北京市12区2019届高三第一次模拟(3、4月)数学理试题分类汇编：排列组合二项式定理

2019年北京市各区高三一模试题分类汇编12排列组合二项式定理复数1.（2018海淀一模）2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0)2.（2018西城一模）9．设复数1i i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．25- 3.（2018东城一模）（2）复数i 1i=- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 4.（2018朝阳一模）（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5.（2018大兴一模）（2）复数1i 1i+=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i2018一模汇编：排列组合1.（2018海淀一模）6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种2.（2018西城一模）13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）483.（2018东城一模）（13）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同分配方法共有 种．（用数字作答）244.（2018朝阳一模）（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）725.（2018石景山一模）13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．1806.（2018丰台一模）（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2018的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个2018一模汇编：二项式定理1.（2018东城一模）（9）61()x x -的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）20- 2.（2018石景山一模）3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10B ．10-C ．20D ．20-。

2019届北京市通州区高三4月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【解析】先求解集合N 中的不等式，再求交集即可。

【详解】{|12};{0,1}N x x M N =-<<∴⋂=；故选：C 【点睛】本题考查集合的基本运算，求两个集合的交集，属于基础题。

2．已知0c <,则下列不等式中成立的是（ ） A ．2cc > B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．122cc⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先根据指数函数的图像和性质求12,2cc ⎛⎫ ⎪⎝⎭的范围，再判断大小即可。

【详解】110,1,021,222c cc c c ⎛⎫⎛⎫<∴><<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：D 【点睛】本题考查指数函数的图像和性质，属于基础题。

3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（ ） A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【答案】B【解析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可。

【详解】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1x y +-= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础。

