湖南省永州市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

湖南省永州市2016-2017学年高一上学期期末质量监测生物试题第I卷（共40分）—.选择题（本题包括40小题，每小题1分，共40分。

每小题只有一个选项符合題意）1.在特定的培养基上，培育出了纯种的酵母菌，这些酵母菌构成了一个A.个体B.种群C.群落D.组织2.有关施莱登和施旺提出的细胞学说的叙述，错误的是A.主要阐明了生物界的多样性B.认为细胞是一个相对独立的单位C.—切动植物都由细胞发育而来D.细胞是一个有机体3.细菌、蓝藻和人体神经细胞都具有的是A.细胞膜、细胞质、遗传物质B.细胞壁、细胞膜、细胞核C.细胞膜、细胞质、核膜D.细胞壁、细胞膜、核膜4.下面是用显微镜观察时的几个操作步骤，要把显微镜视野下的标本从A图中的A转为B，其正确的操作步骤是①调节反光镜使视野明亮②向右上方移动玻片③转动转换器④调节细淮使螺旋⑤调节粗准焦螺旋⑥向左下方移动载玻片A.①③②④B.②③①④C.⑥③②④D.⑥③①④5.下列各组物质中，由相同种类元素组成的是A.胆固醇、脂肪酶，乳糖B.淀粉、核糖、糖原C.氨基酸、核苷酸、葡萄糖D.性激素、纤维素、胰岛素6.下列有关细胞中元素和化合物的叙述，正确的是A.C是构成细胞的最基本元素，在人体细胞中含量最多B.脂肪分子氧化释放的能量多，是主要的能源物质C.氨基酸脱水缩合产生水，水中的氧来自氨基酸的羧基D.P是脂肪、ATP、DNA等不可缺少的成分，是组成生物体的大量元素7.人体内含有多种多样的蛋白质，每种蛋白质A.都含有20种氨基酸B.都是在细胞内发挥作用C.都具有一定的空间结构D.都能催化生物化学反应8.如图是某高等生物组织示意图，其细胞质内含有的多糖和核酸主要是A.淀粉和RNAB.淀粉和DNAC.糖原和RNAD.糖原和DNA9.人体肌肉的主要成分是蛋白质，但是骨骼肌、心肌、平滑肌的功能各不相同，这是由于A.肌细胞形状不同B.在人体的分布部位不同C.构成肌细胞的蛋白质分子结构不同D.控制它们运动的神经不同10.“观察DNA和RNA在细狍中的分布”实验中，需用质量分数为8%的盐酸，下列关于盐酸的作用的叙述中，错误的是A.增大细胞膜的通透性B.加速染色剂进入细胞C.提供酸性环境D.加速核蛋A的水解，使DNA和蛋白质分离11.使用斐林试剂鉴定尿液中是否含有葡萄糖时，必须将斐林试剂的甲液和乙液A.分别加入样液中B.混匀后再加入样液C.加热后再加入样液D.同时加入样液中12.下列关于核酸的叙述，不正确的是A.DNA和RNA都能携带遗传信息B.DNA和RNA的基本单位都是核苷酸C.DNA只分布在细胞核内，RNA只分布在细胞质中D.豌豆叶肉细胞内的核酸含有5种碱基13.下列关于脂质的叙述，正确的是A.脂质中的磷脂是细狍膜的组成成分B.维生素D和性激素不属于固醇类物质C.脂肪比相同质量的多糖沏底氧化产能少D.脂质在核糖体、内质网和高尔基体上合成14.下列有关细胞中水的叙述中，不正确的是A.自由水是细胞内的良好洛剂B.结含水是细咆结构的黾耍组成成分C.植杓体内ft由水/结合水的比值越大.新陈代谢越弱D.各种生物体的一切生命活动都离不开水15.红细胞中Fe2+含量降低时，其血红蛋甶减少，红细胞运输氧的能力相应减弱。

2016-2017学年湖南省永州市新田一中高一（上）期中数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，）1．（5分）如图是某圆柱的直观图，则其正视图是（）A．三角形B．梯形C．矩形D．圆2．（5分）如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b（）A．共面B．平行C．异面D．平行或异面3．（5分）对于直线a，b，l，以及平面α，下列说法中正确的是（）A．如果a∥b，a∥α，则b∥αB．如果a⊥l，b⊥l，则a∥bC．如果a∥α，b⊥a，则b⊥αD．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b4．（5分）已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x5．（5分）若过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与直线x﹣3y+5=0垂直，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．﹣26．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．7．（5分）方程x2﹣y2=0表示的图形是（）A．两条相交但不垂直的直线B．两条垂直直线C．两条平行直线D．一个点8．（5分）直线x﹣y+1=0与圆x2+（y+1）2=2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定9．（5分）点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±110．（5分）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A．48+12B．48+24C．36+12D．36+2411．（5分）定义运算：=a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P为直线+=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为．14．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB的实际长度为．15．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为（注：一丈等于十尺）．16．（5分）设f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），若f（2016）=﹣1，则f（2017）=．三、解答题（共6个小题，共70分，要有必要的解答过程和步骤）17．（10分）（1）已知点A（a，6）到直线3x﹣4y=2的距离d=4，求a的值．（2）在直线x+3y=0求一点P，使它到原点的距离与到直线x+3y﹣2=0的距离相等．18．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D1D=．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．19．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．20．（12分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）已知向量．（Ⅰ）若且，求角x；（Ⅱ）若，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．22．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）求证：平面CD 1E⊥平面D1DE；（3）在线段CD 1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求的值，不存在，说明理由．2016-2017学年湖南省永州市新田一中高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，）1．（5分）如图是某圆柱的直观图，则其正视图是（）A．三角形B．梯形C．矩形D．圆【解答】解：当圆柱直立放置时，正视图为矩形，边长分别为圆柱的底面直径和高，故选：C．2．（5分）如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b（）A．共面B．平行C．异面D．平行或异面【解答】解：∵两条直线a和b没有公共点，∴a和b平行或异面．故选：D．3．（5分）对于直线a，b，l，以及平面α，下列说法中正确的是（）A．如果a∥b，a∥α，则b∥αB．如果a⊥l，b⊥l，则a∥bC．如果a∥α，b⊥a，则b⊥αD．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b【解答】解：若a∥b、a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；如果a⊥l，b⊥l，则a∥b或a，b相交、异面，故B错误；如果a∥α，b⊥a，则b⊥α、相交、平行，都有可能，故C错误；如果a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质，可得a∥b，故D正确．故选：D．4．（5分）已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y=﹣x+4 B．y=x C．y=x+4 D．y=﹣x【解答】解：∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点C（2，2），k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．故选：A．5．（5分）若过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与直线x﹣3y+5=0垂直，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线的斜率为∵两直线垂直×=﹣1解得m=故选：A．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选：D．7．（5分）方程x2﹣y2=0表示的图形是（）A．两条相交但不垂直的直线B．两条垂直直线C．两条平行直线D．一个点【解答】解：方程x2﹣y2=0化为：y=±x，因此表示的图形是两条相互垂直的直线．故选：B．8．（5分）直线x﹣y+1=0与圆x2+（y+1）2=2的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【解答】解：x2+（y+1）2=2，表示以（0，﹣1）为圆心，半径等于的圆．圆心到直线x﹣y+1=0的距离为=，故直线x﹣y+1=0与圆x2+（y+1）2=2相切，故选：B．9．（5分）点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2，即＜2两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4，化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，故选：A．10．（5分）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A．48+12B．48+24C．36+12D．36+24【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为4×6=12，另两个侧面三角形的面积都是=15故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12故选：A．11．（5分）定义运算：=a1a4﹣a2a3，将函数f（x）=（ω＞0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）==cosωx﹣sinωx=2cos（ωx+）（ω＞0），f（x）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为y=2cos[ω（x+）+]=2cos（ωx++）；又函数y为偶函数，∴+=kπ，k∈Z，解得ω=﹣，k∈Z；当k=1时，ω取得最小值是．故选：B．12．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P为直线+=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A．B．C．D．【解答】解：因为P是直线+=1的任一点，所以设P（4﹣2m，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（2﹣m，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣2+m）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m﹣4）x﹣my+1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣4）x ﹣my+1=0，即m（2x﹣y）+（﹣4x+1）=0，由得x=，y=所以直线AB恒过定点（，），故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为．【解答】解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知R2=a2，即R2=a2，=4πR2=4π•a2=．∴S球故答案为：．14．（5分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB的实际长度为5．【解答】解：根据斜二测画法原理可知AC⊥BC，AC=A′C′=3，BC=2B′C′=4，∴AB===5．故答案为：5．15．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为3（注：一丈等于十尺）．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×（482×11）=2112，∴∴π=3，R=8，故答案为：3．16．（5分）设f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），若f（2016）=﹣1，则f（2017）=7．【解答】解：由题意：f（x）=asin（πx+θ）+bcos（πx+θ）+3（其中a，b，θ为非零实数），f（2016）=﹣1，可得﹣1=asin（2016π+θ）+bcos（2016π+θ）+3，得asinθ+bcosθ=﹣4，那么f（2017）=asin（2017π+θ）+bcos（2017π+θ）+3=asin（2016π+π+θ）+bcos（2016π+π+θ）=asin（π+θ）+bcos（π+θ）+3=﹣asinθ﹣bcosθ=﹣（asinθ+bcosθ）+3=7．故答案为7．三、解答题（共6个小题，共70分，要有必要的解答过程和步骤）17．（10分）（1）已知点A（a，6）到直线3x﹣4y=2的距离d=4，求a的值．（2）在直线x+3y=0求一点P，使它到原点的距离与到直线x+3y﹣2=0的距离相等．【解答】解：（1）由点到直线的距离公式得=4，解得a=2，或a=．（2）设点P的坐标为（﹣3t，t），则，解之得．∴点P的坐标为．18．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D1D=．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．【解答】（1）解：∵D1D⊥平面ABCD，BD是D1B在底面ABCD上的射影，∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角，在直角三角形D1BD中，BD=，D1D=，则tan∠D1BD==1，∴∠D1BD=45°，即直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°；（2）证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D．