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《高等数学（二）》课程第二版期末复习资料《高等数学（二）》课程第二版（PPT）讲稿章节目录：第5章不定积分5.1 不定积分概念5.2换元积分法5.3分部积分法第6章定积分6.1 定积分的概念6.2定积分的性质6.3牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式6.4定积分的计算6.5广义积分初步6.6定积分在几何上的应用第6章习题课第7章向量代数与空间解析几何7.1 空间直角坐标系7.2向量代数7.3平面及其方程7.4空间直线及其方程7.5曲面与二次曲面第8章多元函数微分学8.1 多元函数的概念8.2偏导数8.3全微分8.4多元复合函数的微分法8.5隐函数的微分法8.6方向导数与梯度（省略）8.7偏导数在几何上的应用8.8多元函数的极值与最值第8章习题课第9章二重积分9.1 二重积分的概念及性质9.2直角坐标系中二重积分的计算第10章微分方程（选用教材中为第12章）10.1 微分方程的基本概念10.2一阶微分方程10.3 可降阶的高阶微分方程（省略）10.4 线性微分方程解的结构10.5 常系数线性齐次微分方程（PPT讲稿文件共有24个。
）一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．12x dx =⎰（ ）。
（A ）22x C + （B ）33x C + （C ）3223x C + （D ）122x C -+★考核知识点: 不定积分的计算 参见讲稿章节：5.1附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数)(x f 在I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(，其中⎰称为积分号； )(x f 称为被积函数；dx x f )(称为被积表达式.x 称为积分变量.显然,若)(x F 为)(x f 在I 上的一个原函数,则 C x F dx x f +=⎰)()(,C 为任意常数. 基本积分表：C kx kdx +=⎰)1( (k 为常数)；);1(1)2(1-≠++=+⎰μμμμC x dx x;||ln )3(⎰+=C x x dx=+⎰dx x211)4(;arctan C x + =-⎰dx x211)5(;arcsin C x +⎰=xdx cos )6(;sin C x +⎰=xdx sin )7(;cos C x +-=⎰xdx 2cos )8(⎰=xdx 2sec ;tan C x + =⎰x dx2sin )9(⎰=xdx 2csc ;cot C x +-⎰=xdx x tan sec )10(;sec C x +⎰=xdx x cot csc )11(;csc C x +-=⎰dx e x )12(;C e x + =⎰dx a x)13(.ln xa C a+上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。
《计算机应用数学》教案教学过程：一、知识回顾微分方程的概念和可分离变量微分方程的求法.二、新课导入1、如何求微分方程ln dy y ydx x x=的通解？ 2、如何求微分方程sin sin y y x x '+=的通解？三、新课内容1、齐次微分方程 定义7.10 形如dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的微分方程，称为齐次微分方程，其特点是右边函数的变量为yx的形式. 齐次微分方程的解法：第一步：令y u x =，则y ux =，dy du x u dx dx =+； 第二步：将dy du x u dx dx =+代入微分方程，得()dux u f u dx+=；第三步：分离变量，得()du dxf u u x =-；第四步：两边积分，得()du dxf u u x=-⎰⎰；第五步：求出积分并回代yu x=，得原微分方程的通解. 2、一阶线性微分方程定义7.11 形如()()y P x y Q x '+=的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中()Q x 为自由项.所谓“线性”是指未知函数y 和导数y '都是一次的.当()0Q x =时，方程()0y P x y '+=称为一阶线性齐次微分方程；当()0Q x ≠时，方程()()y P x y Q x '+=称为一阶线性非齐次微分方程.下面我们讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法. 1）一阶线性齐次微分方程 将()0y P x y '+=变形为 ()dyP x y dx=-， 分离变量，得()dyP x dx y=-， 两边积分，得()dyP x dx y =-⎰⎰，即ln ()ln y P x dx C =-+⎰，整理，得 ()P x dxy Ce -⎰=（其中C 为任意常数）.这就是一阶线性齐次微分方程的通解公式. 2）一阶线性非齐次微分方程显然，()0y P x y '+=是()()y P x y Q x '+=的特殊情况.不妨设()0y P x y '+=的通解()P x dx y Ce -⎰=中的()C C x =，使()()P x dxy C x e -⎰=成为()()y P x y Q x '+=的通解，则将()()P x dxy C x e -⎰=代入()()y P x y Q x '+=，得()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dxC x e C x P x e P x C x e Q x ---⎰⎰⎰'-+=，即 ()()()P x dxC x e Q x -⎰'=，两边积分，得 ()()()P x dxC x Q x e dx C ⎰=+⎰，将上式代入()()P x dx y C x e -⎰=，得()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰.【例题精讲】例1 求微分方程ln dy y ydx x x =的通解. 解：令y u x =，则y ux =，dy dux u dx dx=+，于是原微分方程可化为 ln dux u u u dx+=，分离变量，得(l n 1)d u d xu u x=-，两边积分，得(l n 1)d u d xu u x =-⎰⎰，即1ln(ln 1)ln u x C -=+，整理，得 11ln ln 111x C C u e e x Cx +=+=+=+（其中1C C e =）， 回代y u x =，得 l n 1yCx x=+，即1Cx y xe +=， 所以，该微分方程的通解为1Cx y xe +=.例2 求微分方程22()0y x xy y '+-=的通解.解：将该微分方程变形为2221y d y y x y d x x y x x⎛⎫⎪⎝⎭==--. 令y u x =，则y ux =，dy dux u dx dx=+， 于是原微分方程可化为 21d u u x u dx u +=-，即1du u x dx u =-，分离变量，得 1(1)dxdu u x -=， 两边积分，得 1(1)dxdu u x-=⎰⎰，即ln ln ln u u x C -=+，整理，得 l n ()u C x u =，回代y u x =，得 ln()yCy x=，即yx Cy e =，所以，该微分方程的通解为y xCy e =.例3 求微分方程sin sin y y x x '+=的通解.解法一：先求其对应的一阶线性齐次微分方程sin 0y y x '+=的通解. 将其变形，得 s i n dyy x dx=-， 分离变量，得s i n dyxdx y=-， 两边积分，得s i n d yx d x y =-⎰⎰，即1ln cos y x C =+，整理，得 c o sx y C e =（其中1C C e =），所以，微分方程sin 0y y x '+=的通解为cos x y Ce =.再用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程sin sin y y x x '+=的通解. 令()C C x =，则cos ()x y C x e =，cos cos ()()sin x x y C x e C x e x ''=-，将y 和y '代入sin sin y y x x '+=，得cos cos cos ()()sin ()sin sin x x x C x e C x e x C x e x x '-+=，即 c o s()s i n x C x ex '=， 两边积分，得 c o s c o s()s i n x x C x e xdx e C --==+⎰，将上式代入cos ()x y C x e =，得 c o s1x y C e =+，所以，微分方程sin sin y y x x '+=的通解为cos 1x y Ce =+.解法二：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()sin P x x =，()sin Q x x =，代入通解公式，得()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰sin sin (sin )xdx xdxe xe dx C -⎰⎰=+⎰cos cos (sin )x x e xe dx C -=+⎰cos cos ()x x e e C -=+cos 1x Ce =+.例4 求微分方程sin xy y x '+=的通解. 解：将原微分方程变形，得1sin xy y x x'+=，显然这是一阶线性非齐次微分方程，可知1()P x x =，sin ()xQ x x =，代入通解公式，得 ()()(())P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰11sin ()dx dx x x x e e dx C x-⎰⎰=+⎰ln ln sin ()x x x e e dx C x -=⋅+⎰1sin ()xxdx C x x=⋅+⎰ 1(sin )xdx C x =+⎰1(cos )x C x =-+ cos C xx x=-. 【课堂练习】例1 求微分方程tan y yy x x'=+满足初始条件11x y ==的特解. 解：将该微分方程变形为 t a n d y y yd x x x=+.令y u x =，则y ux =，dy du x u dx dx=+，于是原微分方程可化为 t a n du x u u u dx +=+，即tan dux u dx =，分离变量，得 t a n d u d xu x =，两边积分，得 t a n d u d xu x=⎰⎰，即lnsin ln ln u x C =+， 整理，得 s i n u C x =， 回代y u x =，得 s i n yCx x=， 将11x y ==代入通解，得sin1C =，所以，该微分方程的特解为sin sin1yx x=. 例2 求微分方程x y y e '-=满足初始条件01x y ==的特解.解：该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，可知()1P x =-，()x Q x e =，代入通解公式，得()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰()dx dxx e e e dx C -⎰⎰=+⎰()x x x e e e dx C -=⋅+⎰()x e dx C =+⎰()x e x C =+.将01x y ==代入上式，得1C =，所以，该微分方程的特解为(1)x y e x =+.【问题思考】如何求解二阶常系数线性齐次微分方程呢？ 【知识小结】1、齐次微分方程；2、一阶线性微分方程.【课后作业】习题7-21.（1）2.3.（6）（7）（10）4.（4）（5）四、板书设计。