4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中()mod N n b m ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()112mod3b ≡表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N 等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练排列组合与二项式定理一、排列组合1. 某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( ) A. 18 B. 24 C. 48 D. 96【答案】B 【解析】【详解】甲连续2天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有336A =种排法因此共有4624⨯=种排法,故选B .2. 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）A. 24种B. 30种C. 36种D. 48种【答案】D 【解析】【分析】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，分类讨论1、4同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】将原图从上而下的4个区域标为1、2、3、4，因为1、2、3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1、4同色与不同色这两种情况. ①若1、4同色，则区域1、4有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有43224⨯⨯=种涂色方法；②若1、4不同色，则区域1有4种选择，区域4有3种选择，区域2有2种选择，区域3只有1种选择，此时共有432124⨯⨯⨯=种涂色方法. 故不同的着色方法种数为242448+=. 故选：D.【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.3. 安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答） 【答案】30 【解析】【分析】根据题意，用间接法分析：先计算甲乙不受限制的全部情况数目，再排除其中甲乙参加同一个项目的情况数目，即可得答案． 【详解】根据题意，用间接法分析：先将甲、乙、丙、丁4人分成3组，再将分成的三组分别参加3个项目，有23436636C A ⨯=⨯= 种不同的安排方案，其中甲乙参加同一个项目，则丙、丁参加另外的2个项目，有336A = 种情况，则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36-6=30种； 故答案为30【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意用间接法分析，避免分类讨论．4. 把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） 【答案】8 【解析】【详解】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.5. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和6名女教师中，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为___________．（结果用数值表示） 【答案】50 【解析】【分析】根据题意，按男教师的数目分2种情况讨论，①，有1名男教师，则有4名女教师，②，有2名男教师，则有3名女教师，求出每种情况的选取方法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，分2种情况讨论：①，有1名男教师，则有4名女教师，有142630C C=种选取方法，②，有2名男教师，则有3名女教师，有232620C C=种选取方法，则一共有30+20=50种选取方法；故答案为50【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．6. 故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A. 6种B. 8种C. 10种D. 12种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，②，该同学参观两个画展，求出每种情况的参加方案的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①，该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有122C=种选法，可以在“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”中任选1个，有122C=种选法，将选出2的2个展览安排在五一的上、下午，有22A种情况，则只参观一共画展的方案有2228⨯⨯=种，②，该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有22A种情况，即参观两个画展有2种方案，则不同的参观方案共有8210+=个；故选C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．7. 四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为_______. 【答案】60 【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论，①，乙、丙、丁、戊有1人与甲一起借阅《三国演义》，②，乙、丙、丁、戊中没有人借阅《三国演义》，分别求出每一种情况的借阅方案数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，要求甲借阅《三国演义》，分2种情况讨论， ①，乙、丙、丁、戊有1人与甲一起借阅《三国演义》， 在4人选出1人，与甲一起借阅《三国演义》，有4种情况，让三人对应剩下的三本名著，有336A = 种情况，则此时有4624⨯= 种不同的借阅方案； ②，乙、丙、丁、戊中没有人借阅《三国演义》，在4人选出2人，共同借阅除《三国演义》外的一本名著，有214318C C = 种情况，将剩下的2人借阅剩下的2本名著，有222A = 种情况，则此时有18236⨯= 种不同的借阅方案； 则有243660+= 种借阅方案； 故答案为60【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素．8. 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为 A. 4 B. 8 C. 12 D. 24【答案】B 【解析】【详解】 由题意，现对两位男生全排列，共有222A =种不同的方式，其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有2224A ⨯=，所以满足条件不同的排法种数共有248⨯=种，故选B ．9. 一次数学会议中，有五位教师来自,,A B C 三所学校，其中A 学校有2位，B 学校有2位，C 学校有1位．现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法.【答案】48【解析】【分析】先安排A学校和C学校的三位老师，有22A中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有224224A A=种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．【详解】五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有22A中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有224224A A=种排法，由乘法原理得不同的排列方法有22224248A A A=种，故答案为48．【点睛】本题考查不同的站队方法的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10. 从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．【详解】由题意，末尾是0，2，4末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个故选C．【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．11. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是A. 总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B. 总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C. 总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D. 总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【答案】A【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案． 【详解】5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多， 故选A ．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键是读清题意，属于基础题．12. 在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色．．．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】D 【解析】【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论．