2019年上海市静安区高考数学一模试卷

上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。

2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。

2019-2020 学年上海市静安区高三年级一模考试数学试卷2019.12一、填空题： (本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.计算lim(1 0.9n) ____ .n【答案】1【解析】lim(1 0.9n) 1n2. ______________________________________________ 双曲线在单位圆中，60 的圆心角所对的弧长为.【答案】3【解析】l 2r33. ___________________________________________________________ 若直线l1和直线l2的倾斜角分别为32和152则l1与l2的夹角为 _____________________________________ .【答案】60【解析】180 152 32 604. _______________________________________________________ 若直线l 的一个法向量为n (2,1) ，则若直线l 的斜率k ____________________________________________ .【答案】22【解析】n (2,1) ，则单位向量d ( 1,2)，k 215. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7 小时后，1个此种细胞将分裂为____ 个.【答案】128【解析】1 271286. __________________________________ 设ABC是等腰直角三角形，斜边AB 2, 现将ABC(及其内部) 绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为.2【答案】3【解析】1r21( 2)223 3 3uuru uuur7.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 2， AD 1,则 AC BD 的值为 ___________【答案】-3uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解AC BD (AB AD)( AD AB) 1 4 -3 8.三倍角的正切公式为 tan3【答案】【解析】32tan tan tan3 21 3tan2 .9. 设集合 A 共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为________ 【答案】 2880【解析】 4 种类型的矩阵 4P 66288010.现将函数 y secx,x (0, ) 的反函数定义为正反割函数，记为： y arc sec x . 则 arc sec( 4) ________ .(请保留两位小数)【答案】 1.82【解析】y ， x (0, ) ，故可知 4， t arccos( ) 1.82.cosx cost 42211.设双曲线 x 2y的两个焦点为 F 、F 2 ，点P 在双曲线上，若 PF PF 2 ，则点 P 到坐标原点 Oa 2 a 2 2的距离的最小值为 ________ . 【答案】3 2【解析】 2 2 1 3 c 2 a 2a ,a 2时，可知 c min 2 . 12.设 a 0,a ,M 0,N 0，我们可以证明对数的运算性质如下：Qa logaM logaN a logaM a logaN MN ，①log a MN log a M log a N .我们将 ①式称为证明的 “关键步骤”则.证明 log a M rr log a M (其中 M 0,r R )的 “关键步骤 ”为 ________ .r答案】log a M r r log a M解析】Q(a logaM)r a r loga M M r, log a M r r log a M .、选择题(本大题 4 小题，每题5分，共20分)13. “三个实数a, b, c成等差数列”是“2b a c ”的( )【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C】充要条件【D 】既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数a,b, c成等差数列”，所以2b a c .xi14. 设x, y R，若复数是纯虚数，则点p( x, y)一定满足( )yi【A 】y x 【B】y 【C】y x 【D】yxx【答案】Bx 1 (x i)(y i) xy (x y)i xy (x y)i x 1【解析】 2 2 2，并且为纯虚数，则xy 0，y i (y i)(y i) y2y2y2 y i1y.x315.若展开(a )(a 2)(a 3)(a 4)(a 5) ，则展开式中a3的系数等于( )【A 】在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和；【 B 】在，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和；【C】在，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和；【D 】以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中a3的系数等于在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和.2 方向，且塔顶的仰角为8 ，16. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为答案】C解析】000sin5 sin60 cos69 tan87 292.728米.. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）17. （本题满分12 分，第1小题6 分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF 中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60 .（1）求该六棱锥的体积V ；（2）求证：PA CE答案】（1）12；（2）见解析解析】（1）解：设底面中心为O，联结PO,AO ．（1 分）PO 底面ABCDEF ，PAO为侧棱与底面所成的角60 ．⋯⋯（2 分）ABCDEF 是正六边形，AO AB 2 ．∴在Rt AOP中，OP AOtan60 2 3．（1 分）S ABCDEF 6 21 2 2 23 6 3，⋯（1分）V P ABCDEF 1 6 3 OP 12 ．⋯⋯⋯（ 1 分）PO CE ．AO CE ，又PO AO O ，CE 面PAO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）又PA 在平面PAO 上，PA CE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）18. （本题满分14 分，第1小题7 分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.32）证明：PO 底面ABCDE ，C（ 2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 如何截取？并求出这个最大矩形的面积 .图1答案】（1）1（2）22∵ sin2 1 ，∴当 时，所截取的最大矩形的面积最大为1平方米． ⋯⋯⋯ （2 分）4（2）以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴的正半轴建立直角坐标系， ⋯⋯⋯ （1 分）2x 2设点 C 的坐标为 x,y ，故，y 2 1．⋯（2 分） 4所以，矩形 ABCD 的面积S 2xy 2 xy 22 ，（2 分）4当且仅当 x 2y 时等号成立．故，当 x 2米， y2米时，矩形的面积最大为 2平方米． ⋯（2 分）2注： 在以上两个方法和用参数方程的方法中任意选取两个方法都可．19. （本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分） 设a n 是等差数列，公差为 d ，前 n 项和为 S n .（1）设 a 1 40， a 6 38，求 S n 的最大值 .（2）设 a 1 1，b n 2a n（n N *），数列 b n 的前n 项和为 T n ，且对任意的 n N * ，都有T n 20 ，求d 的取值ABCD ，A O B图2【解析 】（1）联结 OC ，设 COB ，⋯⋯⋯⋯⋯ （1分） 则 OBcos ， BC sin ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）所以，矩形 ABCD 的面积S 2sin cos sin2 , 0⋯⋯ （2分）DCa 1 40, a 1 5d 38.2解得 d . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2 分）5所以数列{a n}单调递减，2设 a n 0 ，即 40 （n 1）0，解得 n 101． 5所以S n 的最大值是 S 101 S 100 2020. ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4 分）2）解： b 1 2a12 0 ，an 1又bn 12a2an 1 an2d正常数．b n2an{b n } 为等比数列．范围. 答案】解析】1）2020（ 2） 1）由题意，有9- ,log 210当 d 0 时， T n，不符，舍去；当 d 0 时， T n 2n ，不符，舍去； 当 d 0 时， 0 2d1 ，lim T n n2d1 2dd1 2d所以，20．d 9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 102 分）1 分）2 分）（ 3 分）20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物的准线方程为x y 2 0.焦点为 F 1,1 .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标x,y 都满足方程：x22xy y28x 8y 0;（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程【答案】（1）见解析（2）关于y x对称x -1,y 1。

