北京市西城区2019届高三一模考试数学(文)试题

北京市西城区高三统一测试数学（文科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-答案：B考点：集合的运算解析：U A =ð{|02}x x x ≤≥或， 所以，()U A B =ð{3,1,3}--2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。

解析：1i 2i z -=-＝(1i)(2+i)31555i -=-，对应的点为（31,55-），在第四象限。

3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）22y x x =+ （B ）12x y += （C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =- 答案：C考点：函数的单调性。

解析：（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）(1)||y x x =-＝22,0,0x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符。

只有（C ）符合题意。

4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9 答案：D考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝－3，k ＝3；第2步：S ＝－12，k ＝5；第3步：S ＝13，k ＝7； 第4步：S ＝2，k ＝9，退出循环，此时，k ＝9 5. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c ＝ （A ）4（B ）3（C ）83（D ）43答案：C考点：正弦定理。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x为二次函数，其对称轴为x＝﹣1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y＝ln|x|，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝cos x为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD2．故选：C．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题．4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z＝x+3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：A．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。

北京市西城区2019-2020学年高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是()A．3B．22C．3D．3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A．B．C ．D ．【答案】D【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C【解析】 从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.5．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c -=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．18【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：222222224a c b b c a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=.故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.6．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（）A ．14B ．13 C ．12 D ．23【答案】B【解析】【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积16E ABCV x-==【详解】因为,//DC BE DC BE=，所以四边形DCBE为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB⊥⊥⋂=⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以DC⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC.在直角三角形ABE中，22AB EB==，设ACx=，则)02BC x=<<，所以1122ABCS AC BC x∆=⋅=以16E ABCV x-==又因为()22222442x xx x⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x xx x⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即x时等号成立，所以()max13E ABCV-=.故选：B．【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x，用建立体积V与边长x的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．7．在满足04i ix y<<≤，i iy xi ix y=的实数对(),i ix y(1,2,,,)i n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n nx x x x-++⋅⋅⋅+<成立的正整数n的最大值为( )A．5 B．6 C．7 D．9【答案】A【解析】【分析】由题可知：04i ix y<<≤，且i iy xi ix y=可得ln lni ii ix yx y=，构造函数()()ln04th t tt=<≤求导，通过导函数求出()h t的单调性，结合图像得出min2t=，即2ix e≤<得出33nx e<，从而得出n的最大值.【详解】因为04i ix y<<≤，i iy xi ix y=则ln lnyi xii ix y=，即ln lni i i iy x x y=整理得ln ln i i i ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04t h t t t=<≤， 则()2211ln 1ln t t t t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤，故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e =， 因为i i x y <，()()i i h x h y =，由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<，故14n -≤，即5n ≤，所以：n 最大值为5.故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.8．已知()A，)B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r ，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥ D．x ≥【答案】A【解析】【分析】 由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.9．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D 13【答案】C【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =- 222313z z ⋅=+=，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.10．