2011届高考数学复习好题精选 函数的图象

第二章 第五节 函数的图象1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝ (13)x 的图象 ( )A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度 解析：∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝3×(13)x 的图象可以把函数y ＝(13)x 的图象向右平移1个单位.答案：D2.函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )解析：利用函数的平移可画出所给函数的图象，函数f (x )＝1＋log 2x 的图象是由f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位得到；而g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x 的图象右移1个单位而得. 答案：C3.作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝(12)|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|. 解：(1)先化简，再作图.y ＝2222x x x x ⎧--⎪⎨-++⎪⎩如图(1).(2)此函数为偶函数，利用y ＝(12)x (x ≥0)的图象进行变换.如图(2).(3)利用y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换. 如图(3).4.函数y ＝1－11x -的图象是( )解析：法一：将函数y ＝1x的图象变形到y ＝11x -，即向右平移1个单位，再变形到y ＝－11x -，即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11x -＋1，从而得到答案B.法二：利用特殊值法，取x 1＝0，此时y 1＝2；取x 2＝2，此时y 2＝0.因此选B. 答案：B 5.函数f (x )＝x|x|·a x (a＞1)图象的大致形状是( )解析：f (x )是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f (x )＝(>0)(<0)xx a x a x ⎧⎪⎨-⎪⎩，∴x ＞0时，图象与y ＝a x 在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y ＝a x 的图象关于x 轴对称，故选B. 答案：B6.(2010·包头模拟)已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号 . 解析：按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围. 答案：④②①③7.已知定义在区间上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③1()2f x f x +()＜f (122x x +).其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上). 解析：由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得2122f x f x x x -()-()＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得11f x x ()＞22f x x ()，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的. 答案：②③8.函数f (x )＝01log >09c ax b x x x +⎧⎪⎨+⎪⎩(≤)()()的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1339.(2010·(如图)，则不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为 ( )A.{|－255＜x ＜0或255＜x ≤1} B.{x |－1＜x ＜－55或55＜x ≤1} C.{x |－1＜x ＜－55或0＜x ＜55} D.{x |－255＜x ＜255且x ≠0} 解析：由图象可知，该函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＜12x ，当x ＝1时，f (x )＝0＜12，显然成立，当0＜x ＜1时，f (x ) ∴1－x 2＜14x 2，∴255＜x ＜1.当－1≤x ＜0＜12x ，∴1－x 2＞14x 2，∴－255＜x ＜0.综上所述，不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为{x |－255＜x ＜0或255＜x ≤1}. 答案：A 10.(文)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x的取值范围是( )A.(－1,0)B.C.(0,1)D.(－∞，＋∞) 解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，f (x )＝f (x －1). 故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1). 答案：A11.函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中点A (1,2)、B (3,0)，函数g (x )＝(x －1)f (x )，则函数g (x )的最大值为 . 解析：依题意得f (x )[](][](]2,0,1,3,1,32(1),0,1.311,3x x x x x x x g x x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩⎧-∈⎪⎨+-∈⎪⎩()=(-)(),当x ∈时，g (x )＝2x (x －1)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12的最大值是0； 当x ∈(1,3]时，g (x )＝(－x ＋3)(x －1)＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1的最大值是1.因此，函数g (x )的最大值为1.答案：112.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围. 解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示， 由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示.由题意可得：0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12，与a ＞1矛盾. 综上可知：0＜a ＜12.。

2011高考数学试题汇编──函数与导数33、（四川理）设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。

考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。

令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。

34、（陕西理）设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．35、（山东理）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。

（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。

（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得【试题点评】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。

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2010~2011 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第5讲【课标要求】一．课标要求】函数图象及数字特征1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。

如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等； 3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；14．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 2 的图2 31像，了解它们的变化情况。

【命题走向】二．命题走向】函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。

其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。

知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以 y = x, y = x , y = x , y = x , y = x 为主，利用它们2 3 ?1 1 2以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；新新新新新源源源源源源源新源源源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特特特特特特特王特王新特王新特特特王王kc@ 王新王新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新源源新源新源新源源源源源源th 源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特特特特特特特王特特特特特新王新王王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新王kc新王oc 王新新新新新新源源源源源源源源源源th 源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源源源 o.c 源源 p 特特特特特特特王新王王特王特特特特新王kc@ 1王o.c王王新新 x t 2 6 m w 新新新源源新源新源新源源源源源源th 源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源源源 o.c 源源 p 特特特特特特特王特特特特王新王王特新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c 王新新新新新新源源源源源源源新源源源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特特特特特特特王特王新特王新特特特王王kc@ 王新王新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新源源新源新源新源源源源源源th 源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特特特特特特特王特特特特特新王新王王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新王kc新王oc 王-1-①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数 y = f ( x + a ) 的图像可以把函数 y = f ( x) 的图像沿x 轴方向向左(a > 0) 或向右 (a < 0) 平移 | a | 个单位即可得到；1）y=f(x) →y=f(x+h)；2）y=f(x) →y=f(x?h)；Ⅱ、竖直平移：函数 y = f ( x ) + a 的图像可以把函数 y = f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上左移h 右移h(a > 0) 或向下 (a < 0) 平移 | a | 个单位即可得到；1）y=f(x) →y=f(x)+h；2）y=f(x) →y=f(x)?h 。

高三数学函数图像试题答案及解析1.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为分子分母分别为奇函数，所以原函数为偶函数，排除C、D，而当x取很小的正数时，sin6x＞0，2x－2－x＞0，故y＞0，排除B，选A【考点】函数的图象及其性质2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<<b<1B．0<b<<1C．0<<a<1D．0<<<1【答案】A【解析】由图象知函数单调递增，所以a>1.又－1<f(0)<0，f(0)＝loga (20＋b－1)＝logab，即－1<logab<0，所以0<<b<1，故选A.3.已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()【答案】A【解析】f(x)＝x2＋sin(＋x)＝x2＋cosx，f′(x)＝x－sinx.易知该函数为奇函数，所以排除B、D.当x＝时，f′()＝×－sin＝－<0，可排除C.选A.4.（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．5.函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，0）D．（2，﹣1）【答案】B【解析】因为函数y=a x（0＜a＜1）的图象一定经过点（0，1），而函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象是由y=a x（0＜a＜1）的图象向右平移1个单位，然后把函数y=a x﹣1（0＜a＜1）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍得到的，所以函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（1，2）．故选B．6.函数y=2x﹣x2的图象大致是（）【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．7.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【答案】D【解析】函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．8.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，方程有两个实数解，则实数m的取值范围是A．0<m≤B．0<m<C．<m≤l D．<m<1【答案】【解析】有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以.在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.【考点】分段函数，函数的图象，函数的零点.9.如图：正方体的棱长为，分别是棱的中点，点是的动点，，过点、直线的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是（）【答案】C【解析】由题意可得下面那部分的是一个高为AB的三棱柱或四棱柱，当时.所以函数在大致图像是C、D选项.当时，令.所以上面的体积为.所以下面体积.所以函数的图象大致为C所示.故选C.【考点】1.空间几何.2.函数及图象.3.函数与立几交汇.10.对实数a和b,定义运算“”：,设函数．若函数的图象与x轴恰好有两个共公点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若即时，．若即或时，．画出的图象（如图）∵函数的图象与x轴恰好有两个共公点方程有两解函数与函数有两个不同的交点∴由图象可知或．11.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】A．，B．，C．，D．．12.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象在处有两个切点，切点坐标分别是和，此时相应的，，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是。