【详解】红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D ．【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．13. LZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目,分,,A B C 三期播出，A 期播出两间学校,B 期，C 期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有（ ） A. 140种 B. 420种 C. 840种 D. 1680种【答案】C 【解析】【分析】从8间候选学校中选出4间，共有方法4870C =种方法，4所选出2所，共有方法246C = 种方法，再进行全排，共有方法22A 种方法，利用乘法原理可得结论．【详解】从8间候选学校中选出4间，共有方法4870C =种方法，4所选出2所，共有方法246C =种方法，再进行全排，共有方法22A 种方法，共有7062840⨯⨯= 种方法， 故选C ．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查组合知识，属于中档题．14. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有( ) A. 6种B. 24种C. 30种D. 36种【解析】【分析】根据题意，由间接法分析：先从4个专题讲座中任选2个看作整体，然后做3个讲座的全排列，即可得全部情况数目，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，即可得答案．【详解】根据题意，由于4科的专题讲座每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个专题讲座中任选2个看作整体，然后与其他2个讲座全排列，共234336C A=种情况，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，将数学、理综看成一个整体，然后与其他2个讲座全排列，共336A=种情况，故总的方法种数为：36630-=；故答案为30【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，15. 在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A. 96种B. 124种C. 130种D. 150种【答案】 D【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C CA=种分组方法；则一共有101525+=种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A=种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种； 故选D ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．二、二项式定理16. 在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答) 【答案】60. 【解析】【详解】试题分析：因为16(2)r r r T C x +=-，所以2x 的系数为226(2)60.C -=考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.（2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.17. 在2()nx x-的展开式中，若二项式系数的和为32，则x 的系数为（ ） A. ﹣40 B. ﹣10C. 10D. 40【答案】D 【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得x 的系数．【详解】根据2()n x x-的展开式中，二项式系数的和为2325n n =∴=， ．而522()()n x x x x-=- 的展开式中，通项公式为52152r rr r T C x -+=⋅-⋅（），令521r -=，求得2r ，可得展开式中x 的系数为325240C ⋅-=（）， 故选D ．【点睛】本题主要考查二项式定理应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 18. 已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n =__________． 【答案】6 【解析】【详解】 由题意得，令1n =，可得展开式中各项的系数和为(51)4n n -=，由展开式中各项的二项式系数的和为2n，则46462nn n =⇒=.19. 设常数a R ∈，若25()ax x +的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a =________．【答案】-2 【解析】【详解】试题分析：∵25()a x x +的展开式的通项为102103155()r r rr r r r a T C x C a x x--+==，令1037r -=，得1r =，∴7x 的系数是155aC a =，∵7x 项的系数为-10，∴510a =-，得2a =-.考点：二项式定理.20. 261()x x-的展开式中6x 的系数是___． 【答案】15 【解析】【分析】求出通项()123161? rr rr T C x -+=-，，令12362r r -==，由此求得展开式中6x 的系数． 【详解】在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项()()26123166 11?r rr r r r rr T C x x C x （），---+=-=- 令12362r r -==， ．故展开式中6x 的系数是 ()2261?15?C -=，， 故答案为 15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．21. ()5a x x R x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于【】A. -1B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【详解】解：∵T r+1=C 5r •x 5-r•（a /x ）r =a r C 5r x 5-2r ， 又令5-2r=3得r=1，∴由题设知C 51•a 1=10⇒a=2． 故选D22. 在261()x x-的展开式中，常数项是__________（用数字作答）． 【答案】15 【解析】【分析】求出通项()36161? rr r r T C x -+=-，，令3662r r -==，由此求得展开式中常数项． 【详解】在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项()()26123166 11?r r r r r r r r T C x x C x （），---+=-=- 令3662r r -==， ．故展开式中常数项是 ()2261?15?C -=，， 故答案为 15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 23. 261()x x+展开式中的常数项为________（用数字作答） 【答案】15 【解析】【详解】由题得621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为26621661()()()(0,1,2,3,4,5,6)r r r r rr T C x C x r x --+===，令6-2r=0,所以r=3.所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项为3623366()15C x C -⨯==,故填15. 24. 在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是__________（结果用数值表示）． 【答案】189 【解析】【详解】因为(x −3)7的展开式的通项公式为：()7173rr rr T C x -+=-, 当r =2时,()2255373189T C x x =-=.所以(x −3)7展开式中,x 5项的系数为：189. 25. 412)x x-（展开式中的常数项是_______. 【答案】24 【解析】【详解】试题分析：1424144(2)()2r r r r r r r T C x x C x ---+==，240r ∴-=，2r ∴=，22214224T C +∴==.考点：二项式定理.【方法点晴】本题主要考查了二项式的展开式，展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式（组）.26. 若6(n x的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】 【分析】二项式项的公式61r n r r r n T C x -+=（r ，对其进行整理，令x 的指数为0，建立方程求出n 的最小值 【详解】由题意6n x⎛+ ⎝的展开式的3156666221r r r n r r r n r r n r n n n T C x C x C x ----+===（ ， 令15602n r -= ，得54n r =，当4r = 时，n 取到最小值5 故答案为C ．【点睛】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．27. 若)na x 展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a 的值是_____．【答案】±1【解析】【详解】由题意可得264n =，解得6n =，6a x ⎫∴⎪⎭的通项公式()()3632166r rr r r rr a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3302r -=，解得2r ，∴常数项()22615a =-=，解得1a =±，故答案为±1.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.。