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<，由于关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f =-+=-∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意；当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解综上，实数a 的最大值为8故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题. 11．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A．23B．3C．323D．233【答案】B【解析】【分析】首先由2AB=求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意1b=将x c=-代入双曲线C的方程,得1ya=±则22,2,3a ca===,由2121222AF AF BF BF a-=-==,得2ABF∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB++=++++=+=,设2ABF∆的内切圆的半径为r,则11362232,223r r⨯=⨯⨯=,故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 12．在区间[]1,1-上随机取一个实数k，使直线()3y k x=+与圆221x y+=相交的概率为（）A．12B．14C．22D．24【答案】D【解析】【分析】利用直线()3y k x=+与圆221x y+=相交求出实数k的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线()3y k x=+与圆221x y+=2311kk<+，解得22k<<因此，所求概率为2424P ==.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2019.1第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合 A = {x | x > a }，集合 B ={-1,1, 2}，若A B = B ，则实数a 的取值范围是（ ）（A ） (1, +∞) （B ） (-∞,1)（C ）(-1, +∞)（D ）(-∞, -1)2. 下列函数中，值域为[0, +∞) 的偶函数是（）（A ） y = x 2 +1（B ） y = lg x（C ） y =| x |（D ） y = x cos x3. 设 M 是∆ABC 所在平面内一点，且 BM = MC ，则 AM =（）（A ） AB - AC（B ） AB + AC（C ） 1( AB - AC )2 （D ） 1( A B + AC )24．设命题 p ：“若e x > 1，则 x > 0 ”，命题 q ：“若a > b ，则 1 < 1”，则（）a b（A ）“ p ∧ q ”为真命题 （B ）“ p ∨ q ”为真命题 （C ）“ ⌝p ”为真命题（D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A ）16 + 2（B ）16 + 2正(主)视图侧(左)视图（C ） 20 + 2（D ） 20 + 2俯视图2 235351 1⎨ ⎩2 不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.26. “mn < 0 ”是“曲线 x+y= 1是焦点在 x 轴上的双曲线”的（ ）mn（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件⎧ y - x ≤1,7. 设 x ，y 满足约束条件⎪x + y ≤3, ⎪ y ≥m ,若 z = x + 3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数m =（ ）（A ） 3 2 （B ） - 32 （C ） 1 4 （D ） - 1 48. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所 收费用，用[x ]表示不大于 x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）y = 2[x - 1] + 4 2 （B ）y = 2[x - 1] + 5 2 （C ）y = 2[x + 1] + 4 2 （D ）y = 2[x + 1] + 5 2第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9. 已知复数 z 满足 z (1+ i) = 2 - 4i ，那么 z = .10.若抛物线C ：y 2 = 2 px 的焦点在直线x + y - 3 = 0 上，则实数 p = ；抛物线 C 的准线方程为.11. 某校某年级有 100 名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5, 3.5) 内（单位：小时），现将这 100 人完成家 庭作业的时间分为 3 组：[0.5, 1.5) ，[1.5, 2.5) ，[2.5, 3.5) 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这 100 人中，采用分层抽样的方法抽取 10 名学生研究其视 力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于 2.5 个小时的有 人.12. 已知函数 f (x ) 的部分图象如图所示，若不等式-2 < f (x + t ) <4的解集为(-1, 2) ，则实数t 的值为.a 0.4 0.1O0.5 1.5 2.5 3.5时间(小时)13. 在∆ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若sin A = cos( π- B ) ，a = 3，c = 2 ，则cos C = ；2∆ ABC 的面积为 .⎧64,x ≤0,14. 某食品的保鲜时间（t 单位：小时）与储藏温度 x （恒温，单位： C ）满足函数关系t = ⎨ ⎩2 kx +6 ,x > 0.且该食品在4 C 的保鲜时间是 16 小时.○1 该食品在8 C 的保鲜时间是小时；○2 已知甲在某日上午10 时购买了该食品，并将其遗 放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日 13 时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间 .（填“是”或“否”）y 43O -2x频率 组距MAF三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知数列{a n }是等比数列，并且 a 1,a 2 +1,a 3 是公差为-3 的等差数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b = a ，记S 为数列{b }的前 n 项和，证明： S <16 . n2nn nn316．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = cos x (sin x +3 cos x ) -3 ， x ∈ R .2（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）若 x ∈(0, π) ，求函数 f (x ) 的单调增区间.17．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD = 135 ，侧面PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠BAP = 90 , AB = AC = PA = 6, E , F 分别为BC , AD 的中点，点M 在线段 PD 上.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；P（Ⅱ）若M 为 PD 的中点，求证：ME // 平面PAB ；PM = 1（Ⅲ）当 MD 时，求四棱锥M - ECDF 的体积.2 DBEC318．（本小题满分 13 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得0 分. 