年全国大联考高三第六次联考数学(文)试卷

高三第六次联考文科数学试题一、选择题（每小题5分；共50分）1、不等式x x 2|12|≥-的解集为A 、}41|{-≤x xB 、}41|{-≥x xC 、}41|{≤x xD 、}41|{≥x x 2、圆心为(1；2)且与x 轴相切的圆的方程为A 、4)2(1)(22=-+-y xB 、1)2(1)(22=-+-y xC 、1)1(2)(22=-+-y xD 、4)1(2)(22=-+-y x3、在ΔABC 中；若2cos 2sinB A B +=；则ΔABC 为 A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形D 、正三角形4、已知b>a ；且a ；1；b 依次成等差数列；(a+bx)6的展开式中x 3项系数为540；则a 等于A 、－3B 、－2C 、－1D 、05、将容量为100的样本数据；按从小到大的顺序分成8个组；如下表则第6组的频率为A 、0.14B 、0.15C 、14D 、15 6、若曲线x x y -=4在点P 处的切线平行于直线y=3x ；则点P 的坐标为A 、(0；1)B 、(－1；2)C 、(－1；－3)D 、(1；0)7、设)1(32)1(2-≤++=+x x x x f ；则函数)(1x f-的图象为8、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；O 为正方形ABCD 的中心；则D 1O 与AB 所成的角为A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°9、如图；在一个田字形区域A 、B 、C 、D 中栽种观赏植物； 要求同一区域中种同一种植物；相邻两区域中种不同的 植物(A 与D 、B 与C 为不相邻)；现有4种不同的植物可供选择；则不同的种植方案种数为A 、24B 、36C 、48D 、84C D10、在直角坐标平面上；向量OA =(4；1)；OB =(2；－3)在直线l 上的射影长度相等；则l 的斜率为A 、2B 、21-C 、3或21-D 、2或21-二、填空题（每小题4分；共20分）11、︒+︒-15tan 175cot 1= 12、过点A(-1,0)作抛物线)0(22>=p px y 的两切线；切点分别为B 、C ；且ΔABC 为正三角形；则抛物线的方程为13、设球O 的半径为R ；A 、B 、C 为球面上三点；A 与了、A 与C 的球面距离都是2R π；B 与C 的球面距离是3R π；则二面角B-OA-C 的平面角等于 14、10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税法的决定；工薪所得减除费用标准从800元提高到1600元；也就是说原来月收入超过800元的部分都要纳税；1月1日开始；超过1600元的部分才纳税；若税法修改前后超过部分的税某人9月交纳个人所得税123元；则按照新税法只要交税 元15、一个项数为偶数的等比数列；它的偶数项的和是奇数项的和的2倍；它的首项为1；且中间两项的和为24；则此等比数列的公比为 ；项数为 。

2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}230A x x x =-=，{}216B x x=<，则下列关系正确的是（）A.A B A ⋃= B.A B ⋂=∅C.A B A= D.U UA B⊆痧2.若实数a ，b 满足0a b <<，则（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b b a+<+3.设x ∈R ，则“3122x -<”是“21log 2x <<-”成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中，1238a a a ⋅⋅=，56724a a a ⋅⋅=，则91011a a a ⋅⋅=（）A.48B.72C.96D.1125.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（）A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺6.若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A.6,15⎛--⎫⎪⎝⎭B.6,15⎛⎫-⎪⎝⎭C.()6,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭D.()6,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.已知π02βα<<<，且()12cos 13αβ-=，3cos 25β=-，则()sin αβ+=（）A.1665B.3365C.5665D.63658.已知数列{}n a 是递增数列，且4(21)4,5(4)15,5n n a n n a a n --+≤⎧=⎨-+>⎩，则a 的取值范围是（）A.120,211⎛⎤⎥⎝⎦B.120,211⎛⎫⎪⎝⎭C.1,22⎛⎤⎥⎝⎦D.1,22⎛⎫⎪⎝⎭9.已知0a >，0b >且32a b +=，则12311a b +++的最小值为（）A.125B.245C.3224+ D.3222+10.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列{}n a 是等方差数列，且公方差为3，11a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前33项的和为（）A.3B.6C.2D.411.将函数()2sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω（0ω>）（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12.如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，4AB =，3CD =，EF 是圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则⋅BE AF的取值范围是（）A.[]2,5- B.[]1,7- C.[]0,8 D.[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数x ，y 满足约束条件2023020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最小值为______．14.已知数列{}n a 满足11a =，21a =，223,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前12项和为______．15.已知函数(1e ()ln e 1x x f x x -=-++，若对任意的x ∈R ，()()201f ax x f x +-+<-恒成立，则a 的取值范围为______.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*121,n n S S n +=+∈N ，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则21n na T +的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，25489a a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1sin sin 4B C =，1tan tan 3B C =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若a =，求ABC 的周长和面积．19.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，n a =（*n ∈N 且2n ≥）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *≥∈.设1n n n b a a +=-.（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1(1)(21)n n n n a c b +=+⋅+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.21.已知数列{}n a 满足1212(21)333334n nn n a a a +-⋅+++⋅⋅⋅+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【答案】A 【11题答案】【答案】A 【12题答案】【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】114【15题答案】【答案】()1,+∞【16题答案】【答案】8三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）13n na =（2）()1112232n n n n T +=--⋅【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）ABC 的周长为8+【19题答案】【答案】（1）21n a n =-（2）2332n nn T +=-．【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【答案】（1）n a n=（2）()()1,2,N 21,21,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩【22题答案】【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭。