北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编排列组合二项式定理一、排列组合1、（丰台区2019届高三一模）从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务．如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为____．2、（门头沟区2019届高三一模）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人。

则不同的选派方法的种数是 A．18 B．21 C． 36 D．423、（西城区2019届高三一模）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，a . 若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.b，c. 例如，图中上档的数字和94、（大兴区2019届高三一模）中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为（A）8（B）10（C）15（D）205、（海淀区2019届高三一模）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班(A)8种 (B) 10种 (C) 12种 (D) 14种6、（石景山区2019届高三一模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数为A. 7B. 10C. 12D. 22参考答案1、122、D3、32解析：每档可取7到14中的每个整数，若公差为0，共有8种；若公差为±1，则共有12种；若公差为±2，则共有8种；若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种。

北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编不等式1、（朝阳区2019届高三一模）记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、（东城区2019届高三一模）若,x y 满足010,26,x y y y x +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≤≥则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 3、（海淀区2019届高三一模）已知x y >，则下列各式中一定成立的是(A)11x y < (B) 12x y+> (C) 11()()22x y > (D) 222x y -+>4、（海淀区2019届高三一模）设关于,x y 的不等式组00,1x y y kx ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩， 表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点(0,1)A -距离的最小值为()d k ，则(I)当=1k 时，(1)=d ； (Ⅱ)若()2d k ≥，则k 的取值范围是____．5、（怀柔区2019届高三一模）设x ,y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．96、（门头沟区2019届高三一模）若x y ，满足条件10100x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪≥⎩≤≥，则2z x y =+的最大值为 ．7、（石景山区2019届高三一模）若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是A. x y a b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a bx y< 8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））若实数x y ，满足2000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2x y +的最小值是A ．-2B ．-1C ．0D ．49、（延庆区2019届高三一模）已知(0,1)x ∈，令log 3x a =，sin b x =，2x c =，那么,,a b c 之间的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）b c a << （D ）c a b <<10、（房山区2019届高三一模）若,x y 满足223,,x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，≤≤≥则2x y +的最大值为 .11、（平谷区2019届高三一模）若实数x, y 满足，则z ＝y －x 的最小值为（ ）A. －2B. 2C. －4D. 412、（门头沟区2019届高三一模）已知,R x y +∈，求24(2)()z x y x y=++的最值. 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法： 甲：2444(2)()2818x y z x y x y y x =++=+++≥ 乙：248(2)()22216z x y xy x y xy=++≥⋅= ①你认为甲、乙两人解法正确的是 .②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确13、（石景山区2019届高三一模）若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________．14、（西城区2019届高三一模） 团体购买公园门票，票价如下表：购票人数 1~50 51~100 100以上 门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A）20（B）30（C）35（D）40参考答案1、C2、D3、D4、2,[1,)-+∞5、C6、27、A8、B9、A10、1011、C12、甲11)()(,)x y x y Rx y+++∈z=（开放性试题13、－114、答案：B解析：设市场部和生产部的员工人数分别为x，y，不妨设y＞x，因为990不能被13整除，所以，两个部门人数之和：x＋y≥51，（1）若51≤x＋y≤100，则11（x＋y）＝990，得：x＋y＝90（1）由分别购票费为1290元可知，1≤x≤50，51≤y≤100，由13x＋11y＝1290 （2）解（1）（2）得：x＝150，y＝－60，不符合题意。

2019届北京市大兴区高三4月一模数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，那么等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出,再求交集得解.【详解】由题得，所以=.故选：A【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得，＜，∈＝（0,1）,即得解. 【详解】由题得，＜，∈＝（0,1）.所以.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．若满足则的最大值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC, 设z=2x-y,所以y=-2x-z,联立得A(4,2),再利用数形结合分析得到2x-y的最大值.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,设z=2x-y,所以y=-2x-z,联立得A(4,2),当直线经过点A（4,2）时，直线的纵截距-z最小，z最大，此时z的最大值为=2×4-2=6.故选：C【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A．? B．? C．? D．?【答案】C【解析】试题分析：第一次循环，，不满足条件，循环。