两人 4 局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为零，且在 4 局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 x + y 的值；（Ⅱ）如果 x = 6 ，y = 10 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为a ，b ，求a ≥b 的概率；（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分 14 分）已知椭圆C : x a2+ y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 ，点 A (1, ) 在椭圆 C 上，O 为坐标原点. 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆 x 2 + y 2 = 5 的相交于不在坐标轴上的两点 P 1 ， P 2 ，记直线OP 1 ， OP 2 的斜率分别为k 1 ， k 2 ，求证： k 1 ⋅ k 2 为定值.20．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = 2x + 1 x 2，直线l ：y = kx -1.（Ⅰ）求函数 f (x ) 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈ R ，直线l 都不是曲线 y = f (x ) 的切线； （Ⅲ）试确定曲线 y = f (x ) 与直线l 的交点个数，并说明理由.3 2⎩ 1 1 北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．D2．C 3．D 4．B5．B6．B7．C8．D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 2019.19． -1- 3i10． 6 x = -311. 9 12．113． 7914．4是注：第 10，13，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为 a 1, a 2 +1, a 3 是公差为-3 的等差数列，⎧a 2 +1 = a 1 - 3,所以⎨a = (a +1) - 3,……………… 2 分⎩ 3 2⎧a 1q - a 1 = -4, 即⎨a q 2- a q = -2,……………… 3 分解得a 1 = 8,q = 1 . ……………… 5 分2所以a = a qn -1= 8⨯(1)n -1 = 24-n ． ........................................7 分 n12（Ⅱ）证明：因为b n +1 = a 2n +2 = 1， b n a 2n 4所以数列{b }是以b = a = 41.……………… 8 分n124[1- 1 n为首项， 为公比的等比数列4( ) ] 所以S n = 4 1- 1 4……………… 11 分22n =16[1- 1 ( ) ] < 16 ............................................................................................... 13 分 3 4 316．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解： f (x ) = cos x (sin x +3 cos x ) - 32= sin x cos x += 1 sin 2x + 3(2cos 2 x -1)23cos 2x……………… 4 分 2 2= sin(2x + π) ， ............................................... 6 分 3所以函数f (x ) 的最小正周期T = 2π=π ............................................................................... 8 分 2（Ⅱ）解：由2k π - π≤2x + π≤2k π+ π， k ∈ Z ， ................................ 9 分2 3 2得k π - 5π≤x ≤k π+ π，1212所以函数f (x ) 的单调递增区间为[k π - 5π ,k π+ π] ， k ∈ Z ....................................... 11 分 12 12 所以当x ∈(0, π) 时， f (x ) 的增区间为(0, π ] ，[7π, π) .................................................... 13 分 12 12（注：或者写成增区间为(0, π ) ， (7π, π) . ）12 1217．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB = AC ， ∠BCD = 135 所以 AB ⊥ AC .由E , F 分别为BC , AD 的中点，得 EF //AB ，，所以 EF ⊥ AC .因为侧面PAB ⊥底面 ABCD ，且∠BAP = 90 ，………………1 分所以PA ⊥底面 ABCD . ………………2 分又因为EF ⊂底面 ABCD ， 所以 PA ⊥ EF .又因为PA AC = A ， PA ⊂ 平面 PAC ， AC ⊂ 平面 PAC ，………………3 分所以 EF ⊥ 平面 PAC .………………5 分MAF（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以MF //PA ，又因为MF ⊄ 平面PAB ， PA ⊂ 平面PAB ， 所以MF // 平面PAB . ………………7 分P同理，得 EF // 平面PAB .又因为MF EF =F ， MF ⊂ 平面MEF ， EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF // 平面PAB . ………………9 分D又因为ME ⊂平面MEF ，B EC 所以ME // 平面PAB .................................................................................................................. 10 分 （Ⅲ）解：在∆PAD 中，过M 作MN //PA 交 AD 于点 N （图略），由 PM = 1 ，得 MN = 2 ， MD 2 PA 3 又因为 PA = 6 ，所以MN = 4 ，........................................................ 12 分 因为PA ⊥底面 ABCD ， 所以MN ⊥ 底面 ABCD ，所以四棱锥M - ECDF 的体积V M -ECDF= 1 ⨯ S 3ECDF⨯ MN = 1 ⨯ 6⨯ 6 ⨯ 4 = 24 . …… 14 分 3 218．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：由题意，得 7 + 9 + x + y >6 + 6 + 9 + 9 ，即 x + y > 14 ............................................... 2 分 4 4因为在乙的 4 局比赛中，随机选取 1 局，则此局得分小于 6 分的概率不为零，所以x , y 中至少有一个小于 6， .......................................... 4 分又因为 x ≤10, y ≤10 ，且 x , y ∈ N ，所以 x + y ≤15 ，所以 x + y = 15 ....................................................................................................................................... 5 分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，且得分满足a ≥b ”为事件 M ，……………… 6 分记甲的 4 局比赛为 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ，各局的得分分别是 6，6，9，9；乙的 4 局比赛3 ⎨ x ⎩为 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，各局的得分分别是 7，9，6，10.