第二编函数与基本初等函数I里.1函数及其表示使f(x)>— 1成立的x 的取值范围是 A . [ — 4,2) B . [ — 4,2] C . (0,2]D . (— 4,2]x < 0,解析 I f(x) > — 1,1l 2x + 1 > — 1x>0, 或5I — (x — 1)2> — 1,• — 4w x < 0 或 0<x w 2,即一4w x < 2. 答案 B13. (2010茂名模拟)已知函数f(x) = lg(x + 3)的定义域为 M , g(x)= -------------- 的定义域为N ,贝V M n N吋2 — x定时检测练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2010佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是A .y = x — 1 与 y = X (x — 1)2 y =7x — 1 与 y = ^x —2y = 4lg x 与 y = 2lg x y = lg x — 2 与 y = Ig 100 解析 T y = x — 1 与 y= “ (x —1)2=|x — 1|的对应法则不同，故不是同一函数;•••它们不是同一函数；又 y = 4lg x (x>0)与y = 2lg2xx (X M 0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而 y = lg x — 2(x>0)与y = lg 亦0 = lg x — 2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数. 答案 D2. (2009临沂3月模拟)已知f(x)=—(x — 1)2,x w 0,x>0,(x > 1)与 y =(x>1)的定义域不同,等于A . {x|x>- 3} C . {x|x<2}解析 M = {x|x> — 3}, N = {x|x<2}. M n N = {x|-3<x<2}. 答案 BB . {x|— 3<x<2} D . {x|-3<x w 2}了1 - x 2,4. (2008 •东)设函数f(x)= 2 门+ x — 2,27 B .-池A 15 A.花解析 f(2)=4, f 4 =1 —116= H x < 1 , 则x>1,C 8答案 A5. (2008 陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy(x , y € R ), f(1) = 2，则 f( - 3)等于 A . 2B . 3解析 f(1)= f(0 + 1)= f(0)+ f(1) + 2X 0X 1 C . 6D . 9=f(0) + f(1), •-f (o )= 0.f(0) = f(- 1 + 1) = f(- 1) + f(1) + 2X (- 1)X 1 =f( — 1) + f(1) — 2, ••• f (- 1) = 0. f( - 1) = f(- 2+ 1) = f(- 2)+ f(1) + 2 X (-2)X =f( - 2) + f(1) - 4, • f(- 2) = 2. f( - 2) = f(- 3+ 1) = f(- 3)+ f(1) + 2 X (-3)X =f( - 3) + f(1) - 6, • f(- 3) = 6. 答案 C6. (2009吉林一模)已知函数f(x)的定义域为[—1,5].在同一坐标系下，函数 直线x =1的交点个数为 A . 0 个 B . C . 2 个D . 解析 •/ f(x)的定义域为[—1,5]，而1€ [ - 1,5],•点(1 , f(1))在函数y = f(x)的图象上. 1个0个或1个均有可能y = f(x)的图象与( )而点（1 , f （1））又在直线x = 1 上,•直线x = 1与函数y = f （x ）的图象至少有一个交点 (1, f(1)). 根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域 [-1,5]中的任何一个元素，在其值域中只有唯一确定的元素 f （1）与之对应，故直线 x = 1与y = f （x ）的图象有且只有一个交点.答案 B二、填空题（每小题6分，共18分）7. （2010温州模拟）某出租车公司规定“打的”收费标准如下： 3千米以内为起步价 8元（即行程不超过 3千米，一律收费8元）,若超过3千米除起步价外， 超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司 机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为 7.4,则乘客应付的车费是 ___________元.解析 车费为 8 + （7.4- 3）X 1.5= 14.6~ 15（元）. 答案 153x, x< 1,卄& (2009北京文，12)已知函数f(x)= 若f(x)= 2，贝V x= ______________x，x〉1，解析当x< 1 时，3"= 2, ••• x= log32;当x>1 时，一x= 2, • x=- 2(舍去).答案log 329. (2009 •东六校联考)函数f(x)=区]；的定义域为____________________ .解析要使f(x)有意义，x> 4<尸±• f(x)的定义域为{x|x> 4且X M 5}.答案{x|x> 4 且X M 5}三、解答题(共40分)10. (13分)(2009阳江第一学期期末)求下列函数的定义域:(1) y = 25 —x2+ Igcos x;(2) y = Iog2(—x2+ 2x).(1)由丿25—x‘0cos x>0I —5< x< 5 得n n2k n- -<x<2k n+ -(k€Z)L 2 2借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为3 n n n 3 n[—5, —y) u (—2, 2)U (~2，5].2 2(2) —x + 2x>0，即卩x —2x<0 , • 0<x<2,•••函数的定义域为(0,2).11. (13分)(2009清远一模)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1) 当每辆车的月租金定为 3 600元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？一 3 600 — 3 000解(1)当每辆车的月租金定为 3 600元时，未租出的车辆数为=12,所以这时租出了50车.⑵设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)= 100 —x —3 000 (x—150)—< 50 Jx—3 000 X 50502x整理得f(x)=—二;+ 162x—21 00050=—50(x— 4 050)2+ 307 050.所以，当x= 4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050) = 307 050.88辆即当每辆车的月租金定为 4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.12. (14分)(2010东莞模拟)已知g(x) = —x1 2 3—3, f(x)是二次函数，当x€ [ —1,2]时，f(x)的最小值为1,且f(x) +g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式.解设f(x) = ax2+ bx+ c (a 丰 0),则f(x) + g(x) = (a —1)x2+ bx+ c—3,又f(x) + g(x)为奇函数，a = 1, c= 3.b_ 2••• f(x) = x2+ bx+ 3,对称轴x=当一b>2,即即b w—4时，f(x)在［-1,2］上为减函数,• f(x)的最小值为f(2)= 4 + 2b+ 3 = 1.•- b =—3. •此时无解.b 当—1< —^<2，即—4<b<2 时，2f(X)min = f「=4 —= 1，• b = i2 2.