第二次循环，，不满足条件，循环。

第三次循环，，不满足条件，循环。

第四次循环，，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是，选C【考点】程序框图.5．已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得得m∈R,再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得所以，所以m∈R,因为“”是“m∈R”的充分非必要条件，所以“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件，故选：A【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )A．8 B．10 C．15 D．20【答案】B【解析】由题意，可看作五个位置排列五个元素，由分步原理求解即可，本题需要考虑的是相克的两种物质不相邻，即要注意有限制条件的元素的排法，相乘所得的结果．【详解】由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有.故选：B【点睛】本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件即“五行”学说的背景，需要逐个分析所给的五个元素之间的关系，本题是一个中档题目．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据三视图得到几何体原图，再分别计算出各棱长，即得解.【详解】由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A-BCD,所以CD=3,BD=, AB=,,BC=,AD=.所以AD是最长的棱.故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查棱长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的下方，所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分，再对每一个命题进行分析推理，确定命题的真假. 【详解】由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的下方，所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分，（1）因为大正方形的面积为8，若，面积为正方形面积的一半，且过原点O的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k的值唯一，命题正确; （2）左边阴影三角形的面积为1，故当k取适当的负值左倾可以使三角形的面积为，k取适当的正值，使得阴影部分的面积为，故S=时，k的值有两个，故该命题正确；（3）由（2）的讨论可知，当k＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D为三角形时，k的取值范围为，故该命题错误；(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D就是五边形，此时k＞.故命题正确.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，考查直线方程，考查直线和直线的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、填空题9．已知复数满足，则_________．【答案】1【解析】由题得z=±I,再求|z|得解.【详解】因为，所以z=±I,所以|z|=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查解复数方程，考查求复数的模，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．若为等比数列的前n项和，，则_________．【答案】【解析】先根据已知得到公比q=-2,再利用等比数列的前n项和公式化简即得解.【详解】所以.故答案为：-7【点睛】本题主要考查等比数列通项的应用和等比数列前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11．在极坐标系下，点与曲线上的动点Q距离的最小值为_________．【答案】【解析】先求出点P的直角坐标和曲线的普通方程，再利用数形结合和圆的知识求距离的最小值.【详解】由题得点P的直角坐标为（0,1），，所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，所以点P到圆上动点的最小距离为.故答案为：【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知函数，若存在一个非零实数t，对任意的，都有，则t的一个值可以是_________．【答案】（答案不唯一）【解析】由题得函数的周期为2,再求函数的最小正周期得解.【详解】因为存在一个非零实数t，对任意的，都有，所以t是函数f(x)的周期，因为函数的最小正周期T=，所以t=2k(k≠0，k∈Z).故答案为：2（答案不唯一）【点睛】本题主要考查函数的周期性，考查三角函数的最小正周期的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，再对y分类讨论利用函数的单调性求的取值范围.【详解】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在（1，+∞）上都是增函数，所以函数在（1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在（1，+∞）上都是增函数，所以函数在（1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查双曲线的简单几何性质，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．在某些竞赛活动中，选手的最终成绩是将前面所有轮次比赛成绩求算术平均获得的.同学们知道这样一个事实：在所有轮次的成绩中，如果由高到低依次去掉一些高分，那么平均分降低；反之，如果由低到高依次去掉一些低分，那么平均分提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列满足，且不全相等，则(1)_______；(2)_______．【答案】（答案形式不唯一）【解析】根据平均数的公式可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以求出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较大的数据去掉，则这组数据的平均数减小．反之则增大．【详解】根据平均数的公式可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以求出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较大的数据去掉，则这组数据的平均数减小，若把这写数据中的较小的一些数据去掉，则这组数据的平均数增大，故答案为：(1). (2).【点睛】本题主要考查平均数的计算和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题15．在锐角中，角所对应的边分别是，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简得，解方程即得A的值；（Ⅱ）由余弦定理得到，或．当时，．此时，为钝角三角形，舍去．经检验，满足题意.【详解】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．又，得．由于，所以．（Ⅱ），，，在中，由余弦定理，得，即，解得，或．当时，．此时，为钝角三角形，舍去．经检验，满足题意.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．某机构对A市居民手机内安装的“APP”(英文Application的缩写，一般指手机软件)的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100人，获得了他们手机内安装APP的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（Ⅰ）从A市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP的个数不低于30的概率；（Ⅱ）从A市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数．①求随机变量X的分布列及数学期望；②用Y1表示这3人中安装APP个数低于20的人数，用Y2表示这3人中手机内安装APP 的个数不低于40的人数．试比较EY1和EY2的大小．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）0.48；（Ⅱ）①详见解析；②.【解析】（Ⅰ）先求出a的值，再求该居民手机内安装“APP”的数量不低于30的概率估计为；（Ⅱ）①由题得所有的可能取值为0，1，2，3，则，再求随机变量X的分布列及数学期望；②根据频率分布直方图计算可得.【详解】解：（Ⅰ）由得．从市随机抽取一名使用智能手机的居民，该居民手机内安装“APP”的数量不低于30的概率估计为．（Ⅱ）①从市随机抽取一名使用智能手机的居民，该居民手机内安装“APP”的数量在的概率估计为.所有的可能取值为0，1，2，3，则.，，，.所以的分布列为0 1 2 3所以的数学期望为.（或者.）②.【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．如图，正方形的边长为2，，分别为的中点，与交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在点，使平面，此时的值为.【解析】（Ⅰ）先证明平面，又因为平面，所以平面平面；（Ⅱ）因为两两垂直，所以，以为原点，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的余弦值；（Ⅲ）设（），利用向量法求得.所以存在点，使平面，此时的值为.【详解】解：（Ⅰ）因为正方形中，，分别为的中点，所以，.所以.所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）因为两两垂直，所以，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，所以，，由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，即，令，则，.所以..由图可知所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）设（），，若使平面，则.即，解得.所以存在点，使平面，此时的值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查立体几何的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.18．已知椭圆的离心率为，是椭圆的上顶点，是椭圆的焦点，的周长是6．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为，所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【详解】解：（Ⅰ）由于是椭圆的上顶点，由题意得，又椭圆离心率为，即，解得，，又，所以椭圆的标准方程。