汕头市2024年高三下学期期末六校联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥2．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =3．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－814．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 5．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．62C ．3D ．66．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞9．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+10．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．3512．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212B 21C 31+ D 31二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市一中2024年全国高三大联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.52．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．1283．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为82AB =（ ）A ．6B ．9C ．92D ．624．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B 2C ．22D ．25．若2nx x ⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 7．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．511．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020届全国大联考高三第六次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤答案：D首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 解：解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 点评：本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 答案：B设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 解：解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 点评：本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.3．若双曲线22214x y a -=）A ．B ．C ．6D ．8答案：A依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 解：解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 点评：本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180答案：A因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 解：Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 点评：本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17答案：C首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 解：解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8.故选：C 点评：本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u u u r （ ）A 51+u urB 51RQ +u u urC 51-u urD 51RC -u ur答案：A利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 解：解：515122AT ES SD SR RD QR -=-==u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 7．“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-，∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．8．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 解：∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.点评：本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.9．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．32答案：B因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.解：Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D推导出PM PN a +=，且PM PN =，22MN a =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知， 22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴23122272232424P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D点评：本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.11．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为。

2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试（课标全国Ⅲ卷）文 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则AB =（ ）A. (){}1,1 B.(){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x+=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-.故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线2213x y -=的焦点到渐近线的距离是( )A. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式进行解即可．【详解】双曲线2213x y -=的渐近线为y x =，23a =，21b =，222314c a b =+=+=，即2c =，设一个焦点(2,0)F0x y +=， 则焦点F到其渐近线的距离1d ===， 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．4.已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】D 【解析】 【分析】对3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭按照两角差的余弦公式进行展开，再平方结合二倍角公式即可得结果. 【详解】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得3cos 225x x +=， ∴()2219sin sin 2cos 225x x x ++=，即181sin 225x +=， ∴7sin 225x =-，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的关系式与二倍角公式、两角和与差的余弦公式的应用，属于中档题. 5.把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)12πD. (0,0)【答案】D 【解析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D.考点：三角函数的图象与性质.6.已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是A. [-1，0)B. [0，1]C. [-1,1]D. [-2,2]【答案】C 【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤∴1a ≤ ∴11a -≤≤ 故选C.点睛：本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤.7.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A. 13- B.13C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】先根据,2BD DC AP PD ==得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+，故可得1133AP AB AC =+，利用BP AP AB =-可得23BP AB AC =-+，故可计算λμ+的值． 【详解】因为,2,BD DC AP PD ==所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+, 所以1133AP AB AC =+,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+，因为BP AB AC λμ=+，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+，那么G 为ABC ∆的重心． 