19．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y ﹣2）2=﹣m+5∵方程C表示圆时，∴﹣m+5＞0，解得m＜5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（1，2），半径为，∵圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，∴，∴m=1．20．（12分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．21．（12分）已知向量．（Ⅰ）若且，求角x；（Ⅱ）若，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin2x﹣sinxcosx=0∴或sinx=0，∵，∴或x=0；（Ⅱ）∵=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+周期T==π，∵2kπ﹣≤2x﹣+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤kπ+，∴单调递增区间为．22．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）求证：平面CD1E⊥平面D1DE；（3）在线段CD 1上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，若存在，求的值，不存在，说明理由．【解答】证明：（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM=C1D1，（2分）又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）解：（3）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则C（0，2，0），E（1，1，0），D1（0，0，1）平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），设=（0，2λ，﹣λ），（0＜λ＜1），则Q（0，2λ，1﹣λ），设平面DEQ的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则=（﹣1，1，），（10分）∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°，∴cos45°===，由于0＜λ＜1，∴﹣1，∴线段CD1上存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°，且=．（12分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2016-2017学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0=∅B．1∈{1}C．∅={0}D．0⊆{0，1}2．（5.00分）空间直角坐标系Oxyz中的点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，则点Q的坐标为（）A．（1，2，0）B．（0，0，3）C．（1，0，3）D．（0，2，3）3．（5.00分）设函数，则f（﹣2）+f（1）=（）A．1 B．2 C．4 D．54．（5.00分）如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB的直观图，且O'A'=2，O'B'=3，则△AOB的周长为（）A．12 B．10 C．8 D．75．（5.00分）某人开车去上班，开始匀速前行，后来为了赶时间加速前行，则下列图象与描述的事件最吻合的是（）A． B． C．D．6．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2πB．4πC．5πD．6π7．（5.00分）若a=40.5，b=logπ3，c=logπ4，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b8．（5.00分）若直线（a﹣1）x﹣2y+1=0与直线x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．9．（5.00分）已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．n∥αD．n⊥α10．（5.00分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），则直线l的方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x+y+b﹣a=0 C．x+y﹣a﹣b=0 D．x﹣y+3=011．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，有以下四个推断：（1）f（0）=0；（2）若f（﹣2）=1，则f（2）=1；（3）若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数；（4）若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m．其中推断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5.00分）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）A．[0，1]B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，且B⊆A，则实数a=．14．（5.00分）20160﹣log3=．15．（5.00分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=9相切，则圆C 的标准方程为．16．（5.00分）在四面体S﹣ABC中，若，，，则这个四面体的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知函数的定义域为A，且B={x|x＞4}．（1）求集合A；（2）求A∪（∁U B）．18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形．（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．19．（12.00分）一片森林原有面积为a，现计划每年采伐一些树木，且每年采伐的森林面积占上一年底森林面积的百分比为q，即第x（x∈N）年底的剩余森林面积为y=a（1﹣q）x，x与y的部分对应值如表：x012y a（1）求原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q；（2）问经过多少年后，剩余的森林面积开始小于原来的．（注：lg2≈0.301，lg3≈0.477）20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，，点E为棱PC的中点．（1）求直线BE与AD所成角的大小；（2）证明：BE⊥DC．21．（12.00分）如图，圆C：x2+y2+2x﹣3=0内有一点P（﹣2，1），AB为过点P 且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．22．（12.00分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+（k+4）x，g（x）=x2﹣4x．（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q﹣p）；（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x1，x2解，求k的取值范围．2016-2017学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列关系正确的是（）A．0=∅B．1∈{1}C．∅={0}D．0⊆{0，1}【解答】解：对于A：0是一个元素，∅是一个集合，元素与集合是属于（∈）或者不属于（∉）关系二者必居其一，A不对．对于B：1是一个元素，{1}是一个集合，1∈{1}，∴B对．对于C：∅是一个集合，没有任何元素，{0}是一个集合，有一个元素0，∴C不对．对于D：0是一个元素，{0，1}是一个集合，元素与集合是属于（∈）或者不属于（∉）关系二者必居其一，D不对，故选：B．2．（5.00分）空间直角坐标系Oxyz中的点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，则点Q的坐标为（）A．（1，2，0）B．（0，0，3）C．（1，0，3）D．（0，2，3）【解答】解：∵空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，2，3）在xOy平面内射影是Q，∴点Q的坐标为（1，2，0）．故选：A．3．（5.00分）设函数，则f（﹣2）+f（1）=（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=2﹣（﹣2）=4，f（1）==1，∴f（﹣2）+f（1）=4+1=5．故选：D．4．（5.00分）如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB的直观图，且O'A'=2，O'B'=3，则△AOB的周长为（）A．12 B．10 C．8 D．7【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=3，高OA=2O'A'=4，AB=5，∴直角三角形OAB的周长为3+4+5=12．故选：A．5．（5.00分）某人开车去上班，开始匀速前行，后来为了赶时间加速前行，则下列图象与描述的事件最吻合的是（）A． B． C．D．【解答】解：某人开车去上班，开始匀速前行，路程与时间是一次函数关系，所以A，D不正确；后来为了赶时间加速前行，路程与时间是二次函数关系，开口向上，所以C不正确，B正确；故选：B．6．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．2πB．4πC．5πD．6π【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是圆柱，底面直径为2，故半径r=1，高h=2，故该几何体的表面积S=2πr（r+h）=6π，故选：D．7．（5.00分）若a=40.5，b=logπ3，c=logπ4，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：∵a=40.5=2，b=logπ3∈（0，1），c=logπ4∈（1，2），故选：C．8．（5.00分）若直线（a﹣1）x﹣2y+1=0与直线x﹣ay+1=0平行，则a=（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．【解答】解：∵两条直线平行，∴≠（a≠0），解得a=﹣1．故选：B．9．（5.00分）已知直线m，n是平面α，β外的两条直线，且m∥α，n⊥β，α⊥β，则（）A．m∥n B．m⊥n C．n∥αD．n⊥α【解答】解：用排除法，如图，做出长方体ABCD﹣A1B1C1D1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令面ADD1A1为α，面ABCD为β，下面判断以下四个命题：对于A，直线CB1为m，则m∥α，若CC1为n，则n⊥β，显然m∥n是假命题；对于B，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；对于D，直线CB1为m，则m∥α，若CC1为n，则n⊥β，显然n⊥α是假命题；故选：C．10．（5.00分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），则直线l的方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x+y+b﹣a=0 C．x+y﹣a﹣b=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：点P（a，b）关于直线l的对称点为Q（3﹣b，3﹣a），可得中点坐标为（，）斜率，∴直线l的斜率k l=﹣1，故得y﹣=﹣1（x﹣）．整理得：x+y﹣3=0．故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，有以下四个推断：（1）f（0）=0；（2）若f（﹣2）=1，则f（2）=1；（3）若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数；（4）若f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m．其中推断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），其图象关于原点对称，在对称区间单调性相异；对于（1），f（﹣0）=﹣f（0）⇒f（0）=0，故正确；对于（2），f（﹣2）=﹣f（2）⇒f（2）=﹣1，故错；对于（3），因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f（x）在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上为减函数，故错；对于（4），其图象关于原点对称，f（x）在（0，+∞）上有最小值﹣m，则f（x）在（﹣∞，0）上有最大值m，故正确；故选：B．12．（5.00分）《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m的取值范围为（）A．[0，1]B．C．D．【解答】解：由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，∵f（x）=x2﹣2x+2=2，∴x=0或2，∴m2﹣m+2≤2，∴0≤m≤1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，且B⊆A，则实数a=．【解答】解：集合A={0，2，3}，B={2，a2+1}，∵B⊆A，∴a2+1=3或a2+1=0不成立，解得：a=．故答案为．14．（5.00分）20160﹣log3=2﹣log32．【解答】解：20160﹣log3=1﹣=1+=2﹣log32．故答案为：2﹣log32．15．（5.00分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=9相切，则圆C 的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心C坐标为（a，b），半径为r，则其标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，圆C经过坐标原点和点（6，0），则有a2+b2=r2，①，（6﹣a）2+b2=r2，②，又由圆C与直线y=9相切，则r=|6﹣x|，③，联立①、②、③可得，故圆C的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．16．（5.00分）在四面体S﹣ABC中，若，，，则这个四面体的外接球的表面积为14π．