• b =— 2 2，此时f(x) = x2— 2 .2x+ 3,当一2 < —1，即b > 2时，f(x)在［—1,2］上为增函数,• f(x)的最小值为f(—1) = 4—b= 1.• b = 3. • f(x)= x2+ 3x+ 3.综上所述，f(x)= x2— 2.2x+ 3,或f(x) = x2+ 3x+ 3.§2.2函数的单调性与最大(小)值定时检测—练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)2(2010佛山模拟)若函数y = ax与y=— -在(0, )上都是减函数，则y = ax2+ bx在(0,x+ m)上是()A .增函数B.减函数C .先增后减D.先减后增解析T y= ax与y=—~在 (0, + m)上都是减函数，x…a<0, b<0 ,…y = ax2 + bx的对称轴方程x= —<0,2a2• y= ax + bx在(0, + )上为减函数.答案B—x+ 3a, x<0 ,3(2010安庆一模)函数f(x) = x c (a>0且a丰1)是R上的减函数，贝U a的取值范围是la , x>0( )A •(0,1)B._1,- D. 0, 2解析 据单调性定义，f(x)为减函数应满足: 0<a<1, 1 03a >a , 答案 B 3. (2009 东莞 A . y = sin xc l! \C . y = 2模)下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是 y =— log 2x 1 y =x — 2 n -2，• y = sin x 在(0,1)上是增函数. 答案 A 增函数, 4. (2009天津理，8)已知函数f(x) = x 2 + 4x , 2 4x — x 2, x<0. 7 x > 0, 若f(2 — a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围 是 A . B . C . D . ( — 3, — 1)U (2, +3 ) (—1,2) (—2,1)( — 3,— 2)U (1 , +3 ) 厂 2 丿 (x + 2) — 4, —(x — 2)2+ 4,解析 f(x)= x<0, 2 a >a ，即 由f(x)的图象可知f(x)在(―3,+^)上是单调递增 a 2 + a — 2<0,解得一2<a<1. 函数，由 f(2 — a )>f(a)得 2 — 答案 C3 5. (2010淮南调研)若函数f(x) = x (x € R )，则函数y = f( — x)在其定义域上是 A .单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数 C .单调递增的偶函数 D .单调递增的奇函数 解析 f(x) = x 3 (x € R ),则函数y = f( — x) = — x 3 (x € R )显然在其定义域内是单调递减的奇函数. 答案 B26. (2010温州一模)函数f(x) = ln(4 + 3x — x )的单调递减区间是 ” 3 ——3 _ ，2 A. B.C. - 1,I D. ，4解析 函数f(x)的定义域是(一1,4), u(x) = — x 2+ 3x + 4 =— x — | 2+严的减区间为2, 4 , I 7 •••e>1, •••函数f(x)的单调减区间为答案 D 二、填空题(每小题6分，共18分) 7. (2010珠海调研)若函数f(x) = (m — 1)x 2+ mx + 3 (x € R )是偶函数，则f(x)的单调减区间是解析 ■/ f(x)是偶函数，• f( — x) = f(x), 22•- (m — 1)x — mx + 3= (m — 1)x + mx + 3 ,/• m = 0.这时f(x)=—x2+ 3, 单调减区间为[0 ,+^).答案[0,+^ )4x& (2010汕尾一模)若函数f(x) = x2^在区间(m,2m+ 1)上是单调递增函数,x ~+ I4(1 —x )解析I f' (x)= 2 2，令f' (x)>0，得—1<x<1,(x2+ 1)2••• f(x)的增区间为(一1,1).又•/ f(x)在(m,2m+ 1)上单调递增，|m> —1,2m+ 1 < 1 ,•••区间(m,2m+ 1)中2m+ 1>m , . m> — 1.综上，—1<m w 0.答案(—1,0]9. (2009 •东实验中学第一次诊断)已知定义域为D的函数f(x),对任意x( 都有|f(x)| w K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”.已知下列函数：①②f(x) = 1 —x2:③f(x)= 1 —2x:④f(x) = x2+-^,其中是“有界函数”的是的函数的序号)解析①中|f(x)|=|2sin x|w 2,②中|f(x)|w 1;④|蚀=严wx+ 1|x|+1|x|+|x|1当x= 0 时，f(x) = 0,总之，|f(x)|w 2；③f(x)<1, . ( x ) H+ o<p故填①②④.答案①②④三、解答题(共40分)110. (13分)(2010芜湖一模)判断f(x)= -在(—m, 0) U (0,+^ )上的单调性.x解•/ —1<1, f(—1)=—1<f(1) = 1,f(x)在(—m , 0) U (0,+ m)上不是减函数.1••• —2< — 1 , f( —2) = —1>f( —1) = —1,.f(x)在(一8, 0) U (0,+a)上不是增函数..f(x)在(—^, 0) U (0,+ a)上不具有单调性.x11. (13 分)(2010 青岛调研)已知f(x)= (X M a).x—a(1) 若a=—2，试证f(x)在( —a, —2)内单调递增；⑵若a>0且f(x)在(1 ,+a )内单调递减，求a的取值范围.(1) 证明任设X1<x2< —2,X1 X2 2(x1—X2)1 D,存在正数K ,) f(x)= 2s in x;_______ .(写出所有满足要求则fg)—f(X2)= —=x1 + 2 X2 + 2 (X1 + 2)(x2 + 2) T (x1 + 2)(x2 + 2)>0 , X1 —X2<0,二 f(X i )<f(X 2),••• f(x)在(一a,— 2)内单调递增. ⑵解任设1<X 1<X 2，则x 2a(x2一 xi)X 2— a (x i — a)(X 2— a)T a>0, X 2 — x i >0,•-要使 f(x i ) 一 f(x 2)>0,只需(x i — a)(x 2— a)>0 恒成立，•- a w 1. 综上所述知0<a w i. i2. (i4分)(2009宣城一模)f(x)是定义在(0,+a )上的增函数，且 (1) 求f(i)的值；(2) 若 f(6) = i ，解不等式 f(x + 3) — f i <2. 解(i)令 x = y ,得 f(i) = 0. i(2) 由 x + 3>0 及->0,得 x>0,X 由 f(6) = i 及 f(x + 3) — f£,<2, 得 f[x(x + 3)]<2f(6), 即 f[x(x + 3)] — f(6)<f(6), 亦即 fX(X+ 3)<f(6).I L 6因为f(x)在(0,+ a )上是增函数， x(x + 3) 所以^^<6,—3 — 3 i7 — 3 + 3 i7 解得 2 <x< 综上所述，不等式的解集是§ 2.3 函数的奇偶性题（每小题7分，共42分）i. （20i0吉林模拟）已知f （x ） = ax 2 + bx 是定义在［a — i,2a ］上的偶函数，那么 i B.1[a — i = 一 2a解析依题意得l b = 0」i i •a + b = 3+0=3. 答案 Bf(x i ) — f(X 2)=x i — a f x = f(x)—f(y).定时检测练技巧练规范练速度、选择a +b 的值是（ egi b = 02. (2009金华模拟)若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(―汽 0］上是减函数，且f(2) = 0, 贝U 使得f(x)<0的取值范围是 ( ) A . ( — 3 2) B . (2 ,+3 )C . ( — ^，― 2) U (2,+^ )D . (— 2,2)解析 px)是偶函数且在(-^, 0]上是减函数，且f(2)=f(-2)=0 , 可画示意图如图所示，由图知 f(x)<0的解集为(-2,2).