8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A. 16216πB. 1628πC. 8216πD. 828π 【答案】D 【解析】【详解】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为2111442226828222πππ⋅⋅+⋅⋅=,故选D ． 9.设a ，b ，c 为锐角ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos 23sin A B Ca b +=若2b =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） 3 B. 3 C.33D.12【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得3sin 23sin C B C =，进而得到3sin B =，1cos 2B =，再由余弦定理和基本不等式，求得4ac ≤，利用三角形的的面积公式，即可求解.【详解】因为cos cos A B a b +=3cos 3cos sin b A a B C +=，由正弦定理，可得3sin cos 3sin cos sin B A A B B C +=，又由3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A B A B C +=+=，即3sin sin C B C =， 又由(0,)2C π∈，则sin 0C >，所以sin B =， 又由(0,)2B π∈，所以1cos 2B =， 由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c ac =+-=+-=， 又由2242a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且a c =时等号成立， 所以4ac ≤，所以ABC ∆的面积的最大值为11sin 4222S ac B ==⨯⨯=故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A.mm n+ B.nm n+ C.4mm n+ D.4nm n+ 【答案】C 【解析】 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求． 【详解】总人数为+m n ，写出的+m n 组数可以看作是+m n 个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆221x y +=内，则211411+m m nπ⨯=⨯，即4+m m n π=，故选C ．【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用，是一道中等难度的题目．11.设抛物线22(0)2x pt p y pt ⎧=>⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为（ ）B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题，可得),Ap ，又由~ABE FCE ∆∆及ACE ∆的面积为ACF S ∆=，然后通过求132ACF S p ∆=⨯=. 【详解】根据已知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，:2pl y =-， 由||2||CF AF =，得3||2AF p =， 不妨设点(,)A x y 在第一象限， 则322p y p +=，即y p =，所以x =， 易知~ABE FCE ∆∆，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =， 所以ACF ∆的面积是AEC ∆面积的3倍，即ACF S ∆=132ACF S p ∆=⨯=p =. 故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线与直线的综合问题，考查学生的分析问题和解决问题能力及运算求解能力，属于中档题目.12.已知函数()1ln b a f x x x =--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（ ） A.21e + B.221e e e +++ C. 1e +D.22e + 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根，令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，利用导数判断函数的单调性，进而求出()g x 的最值，根据0b e ≤≤，可得21a e e ≤≤+，再根据不等式的性质即可求解.【详解】由题意函数()1ln b af x x x =--（0a >，0b e ≤≤） 在区间[]1e ，内有唯一零点，即1ln 0b ax x--=在区间[]1e ，内有唯一实数根， 即ln a bx x x =+在区间[]1e ，内有唯一实数根， 令()[]ln ,1,g x bx x x x e =+∈，()ln 10g x b x b '=++=，解得1ln 1b x b +=-<-，1x e<， ∴函数()g x 在区间[]1e ，上单调递增，()11g =，()g e be e =+，0b e ≤≤，21a e e ∴≤≤+，则222b e ≤+≤+，2211a e e ≤+≤++，则21b a ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C ：2268210x y x y +--+=，直线l 1斜率存在过定点1,0A ．若1l 与圆相切，则1l 的方程_________． 【答案】3430x y --= 【解析】 【分析】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-根据圆心到直线1l 的距离等于圆的半径，求得34k =，即可求得直线1l 的方程.【详解】设直线1l 的斜率为k ，则直线1l 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=， 由圆C ：2268210x y x y +--+=，可得圆心(3,4)C ，半径为2R =， 因为直线1l 与圆相切，则圆心到直线1l的距离等于圆的半径，即2d ==，解得34k =，所以直线1l 的方程为3(1)4y x =-即3430x y --=.故答案为：3430x y --=【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的切线方程的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14.设n S 为等比数列{}n a 前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】 【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =，则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题. 15.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数； ②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意条件，利用函数的奇偶性、周期性等性质对每一项进行逐项分析. 【详解】解：命题①：由()()2f x f x +=- 得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确； 命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确； 命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--， 又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=， 所以函数()f x 是偶函数，故③正确； 命题④：()()()2220f f f -=--+=-， 无法判断其值，故④错误. 综上，正确论断的序号是：①②③. 故答案为：3.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性等性质，解题的关键是能将抽象函数利用相关条件进行转化，还考查了数形结合的思想方法.16.金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．【答案】233a 【解析】 【分析】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，34OR SO a ==，设SR x =利用勾股定理222OM MR OR +=即可解得x ，从而可得正四面体SPQR 的外接球的半径，进而可求出体积.【详解】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，如图：连接SO ，延长交平面PQR 于点M ，则M 为△PQR 的中心， 所以设SR x =，233323MR x x =⨯=， 因为11344OR SO ST a ===3=，所以22223()3SM SR MR x x =-=-6x =， 由222OM MR OR +=，得222()SM SO MR OR -+=，得2226333()()()x x -+=，解得2x =， 所以正四面体SPQR 的棱长为22a . 依题意可知，正四面体SPQR 的外接球的圆心为O ，半径为34a ， 所以正四面体SPQR 的外接球的体积是343()3π⨯3316a =.故答案为：22a 33a . 【点睛】本题考查了正四面体与球，考查了球的体积公式，属于中档题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：352a a +=，125a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 取得最大值时n 的值．【答案】（Ⅰ）17355n a n =-（n *∈N ）；（Ⅱ）10． 【解析】 【分析】（1）由已知条件根据等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而得出通项公式；（2）根据等差数列前n 项和公式，求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再由1001nn S n S n +⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪+⎩，即可解出n 的值．