因为αβ+<ππ,022αβ<<<<,所以0ααβ<<+<因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以()sin sin ααβ<+,故p q ⇐成立;综上:p 是q 的必要而不充分条件.故选:B.2．答案：C解析：因为函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,所以π2π3k ϕ⋅+=,k ∈Z ,所以πk ϕ=∈Z ,因为||ϕ<1=,ϕ=故选:C.3．答案：D解析：由函数()()ππ2sin 0,22x x f ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距则T =6ω=,()2sin(6)f x x ϕ=+,又因为其关于点5π,018⎛⎫⎪⎝⎭对称,5π5π2sin 601818f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即5πsin 3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π()k k ϕ+=∈Z ,解得5ππ3k ϕ=-+,k ∈Z ,且ππ22ϕ-<<,所以2k =,ϕ=故选:D 4．答案：A解析：由已知可得2π5π5ππ312126f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于x =故πππ43k ω⋅+=+∈Z ，所以4k ω=0>，所以0k =时，ω故选：A.5．答案：C5ππ1212⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==，解得，∴函数，又由π2π12k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，，0πϕ≤≤，，只有时满足题意，可得又由，可得，故有，故选C.6．答案：C解析：因为函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与sin y x =在[0,2π]上的图象如图所示，2ω=()()sin 2f x A x ϕ=+()k ∈Z ππ5π666ϕ-≤-≤0k =ϕ=()10sin 12f A A ϕ===2A =()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.7．答案：D解析：由题意知()()f x g x =，则2(1)1cos 2a x x ax +-=+，即()2cos 11x a x =+-.令()2()cos 11h x x a x =-++.易知为偶函数，由题意知在上有唯一零点，所以，即，得，故选D.8．答案：A解析：由图得,A =7ππ123=-=πT ∴==2=,所以,())f x x ϕ=+,则7π7π()1212f ϕ=⨯+=π2π2k ϕ+=-+,k ∈Z,由||ϕ<=则π())3f x x =+,所以,ππππ233f ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故选：A.9．答案：AD()h x ()h x (1,1)-(0)0h =cos 0(01)10a -++=2a =解析：因为函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2πsin 203ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得4()3k k ϕπ+=π∈Z ，结合0πϕ<<，得ϕ=2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2232,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故A 正确；对于B ，当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，252,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为772sin 2sin 30663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=π= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x =()y f x =的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为2()2cos 23f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，若直线y x =-为曲线()y f x =的切线，则由22cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得2223x k π+=π+242()33x k k ππ+=π+∈Z ，所以x k =π或()3x k k π=π+∈Z .当()x k k =π∈Z 时，()f x =()k k =-π∈Z ，解得0k =；当()3x k k π=π+∈Z 时，()f x =()3k k π=π-∈Z 无解.综上所述，直线y x =-为曲线()y f x =的切线，故D 正确.综上所述，选AD.10．答案：AB解析：A.当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y t =在π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，所以()sin2f x x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选项A 正确；B.因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称.故选项B 正确；C.代入周期公式得2ππ2T ==，故选项C 错误；D.x ∈R ，()sin 2f x x =的最大值为1，故选项D 错误.故选：AB.11．答案：ACD解析：设()fx 的最小正周期为T ,ππ()63≥--,即πT ≥.由()f x 在ππ[,36-上单调,且ππ()()63f f =--,得(f x=π4π()()63f f =,所以有以下三种情况：①4ππ36T =-=2πT ==4πππ36()212+=--=2πT ===2πT ==12．答案：0解析：由()f x=2sin x =,易知函数y =2sin y x =都为奇函数,在同一坐标系下作出两函数在[]4,0)(0,4- 内的图象,如下图所示：所以两函数图象交点都关于原点成中心对称,因此函数()(12sin 44f x x xx=--≤≤且)0x ≠的所有零点的和等于0.故答案为：0.13．