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，，，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为，，，则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=13，y2+z2=10，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=14∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为4=14π．故答案为14π．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）已知函数的定义域为A，且B={x|x＞4}．（1）求集合A；（2）求A∪（∁U B）．【解答】解：（1）由函数的定义域为A，得，解得2≤x＜5；∴集合A={x|2≤x＜5}；（2）∵集合B={x|x＞4}，∴∁U B={x|x≤4}，∴A∪（∁U B）={x|x＜5}．（写成A=[2，5），A∪（C U B）=（﹣∞，5）均不扣分）．18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形．（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面α右侧部分是什么几何体，并求其体积．【解答】解：（1）交线围成的正方形A1EFD1如图所示（不分实虚线的酌情给分）…（3分）∵A1D1=A1E=10，A1A=8，在Rt△A1AE中，由勾股定理知AE=6．…（6分）（2）几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）由棱柱体积公式得．…（12分）（由体积之差法也不扣分）19．（12.00分）一片森林原有面积为a，现计划每年采伐一些树木，且每年采伐的森林面积占上一年底森林面积的百分比为q，即第x（x∈N）年底的剩余森林面积为y=a（1﹣q）x，x与y的部分对应值如表：x012y a（1）求原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q；（2）问经过多少年后，剩余的森林面积开始小于原来的．（注：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【解答】解：（1）由题意知，，解得．…（5分）（2）由题意得，，要使剩余森林面积开始小于原来的，则，即，…（7分）两边取对数并整理得，．…（11分）又x∈N，故经过6年后剩余森林面积开始小于原来的．…（12分）20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=1，，点E为棱PC的中点．（1）求直线BE与AD所成角的大小；（2）证明：BE⊥DC．【解答】解：（1）如图，取PD中点M，连结EM，AM．由于E，M分别为PC、PD的中点，故；又，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∴∠MAD为异面直线BE与AD所成角（或补角），在Rt△PAD中，∵AD=DC=AP=1，∴∠MAD=45°，∴异面直线BE与AD所成角为45°．…（6分）证明：（2）∵PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，CD∩DA=D，∴CD⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM，又由（1）得BE∥AM，∴BE⊥CD．…（12分）21．（12.00分）如图，圆C：x2+y2+2x﹣3=0内有一点P（﹣2，1），AB为过点P 且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程；（3）若圆C上的动点M与两个定点O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距离之比恒为定值λ（λ≠1），求实数a的值．【解答】解：（1）由题意知，圆心C（1，0），半径R=2，直线AB的方程为x+y+1=0，直线AB过圆心C，所以弦长AB=2R=4．…（4分）（2）当弦AB被点P平分时，AB⊥PC，k AB•k PC=﹣1，又k PC=﹣1，所以k AB=1，直线AB的方程为x﹣y+3=0．…（8分）（3）设M（x0，y0），则满足，①…（9分）由题意得，，即．…（10分）整理得，②由①②得，恒成立，所以，又a≠0，λ＞0，λ≠1，解之得a=3．…（12分）22．（12.00分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+（k+4）x，g（x）=x2﹣4x．（1）若函数f（x）的图象过点（1，0），求k的值；（2）若函数y=g（x）（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D 的长度为7﹣2t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（区间[p，q]的长度为q﹣p）；（3）若关于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有两个不同的x1，x2解，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（1）=0，即k+4=0，∴k=﹣4．…（3分）（2）∵g（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，x∈[t，4]．…（4分）①当2≤t＜4时，g（t）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[t2﹣4t，0]，∴0﹣（t2﹣4t）=7﹣2t，解之得，∴t∈ϕ．…（5分）②当0≤t＜2时，g（2）≤g（x）≤g（4）⇒g（x）∈[﹣4，0]，即7﹣2t=4，解之得，∴．…（6分）③当t＜0时，g（2）≤g（x）≤g（t）⇒g（x）∈[﹣4，t2﹣4t]，即t2﹣4t+4=7﹣2t，解之得t=﹣1或t=3∉（﹣∞，0），∴t=﹣1；综上所述，或t=﹣1．…（8分）（3）当0＜x≤1时，方程h（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解，k≠0时，；…（9分）∴，∴k ≤﹣1．当1＜x ＜2时，方程h （x ）=0化为2x 2+kx ﹣1=0，，而，故f （x ）=0在区间（1，2）内至多有一解：，∴，∴．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综合所述，．…（12分）。

2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．82．若命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0C．∀x∈R，x2+1＞0 D．∀x∈R，x2+1≥03．“x＞5”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=15．下列结论中正确的是（）A．a＞b⇒a﹣c＜b﹣c B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒ac2＞bc26．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a2+b2=c2﹣ab，则C的大小是（）A．120°B．90°C．60°D．30°7．已知x＞1，则不等式x+的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．38．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a4a5=3，则log3a1+log3a2+…+log3a8=（）A．1 B．2 C．4 D．39．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．或10．函数f（x）=﹣4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是（）A． B． C．D．11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）A．1120里B．2250里C．3375里D．1125里12．设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．椭圆+=1的焦距为．14．在等差数列{a n}中，若a2+a8=8，则数列{a n}的前9项和S9=．15．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为海里．16．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．在锐角△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a=，b=1，求A的大小．18．已知关于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．19．已知等差数列{a n}满足：a2=5，a5=11，其前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．若实数x，y满足约束条件（1）求目标函数z=x+y的最大值；（2）求目标函数z=的最小值．21．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆x2+y2=4上运动时，点M形成的轨迹为L．（1）求轨迹L的方程；（2）已知定点E（﹣2，0），若直线y=kx+2（k≠0）与点M的轨迹L交于A，B 两点，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，由此能求出公比．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，∴，解得公比q=2．故选：A．2．若命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0C．∀x∈R，x2+1＞0 D．∀x∈R，x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得到所求．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+1＜0，则￢p：∃x0∈R，x02+1≥0．故选：B．3．“x＞5”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：不妨令A=（5，+∞），B=（3，+∞），∵A⊊B，∴x＞5”是“x＞3”的充分不必要条件，故选：A．4．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣1 D．y=1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．【解答】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1．故选A．5．下列结论中正确的是（）A．a＞b⇒a﹣c＜b﹣c B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒ac2＞bc2【考点】不等式比较大小．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：A．a＞b⇒a﹣c＞b﹣c，因此A不成立．B．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．C．由a＞b＞0，则，即＞，成立．D．c=0时不成立．综上可得：只有C成立．故选：C．6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a2+b2=c2﹣ab，则C的大小是（）A．120°B．90°C．60°D．30°【考点】余弦定理．【分析】先化简a2+b2=c2﹣ab，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C【解答】解：由a2+b2=c2﹣ab得，a2+b2﹣c2=﹣ab，由余弦定理得，cosC==，因为0°＜C＜180°，所以C=120°，故选A．7．已知x＞1，则不等式x+的最小值为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴不等式x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．故选：D．8．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a4a5=3，则log3a1+log3a2+…+log3a8=（）A．1 B．2 C．4 D．3【考点】数列的求和．【分析】利用导数的运算法则化简所求的和，通过等比数列的性质求解即可．【解答】解：等比数列{a n}中，每项均是正数，a4a5=3，可得a4a5=a3a6=a2a7=a1a8=3，则log3a1+log3a2+…+log3a8=log3（a1a2a3a4a5a6a7a8）==4．故选：C．9．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程转化求解离心率即可．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得：=，，可得e=．故选：C．10．函数f（x）=﹣4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值分别是（）A． B． C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导函数，研究出函数在区间[0，3]上的单调性，从而确定出函数最值的位置，求出函数的最值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣4x+4，∴f′（x）=x2﹣4．x∈[0，3]，令f′（x）＞0，解得3≥x＞2；令f′（x）＜0，解得0≤x＜2故函数在[0，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，所以函数在x=2时取到最小值f（2）=﹣8+4=﹣，f（0）=4，f（3）=9﹣12+4=1在x=0时取到最大值：4．故选：B．11．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）A．1120里B．2250里C．3375里D．1125里【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，驽马每日行的距离成等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设长安至齐为x里，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103×9++97×9+=2x，解得x=1125．故选：D．12．