2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅Λ21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++Λ21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。

静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若、是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6 （B ）π3 (C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线F P A B CD El 对称，且9<4TA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288 cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14FPABCDE G设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.M ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。

第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32.3．10.4．． 5．． 6．.7．13795.16元 8．97． 9．.10．12288π cm 3． 11．. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，，∠BAC =66O20/，由余弦定理，得计算得：..答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥， 所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FGAF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos ．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：(1)设，因为，所以..(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。

要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增, 当时递减，所以根据题意得：，于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）由题意，122+=m m ，所以1=m ．所以椭圆Γ的方程为1322=+y x ，双曲线C 的方程为．（2）双曲线C 的右顶点为)0,1(，因为，不妨设01>k ，则02<k ，设直线1l 的方程为)1(1-=x k y ， 由,得，则,()，.同理，，，又，所以，.因为Q P y y =，所以直线PQ 与x 轴平行，即PQ k 为定值0，倾斜角为0． （3）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为n x y +-=，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,13,22y x n x y 整理得0336432=-+-n nx x ， △0)4(12)33(16)6(222>-=---=n n n ，故22<<-n ． 2321n x x =+，4)1(3221-=n x x ，设AB 的中点为),(00y x M ，则432210n x x x =+=，400nn x y =+-=， 又),(00y x M 在直线:l b kx y +=上，所以b n n +=434，)1,1(2-∈-=nb ． 因为)2,(11-=y x ，)2,(22-=y x ，所以)2,()2,()2,()2,(22112211-+-⋅-+-=-⋅-=⋅n x x n x x y x y x TB TA2222121)2(2)2(32)1(3)2())(2(2-+---=-++--=n n n n n x x n x x2525242522<++=+-=b b n n ，所以021<<-b ．又，。