答案 DA '1 G A. 3’ 3 C |1 G C.2, 31解析 方法一 当2x — 1>0,即x >寸时’因为f(x)在[0 , + )上单调递增’故需满足 2x —1<1 ,即 x<2 ,3 31 2 所以1 < x<|.当2x — 1<0 ,即x<*时’由于f(x)是偶函数’故f(x)在(—, 0]上单调递减’ f* = f — g , 此时需满足2x — 1>— 1,所以1<x<1 ,综上可得1<x<2.3 3 2 33方法二 •/ f(x)为偶函数 ’ ••• f(2x — 1)= f(|2x — 1|), 又••• f(x)在区间(0 , + )上为增函数’ •不等式 f(2x — 1)<f(1)等价于 |2x — 1|<1. 1 1 •—3<2x —1<3 , .1 2 •-3<x <3答案 Af( X 2) — f(X 1)4. (2009陕西文’ 10)定义在R 上的偶函数f(x),对任意X 1, [0 , +^心产x ?),有匚 1x 2 — X 1<0,则( )A . f(3)<f( — 2)<f(1)B . f(1)<f( — 2)<f(3)C . f(— 2)<f(1)<f(3)D . f(3)<f(1)<f(— 2) 解析对任意 x1 , X 2€ [0 ,+3)(x1-x2),有f(x J^<0 ,则X 2— X 1与f(X 2)— f(X 1)异号,因此函数[0 , + 3)上是减函数.又 f(x)在R 上是偶函数’故 f(— 2) = f(2),由于3>2>1 , 故有 f(3)<f(— 2)<f(1). 答案 A 5. (2009湖南示范性高中一模)函数y = f(x)与 y = g(x)有相同的定义域’且都不是常数函数’ 2f(x) 对定义域中任意 x ,有 f(x) + f( — x) = 0 , g(x)g(— x)= 1,且 X M 0 , g(x)z 1,贝 U F(x)= ［丿 g(x)— 13. (2009辽宁理, 9)已知偶函数 f(x)在区间［0 ,+3)上单调递增，则满足 B /1 D.f(x)在+ f(x)A •是奇函数但不是偶函数B •是偶函数但不是奇函数C •既是奇函数又是偶函数D •既不是奇函数也不是偶函数由条件知f( —x) = - f(x), g( —x)=2f( —x) —2f(x)••• F(—x)= + f( —x) = -7 —f(x)g(—x)—1 丄—1g(x)—f(x) g(x)—f(x) f(x)g(x) + f(x)= = =F(x) •1—g(x) g(x)—1答案B― 16. (2009丽水模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = 1 —2—：则不等式f(x)< —?的解集是A • ( — 3 —1)C • (1 ,+s )( )B. ( — 3,—1]D. [1 , )1解析当x>0时，1 —2-x= 1 —尹0与题意不符,当x<0 时，一x>0, • f(—x) = 1—2x,又••• f(x)为R上的奇函数，•f(—x)= —f(x),——f(x) = 1—2x,• f(x) = 2x—1,•- f(x)= 2 —〔< —2，• 2 <2，• x< —1,•不等式f(x)< —1的解集是(一「一1)・答案A二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2010福州模拟)已知函数y= f(x)为奇函数，若f(3) —f(2) = 1，贝U f(—2) —f( —3) = _____解析••• f(x)为奇函数且f(3) —f(2) = 1,• f( —2) —f( —3)= f(3) —f(2) = 1.答案1& (2010温州一模)设奇函数f(x)的定义域为［—5,5］，当x€ ［0 , 5］时，函数y = f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_____________ •解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在［-5,5］上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在［0,5］上的图象，得它在［-5,0］上的图象，如图所示•由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0) L(2,5) •解析答案(-2,0) U (2,5)9. (2009山东理，16)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x—4) =-f(x),且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(X)= m(m>0)，在区间［—8,8］上有四个不同的根X i ,X2,X3,X4,则X i+ X2 + X3+ X4= ___________ .解析因为定义在R上的奇函数，满足f(X—4) = —f(X),所以f(4 —X) = f(X) •因此，函数图象关于直线X =2对称且f(0) = 0,由f(x—4) =—f(x)知f(x—8)= f(x).又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(x)在区间［—2,0］上也是增函数，如图所示，那么方程f(x) = m(m>0)在区间［—8,8］上有四个不同的根X i, x?, X3, X4，不妨设X i<X2<X3<X4.由对称性知X1 + X2=—12, X3 + X4= 4，所以X i + X2 + X3 + X4=—12 + 4=一8.答案—8三、解答题(共40分)10. (13 分)(2010 杭州模拟)设函数f(x) = x2—2|x— 1 (—3< x< 3),(1) 证明f(x)是偶函数；(2) 画出这个函数的图象；(3) 指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(4) 求函数的值域.(1) 证明••• x€ ［—3,3］, A f(x)的定义域关于原点对称.2f( —x) = (—x) —2|—x|—1=x2—2|x| — 1 = f(x),即f( —x)= f(x) , A f(x)是偶函数.(2) 解当x> 0 时，f(x)= x2—2x— 1 = (x—1)2—2,当x<0 时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=厂2\ 爪 /(x -1) =2 (0 兰X 兰3)2丄x +1)2—2 (—3 Ex 兰0)根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.(3) 解函数f(x)的单调区间为[-3 , -1), [-1,0), [0,1), [1,3].f(x)在区间[-3 , -1)和[0,1)上为减函数，在[-1,0), [1,3]上为增函数.(4) 解当x> 0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2 ;当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].11. (13分)(2010湖州联考)已知f(x)是R上的奇函数，且当x€ ( —a, 0)时，f(x)=—xlg(2 —x)，求f(x)的解析式.解•/ f(x)是奇函数，可得f(0) = —f(0), A f(0) = 0.当x>0 时，一x<0,由已知f(—x)= xlg(2 + x),A— f(x) = xlg(2 + x), 即卩f(x) =—xlg(2 + x) (x>0).[—xlg(2 —x) (x<0),A f(x)=I— xlg(2 + x) (x> 0).