设函数f'（x）是奇函数f（x）x∈R的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，再画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，即或，解得0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．椭圆+=1的焦距为4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的方程，求出长半轴，短半轴，然后求解焦距．【解答】解：椭圆+=1的长半轴为3，短半轴为，则c=，椭圆的焦距为：4．故答案为：4．14．在等差数列{a n}中，若a2+a8=8，则数列{a n}的前9项和S9=36．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=a1+a9，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=8=a1+a9，∴数列{a n}的前9项和S9==9×4=36．故答案为：36．15．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为a海里．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB===a．即灯塔A与灯塔B的距离为a．故答案为：a16．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：9三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．在锐角△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若a=，b=1，求A的大小．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，求出sinB的值，由条件和特殊角的三角函数值求出B；（2）由条件和正弦定理求出sinA值，由条件和特殊角的三角函数值求出A．【解答】解：（1）由题意得，a=2bsinA，由正弦定理得，sinA=2sinBsinA，又sinA≠0，则sinB=，因为△ABC是锐角三角形，所以B=30°；（2）因为a=，b=1，B=30°，所以由正弦定理得，==，因为△ABC是锐角三角形，所以A=45°．18．已知关于x的不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0．（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a=2时解对应的一元二次不等式即可；（2）a∈R且a≠0且a≠1时，讨论a2与a的大小，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0即可．【解答】解：（1）当a=2时，不等式化为（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得2＜x＜4，所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}；（2）当a∈R，a≠0且a≠1时，当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a2＜x＜a；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式（x﹣a）（x﹣a2）＜0，得：a＜x＜a2；综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．19．已知等差数列{a n}满足：a2=5，a5=11，其前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列和．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：（1）设数列的首项为a1，公差为d．因为a2=5，a5=11，所以d==2，可得a1=3，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，S n==n2+2n．（2）由（1）可知a n=2n+1，所以b n===，所以T n=1+…+=．数列{b n}的前n项和T n为：．20．若实数x，y满足约束条件（1）求目标函数z=x+y的最大值；（2）求目标函数z=的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】（1）画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．（2）转化目标函数，利用几何意义求解即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件表示的可行域是ABC，其中A（，），B（﹣2，﹣1），C（3，0）（1）当直线z=x+y经过A时，目标函数取得最大值：=4．（2）目标函数z==，它的几何意义时可行域的点与（﹣3，3）的距离，由图形可知（﹣3，3）到x﹣y+1=0的距离最小，可得z==．21．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）22．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆x2+y2=4上运动时，点M形成的轨迹为L．（1）求轨迹L的方程；（2）已知定点E（﹣2，0），若直线y=kx+2（k≠0）与点M的轨迹L交于A，B 两点，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用点M在DP的延长线上，，确定M，P坐标之间的关系，P的坐标代入圆的方程，即可求动点M的轨迹E的方程；（2）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则EA⊥EB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2+（x1+2）（x2+2）=0，构造方程求出k值即可．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x0=x，y0=①∵P（x0，y0）在圆上，∴x02+y02=4②将①代入②得（y≠0）．∴动点M的轨迹方程为（y≠0）；（2）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过E点．由直线与椭圆方程联立，化简得：（9+4k2）x2+16kx﹣20=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣∴y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2（x1•x2）+2k（x1+x2）+4要使以AB为直径的圆过M点，当且仅当EA⊥EB，即y1•y2+（x1+2）（x2+2）=0时满足条件∴（k2+1）（x1•x2）+2（k+1）（x1+x2）+8=0代入化简得﹣20k2﹣32k+52=0解得k=﹣或1，经检验k=﹣或1满足条件，综上可知，存在k=﹣或1使以AB为直径的圆过E点．2017年2月12日。

2016-2017学年湖南省永州市新田一中高一（上）期中数学试卷（B卷）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）与﹣角终边相同的角是（）A．B．C．D．2．（5分）直线l与直线x﹣y+1=0垂直，则直线l的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．圆台4．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣65．（5分）△ABC中，M是BC边的中点，则向量等于（）A．﹣B．（﹣）C．+D．（+）6．（5分）求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（）A．﹣B．﹣ C．D．7．（5分）在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（）A．y=﹣x+2 B．y=﹣x﹣2 C．y=x+2 D．y=x﹣28．（5分）设点M是Z轴上一点，且点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标是（）A．（﹣3，﹣3，0） B．（0，0，﹣3）C．（0，﹣3，﹣3） D．（0，0，3）9．（5分）两圆的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，（x﹣2）2+（y+1）2=1则两圆的位置关系为（）A．相交B．内含C．外切D．内切10．（5分）把正弦函数y=sinx（x∈R）图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数（）A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．y=sin11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x+y﹣3=0 C．x+y+3=0 D．x=212．（5分）对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．2倍 B．倍C．倍D．倍二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）经过点P（6，5），Q（2，3）的直线的斜率为．14．（5分）若正方体的边长为a，则这个正方体的外接球的表面积等于．15．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．16．（5分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．18．（12分）已知点A（1，﹣1），B（5，1），直线L经过A，且斜率为．（1）求直线L的方程；（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程．19．（12分）已知函数的图象如图．（1）根据函数的图象求该函数的解析式．（2）求函数f（x）在上的值域．20．（12分）圆x2+y2=8内有一点P 0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．21．（12分）设①若的单位向量，求x；②设，求f（x）的单调递减区间．22．（12分）已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2=0相切，切点为A（2，4）．（1）求圆C的方程；（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，求的取值范围..2016-2017学年湖南省永州市新田一中高一（上）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）与﹣角终边相同的角是（）A．B．C．D．【解答】解：∵与﹣角终边相同的角的集合为A={α|α=}，取k=1，得．∴与﹣角终边相同的角是．故选：C．2．（5分）直线l与直线x﹣y+1=0垂直，则直线l的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵直线x﹣y+1=0的斜率为，且直线l与直线x﹣y+1=0垂直，设直线l的斜率为k，则，即k=﹣．故选：D．3．（5分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．圆台【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台．如图：故选：A．4．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣6【解答】解：∵平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，∴2×（﹣3）﹣x=0，解得x=﹣6．故选：D．5．（5分）△ABC中，M是BC边的中点，则向量等于（）A．﹣B．（﹣）C．+D．（+）【解答】解：根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选：D．6．（5分）求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=sin60°=．故选：D．7．（5分）在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（）A．y=﹣x+2 B．y=﹣x﹣2 C．y=x+2 D．y=x﹣2【解答】解：根据题意得：直线斜率为tan135°=﹣1，直线过（2，0），则直线方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即y=﹣x+2．故选：A．8．（5分）设点M是Z轴上一点，且点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，则点M的坐标是（）A．（﹣3，﹣3，0） B．（0，0，﹣3）C．（0，﹣3，﹣3） D．（0，0，3）【解答】解：由题意设M（0，0，z），因为点M到A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，所以，即，解得z=﹣3．所以M的坐标为（0，0，﹣3）．故选：B．9．（5分）两圆的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，（x﹣2）2+（y+1）2=1则两圆的位置关系为（）A．相交B．内含C．外切D．内切【解答】解：圆C的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，圆心坐标为C（﹣1，1），半径为r=6；圆D的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1，圆心坐标D（2，﹣1），半径为r′=2；所以两个圆的圆心距为：d==＜6﹣1=5；所以两个圆内含．故选：B．10．（5分）把正弦函数y=sinx（x∈R）图象上所有的点向左平移个长度单位，再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数（）A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．y=sin【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，可得函数y=sin （x+）的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式y=sin（2x+），故选：C．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4内一点P（2，1），则过P点最短弦所在的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x+y﹣3=0 C．x+y+3=0 D．x=2【解答】解：圆心坐标D（1，0），要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，此时DP的斜率k=，则弦BC的斜率k=﹣1，则此时对应的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故选：B．12．