上海市静安区2019届高三一模数学试卷2019.1一、填空题1. 函数)4(log 22x y -=的定义域是 ；2. 已知向量)2,1(=，)5,3(=，则向量的坐标是 ；3. 在二项式52)1(xx -的展开式中，4x 项的系数为 ；（结果用数值表示） 4. 若直线03)9()372(22=+-++-y a x a a 与x 轴平行，则a 的值是 ； 5. 若α、β是一元二次方程0322=++x x 的两个根，则=+βα11；6. 在数列}{n a 中，11=a ，且}{n a 是公比为31的等比数列，设12321-++++=n n a a a a T ，则=∞→n n T lim (*∈N n )；7. 某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为 元（结果保留两位小数） 8. 已知31)4cos(=+απ，则=-)22cos(απ； 9. 以两条直线02:1=+y x l 和053:2=++y x l 的交点为圆心，并且与直线0153=++y x 相切的圆的方程是 ；10. 已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 3cm （结果保留圆周率π）11. 集合}21,log |{21≤≤-==x x x y y A ，}015|{2≤+-=tx x x B ，若A B A = ，则实数t 的取值范围是 ；12. 若定义在实数集R 上的奇函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，且当10≤≤x 时，31)(x x f =，则方程31)(=x f 在区间)10,4(-内的所有实根之和为 ；二、选择题13. 电视台在电视剧开播前连续播放6个广告，其中4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）种A. 2544P P ⋅B. 2544C C ⋅C. 2746P P ⋅D. 2746C C ⋅ 14. 已知椭圆的标准方程为)0(116222>=+m m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A. m -42 B. 2162m - C. 822-m D. 42-m 15. 下列四个命题：① 若复数1z 、2z 的模相等，则1z 、2z 是共轭复数；② 1z 、2z 都是复数，若21z z +是虚数，则1z 不是2z 的共轭复数； ③ 复数z 是实数的充要条件是z z =；（z 是z 的共轭复数）④ 已知复数i z 211+-=，i z -=12，i z 233-=（i 是虚数单位），它们对应的点分别为A 、B 、C ，O 为坐标原点，若),(R y x y x ∈+=，则1=+y x 。