北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编概率与统计一、解答题1、（朝阳区2019届高三一模）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：乘车等待时间（分钟）0.036乙站O400.0480.0080.0160.052O405101520253035频率/组距0.0480.0120.0280.0360.0120.040甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）3530252015105假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.2、（东城区2019届高三一模）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）3、（丰台区2019届高三一模）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立．记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21s ，月平均期望薪资对应数据的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）4、（海淀区2019届高三一模） 据《人民网》报道，“美国国家航空航天局( NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和） 单位：公顷造林方式 地区 造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 1342922417 15376 133重庆 226333 10060062400 63333 陕西 297642 ， 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 26014457438 7998新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091青海 178414 16051 159734 2629宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 1906410012400039991053(I)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最 小的地区；(Ⅱ)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过 50%的概率是多少？(Ⅲ)在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记X 为 这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X 的分布列及数学期望．5、（怀柔区2019届高三一模）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工 每人手机月平均使用流量L (单位:M ) 的数据，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率；（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位:元) 月套餐流量(单位:M)A 20 700B 30 1000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以所需费用的数学期望为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？A B C D6、（门头沟区2019届高三一模）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区,,,四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成下表：学校A B C D抽查人数50 15 10 25“创城”活动中参与的人数40 10 9 15（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的.（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从,A C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将上表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望.7、（石景山区2019届高三一模）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.81988年54.248.3 51.9 55.4 52.61998年44.741.6 43.5 49.0 47.42008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.72018年28.627.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；(Ⅱ)从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；(Ⅲ)如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.9、（西城区2019届高三一模）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）10、（延庆区2019届高三一模） 2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人 均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为21s ，农村人均住房面积的方差为22s ，判断21s 与22s 的大小．（只需写出结论）.11、（房山区2019届高三一模）苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地 A B C D E批发价格150 160 140 155 170市场份额15% 10% 25% 20% 30% 市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村23.324.826.527.930.732.434.137.141.245.8（Ⅰ）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，估计该箱苹果价格低于160元的概率； （Ⅱ）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验， ①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）产地F 的富士苹果明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的苹果价格不变，所占市场份额之比．不变（不考虑其他因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）12、（大兴区2019届高三一模）某机构对A 市居民手机内安装的“APP ”(英文Application 的缩写，一般指手机软件)的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（Ⅰ）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于30的概率；（Ⅱ）从A 市随机抽取3名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这3人中手机内安装APP的个数在[20,40)的人数．①求随机变量X 的分布列及数学期望；②用Y 1表示这3人中安装APP 个数低于20的人数，用Y 2表示这3人中手机内安装APP 的个数不低于40的人数．试比较EY 1和EY 2的大小．(只需写出结论)参考答案1、解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”． 由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4， 所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27125 54125 36125 812526355EX =⨯= .……………….13分 2、解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：X0 1 2 3P16 12 310 130故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． (10)分（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分 3、解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A .因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，所以 2()5P A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25，低于8500元的概率为35， 所以X ~2(2,)5B .239(0)()525P X ===；122312(1)5525P X C ==⨯⨯=；22224(2)()525P X C ==⨯=. 所以随机变量X 的分布列为：P0 1 2X925 1225425所以X 的数学期望为24()255E X =⨯=.（Ⅲ）2212s s > .4、解：(Ⅰ) 人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ) 设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值超过为事件A在十个地区中，有7个地区（内蒙、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京）人工造林 面积占总面积比超过50%，则7()10P A =（Ⅲ）新封山育林面积超过五万公顷有7个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X 的取值为012,, 所以242712(0)42C P X C ===， 11342724(1)42C C P X C ===23276(2)42C P X C ===随机变量X 的分布列为X 012P1242244264212246366012424242427EX =⨯+⨯+⨯==5、解：（Ⅰ）由题意100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M 的概率为1(0.00020.0008)1000.9-+⨯=.从该企业的员工中随机抽取3，可近似看为独立重复实验，至多1个可分为恰有1人和没有人超过900M ，设事件A 为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M”，则1200333()0.90.10.90.10.028=⨯⨯+⨯⨯=P A C C------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）若该企业选择A 套餐，设一个员工所需费用为X ，则X 可能为20，30，40。