（5分）对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．2倍 B．倍C．倍D．倍【解答】解：OA=a OB=2b则O′A′=a O′B′=bS△ABO=ab故选：B．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）经过点P（6，5），Q（2，3）的直线的斜率为．【解答】解：k==，故答案为：．14．（5分）若正方体的边长为a，则这个正方体的外接球的表面积等于3πa2．【解答】解：由正方体外接球的性质，可知，球的半径2R=，∴外接球的表面积S=4πR2=．故答案为：3πa2．15．（5分）已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是．【解答】解：直线3x+2y﹣3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．故答案为：．16．（5分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为．【解答】解：定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，所以f（）=f（﹣）=f（）=sin=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．【解答】解：∵，∴，∴．18．（12分）已知点A（1，﹣1），B（5，1），直线L经过A，且斜率为．（1）求直线L的方程；（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程．【解答】解：（1）由题意，直线的方程为：y+1=（x﹣1），整理成一般式方程，得3x+4y+1=0，∴直线L的方程为3x+4y+1=0．（2）由已知条件，得所求圆的圆心为B（5，1），可设圆B方程为：（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2∵圆B与直线L：3x+4y+1=0相切，∴r=d=故圆B的方程为（x﹣5）2+（y﹣1）2=16，即为所求．19．（12分）已知函数的图象如图．（1）根据函数的图象求该函数的解析式．（2）求函数f（x）在上的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由图知=﹣=，…（2分）所以T=π，ω=2．…（3分）当x=﹣时，y=0，代入f（x）=2sin（2x+φ），得2sin[2×（﹣）+φ]=0，所以φ﹣=kπ，k∈Z，…（4分）又|φ|≤，所以φ=．…（5分）所以f（x）=2sin（2x+）．…（6分）（2）由题意得当时，，…（8分）∴时，f（x）min=﹣1；…（10分）时，y max=2．∴f（x）的值域为[﹣1，2]．…（12分）20．（12分）圆x2+y2=8内有一点P 0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；（1）当时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==∴弦长|AB|=2=2=．（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，∴OP0⊥AB又==﹣2，∴k AB=∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=021．（12分）设①若的单位向量，求x；②设，求f（x）的单调递减区间．【解答】解：①由，∴或2x=2k，解得或；②=2（sin2x cos2x）﹣3=2sin（2x）﹣3，由2k2x≤2kπ，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．22．（12分）已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2=0相切，切点为A（2，4）．（1）求圆C的方程；（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，求的取值范围..【解答】（1）解法一：圆的圆心为C，依题意得直线AC的斜率K AC=﹣1，∴直线AC的方程为y﹣4=﹣（x﹣2），即x+y﹣6=0．∵直线OA的斜率K OA==2，∴线段OA的垂直平分线为y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0．解方程组得圆心C的坐标为（7，﹣1）．∴圆C的半径为r=|AC|==5，∴圆C的方程为（x﹣7）2+（y+1）2=50．解法二：设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，依题意得，解得，∴圆的方程为：（x﹣7）2+（y+1）2=50．（2）解：设直线l的方程为y=﹣x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y得2x2﹣（2m+16）x+m2+2m=0．∴x1+x2=m+8，．∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣4）（y2﹣4）=（x1﹣2）（x2﹣2）+（﹣x1+m﹣4）（﹣x2+m﹣4）=2x1•x2﹣（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣4）2+4=m2+2﹣（m﹣2）（m+8）+（m﹣4）2+4=m2﹣12m+36=（m﹣6）2．∵直线l与圆C相交于不同两点，∴＜5，解得﹣4＜m＜16．∴0≤（m﹣6）2＜100，∴的取值范围是[0，100）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）2y x =或 30x y +-= 16. 1118三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

）17．（本题满分10分）【解答】解：（1）∵点O （0，0），点C （1，3），∴OC 所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC 中，AB ∥OC ， ∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ．∴CD 所在直线的斜率为．∴CD 所在直线方程为，即x+3y ﹣10=0．18. （本题满分12分） 【解答】证明：（Ⅰ）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，又在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，AE∩AD =A ， ∴CD ⊥平面ADE ，又在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AB ⊥平面ADE ．…（6分） 解：（Ⅱ）连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ， ∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AE ⊥平面CDE ， ∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE 的体积V=V B ﹣CDE +V B ﹣ADE =．…（12分）19. （本题满分12分） 解：1）、(0)01x R f a ∈∴=∴=-……………….3分2)、22()1()13131x x f x f x =-∴+=++， 012314x x ≤≤∴≤+≤ ……………….5分1()112f x ∴≤+≤……………….7分 112t ∴≤≤……………….8分 （3）1132)(-+=xx f 在R 上单调递减，…………….9分 )22()(2m x f mx x f -≥-m x mx x 222-≤-…………….10分02)2(2≤++-m x m x0))(2(≤--m x x …………….11分（1）当2>m 时，不等式的解集是{}m x x ≤≤2| （2）当2=m 时，不等式的解集是{}2|=x x（3）当2<m 时，不等式的解集是{}2|≤≤x m x …………….14分20． 解：（1）由题意，112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ 又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得1215,44k k == ………….2分∴1()(0);()0)4f x x x g x x =≥=≥ ……….3分 (不写定义域扣1分）（2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元， 记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……….4分则1(10)0)4y x x =-+≥ ……….6分t =，则2x t =，(0t ≤ ……….8分∴21565()4216y t =--+ ……….10分 当52t =也即254x =时，y 取最大值6516……….11分答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元. ……….12分 21． 解：(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5， 所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ . 故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ . 22． 解：（I ）抛物线的对称轴为2b x a=-， ①当22ba-<时，即4b a >-时， 当2bx a =-时，222max 29()()24248b b b b f x f ac c a a a a -=-=⨯-+=+=， min ()(2)422f x f a b c ==++=-，∴2948422b c a a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩， ∴2,3a b =-=.②当22ba-≥时，即4b a ≥-时， ()f x 在[0,2]上为增函数，min ()(0)0f x f ==与min ()2f x =-矛盾，无解，综合得：2,3a b =-=.（II ）()||2f x x ≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即1||2ax b x ++≤对任意[1,2]x ∈恒成立， 即122ax b x-≤++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，令1()g x ax b x =++，则max min [()]2[()]2g x g x ≤⎧⎨≥-⎩， ∵01a <<1>，2≥，即104a <≤时，()g x 在[1,2]单调递减，此时max min [()](1)2[()](2)2g x g g x g =≤⎧⎨=≥-⎩，即121222a b a b ++≤⎧⎪⎨++≥-⎪⎩，得1522b ab a ≤-⎧⎪⎨≥--⎪⎩，此时57(2)(1)022a a a ----=--<， ∴5(2)(1)2a a --<- ∴5212a b a --≤≤-.（ⅱ）12<<，即114a <<时，()g x在单调递减，在单调递增，此时，min [()]222g x g b b =≥-⇒≥-⇒≥--只要(1)121(2)2222g a b g a b b ⎧=++≤⎪⎪=++≤⎨⎪⎪≥-⎩13222b a b a b ⎧≤-⎪⎪⇒≤-⎨⎪⎪≥-⎩，31(1)(2)22a a a ---=-当112a ≤<时，3122a a -≥-，3222b a -≤≤- 当1142a <<时，3122a a -<-，21b a -≤≤-. 综上得：①104a <≤时，5212a b a --≤≤-；②1142a <<时，21b a -≤≤-； ③112a ≤<时，3222b a -≤≤-.。

百度文库湖南师大附中2016－2017 学年度高一第一学期期末考试数学时量： 120 分钟满分：150分得分： ____________第Ⅰ卷 (满分 100 分 )一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两点A(a ， 3) ， B(1，－ 2) ，若直线 AB 的倾斜角为135°，则 a 的值为A． 6 B ．－ 6 C． 4 D．－ 42．对于给定的直线l 和平面a，在平面 a 内总存在直线m 与直线lA．平行B．相交C．垂直 D ．异面3．已知直线l1： 2x＋ 3my － m＋ 2＝ 0 和 l2： mx＋ 6y－ 4＝ 0，若 l1∥ l2，则 l1与 l2之间的距离为510 2 5 2 10A. 5B. 5C. 5D. 54．已知三棱锥P－ ABC 的三条侧棱PA 、PB、PC 两两互相垂直，且PA＝2，PB＝3， PC＝ 3，则这个三棱锥的外接球的表面积为A． 16πB． 32πC． 36πD ． 64π5．圆 C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 12＝ 0 与圆 C2： x 2＋ y2－ 8x－ 6y＋ 16＝ 0 的位置关系是A．内含 B．相交 C．内切 D ．外切6．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A．若 m∥ n， m? β，则 n∥ β B ．若 m∥ α，α∩β＝ n，则 m∥ nC．若 m⊥ β，α⊥β，则 m∥ α D ．若 m⊥ α， m⊥β，则α∥ β7．在空间直角坐标系O－ xyz 中，一个四面体的四个顶点坐标分别为A(0 ，0，2) ，B(2 ，2，0) ，C(0 ，2，0) ，D(2 ， 2， 2) ，画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则四面体ABCD的正视图为8．若点 P(3， 1)为圆 (x － 2)2＋ y2＝ 16 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为A． x－ 3y＝ 0 B． 2x－ y－ 5＝ 0C． x＋ y－ 4＝ 0D． x － 2y－ 1＝ 09．已知四棱锥 P－ ABCD 的底面为菱形，∠ BAD ＝ 60°，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD ，则下列说法中错误的是A．异面直线PA 与 BC 的夹角为60°C．二面角 P－ BC － A 的大小为45°D． BD ⊥平面PAC10．已知直线l 过点 P(2， 4)，且与圆O： x2＋ y2＝ 4 相切，则直线 l 的方程为A． x＝ 2 或 3x－ 4y＋ 10＝ 0B． x＝ 2 或 x ＋ 2y－ 10＝ 0C． y＝ 4 或 3x － 4y＋ 10＝ 0D． y＝ 4 或 x＋ 2y－ 10＝ 011．在直角梯形BCEF 中，∠ CBF ＝∠ BCE ＝ 90°， A 、 D 分别是BF、 CE 上的， AD ∥ BC ，且 AB ＝ DE ＝2BC ＝ 2AF ，如图 1.将四边形ADEF 沿 AD 折起，连结 BE、 BF 、 CE，如图 2.则在折起的过程中，下列说法中错误的是A． AC ∥平面BEFB．直线 BC 与 EF 是异面直线C．若 EF⊥ CF，则平面 ADEF ⊥平面ABCDD．