静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷考生注意：1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸． 2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数)4(log 22x y -=的定义域是______________．2．已知向量)2,1(=AB ，)5,3(=AC ，则向量BC 的坐标是____________． 3．在二项式(x 2−1x )5的展开式中，x 4项的系数为__________．（结果用数值表示）4．若直线轴平行，则a 的值是__________． 5．若α、β是一元二次方程2x 2+x +3=0的两个根，则1α+1β=__________．6．在数列{}n a 中，11=a ，且{}n a 是公比为13的等比数列．设T n =a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1，则lim n→∞T n =__________．(*N ∈n )7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数） 8．已知314cos =⎪⎭⎫⎝⎛+απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ22cos _________． 9．以两条直线l 1:2x +y =0和l 2:x +3y +5=0的交点为圆心，并且与直线x +3y +15=0相切的圆的方程是__________．10．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 3．（结果保留圆周率π） 11．集合A ={y|y =log 12x −x,1≤x ≤2}，B ={x |x 2−5tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是__________．12.若定义在实数集R 上的奇函数y =f(x)的图像关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 13，则方程f (x )=13在区间（−4，10）内的所有实根之和为__________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考x y a x a a 与03)9()372(22=+-++-生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.（A ）2544P P ⋅ （B ）2544C C ⋅ （C ）2746P P ⋅ （D ）2746C C ⋅ 14．已知椭圆的标准方程为x 216+y 2m 2=1 (m >0)，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）15．已知下列4个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数．②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数． ③复数z 是实数的充要条件是z =z̅．（z̅是z 的共轭复数）． ④已知复数z 1=−1+2i,z 2=1−i,z 3=3−2i （i 是虚数单位），它们对应的点分别为A ，B ，C . O 为坐标原点．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y =1. 则其中正确命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个16．设 a ⃗⃗⃗ ,b ⃗⃗⃗ 表示平面向量，|a ⃗⃗⃗ |,|b ⃗⃗⃗ |都是小于9的正整数，且满足(|a ⃗⃗⃗ |+|b ⃗⃗⃗ |)(|a ⃗⃗⃗ |+3|b ⃗⃗⃗ |)=105，(a ⃗⃗⃗ +b ⃗⃗⃗ )∙(a ⃗⃗⃗ +3b ⃗⃗⃗ )=33，则a ⃗⃗⃗ 和b⃗⃗⃗ 的夹角大小为（ ）. （A ）π6（B ）π3(C )2π3（D ）5π6三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 的长为1.40米，计算BC 的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．x m -422162m -822-m 42-m18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，AB AC PA ==，E 、F 分别是CD 、PD 的中点． （1）求证：⊥CD 平面PAE ；（2）求异面直线AF 与PE 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13，x ∈[−π2，π2]． （1）求函数f (x )的最大值M ；（2）对（1）中的M ，是否存在常数b （b >0且b ≠1），使得当a >1时， y =log b M 有意义，且y 的最大值是−43？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设0>m ，椭圆Γ：1322=+my m x 与双曲线C ：2222m y x m =-的焦点相同． （1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，分别交双曲线C 于点P ，Q （P ，Q 不同于右顶点），若k 1∙k 2=−1，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点)2,0(T ，若对于直线b x y l +=:，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9<4TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ <10，求实数b 的取值范围．F P A B CD E21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 将n 个数1a ，2a ，…，n a 的连乘积n a a a ⋅⋅⋅ 21记为ini a ∏=1，将n 个数1a ，2a ，…，na的和n a a a +++ 21记为i ni a ∑=1．（*N ∈n ） （1）若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，设ini n x P +=∏=111，i ni n x S +=∑=111，求P 5+S 5；（2）用][x 表示不超过x 的最大整数，例如2]2[=，3]4.3[=，2]8.1[-=-．若数列{}n x 满足11=x ，n nn x x x +=+21，*N ∈n ，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=i i i x x 120191的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数)(n f 满足：当2)1(2)1(+≤<-m m n m m （*N ∈m ）时，m n f =)(，问是否存在正整数n ，使得2019)(1=∑=i f ni ？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知6)12)(1(21++=∑=n n n i ni ）．静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学解答一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．)2,2(-. 2．），（32. 3．10.4．12． 5．−13． 6．lim n→∞T n =98.7．13795.16元 8．97． 9．(x −1)2+(y +2)2=10. 10．12288π cm 3． 11．t ≤−23. 12. 24.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．~~~~16．ABBC三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤． 17．（本题满分14分） 解：根据题意，在△ABC 中，AB =1.95,AC =1.40，∠BAC =66O 20/，由余弦定理，得计算得：BC 2≈3.571. BC ≈1.89.答：顶杆约长1.89米．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，△ACD 是等边三角形，因为E 是CD 的中点，所以AE CD ⊥， 又⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，所以⊥CD 平面PAE ．（2）取DE 中点G ，连结AG ，FG ，则FG ∥PE ， 所以，AFG ∠为异面直线AF 与PE 所成角， 设a PA =，在△AFG 中，a AF 22=，a FG 47=， a AG 413=， 所以，FG AF AG FG AF AFG ⋅-+=∠2cos 222281447222161316721222=⋅⋅-+=aa a a a ． 所以，异面直线AF 与PE 所成角的大小为2814arccos． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解： (1)f (x )=sin 2x +2acosx +a 2−6a +13=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14 设cosx =t ，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[0,1].f (x )=−cos 2x +2acosx +a 2−6a +14=−t 2+2at +a 2−6a +14.FPABCDE GM ={a 2−6a +14,(a <0),2a 2−6a +14,(0≤a ≤1),a 2−4a +13,(a >1).(2)当a >1时，M =a 2−4a +13=(a −2)2+9≥9，该函数当a ∈（1，2]时递减，当a ∈[2，+∞）时递增。