即f(x) = —xlg(2 + |x|) (x€ R).2 a12. (14分)(2010舟山调研)已知函数f(x) = x + - (X M 0,常数a € R ). X (1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在[2 ,+^ )上为增函数，求实数 a 的取值范围. 解(1)当a = 0时，f(x)= x 2对任意 x € (—a, 0) U (0, + a ),有 f( — x)= (— x)2= x 2= f(x), ••• f(x)为偶函数.2 a当 a M 0 时，f(x) = x + X (X M 0，常数 a € R ), 若 x = ±1,贝y f(— 1)+ f(1) = 2M 0 ； • f( — 1) M — f(1), f( — 1) M f(1). •函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a = 0时，f(x)为偶函数； 当a M 0时，f(x)为非奇非偶函数. (2)设 2< X 1<x 2,2 a 2 a_f(X 1) — f(X 2)= X 1+ — — X 2 — ~X 1 — X 2要使函数f(x)在x € [2 , + a )上为增函数, 必须f(X 1)— f(X 2)<0恒成立.T X 1 — X 2<0 , X 1X 2>4 , 即 a<X 1X 2(X 1 + X 2)恒成立.又••• X 1 + X 2>4 , • X 1X 2(X 1 + X 2)>16 , • a 的取值范围是(一a , 16].X 1X 2[X 1X 2(X 1 + X 2)— a],§ 2.4 指数与指数函数定时检测练技巧练规范练速度、选择题（每小题7分，共42分） 1. （2010滨州一模）下列等式3 6a 3 = 2a ; C . 2个—34 2= 4 (— 3)4 云2中一定成立的有( )D . 3个=—32<0, 解析^6a 3 =館a 工2a ; ^（ — 2）2 =體=紡>0 , • 2 丰勺（—2）2; —34 2<0 , 4 （— 3）4x 2>0 , • 答案A—342工 4 (— 3)4x 2.2. （2009新乡模拟）函数f （x ）=ax-b 的图象如右图，其中 列结论正确的是 A . B . C . D . a >l , b <0 a>1, b>0 0<a<1, b>0 0<a<1, b<0 a、解析 由图象得函数是减函数， .'0<a<1. 又分析得，图象是由 y=ax 的图象向左平移所得， •b>0,即b<0.从而D 正确. 答案 D 3. （2010 •泽联考）已知函数y = 4x — 3X 2x + 3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是（A . [2,4]C . （0,1] U [2,4]解析 y =好—3 x 2x + 3= 2x — • 2x—严 • 2x 3 € •-2 —2 €B . ( —R, 0]D . (— R, 0] U [1,2]22+去⑴7】，1 25 | j4， 4 J5 11 -2， 2_ • 2x € [ — 1,1] U [2,4] , • x € 答案 D —T U "1(—R, 0] U [1,2].4. （2009温州模拟）定义运算: a*b =(a < b) (a>b)' 如1]A . R C . (0,1]B . (0 ,+R ) D . [1 ,+R )解析 f(x) = 2x *2 - x = 2x (x w 0).2 - x(x>0),.f （x ）在（—R, 0]上是增函数，在（0, +R ）上是减函数，• • 0<f(x )w1.答案 C15. (2009珠海模拟)若函数f(x) = 2x ^1，则该函数在(―汽+^ )上是 ( )A .单调递减无最小值B .单调递减有最小值C .单调递增无最大值D .单调递增有最大值1 1解析 令u(x) = 2x + 1,贝U f(u)=因为u(x)在(—8,+^)上单调递增且 u(x)>1，而f(u)=j 在(1,1上单调递减，故f(x) = -^ 在(—8, + 8)上单调递减，且无限趋于 0，故无最小值.2x + 1 答案 A1x 26. (2010湖州联考)函数y = 2n (2a — 3)—-的部分图象大致是如图所示的四个图象的一个，根据你的判断, a可能的取值是1 A .2解析函数为偶函数，排除据图象先增后减的特征可知 2a — 3>1，即a>2，符合条件的只有 D 选项，故选D. 答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7. (2009青岛一模)若f(x)= a —x 与g(x) = a x —a (a>0且a ^ 1)的图象关于直线 x = 1对称，则a = 解析 g(x)上的点P(a,1)关于直线x = 1的对称点P ' (2 — a,1)应在f(x)= a —x 上， --1 = a—. — a — 2 = 0,即 a = 2. 答案 2& (2010济宁调研)设函数f(x) = a —xi (a>0且a ^ 1)，若f(2) = 4,贝U f( — 2)与f(1)的大小关系是1解析 由f(2) = a- = 4，解得a = ,••• f(x) = 2|x|, ••• f( — 2) = 4>2 = f(1). 答案 f(— 2)>f(1)x/5 一 19. (2009江苏)已知a = 2—，函数f(x) = a x ,若实数 m 、n 满足f(m)>f(n),则m 、n 的大小关系为 _________ . 解析 ■/ 0<a = 5—1<1 , 函数 f(x)= a x 在 R 上是减函数.又 ；f(m)>f(n), • m<n.答案 m<n三、解答题(共40分)10. (13分)(2010临沂月考)已知对任意x € R ，不等式 实数m 的取值范围.解 由题知：不等式 2 x 2 + x> 2 2x 2— mx + m + 4 对 x € R 恒成立，• x 2 + x<2x 2— mx + m + 4 对 x 成立.• x 2— (m + 1)x + m + 4>0 对 x € R 恒成立. --△= (m + 1) — 4(m + 4)<0.23 B.2①②，又函数值恒为正值, 则排除④，故图象只能是③，再根C . 2D . 41>2x 2+ x—mx + m + 4恒成立，求--m —2m —15<0. - - —3<m<5.11. (13分)(2009中山一模)若函数y = a 2x + 2a x - 1(a>0且a 丰1)在x € [ — 1,1]上的最大值为14, 求a 的值. 解 令 a x = t ,「. t>0，贝U y = t 2 + 2t — 1= (t + 1)2— 2,其对称轴为 t =— 1•该二次函数在[—1, + g )上是增函数.① 若 a>1, T x € [ — 1,1] t = a x € 孑 a I,故当 t = a , 即卩 x = 1 时，y max = a 2 + 2a — 1 = 14, 解得a = 3(a =— 5舍去). ② 若 0<a<1, •/ x € [ — 1,1],_ 11 1二 t = a x € a , §，故当 t =舌，即 x =— 1 时， y max = 7+ 1— 2= 14.「. a = §或一5(舍去).1综上可得a = 3或§.(1) 求常数c 的值；x[2(2) 解不等式f(x)>§ + 1. 解(1)依题意 0<c<1, ••• c 2<c , f (c 2) = 9, • c 3 + 1 = 9,c =1§ 2.5 对数与对数函数\定时检测L练技巧练规范练速度一、选择题（每小题7分，共42分）1. （2009湖南文，1）log 2 .2的值为( )A . -2B. ,21C . — 21 D.2解析 log 2 .2= logzg =cx +1(0<x<c)12. (14分)(2009宁波模拟)已知函数f(x)=2—总+ 1 (c < x<1)29满足 f(c ) =⑵由(1)得f(x)=12 4x+ 1 矿 x<1)1 1 M2 当 0<x<1 时，jx + 1^^2+ 1, • 当1 w x<1 时，2 — 4x + 1>¥ + 1, 2 8 ._2 1'4 <x <2, c= 2. (°<x<2)由 f(x)>综上可知: • f(x)> + 1的解集为 8<X <J答案D2. (2009 •东文,4)若函数y = f(x)是函数y= a x(a>0,且a丰1)的反函数，且f(2) = 1,则f(x) = ( ) A.p B . 