平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直答题卡题号1 23 4 567 8910 11得分答案二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．12．若直线 l： x － y＋ 1＝ 0 与圆 C： (x－ a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．V 1 13．已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1，球的体积为V 2，则V2＝________ ．14．已知三棱锥 P－ ABC 的体积为10 ，其三视图如图所示，则这个三棱锥最长的一条侧棱长等于________ ．三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15． (本小题满分8 分 )已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3 ， 0) ， B(4， 6) ， C(0 ， 8) ．(1)求 BC 边上的高所在直线l 的方程；16.(本小题满分10 分 )已知圆 C 经过 A( －2， 1) ， B(5， 0) 两点，且圆心 C 在直线y＝ 2x 上．(1)求圆 C 的标准方程；(2)设动直线l： (m ＋2)x ＋ (2m ＋ 1)y － 7m － 8＝ 0 与圆 C 相交于 P， Q 两点，求 |PQ|的最小值．17． (本小题满分12 分 )如图，在三棱柱ABC － A 1B 1C1中， A 1A ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA 1， D 为 BC 的中点．(1)证明： A 1B ⊥平面AB 1 C;(2)求直线A1 D 与平面 AB 1C 所成的角的大小．百度文库第Ⅱ卷 (满分 50 分 )一、本大题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分．2<1 ， N ＝ {y|y ＝ lg (x2＋ 1)} ，则 N∩ ?RM＝ ______ ．18．已知集合 M ＝ x|x19．已知函数 f(x)在定义域R 上单调递减，且函数 y＝ f(x－ 1)的图象关于点A(1 ， 0)对称．若实数t 满足 f(t2－ 2t)＋ f(－ 3)>0 ，则t－1的取值范围是 ( ) t－ 31 1A. 2，＋∞B. －∞，22 1C. 0，3D. 2， 1 ∪ (1 ，＋∞ )二、本大题共 3 个大题，共 38 分．20． (本小题满分12 分 )如图，四棱锥S－ ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍， P 为侧棱 SD 上的点．(1)求证： AC ⊥ SD；(2)若 SD ⊥平面 PAC ，侧棱 SC 上是否存在一点E，使得 BE∥平面PAC ？若存在，求 SE∶ EC 的值；若不存在，试说明理由．21.(本小题满分13 分 )f（ x）设函数 f(x) ＝ mx 2－ mx－ 1， g(x) ＝.(1)若对任意x∈ [1 ， 3]，不等式f(x)<5 － m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当 m＝－14时，确定函数g(x) 在区间 (3，＋∞ )上的单调性．22.(本小题满分13 分 )已知圆 C： (x － a)2＋ (y － a－ 2)2＝ 9，其中 a 为实常数．(1) 若直线 l： x＋ y－ 4＝ 0 被圆 C 截得的弦长为 2，求 a 的值；(2) 设点 A(3 ， 0) ， O 为坐标原点，若圆 C 上存在点 M ，使 |MA| ＝ 2|MO|，求 a 的取值范围．湖南师大附中2016－ 2017 学年度高一第一学期期末考试数学参考答案第Ⅰ卷 (满分 100 分 )一、选择题：本大题共11 小题，每小题 5 分，共 55 分 .题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案D C B A C D B C D A D 二、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．314. 3412． [－ 3， 1] 13.2三、解答题：本大题共 3 个小题，共 30 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】 (1) 因为点 B(4 ， 6) ， C(0 ， 8) ，则 k BC＝8－6＝－ 1 .(1 分 ) 0－ 4 2因为 l ⊥ BC ，则 l 的斜率为 2.(2 分 )又直线 l 过点 A ，所以直线 l 的方程为 y ＝ 2(x － 3)，即 2x－ y－ 6＝ 0.(4 分 ) (2)因为点 A(3 ， 0) ， C(0 ， 8) ，则 |AC|＝9＋ 64＝73.(5 分 )又直线 AC 的方程为x＋y＝ 1，即 8x＋ 3y－ 24＝ 0， (6 分 ) 3 8则点 B 到直线 AC 的距离 d＝32＋18－24＝26.(7 分 ) 64＋ 9 731所以△ ABC 的面积 S＝2|AC| × d＝ 13. (8 分 )3 1 1 116．【解析】 (1) 方法一：因为线段 AB 的中点为2，2 ，k AB＝－7，则线段 AB 的垂直平分线方程为y－2 ＝7 x－3，即 y＝ 7x － 10. (2 分 ) 2联立 y＝ 2x，得 x＝ 2， y＝ 4.所以圆心C(2 ， 4)，半径 r＝ |AC|＝16＋ 9＝ 5.(4 分)所以圆 C 的标准方程是(x － 2)2＋ (y－ 4)2＝ 25.(5 分 )方法二：设圆 C 的方程为x2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0，则－2D ＋ E＋ F＋ 5＝ 0，5D＋ F＋ 25＝ 0，解得D＝－4，E＝－8，F＝－5.(3分)E＝ 2D ，所以圆 C 的方程是x2＋ y2－ 4x－ 8y－ 5＝ 0，即(x－ 2) 2＋ (y－ 4) 2＝ 25.(5 分 )(2)直线 l 的方程化为(2x ＋ y－ 8) ＋ m(x ＋ 2y－ 7)＝ 0.2x＋ y－ 8＝ 0，x ＝ 3，令得所以直线l 过定点 M(3 ， 2)． (7 分 ) x ＋ 2y－ 7＝ 0，y ＝ 2，由圆的几何性质可知，当 l⊥ CM 时，弦长 |PQ|最短．百度文库2则 |PQ|min ＝ 2 r 2－ |CM | ＝ 2 25－ 5＝ 4 5.(10 分 )17． 【解析】 (1) 因为 A 1A ⊥平面 ABC ，则 A 1A ⊥ AC.又 AC ⊥ AB ，则 AC ⊥平面 AA 1 B 1B ，所以 AC ⊥ A 1B.(3 分 )由已知 ，侧面 AA 1 B 1 B 是正方形 ，则 AB 1⊥ A 1 B.因为 AB 1∩ AC ＝ A ，所以 A 1B ⊥平面 AB 1 C.(5 分 )(2)方法一： 连结 A C ，设 AB1 ∩ AB ＝ O ，连 CO ，交 A D 于 G.111因为 O 为 A 1 B 的中点 ， D 为 BC 的中点 ，则 G 为 △ A 1BC 的重心．因为 A 1O ⊥平面 AB 1 C ，则 ∠ A 1 GO 是 A 1D 与平面 AB 1 C 所成的角． (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1＝ 1，则 A 1 B ＝ BC ＝ A 1C ＝ 2.2226得 A 1O ＝ 2 ， A 1 G ＝ 3A 1D ＝ 3 × 2sin 60°＝ 3 .A 1 O3在 Rt △ A 1OG 中， sin ∠ A 1GO ＝ A 1 G ＝ 2 ，则 ∠ A 1GO ＝ 60° . 所以直线 A 1 D 与平面 AB 1 C 所成的角为 60° .(12 分 )方法二： 分别取 AB ， B 1B 的中点 E ， F ，连 DE ， EF ， DF ，则 ED ∥ AC ， EF ∥ AB 1 ，所以平面 DEF ∥ 平面 AB 1 C.因为 A 1B ⊥平面 AB 1C ，则 A 1B ⊥平面 DEF. 设 A 1B 与 EF 的交点为 G ，连 DG ，则 ∠ A 1DG 是直线 A 1 D 与平面 DEF 所成的角 . (8 分 ) 设 AB ＝ AC ＝ AA 1 1 1＝ 1，则 A B ＝ BC ＝ A C ＝ 2. 得 A 1G ＝ 3A 1B ＝3 2， A 1D ＝ 2sin 60°＝6.442在 Rt △ A 11DG A 1 G＝ 3，则 ∠ A 1DG ＝ 60° .GD 中， sin ∠ A ＝A 1 D 2所以直线 A 1 D 与平面 AB 1C 所成的角为 60° . (12 分 )第 Ⅱ 卷 (满分 50 分 )百度文库【解析】 M ＝ (－ ∞ ， 0) ∪ (2，＋ ∞ )， N ＝ [0，＋ ∞)，所以 N ∩ ?RM ＝ [0 ， 2]．19． B 【解析】 因为 y ＝ f(x － 1)的图象关于点 A(1 ， 0)对称 ，则 y ＝ f(x)的图象关于原点对称，即 f(x)为奇函数．由 f (t 2 － 2t)＋ f(－ 3)>0 ，得 f(t 2 － 2t )>－ f(－ 3)＝ f(3)， 因为 f(x)在 R 上是减函数 ，则 t 2－ 2t<3，即 t 2－ 2t － 3<0，得－ 1＜ t ＜ 3.t － 1 2 t － 1 1因为 y ＝ t － 3 ＝ 1＋ t － 3 在区间 (－ 1， 3) 上是减函数 ，则 t － 3< 2，选 B.二、本大题共 3 个大题 ，共 38 分．20． 【解析】 (1) 连接 BD ，设 AC 交 BD 于点 O ，连接 SO ，由题意得 SO ⊥AC ，又因为正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，所以 AC ⊥ 平面 SBD,∵ SD? 平面 SBD ，所以 AC ⊥ SD. (6 分 )(2)在棱 SC 上存在一点 E ，使得 BE ∥ 平面 PAC.设正方形边长为a ，则 SD ＝ 2a.由 SD ⊥平面 PAC 得 PD ＝ 42a，故可在 SP 上取一点 N ，使 PN ＝ PD.过点 N 作 PC 的平行线与SC 的交点为 E ，连接 BN ，在 △ BDN 中，易得 BN ∥ PO ，又因为NE ∥ PC ，所以平面 BEN ∥平面 PAC ，所以 BE ∥ 平面 PAC.因为 SN ∶ NP ＝ 2∶ 1，所以 SE ∶ EC ＝ 2∶ 1. (12 分 )21． 【解析】 (1) 由 f(x)<5 － m ，得 mx 2－ mx － 1<5－ m ，即 m(x 2 － x ＋ 1)<6.因为 x 2－ x ＋ 1＝ x － 1 2 ＋ 3>0，则 m< 2 6 .(3 分 )2 4 x － x ＋ 16 设 h(x) ＝ x 2－ x ＋ 1，则当 x ∈ [1 ， 3]时， m ＜ h(x)恒成立．因为 y ＝ x 2 － x ＋ 1 在区间 [1 ，3] 上是增函数 ，则 h(x) 在区间 [1， 3] 上是减函数 ， h(x) min6＝ 7.＝ h(3) 所以 m 的取值范围是 6－ ∞ ， 7 . (6 分 )1百度文库1x＋ 1当 m ＝－ 4时， g(x) ＝－4.(7 分 )x － 1x 2 1 x 1 1 设 x 1>x 2>3，则 g(x 1)－ g(x 2)＝ 4 ＋ 2 － 4 ＋1 － 1 ＝ x － 1 xx 2 － x 1 ＋1 － 1 ＝ x － x ＋ x － x2＝2 1 14 4x 2 － 1 x 1－ 14 （ x 1－ 1）（ x 2－ 1）1－ 1.(10 分 )(x 1－x 2)（ x 1－ 1）（ x 2－ 1）4因为 x 1－ 1>x 2－ 1>2 ，则 (x 1 － 1)(x 2－ 1)>4 ，得 1 1 ，又 x 1（ x 1－ 1）（ x 2 － 1） <4 2 1 ) 2 )<0，－ x >0，则 g(x － g(x即 g(x 1)<g(x 2 )，所以 g(x) 在区间 (3 ，＋ ∞ )上是减函数． (13 分 ) 22． 【解析】 (1) 由圆方程知 ，圆 C 的圆心为 C(a ， a ＋ 2)，半径为 3.(2 分 ) 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，则d 2 ＋ 1＝ 9，即 d ＝ 2 2.(4 分 )所以 |a ＋（ a ＋ 2）－ 4|＝ 2 2，即 |a － 1|＝ 2，所以 a ＝－ 1 或 a ＝ 3.(6 分 )2(2)设点 M(x ， y)，由 |MA| ＝ 2|MO| ，得 （ x － 3） 2＋ y 2＝ 2 x 2＋ y 2，即 x 2＋ y 2＋ 2x － 3＝ 0. 所以点 M 在圆 D ： (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 4 上．其圆心为 D( － 1， 0)，半径为 2.(8 分 ) 因为点 M 在圆 C 上，则圆 C 与圆D 有公共点 ，即 1≤ |CD| ≤ 5.(9 分 )a 2＋ 3a ＋ 2≥ 0， 所以 1≤（ a ＋ 1） 2＋（ a ＋ 2） 2≤ 5，即a 2＋ 3a － 10≤ 0，（ a ＋ 2）（ a ＋ 1） ≥ 0，即 (11 分 )（ a － 2）（ a ＋ 5） ≤ 0，a ≤ － 2或 a ≥ － 1， 解得 即－ 5≤ a ≤ － 2 或－ 1≤a ≤ 2.－ 5≤ a ≤ 2，故 a 的取值范围是 [－ 5， － 2] ∪ [－ 1， 2] ． (13 分 )百度文库。

