高中数学北师大版必修一 3.3.1 指数函数的概念 课件(41张)

[例1]
指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝3x；(2)y＝x2； (3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x； (5)y＝πx；(6)y＝(4x)2； 1 2 (7)y＝x ；(8)y＝(6a－3) (a>2，且a≠3)．
x x
[思路点拨]
根据指数函数定义判断．
[精解详析]
(1)、(5)、(8)为指数函数．
3x－2
. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的
[ 思路点拨 ]
取值范围，分式问题要使分母不为 0，根式问题要使被开方数 有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定 值域．
[精解详析] ∴x≠4，
(1)要使函数有意义，必须 x－4≠0，
故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}． 1 ∵x≠4， ≠0， x－4 ∴2
答案：③
2．若函数y＝(a2－3a＋3)· ax是指数函数，求a的值．
解：由指数函数的定义知
2 a －3a＋3＝1 a>0且a≠1 ② Nhomakorabea①
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
[例 2] (1)y＝ 2
求下列函数的定义域和值域：
1 x 4
；
1 2 x－x2 (2)y＝(2) ； (3)y＝5
函数值 x＞0时， y＞1
1．指数函数y＝ax的底数规定大于零且不等1的理由：
x 当x>0时，a 恒等于0； 如果a＝0， x 当 x ≤ 0 时， a 无意义.
1 1 如果a<0，如y＝(－4) ，当x＝4、2等时，在实数范围内
x
函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的 必要．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
2 ∴函数的定义域为3，＋∞.
设t＝ 3x－2，则t≥0，y＝5t， ∴y≥50＝1.
. 1 ，＋ ∞ ∴所求函数的值域为
[一点通]
求与指数函数有关的函数定义域和值域时，
要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的
单调性．对于解析式较复杂的函数，往往采用换元法求
知识点一
第 三 章 指 数 函 数 和 对 数 函 数
理解教材新知
知识点二
第一 课时
§3 指 数 函 数
指数 函数 的概 念及 图像 和性 质
考点一
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我
国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产 总值)年平均增长率可望达到7.3%. 问题1：2004年我国的GDP可望是2000年的多少倍？ 提示：(1＋7.3%)4倍． 问题2：记x年后，我国的GDP是2000年的y倍，x与y 的关系式是什么？
y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．
1．下列函数中： ①y＝2· ( 2) ；②y＝2 ④ y＝ 3
－x
x
x－ 1
πx ；③y＝(2) ；
1
；⑤y＝x .
1 3
是指数函数的是________(填序号)．
解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2
x－1
1 x ＝2· 2 的系
数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底 数不是唯一确定的值．
解，这样可以使问题变得简洁，避免出错．
3．函数 y＝ 2－x2＋2
x－1
的定义域是
(
)
A．{x|－ 2≤x≤ 2} C．{x|x≥1}
解析：x 满足
2 2－x ≥0⇒ － 2≤x≤ x－1≥0⇒ x≥1.
B．{x|1≤x≤ 2} D．R
2，
∴1≤x≤
2.
答案：B
1 － 2 －8x＋1 4．求函数 y＝(3) (－3≤x≤1)的值域． 解：令 t＝－2x2－8x＋1，
1 x 4
≠1，
故函数的值域为{y|y>0，且 y≠1}；
(2)定义域为 R. ∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 1 2 x－x2 1 1 1 ∴(2) ≥(2) ＝2. 1 2 x－x2 1 故函数 y＝(2) 的值域为{y|y≥2}；
2 (3)要使函数有意义，必须且只需3x－2≥0，即x≥3，
提示：y＝(1＋7.3%)x＝1.073x(x∈N＋，0<x≤20)．
x 函数 y＝a
叫作指数函数，自变量x在指数位
置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的 定义域是实数集R.
对于给定的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)．
问题1：根据指数幂的运算，当x>0时，ax的取值情况怎样？ 提示：若x>0，当a>1时，ax>1，当0<a<1时，0<ax<1. 问题2：在a>1或0<a<1时，ax是增加还是减少？ 提示：a>1时，ax是增加的，0<a<1时，ax是减少的．
2．对指数函数图像与性质的理解：
(1)底数a的取值范围确定函数的单调性；
(2)底数变化决定指数函数图像的变化： 指数函数y＝ax的图像如右图所示， 由指数函数y＝ax的图像与x＝1 相交于点(1，a)可知：
①在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；
②在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小． 图中的底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1.
(2)底数不是常数，故不是指数函数；
(3)是－1与指数函数3x的乘积；
(4)中底数－3<0，故不是指数函数； (6)中指数不是自变量x，而是x的函数； (7)中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义． [一点通] 判断一个函数是否为指数函数，①底数要
大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，只是
x2
1t 则 y＝(3) ， 又 t＝－2x2－8x＋1 ＝－2(x2＋4x)＋1 ＝－2(x＋2)2＋9， － 3≤ x≤ 1 ，
∴当x＝－2时，tmax＝9， 当x＝1时，tmin＝－9， 故－9≤t≤9， 19 1 －9 ∴(3) ≤y≤(3) ， 即3－9≤y≤39， 故所求函数值域为[3－9,39].
问题3：当x＝0时，y的值是多少？这说明图像的什么特点？
提示：x＝0时，y＝1，说明图像过定点(0,1)．
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
图像
a＞1 定义域 R (0，＋∞)
0＜a＜1
值域
定点 性
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
； x＜0时，0＜y＜1 质 的变化 x＞0时，0＜y＜1； x＜0时， y＞1 单调性 是R上的 增函数 是R上的 减函数