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，依题意1125262a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得114535a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则()14317315555n a n n ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭． 故数列{}n a 的通项公式为17355n a n =-（n *∈N ）； （Ⅱ）由()12n n n a a S +=得3311010n S n n =-+． 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为145公差为310-的等差数列，令()33101010331101010n n ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++≤⎪⎩，解得283133≤≤n ， 由于n *∈N ，所以10n ≤，故n T 取得最大值时n 的值为10．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和的求法，解题的关键是熟练掌握并运用等差数列的性质．18.如图，正方形ABCD的边长为以AC 为折痕把ACD 折起，使点D 到达点P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，设()01PN PA λλ=<<，且三棱锥A BMN -的体积为89，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AC 中点O ，连结POBO ，，由条件证明,PO AC PO OB ⊥⊥；（2）利用等体积转化1839A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅=，解得43AMNS =，由面积公式解得λ的值.【详解】解：（1）取AC 中点O ，连结POBO ，. 因为PC PA =，所以PO AC ⊥.POB 中，122PO OB AC ===，22PB PA == 则222PB PO OB =+， 所以PO OB ⊥， 又ACOB O =，且AC OB ⊂、面ABC ，所以PO ⊥面ABC ，又PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC .（2）因为面PAC ⊥面ABC ， 又面PAC面ABC AC =，且BO AC ⊥，所以OB ⊥面PAC ， 所以13A BMNB AMN AMNV V S BO --==⋅.又因为2OB =，89A BMN V -=， 所以43AMNS=. 因为PN PA λ=，所以()112AMNAPMPACS SS λλ-=-=.又142PACSPA PC =⋅=， 所以14423λ-⨯=，得13λ=. 【点睛】本题考查面面垂直的证明和利用等体积转化求参数的问题，意在考查空间想象能力和推理证明，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是等体积转化A BMN B AMN V V --=，一般求四面体的体积或是求点到面的距离都需要考虑等体积转化，求点到面的距离也可以转化为其他等价的点到平面的距离.19.已知在()2222:10x y C a b a b+=>>上任意一点00(,)M x y 处的切线l 为00221xx yy a b +=，若过右焦点F 的直线l 交椭圆C :22143x y +=于P 、Q 两点，在点,P Q 处切线相交于G ．（1）求G 点的轨迹方程；（2）若过点F 且与直线l 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆C 于,E H 两点，证明：11PQ EH+为定值． 【答案】（1）4x =；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意按照直线PQ 斜率是否为0分类，当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程求出点G 横坐标，化简即可得解；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+，联立方程结合韦达定理、弦长公式可得2212(1)34t PQ t +=+，同理可得2212(1)34t EH t+=+，即可得解. 【详解】（1）由题意点()1,0F ，当直线PQ 斜率为0时，在点,P Q 处的切线不相交，不合题意；当直线PQ 斜率不为0时，设直线PQ 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，易得在P 点处切线为11143x x y y+=，在Q 点处切线为22143x x y y +=， 由1122143143x x y yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1122124()y y x x y x y -=-，又11221,1x ty x ty =+=+， 所以()()12211221212121214()4()4()141y y y y y y x y x y ty x y ty y y y --====----++，所以G 点的轨迹方程为4x =；（2）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，设直线l 的方程为1x ty =+．则221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690t y ty ++-=，>0∆，由韦达定理得122634t y y t +=-+，122934y y t =-+．所以PQ == 2212(1)34t t +=+； 将t 换为1t -可得2222112(1)12(1)13434t t EH t t++==+⋅+，所以()()2222113443712121121t t PQ EH t t +++=+=++． 【点睛】本题考查了新概念在椭圆中的应用及轨迹方程的求解，考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力，属于中档题.20.BIM 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当BIM 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm 我们说身高较高，身高小于170cm 我们说身高较矮．（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号12345678身高(cm)x 166 167 160 173 178 169 158 173体重(kg)y 57 58 53 61 66 57 50 66根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为0.8 75.9=-y x ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求2R （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58(kg)．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出0.675y x a ∧∧=+，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程． 参考数据：2222222(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)8.95+++-+-+-+-=，168=x ，()821226i i y y=-=∑，0.675168113.4⨯=，参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x yy x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i i e y bx a =--，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响；（Ⅱ）①残差表详见解析，2R 约为0.91；②ˆ0.67555.9yx =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图完善列联表，求出2K 与表中对应临界值比较即可判断；（Ⅱ）①求出编号为8的数据的残差，相应值代入公式()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑计算即可；②求出,x y ，代入a y bx =-中即可求得a ，从而求得回归方程.【详解】（Ⅰ）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响．（Ⅱ）①对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=，完成残差表如下所示：()22228222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2iii y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()221218821.2110.91226iii i i y y R y y==-=-=-≈-∑∑． 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91． ②由①可知，第八组数据的体重应为58．此时，易知，168=x ，57.5=y ，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-． 【点睛】本题考查线性回归方程及独立性检验的应用，考查考生的运算求解能力、数据处理能力及实际应用意识，属于中档题. 21.