2023-2024学年湖南省永州市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2670A x x x =--<，{}3,1xB y y x ==<，则()R A B ⋂=ð（）A ．[)3,7B ．(][)1,03,7-⋃C ．[)7,+∞D ．()[),17,-∞-⋃+∞【正确答案】B【分析】先化简集合A 、B ，再去求R B ð，进而求得()R A B ð【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}()3,10,3xB y y x ==<=，所以(][)R ,03,B =-∞⋃+∞ð，所以()(][)R 1,03,7A B ⋂=-⋃ð．故选：B ．2．命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”的否定为（）A ．存在实数x ，使2220x x ++>B ．对任意一个实数x ，都有2220x x ++≤C ．对任意一个实数x ，都有2220x x ++>D ．存在实数x ，使2220x x ++≥【正确答案】C利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”为特称命题，该命题的否定为“对任意一个实数x ，都有2220x x ++>”.故选：C.3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O 为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）A ．22y x x =-B ．cos y x =C ．sin y x =D ．1y x x=-【正确答案】C【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A ，22y x x =-不是奇函数，A 选项错误；对于B ，cos y x =不是奇函数，B 选项错误；对于C ，sin y x =的定义域为R ，且是奇函数，C 项正确；对于D ，1y x x=-的定义域为{}0x x ≠，所以图像不经过坐标原点，D 选项错误；故选：C ．4．下列四个函数：①1y x =+，②133,01,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，③ln y x =，④212x y x -=-，其中定义域和值域相同的函数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【正确答案】B【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可求解.【详解】对于①：由一次函数的性质可知1y x =+定义域为R ，值域为R ；定义域和值域相同，故①符合题意；对于②：根据分段函数的性质可知：分段函数133,01,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的定义域为R ，当0x ≤时，13y x =的值域为(],0-∞，当0x >时，31y x=的值域为()0,∞+，因此分段函数的值域为R ；定义域和值域相同，故②符合题意；对于③：由0x >可得0x ≠，所以ln y x =的定义域为{}|0x x ≠，()ln ,0ln ln ,0x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，当0x >时，ln y x =在()0,∞+上单调递增，此时值域为R ，当0x <时，()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，此时值域为R ，所以ln y x =的值域为R ，定义域和值域不同，故③不符合题意；对于④：由20x -≠可得2x ≠，所以212x y x -=-的定义域为{}|2x x ≠，()2232132222x x y x x x -+-===+---，因为302y x =≠-，所以3222y x =+≠-，即2122x y x -=≠-，所以212x y x -=-的值域为{}|2x x ≠，定义域和值域相同，故④符合题意；定义域和值域相同的函数有①②④，有3个.故选：B.5．已知幂函数()()2N m f x x m -=∈的图象关于原点对称，且在()0,∞+上是减函数，若()()22132m m a a --+<-，则实数a 的取值范围是（）A ．23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()23,1,32⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式.【详解】根据幂函数()()2N m f x x m -=∈的图象关于原点对称，且在()0,∞+上是减函数可知20m -<且2m -为奇数，又N m ∈，故1m =，代入()()22132m m a a --+<-得，()()1122132a a --+<-，由12y x -=的单调性得10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：2332a <<故选：B6．函数2()(4)ln ||f x x x =--的图象是（）A．B．C ．D．【正确答案】B【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：()222(4)ln ,0()(4)ln (4)ln ,0x x x f x x x x x x ⎧->⎪=--=⎨--<⎪⎩，因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，故排除AD ，当0x >时，令()0f x =，得1x =或2x =，当01x <<或2x >时，()0f x <，当12x <<时，()0f x >，故选：B7．已知函数()5cos 22sin f x ax ax =--在区间[]1,2-上的最小值为72，则a 的取值范围为（）A ．ππ,,612⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．ππ,,126⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．ππ,00,612⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．ππ,0,612⎡⎫⎡⎫-⋃+∞⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【正确答案】A【分析】根据二倍角得余弦公式化简，从而问题可转化为1sin 2ax =在区间[]1,2-上有解，再分0a >，0a =和a<0三种情况讨论即可得出答案.【详解】解：2217()5cos 22sin 2sin 2sin 42sin 22f x ax ax ax ax ax ⎛⎫=--=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()5cos 22sin f x ax ax =--在区间[]1,2-上的最小值为72，所以1sin 2ax =在区间[]1,2-上有解，当0a >时，由[]1,2x ∈-，得[],2ax a a ∈-，则有0π26a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得π12a ≥，当0a =时，1sin 02ax =≠，与题意矛盾，当a<0时，由[]1,2x ∈-，得[]2,ax a a ∈-，则有0π6a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或07π26a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解得π6a ≤-，综上a 的取值范围为ππ,,612⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：A.8．已知函数232,0()1log ,02x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，()g x x k =-，函数(())g f x 有4个不同的零点1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（）A ．(]462,9-B ．64(0,9C ．82(0,]9D ．(0,)+∞【正确答案】B【分析】令(())0g f x =，得()f x k =，问题转化为，()f x k =有4个不同的根，即函数()y f x =与函数y k =有4个不同的交点，分别作出()y f x =与y k =的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.【详解】(())g f x ()f x k =-，令(())0g f x =，得()f x k =，函数(())g f x 有4个不同的零点，即()f x k =有4个不同的根；根据题意，作出()f x的图像，如图明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有122x x +=-，341x x =，因为430x x >>，故342x x +>=，令31log 12x =，得19x =或9x =，故34199x x +<+，又因为1234x x x x +++342x x =-++，则34129209x x -++>-++>，整理得3464209x x >-++>故1234x x x x +++的取值范围为64(0,)9.故选：B 二、多选题9．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数sin()(0)y A x B ωϕϕπ=++<<，则下列说法正确的是（）A ．该函数的周期是16B ．该函数图象的一条对称轴是直线14x =C ．该函数的解析式是310sin 20(024)84⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭y x x ππD ．这一天的函数关系式也适用于第二天【正确答案】ABC【分析】由题意以及函数的图象可求A ，B 的值，可求周期T 的值，即可判断A ，利用三角函数周期公式可求ω，由图象经过点(14,30)，结合范围0ϕπ<<，可求ϕ的值，得解函数解析式即可判断BC ，由题意判断D 选项即可得解．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，30A B +=，10A B -+=，解得10A =，20B =．1462T=-，16T ∴=，所以A 正确；2T πω=，8πω∴=，10sin()208y x πϕ∴=++．图象经过点(14,30)，3010sin(14)208πϕ∴=⨯++，sin(14)18πϕ∴⨯+=，0ϕπ<< ，34πϕ∴=，310sin()20(024)84y x x ππ∴=++，所以BC 正确；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，故D 错误．故选：ABC10．若105a =，1020b =，则（）A ．4a b +=B ．lg 4b a -=C ．22lg 5ab <D ．lg 5b a ->【正确答案】BC【分析】由105,1020a b ==，得lg5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg5lglg 4lg55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴，选项C 正确.故选：BC.11．已知()cos 5αβ+=-，5cos213α=-，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（）A ．sin 21312α=B ．()cos 65αβ-=C ．cos cos 65αβ=D ．11tan tan 8αβ=【正确答案】AC【分析】根据同角关系可求()sin 2,sin ααβ+，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C ，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为cos()αβ+=，5cos 213α=-，其中α，β为锐角，故()0,παβ+∈所以：12sin 213α=，故A 正确；因为sin()αβ+=，所以cos()cos[2()]cos 2cos()sin 2sin()αβααβααβααβ-=-+=+++512()(1313=-⨯+，故B 错误；可得11cos cos [cos()cos()](22αβαβαβ=++-=-=C 正确；可得11sin sin [cos()cos()]()]22αβαβαβ=--+=-sin sin 21tan tan cos cos 8αβαβαβ==，故D 错误．故选:AC12．已知()y f x =奇函数，()(2)f x f x =-恒成立，且当01x 时，()f x x =，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(2021,2022)上单调递减D ．函数()y g x =的图像既有对称轴又有对称中心【正确答案】BCD【分析】由()g x 与()f x 的关系式及()f x 的周期性、奇偶性，即可求(2022)g 和判断()g x 的周期，进而判断A 和B ；利用奇函数性质求()f x 在22x -≤≤上的解析式，结合()g x 的周期性及()()(1)g x f x f x =++求(2021,2022)上的解析式判断C ，利用对称性判断(1)()g x g x -=、()(3)0g x g x +-=是否成立判断D.【详解】因为()(2)f x f x =-，所以，()(2)f x f x -=+，又()f x 为奇函数，故()()(2)(2)(2)f x f x f x f x f x -=-=--=-=+，利用(2)(2)f x f x -=+，可得()(4)f x f x =+，故()f x 的周期为4；因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；当01x 时，()f x x =，因为()f x 为奇函数，故10x -≤<时，()f x x =，因为()(2)f x f x =-恒成立，令021x ≤-≤，此时，(2)2f x x -=-，则21x ≥≥，()(2)2f x f x x =-=-，故02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；令23x <<，即32x -<-<-，120x -<-<，(2)2()f x x f x -=-=所以2,21(),112,13x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(2021,2022)x ∈上的图像与在(1,2)x ∈相同，所以，当12x ≤<，即213x ≤+<时，()()(1)22(1)32g x f x f x x x x =++=-+-+=-，故()g x 在(1,2)x ∈上单调递减，C 正确；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BCD 三、填空题13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【正确答案】120【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：1130812022S lr ==⨯⨯=，故12014．已知正实数,x y 满足23xy x y ++=，那么xy 的最大值为_________．【正确答案】7-7-【分析】由题意和基本不等式可得3xy ≥+，解不等式即可求出．【详解】∵23xy x y ++=，∴3xy ≥+整理可得25≤，≤∴7xy ≤-当且仅当2x y =即22x -+=且2y =-时取等号，∴xy 的最大值为7-，故7-15．已知函数f （x ）＝|sin x |﹣cos x ，给出以下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称；②f （x ）在[﹣π，0]上是减函数；③f （x ）是周期函数；④f （x ）在[﹣π，π]上恰有三个零点．其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）【正确答案】①③求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f （x +2π）＝f （x ）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数.【详解】解：对于①，函数f （x ）＝sin x ﹣cos x 的定义域为R ，且满足f （﹣x ）＝f （x ），所以f （x ）是定义域在R 上的偶函数，其图象关于y 轴对称，①为真命题；对于②，当x ∈[﹣π，0]时，sin x ≤0，()()4f x sinx cosx x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，对于4y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，3444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f （x ）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；对于③，因为f （x +2π）＝|sin （x +2π）|﹣cos （x +2π）＝|sin x |﹣cos x ＝f （x ），函数f （x ）是周期为2π的周期函数，③为真命题；对于④，当x ∈[﹣π，0]时，sin x ≤0，()()4f x sinx cosx x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，且3444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，f （x ）在[﹣π，0]上恰有一个零点是4π-，又由①知道f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是4π，则④为假命题．