则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种， 它们是：( A 1, B 1 ) ，( A 1, B 2 ) ，( A 1, B 3 ) ，( A 1, B 4 ) ，( A 2 , B 1 ) ，( A 2 , B 2 ) ，( A 2 , B 3 ) ，( A 2 , B 4 ) ，( A 3 , B 1 ) ，( A 3 , B 2 ) ，( A 3 , B 3 ) ，( A 3 , B 4 ) ，( A 4 , B 1 ) ， ( A 4 , B 2 ) ， ( A 4 , B 3 ) ， ( A 4 , B 4 ) ................................................................... 7 分而事件M 的结果有 8 种，它们是：( A 1, B 3 ) ，( A 2 , B 3 ) ，( A 3 , B 1 ) ，( A 3 , B 2 ) ，( A 3 , B 3 ) ，( A 4 , B 1 ) ，( A 4 , B 2 ) ， ( A 4 , B 3 ) ，................................................ 8 分因此事件 M 的概率 P (M ) = 8 =1 ................................................................................. 10 分 162 （Ⅲ）解： x 的可能取值为6 ， 7 ， 8 ........................................................................................... 13 分19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：由题意，得 c=a3， a 2 = b 2 + c 2 ， ................................ 2 分2又因为点 A (1, 3) 在椭圆C 上，2所以 1 + a 2 3 4b 2= 1， ................................................... 3 分解得a = 2 ， b = 1 ， c = ，所以椭圆 C 的方程为 x 4 + y 2 = 1 ...................................................................................... 5 分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为 x = ±2 ，易得直线OP ，OP 的斜率之积k ⋅ k = - 1 ....................................................................... 6 分12124当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y = kx + m ...................................................... 7 分⎧ y = kx + m , 由方程组⎪2 + y 2 = 1,得(4k 2 +1)x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ................. 8 分⎪⎩ 4因为直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以∆ = (8km )2 - 4(4k 2 +1)(4m 2 - 4) = 0 ，即 m 2 = 4k 2 +1 ..................................... 9 分⎧ y = kx + m , 由方程组⎨x 2 + y 2 = 5,得(k 2 +1)x 2 + 2kmx + m 2 - 5 = 0 ， ................... 10 分2x x 2 3 2 -2km m 2 - 5设 P 1 (x 1 , y 1 ) ，P 2 (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = k 2 + 1 ， x 1 ⋅ x 2 = k 2 + 1 ， ................................ 11 分y y (kx + m )(kx + m ) k 2 x x + km (x + x ) + m 2所以k 1 ⋅ k 2 = 1 2 = 1 2 = 1 21 2x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 22m 2 - 5-2km2=k ⋅ k 2 + 1 + km ⋅ k 2 + 1 + m m 2 - 5k 2+ 1= m 2 - 5k 2 m 2- 5 ， ....................... 13 分 将 m 2 = 4k 2 +1 代入上式，-k 2 + 1 1得k 1 ⋅ k 2 = 4k 2 - 4 = - 4.综上， k 1 ⋅ k 2为定值- 1 .................................................................................................. 14 分 420．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：函数 f (x ) 定义域为{x | x ≠ 0}， .......................................1 分 求导，得 f '(x ) =2 -2 ， .................................................2 分 x3令 f '(x ) = 0 ，解得 x = 1．当 x 变化时， f '(x ) 与 f (x ) 的变化情况如下表所示：所以函数 y = f (x ) 的单调增区间为(-∞, 0)，(1, +∞) ，单调减区间为(0,1) ，……………… 3 分所以函数y = f (x ) 有极小值 f (1) = 3 ，无极大值． .......................... 4 分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈ R ，使得直线l 与曲线 y = f (x ) 相切， ................ 5 分设切点为 A (x 0 , 2x 0 + 1 ) ，又因为 f '(x ) = 2 - 2， 0所以切线满足斜率k = 2 - 23 ，且过点 A ，所以2x + 1 = (2 - 2)x-1， ........................................ 7 分x 2 x 3即 3= -1 ，此方程显然无解， 0x x所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线y =f (x) 的切线...................... 8 分（Ⅲ）解：“曲线y =f (x)与直线l 的交点个数”等价于“方程2x +1x2=kx -1的根的个数”.由方程2x +1=kx -1，得k =1+1+ 2 ........................................................................... 9 分x2x3x令t =1，则k =t3+t + 2 ，其中t ∈R ，且t ≠ 0 . x考察函数h(t) =t3 +t+2 ，其中t ∈R，因为h'(t) = 3t2+1 > 0 时，所以函数h(t) 在R 单调递增，且h(t) ∈R ...........................................................................11 分而方程k =t3+t + 2 中，t ∈R ，且t ≠ 0 .所以当k =h(0) = 2 时，方程k =t3 +t +2 无根；当k ≠ 2 时，方程k =t3 +t+2 有且仅有一根，故当k = 2 时，曲线y =f (x) 与直线l 没有交点，而当k ≠ 2 时，曲线y =f (x) 与直线l 有且仅有一个交点.......................................................... 13 分。