已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b R ∈）． （1）若0b =，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）存在a 满足题意，其值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负分布求解函数单调性； （2）若()f x 有三个不同零点，且成等差数列，可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+利用待定系数法求解参数的取值. 【详解】（1）若0b =，则()32113f x x ax =++，()22f x x ax '=+． 若0a ≥，则函数()f x 在()0∞，+上单调递增，若0a <，令()220f x x ax =+='，得10x =，22x a =-．在()02a -，上，()'0f x <，()f x 单调递减，在()2a -+∞，上，()'0f x >，()f x 单调递增．（2）因为20a b +=，则()322113f x x ax a x =+-+，若()f x 有三个不同零点，且成等差数列， 可设()()()()13f x x m d x m x m d =----+ ()3222321333x mx m d x m md ⎡⎤=-+--+⎣⎦， 故m a -=，则()0f a -=，故3331103a a a -+++=，3513a =-，335a =-．此时，335m =，d =，故存在三个不同的零点，故符合题意的a 的值为1335⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查求利用导数求函数的单调性，根据函数零点特征求解参数的取值，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑．22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos 221sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+．（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P 、Q 两点，且2OQ OP =，点M 的坐标为()2,0，求OMP ∆的面积．【答案】（1）曲线1C ：cos ρθ=；2:C 2214x y += （2）3． 【解析】【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ρθθ=+，化为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线极坐标方程为0θθ=，代入1C ，2C ，表示出,P Q ρρ，再由||2||OP OQ = 从而求得P ρ及0cos θ，0sin θ，再利用01sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅求解. 【详解】解：（1）依题意，曲线1C ：221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即220x y x +-=，故cos ρθ=．由2224cos 4sin ρθθ=+得2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即2244x y +=，即2214x y += （2）作示意图如图所示，设直线l的极坐标方程为0θθ=，分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程得0cos P ρθ=，222200044cos 4sin 13sin Q ρθθθ==++．由2OQ OP =得()202cos θ20413sin θ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ= 又002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以03cos P ρθ==，06sin 3θ=． 故012sin 2OMP P S OM ρθ∆=⋅⋅⋅=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题. 23.已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()48f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）(][),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(][),53,-∞-+∞；（2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，()()222222222212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<.所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.。

一、单选题1. 设，则的定义域为．A ．（－4,0)∪（0,4)B ．（－4，－1)∪（1,4)C ．（－2，－1)∪（1,2)D ．（－4，－2)∪（2,4)2.函数的图像大致是A．B．C．D．3. 设x ，，则“”是”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）A．B．－C ．±D．－5.已知等比数列满足，，则其前6项的和为A．B．C．D．6. 托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，则函数的图象大致为A．B．全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题全国名校大联考2022-2023学年高三第六次联考文科数学试题二、多选题三、填空题C．D．9. 已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）A ．和均为数列中的项B ．数列为等差数列C ．仅有有限个整数使得成立D ．记数列的前项和为，则恒成立10. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A．B．C．不存在极值D ．与的图象相切的直线的斜率不可能为-411. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C．点到面的距离为D ．四面体的体积是12. 定义在的函数满足，且．都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是（ ）A．B ．若数列为等差数列，则公差为6C ．若，则D ．若．则13. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为______；若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为______．四、解答题14. 已知，且，则的最小值___________.15.已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）．直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为__________16. 某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号分 组频数频率第一组5第二组35第三组30a第四组b c第五组10（1）请写出频率分布表中a ，b ，c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试.从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X 表示来自第四组的学生人数，求X 的分布列和数学期望；17.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角､､的对边分别为､､，若，，求周长的取值范围.18. 如图，在四棱维中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19. 已知是定义在R上的偶函数，当时，是二次函数，其图象与x轴交于，两点，与y轴交于．(1)求的解析式；(2)若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．20. 设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．(1)求的通项公式．(2)证明：．21. 已知函数，其中.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的极值点的个数；(3)若对任意的，关于的方程仅有一个实数根，求实数的取值范围.。

2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得 【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（ ）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（ ）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断 【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称 故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ； 又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（ ） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可 【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可 【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（ ） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。