答案：()2sin 21f x x =+（答案不唯一）解析：由①可设()()cos f x A x B ωϕ=++,又由③可知,不妨设0A >,可得3(1)22A --==,3(1)12B +-==,所以()()2cos 1f x x ωϕ=++由②可知,且ππ2π44T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以2π2T ω==,所以()()2cos 21f x x ϕ=++,又因为π22π4k ϕ⋅+=,k ∈Z ,则π2π2k ϕ=-,k ∈Z ,所以ϕ的一个值为π2ϕ=-,因此函数()f x 的一个解析式为()π2cos 212sin 212f x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故答案为:()2sin 21f x x =+（答案不唯一）.14．答案：解析：对比正弦函数sin y x =的图象易知，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭为“五点（画图）法”中的第五2ϕ+=π①.由题知||B A AB x x =-=A B x x ωϕωϕ+=+=()B A x x ω-=46π=，解得4ω=.代入①，得ϕ=22()sin 4sin 33f ππ⎛⎫π=π-=-= ⎪⎝⎭.15．答案：(1),(2)2解析：(1)由2()cos sin (sin )f x x x x x =--22cos sin cos x x x x =-+2cos 2x x=+πππ,π36k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令πππ2π22π262k x k -<+<+,则πππ3k x k -<<所以函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k ∈Z .(2)因π2sin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为0BAC <∠<π26BAC <∠+<即π26BAC ∠+=BAC =由余弦定理得2422cos 606b b +-⨯⨯⨯︒=,即2220b b --=,所以1b =(负舍),所以ABC ABD ACD S S S =+△△△,1121)sin 602sin 301)sin 3022AD AD ⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯︒︒︒,所以2AD =.16．答案：(1)π(2)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z(3)x =()f x 取得最小值-2解析：(1)由()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则函数最小正周期为2ππ2T ==.(2)令ππ2π22π26k x k -+≤+≤+ππππ36k x k -+≤≤+,k ∈Z ,故函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .(3)π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,当π26x +=x =()f x 取得最小值-2.17．答案：（1）()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z解析：（1）由图可得A =15ππ263T =-=π=,因为T 0>,所以2ω=,所以()()2f x x ϕ=+,由图可知ππsin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π2πk k ϕ=+∈Z ,解得()π2π3k k ϕ=+∈Z ,=故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;（2）令()πππ2π22π232k x k k -≤+≤+∈Z ,解得()5ππππ1212k x k k -≤≤+∈Z ,则()f x 的单调递增区间为()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .18．答案：（1）π；（2）2,63k k ππ+π+π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）⎤⎥⎦.解析：（1）函数2()cos 2sin 1f x x x x =-+=sin 2cos 22sin 26x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以(f x =π.（2）令3222,262k x k k ππππ+≤+≤π+∈2,3k x k k ππ≤≤+π∈Z .可得()f x 的单调递减区间为2,,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z .（3）因为22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为(0,)A ∈π，7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以6A π+=A =所以cos cos cos cos 3B C B B π⎛⎫+=+π-- ⎪⎝⎭21cos cos cos sin 326B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B ≤≤6B π≤+≤sin 16B π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即cos cos B C +的取值范围是⎤⎥⎦.，，单调增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）对称轴方程为，对称中心为()ππ5,2124k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；，取值集合为π|π,3x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .解析：（1）函数最小正周期，由222()262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得，所以()f x 的单调增区间为.（2）今2()62x k k ππ+=π+∈Z ，则，所以对称轴方程为直线()26k x k ππ=+∈Z ；令，则πT =()ππ26k x k =+∈Z (f x 22T π==π()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ,()36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ()26k x k ππ=+∈Z 2()6x k k π+=π∈Z()212k x k ππ=-∈Z ，所以对称中心为.（3）令sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则，即()3x k kπ=-+π∈Z 时，此时x 的取值集合是.,0()212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 22()62x k k ππ+=-+π∈Z (f x |,3x x k k π⎧⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z。