221C. log* D . log 2x解析函数y= a x(a>0，且a丰1)的反函数是f(x)= log a x，又f(2) = 1，即log a2= 1，所以a =2，故f(x) = log z x,故选 D.答案D3. (2009 •宁文，6)已知函数f(x)满足：当x>4 时，f(x) = 1 x；当x<4 时，f(x) = f(x+ 1)•则f(2 + log23)= ( )1 113A・2； B.石 C.8 %解析因为2+ log23<4，故f(2 + log23) = f(2 + log23 + 1) = f(3 + log23).又3+ log23>4, 故f(3 + log23)= ±3+ log23= £ ；卜答案A4. (2009 韶关第一学期期末)已知0<x<y<a<1, m= log a x+ log a y，则有()A . m<0B . 0<m<1C. 1<m<2D. m>2解析m= log a xy, •/ 0<x<y<a<1, /• 0<xy<a2<1.二m>log a a = 2.答案D5. (2010烟台一模)函数y= f(x)的图象如下图所示，则函数y= log^f（x）的图象大致是（）6. (2010绍兴模拟)函数y= log a|x+ b| (a>0, 1, ab= 1)的图象只可能是)A B C D解析由a>0, ab =1可知b>0,又y=log a|x+b|的图象关于x=-b对称，由图象可知b>1，且0<a<1，由单调性可知，B正确.答案B二、填空题（每小题6分，共18分）7. （2009江苏，11）已知集合A= {x|log2x w 2}, B = （—a），若A? B，则实数a的取值范围是（c,+8 ），其中c= ____________________________________________ .解析T log2x w 2, ••• 0<X W 4•又••• A? B, /• a>4,••• c= 4.答案43 1& （2009嘉兴第一学期期末）计算：［（—4） £+ Iog525= _______ .解析原式=（—4）1+ log552=— 4 + 2= — 2.答案—29. （2009台州第一学期期末）已知0<a<b<1<c, m= log a c, n= log b c，则m与n的大小关系是解析T m<0, n<0, m= log a c log c b = log a b<log a a= 1, • m>n.答案m>n三、解答题（共40分）1 1210. （13分）（2010巢湖一模）将下列各数按从大到小的顺序排列: Iog89, Iog79, log?3, log? 9,13 1 n2，2 •解log^29= （—log29）2= log%,在同一坐标系内作出y = log s x , y = log7X , y = log2x的图象如图所示，当x = 9时，由图象知log29>log79>log89>1 = log88 , • Iog29>log 79>log 89>1,2即log j 9 log 79 log 89 1.2•「y =(亍)在R上是减函数，1 31/1>^-) >(；) n >0.2 2又log3<0 ,2 13 1综上：log 19 log79 log 89(一) ( ) n log 13.2 2 2 211. (13分)(2009邵阳模拟)若函数y= lg(3 —4x + x5)的定义域为M.当x€ M时，求f(x)= 2x+ 2 —3 X 4x的最值及相应的x的值.解y= lg(3 —4x+ x2), /. 3—4x+ x2>0 ,解得x<1 或x>3 , ••• M = {x|x<1，或x>3},f(x)= 2x+ 2—3X 4x= 4X 2x—3X (2x)2.令2x= t, •/x<1 或x>3,• t>8 或0<t<2.• f(t)= 4t—3t2= —3(t—3 /+ 3(t>8 或0<t<2).由二次函数性质可知：当0<t<2 时，f(t) € 0, £,当t>8 时，f(x) € (― a,—160),5 4综上可知：当x= Iog2§时，f(x)取到最大值为3,无最小值.12. (14 分)(2009 四平期末)已知函数f(x) = 3x, f(a+ 2) = 18, g(x) = X3ax—4x的定义域为［0,1］.(1) 求a的值；⑵若函数g(x)在区间［0,1］上是单调递减函数，求实数入的取值范围.解方法一(1)由已知得3a+ 2= 18? 3a= 2? a = log32.x x(2) 由(1)得g(x)= X2 —4，设0W XKQ W 1,因为g(x)在区间［0,1］上是单调减函数，所以g(X1) —g(x2)= (2x1 —2x2)( X—2x2—2x”>0 恒成立，即X2x2+ 2x1 恒成立.由于2x2+ 2X1>2°+ 20= 2,所以，实数X的取值范围是X 2.方法二(1)由已知得3a+2= 18? 3a= 2? a = log32.(2)由(1)得g(x)= X2x—4x,因为g(x)在区间［0,1］上是单调减函数，所以有g' (x) = X n 2 2x—ln 4 4x2 2 4 当2x= t = 3，即卩X= log2§时，f(x)max==In 2[ — 2 (2x)2+ 入2x] w 0 成立.设2x= u € [1,2]，上式成立等价于—2u2+入U 0恒成立.因为u€ [1,2]，只需入w2u恒成立，所以实数入的取值范围是疋2.殳・6 —次函数、二次函数与幂函数定时检测一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2009菏泽重点中学阶段性练习)下列函数：①y= ② y= 3x—2;③ y= X4+ X2:④y = 3x2,X其中幕函数的个数为()A . 1B . 2C . 3D . 4解析•••①中y= x—3；④中y= x|符合幕函数定义；而②中y= 3x—2,③中y= x4+ x2不符合幕函数的定义.答案B9 *2. (2010淄博一模)函数f(x) = xin (n € N , n>9)的图象可能是9 9解析•/ f(—x)= |—xi；= x|n=f(x),•••函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、B.1 1令n = 18,则f(x)= |x|p当x>0时，f(x)= x》由其在第一象限的图象知选答案C3. (2009湖北理，9)设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度长速度与球半径(A •成正比，比例系数为cB •成正比，比例系数为2cC •成反比，比例系数为cD •成反比，比例系数为2c4 3 2C.c增长，则球的表面积的增)C D解析••• V = 3 n R(t)，••• V' (t) = 4 TR(t)R' (t) = c.c 2:R⑴=瑜二収皆4n R(t)，c 2c••• S' (t) = 8 冈t)R' (t) = 8刑)甸=丽答案D4. (2009云浮联考)函数f(x) = -x2+ (2a—1)|x|+ 1的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数a的取值范围是（）2 1 3A . a>3 B."2<a<21 1C. a>2D. a<2解析f(x) = —x2+ (2a —1)|x|+ 1是由函数f(x)=—x2+ (2a—1)x+ 1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象•因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)=—x2+ (2a—1)x+ 1的对称2a —1 1轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间•所以—>0，即a>&答案C5. (2009 •东实验中学第一次诊断)若0<a<1 , x>y>1，则下列关系式中正确的个数是()①a x> a y② x a>y a③ log a x>log a y ④ log x a>log y aA . 