故答案为:①③.关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.16．已知函数()2f x ax =-，()222log 21x x g x +=-，若对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围为__________.【正确答案】()2,4-【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为()()max max f x g x <，利用复合函数单调性的判断方法可知()g x 在[]1,3上单调递减，由此得到()()max 12g x g ==；分别讨论0a =、a<0和0a >的情况，根据一次函数单调性确定()max f x ，由()max 2f x <可解不等式求得a 的范围.【详解】 对任意的[]12,1x ∈-，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x <成立，()()max max f x g x ∴<；()222222133log log log 1212121x x x x x g x +-+⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭，3121xt =+- 在[]1,3上单调递减，2log y t =单调递增，()g x ∴在[]1,3上单调递减，()()2max 1log 42g x g ∴===；当0a =时，()2f x =-，则()max 2g x -<，满足题意；当a<0时，()f x 在[]2,1-上单调递减，()()max 222f x f a ∴=-=--，222a ∴--<，解得：20a -<<；当0a >时，()f x 在[]2,1-上单调递增，()()max 12f x f a ∴==-，22a ∴-<，解得：04a <<；综上所述：实数a 的取值范围为()2,4-.故答案为.()2,4-四、解答题17．集合{}21|0,450,{2,R}3x A x B x x x C x m x m m x -⎧⎫=<=--<=<<-∈⎨⎬+⎩⎭∣∣.(1)求A B ⋂；(2)在①B C C = ，②B C =∅ ，③条件:,:,p x C q x B p ∈∈是q 的充分不必要条件，这三个条件中任选一个填到横线上，并解答.已知__________，求实数m 的取值范围.注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分.【正确答案】(1){}|11A B x x =-<< (2)答案见解析.【分析】（1）解不等式求得,A B ，由此求得A B ⋂.（2）根据所选条件，对m 分类讨论，列不等式来求得m 的取值范围.【详解】（1）()()101303x x x x -<⇔-+<+，解得31x -<<，所以{}|31A x x =-<<.()()245510x x x x --=-+<，解得15x -<<，所以{}1|5B x x =-<<.所以{}|11A B x x =-<< .（2）由（1）得{}1|5B x x =-<<.若选①B C C = ，则2m m ≥-或2125m m m m <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，解得m 1≥或11m -≤<，所以m 的取值范围是[)1,-+∞.若选②B C =∅ ，则2m m ≥-或221m m m <-⎧⎨-≤-⎩或25m mm <-⎧⎨≥⎩，解得m 1≥，所以m 的取值范围是[)1,+∞.若选③条件:,:,p x C q x B p ∈∈是q 的充分不必要条件，则CB ,则2m m ≥-或2125m m m m <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，且等号不同时成立解得m 1≥或11m -≤<，所以m 的取值范围是[)1,-+∞.18．已知函数()222sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求m 的最小值.【正确答案】（1）π；单调递减区间是()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π.（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由x 的取值范围，求出26x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由已知，有()()1cos 21cos 23f x x x π⎡⎤⎛⎫=-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos 2cos 2222x x x ⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭12cos 22sin 22226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期.22T ππ==由()3222Z 262k x k k πππππ+≤-≤+∈，得()f x 的单调递减区间是()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以2,2626x m πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.即sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为1.所以262m ππ-≥.即3m π≥所以m 的最小值为3π.本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离x （km ）的关系式为45kp x =+（0≤x ≤15），若距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．（1）求()f x 的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求()f x 最小值．【正确答案】（1）()90010401545f x x x x =++≤≤+，；（2）宿舍应建在离工厂254km 处，可使总费用最小，()f x 最小值为65万元．（1）根据距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元，可求k 的值，由此，可得()f x 的表达式；（2）()90010445f x x x =+++，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km 时，测算宿舍建造费用为20万元，则204105k=⨯+，解得k =900，所以90045p x =+，则()90010401545f x x x x =++≤≤+，；（2）因为()()9009001044555654545f x x x x x =++=+++≥=++，当且仅当9004545x x +=+，即254x =时取等号，此时总费用最小．答：宿舍应建在离工厂254km 处，可使总费用最小，()f x 最小值为65万元．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方20．已知函数()2sin(2)(||π)f x x ϕϕ=+<，将函数()f x 向右平移π3个单位得到的图像关于y 轴对称且当π6x =时，()f x 取得最大值.(1)求函数()f x 的解析式：(2)方程2()(2)()10f x a f x +-+=在π11[,π]612上有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)102a -<<【分析】（1）利用正弦函数的平移变换结合图像和性质求解即可；（2）利用正弦函数的图像和一元二次函数根与系数的关系求解即可.【详解】（1）函数()f x 向右平移π3个单位可得π2π()2sin 22sin 233g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 关于y 轴对称，所以2ππ20π,Z 32k k ϕ⨯+-=+∈解得7ππ,Z 6k k ϕ=+∈，因为π<ϕ，所以π6ϕ=或5π6-，又因为当π6x =时，()f x 取得最大值，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+解得π2π6k ϕ=+，综上π6ϕ=，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()f x t =，由（1）得当π11π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图像可得当2()0f x -<≤时x 有两个解，所以要使方程2()(2)()10f x a f x +-+=有4个不相等的实数根，则关于t 的一元二次方程2(2)10t a t +-+=有两个不相等的实数根且两根都在区间(2,0]-内，所以2(2)40a ∆=-->，22021a--<-<⨯且2(2)(2)(2)10a -+-⨯-+>，解得102a -<<.21．设函数()22x x f x k -=⋅-是定义R 上的奇函数．（1）求k 的值；（2）若不等式()21x f x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x x g x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．【正确答案】（1）1；（2）54a <；（3）最小值为2-，此时2log (1x =.（1）根据题意可得()00f =，即可求得k 值，经检验，符合题意；（2）()21x f x a >⋅-有解，等价为2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意()()44422x x x xg x --=+--，令22x x t -=-，可得t 的范围，整理可得2()()42g x h t t t ==-+，32t ≥，利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）因为()22x x f x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=，解得1k =，所以()22x x f x -=-，当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解，所以211122x xa ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，所以只需2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为221111551222244x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立），所以54a <；（3）因为()444()x x g x f x -=+-，所以()()44422x x x xg x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t ≥，则2442x x t -=+-，可得函数2()()42g x h t t t ==-+，32t ≥，由()h t 为开口向上，对称轴为322t =>的抛物线，所以2t =时，()h t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，所以()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =+．解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若()a m x <，只需max ()a m x <，若()a m x >，只需min ()a m x >，处理恒成立问题时，若()a m x <，只需min ()a m x <，若()a m x >，只需max ()a m x >，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.22．如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知60BAC ∠=︒.设ACF α∠=（060α︒<<︒）.（1）求ABC ∆面积S 关于角α的函数解析式()S α；（2）求()S α的最小值.【正确答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（2(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可.(2)由(1)有11()tan(30)2tan S mn ααα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角1sin(230)2α︒+-再求最值即可.【详解】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥,在Rt ACF ∆中,tan nCF α=,060α︒<<︒,18060(90)30EAB αα︒︒︒︒∠=---=+,在Rt ABE ∆中,tan(30)tan(30)EB AE m αα︒︒=+=+.∴ACF ∆的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅,∴ABE ∆的面积2211tan(30)22S AE EB α︒=⋅=+,∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα︒⎡⎤=+⋅=+++⎢⎥⎣⎦.∴12()S S S S α=--221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα︒︒⎡⎤=+++-⋅-+⎢⎥⎣⎦11tan(30)2tan mn αα︒⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.（2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα︒︒︒+=++=++sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)αααααα︒︒︒+++=+sin 22=⎝⎭sin 22︒=22=1sin(230)2α︒=+-.∴当23090α︒︒+=时,即30︒=α时,y取得最小值此时()S α.本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.。