4B . 3 C. 2 D . 1解析■/ 0<a<1, x>y>1,二y= a x递减，故①不正确；y= x a递增，故②正确；y= log a x递减，故③不正确.log x a<0 , log y a<0,log x a>log y a? log a x<log a y，正确.综上，②④正确.答案C6. (2010莆田调研)已知函数y= log2(x2—2kx+ k)的值域为R，则实数k的取值范围是()A . (0,1) B. ( — 3 0] U [1 ,+s )C. [0,1)D. k= 0或k> 1解析要满足题意，t= x2—2kx+ k要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，••• A= 4k2—4k> 0.解得k> 1 或k< 0.答案B二、填空题(每小题6分，共18分)7. ___________________________________________________________________________ (2010临沂一模)当％€ {— 1, 1, 1, 3时，幕函数y= x a的图象不可能经过第 ______________________________ 象限.解析当x>0时，y>0,故不过第四象限；当x<0时，y<0或无意义.故不过第二象限.综上，不过二、四象限.也可画图观察.答案二、四& (2009吉林省实验中学一模)函数y= x+ 2 ,x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和M + N = _________ .解析令t= x€ [0,2] , • y= t2+ 2t = (t+ 1)2—1,在t € [0,2]上递增.•••当t = 0 时，N = 0,当t= 2 时，M = 8.「. M + N= 8.答案89. (2009泰安二模)已知(O.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是______________ . 解析•/ 0<0.71.3<0.7°=1,1.30.7>1.30= 1 ,1.3 0.7 1.3、m 0.7 m…0.7 <1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ),幕函数y= x m在(0 ,+s)上单调递增，故m>0.答案(0,+^ )三、解答题(共40分)10. (13分)(2010新疆和田联考)已知函数f(x) = (m6- m- 1) x「5m「7, m为何值时, f(x)：(1)是正比例函数；⑵是反比例函数；(3) 是二次函数；⑷是幕函数.解(1)若f(x)是正比例函数，4则—5m- 3= 1,解得m= —5,2 4此时m —m —1工0，故m=—.5⑵若f(x)是反比例函数，则—5m—3 =—1,2 2 2则m=—二，此时m—m —1工0,故m=—.5 56⑵当m=—*时，f(x)是反比例函数.⑶当m=—1时，f(x)是二次函数.⑷当m= 2或m=—1时，f(x)是幕函数.11. (13分)(2009汕头模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通.根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数. (注：营运人数指火车运送的人数)解设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，16= 4k+ b, k=—2,则设t = kn+b.由解得、10 = 7k+ b 、b = 24.••• t=—2n + 24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y,贝U y= tn x 110X 2 = 440( —n2+ 12n),当n = 6时，总人数最多为15 840人.答每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人.12. (14分)(2009杭州学军中学第七次月考)已知函数f(x) = x2, g(x) = x— 1.(1) 若存在x€ R使f(x)<b g(x)，求实数b的取值范围；(2) 设F(x) = f(x)—mg(x) + 1 —m—m2,且|F(x)|在［0,1］上单调递增，求实数m的取值范围.⑶若f(x)是二次函数，则—5m —3= 2, 即m=—1，此时m2—m — 1 丰 0,故m=—1,⑷若f(x)是幕函数，贝U m2—m —1= 1, 即m2—m—2= 0，解得m= 2或m=— 1.4综上所述，(1)当m=—5时，f(x)是正比例函数.解⑴？ x€ R, f(x)<bg(x)?? x€ R, x2—bx+ b<0 ? (—b)2—4b>0? b<0 或b>4.2 2(2)F(x)= x —mx+ 1 —m ,2 2 2△= m —4(1 —m ) = 5m — 4.①当0,即一2; 5三m W 2； 5时，则必需5 52、5, ^2,5②当△ >Q 即m<—或m〉2^5时，设方程F(x)= 0 的根为X1, X2(X1<X2).-> 1若罗> 1,贝U x1< 0, 即卩2? m> 2;占(0) = 1 —m2w 0若m W 0,则x2W 0,即j 2F(0) = 1 —m > 05? —1 W n<—■；5综上所述：—1W m W 0或2.§ 2.7 函数与方程定时检测练技巧练规范练速度一、选择题(每小题7分，共42分)1. (2010临沂模拟)设f(x)= 3x—x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A . [0,1]B . [1,2]C. [ —2, —1] D . [ —1,0]解析••• f(—1) = 3 —1—(—1)2= 3 — 1 = —2<0 ,0 2f(0) = 3 —0 = 1>0,••• f( —1) f(0)<0 , •••有零点的区间是[—1,0].答案D2. (2009天津理,A .在区间B .在区间C .在区间D .在区间14)设函数f(x)= 3X- In x(x>0)，则y= f(x) 1 , (1, e)内均有零点1 , (1, e)内均无零点1内有零点，在区间(1, e)内无零点1内无零点，在区间(1, e)内有零点A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根解析 本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图 象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根. 本题显然考虑第一种方法•如图，作出函数 y=|x|(x-1)的图象， 1由图象知当k€(,0)时，函数y=k 与y=|x|(x-1)有3个不同的交点, 4即方程有3个实根. 答案 A6. (2009 怀化调研)设 f(x)= x 3+ bx + c (b>0) ( — 1 < x < 1)，且 f — 丁 • 1<0 解析因为f e f(1) =31- J3 e e 因此f(x)在 £ 1内无零点.•3—1 =誌+1 >o ， 又 f(1) f(e)= 卜 1 — |n 1 - 3 e - In e = 1-^3<0.因此f(x)在(1, e)内有零点. 答案 D3. (2009福建文，11)若函数f(x)的零点与g(x) = 4x + 2x - 2的零点之差的绝对值不超过 0.25,则f(x)可以是 ()A . f(x)= 4x - 1 C . f(x) = e x - 12B . f(x) = (x - 1) D . f(x) = In解析•/ g(x)= 4x + 2x -2 在 R 上连续且 g(1) = 2+ 2-2 = 2-1<0, gg)1 1设 g(x) = 4x + 2x - 2 的零点为 x 0,则 4<x 0<2，=2+ 1 - 2 = 1>0.11 o<x 0-4<4，・1 X 。

2011年高考数学试题分类汇编-专题函数与导数-理2011年高考试题数学（理科）函数与导数一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数(),y f x x R=∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确.2. (2011年高考山东卷理科9)函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.3. (2011年高考山东卷理科10)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x=-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】B【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x xx=-,又因为()f x 是R上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.4．(2011年高考安徽卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x xx2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值，是容易题.【解析】∵设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0()f x '=23(34)a xx -=234()4ax x --，在[0,34]是增函数，不适合.【解题指导】排除法解决存在问题和不确定问题很有效6．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞） 答案： D解析：不等式等价于11,22xx -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2,x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即0x ≥，故选D.8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】 B 【解析】：当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，故选B9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）A 3x y = B 1+=x y C 12+-=xyD xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。

高中函数图像考试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的图像是一个：A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 正弦曲线答案：B2. 函数 \( y = |x| \) 的图像在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：A3. 函数 \( y = \sin(x) \) 的图像是：A. 线性的B. 周期性的C. 单调的D. 常数的答案：B二、填空题4. 如果函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处取得极值，那么\( f'(a) \) 等于 _______ 。

答案：05. 函数 \( y = x^3 \) 的图像是关于 \( x \) 轴的 _______ 对称。

答案：不三、简答题6. 解释函数 \( y = \ln(x) \) 的图像为什么在 \( x = 0 \) 处没有定义。

答案：函数 \( y = \ln(x) \) 是自然对数函数，其定义域为\( x > 0 \)。

当 \( x = 0 \) 时，没有实数可以作为对数的底数，因为对数函数的底数不能为1，也不能为负数或0。

因此，\( x = 0 \) 处没有定义。

7. 描述函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限的行为。

答案：函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限都是递减的。

当 \( x \) 增大时，\( y \) 减小；当 \( x \) 减小时，\( y \) 增大。

这是因为当 \( x \) 的值增加时，其倒数 \( 1/x \) 的值会减少，反之亦然。

四、计算题8. 给定函数 \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求导数 \( f'(x) \) 并找到函数的极值点。

答案：导数 \( f'(x) = 4x + 3 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 解得\( x = -3/4 \)。

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考点7 函数的图象选择题1.(2011·新课标全国高考理科·Ｔ12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）(A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8 【思路点拨】画出2sin y x π=和11y x=-的图象，然后根据两者的图象探究交点横坐标之间满足的关系。

【精讲精析】选D 。

由题意知1111y x x -==--的图象是双曲线，且关于点（1，0）成中心对称，又2sin y x π=的周期为22T ππ＝＝，且也关于点(1,0）成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点（1，0)成中心对称，再结合图象(如下图所示）可知两图象在[]-2,4上有8个交点，因此8个交点的横坐标和128428x x x +++=⨯=。

2.(2011·新课标全国高考文科·Ｔ12）已知函数y=f （x ）的周期为2，当x ∈[]11，-时，f(x ）=x 2,那么函数y=f （x)的图象与函数y=x lg 的图象的交点共有（ ) （A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 (D ）1个【思路点拨】作出2()f x x =在一个周期[]1,1-内的图象，然后进行左右平移，再画出函数|lg |y x =的图象，由两者图象得交点个数。

高考数学真题解析分项版03函数与导数 文一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C【解析】因为'23y x =,切点为P （1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.2.(2011年高考安徽卷文科5)若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上. 3.(2011年高考安徽卷文科10)函数()()nf x ax x 2=⋅1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 的值可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时()()()f x ax x a x x x 232=⋅1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯⋅1-=3332，知a 存在.故选A.【解题指导】：排除法解决存在性问题和不确定性问题很有效。

4. （2011年高考山东卷文科10)函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.7 ．(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C【解析】由题得），，（）函数的定义域为（且∞+∴≠->∴⎩⎨⎧>+≠-11,1-110101 x x x x 所以选C.8．(2011年高考广东卷文科10)设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f •••=••10. （2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e【答案】A【解析】1,0,0'===e x e y x.11. （2011年高考福建卷文科8)已知函数f （x ）=20,1, 0x x x x >⎧⎨+≤⎩，。