北京市西城区高三统一测试数学（文科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-答案：B考点：集合的运算解析：U A =ð{|02}x x x ≤≥或， 所以，()U A B =I ð{3,1,3}--2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。

解析：1i 2i z -=-＝(1i)(2+i)31555i -=-，对应的点为（31,55-），在第四象限。

3．下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）22y x x =+ （B ）12x y += （C ）31y x =+ （D ）(1)||y x x =- 答案：C考点：函数的单调性。

解析：（A ）22y x x =+的值域不是R ，是［－1，＋∞），所以，排除； （B ）12x y +=的值域是（0，＋∞），排除；（D ）(1)||y x x =-＝22,0,0x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，在（0，12）上递减，在（12，＋∞）上递增，不符。

只有（C ）符合题意。

4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9 答案：D考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝－3，k ＝3；第2步：S ＝－12，k ＝5；第3步：S ＝13，k ＝7； 第4步：S ＝2，k ＝9，退出循环，此时，k ＝9 5. 在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则c ＝ （A ）4（B ）3（C ）83（D ）43答案：C考点：正弦定理。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）A. |舐；曲| B•卜:讥汗C•隐:胡 D.卜*|【答案】B2•下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A.卜=/斗心.B.』=討C. ；：■2|：〔D.卜7注【答案】C3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）正（主靓图侧（左）视團俯视厨A. |制B. [.. ：]C.卜占：D.,【答案】Crx - y -F 3 > 04•设x, y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）I斗卜2丫王0A. B. |-.：；C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7设，是不共线的两个平面向量，已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )小] 1A. 2B. - 2C. -D. --2 2【答案】D8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )A. ;B.C.D. 0【答案】D二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷_____________ .【答案】-1-i10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为___________ .【答案】(x-2) 2+y 2=211. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是________________ .【答案】f (x) =x212. 在厶 ABC 中，a =3 , b 瑯，B =2A ，则 cos A =【答案】实数b 的取值范围是=sin (2x+ )13•设函数 e , x<0 -x 2 + x+-, x>0则 f [f ( 0)]=；若方程f (x ) = b 有且仅有3个不同的实数根，则【答(1). (2).14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总 时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ • 【答案】D三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数(n)若直线x =n 为函数f (x +a )图象的一条对称轴，求实数a 的值.案】1 x (I)百：(n) a==2cosx兀v'3 孑 21 .匣、百 sinx+ —cosx)-—2 2 2=sin xcosx+ cos X -要求听报告者••• T= n,(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),Pl•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=±1，1 1,k € z3 2_ 1…a= , k€ zb i ?UGr I —16.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛log2a n｝的前n项和为S n,求S n的最小值.【答案】(I) a n=2 n-4(n) -6解：(I)各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比设为q , q > 0 ,，且a4+a 5=6a 3,可得a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,解得q=2 , a1= —,Snt1则a n=a1q n-1= ?2n-1=2 n-4;8(n)设b n =log 2a n=log 22n-4=n-4 ,由1< n W4 时，b n W 0, n》5 时，b n > 0,可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6 .17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]等级次品二等品存口寺口仃二等品二纶口一寺口仃次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表, 其中a>0).[15 , 20) 2[20 , 25) 18[25 , 30) 48[30 , 35) 14[35 , 40) 16[40 , 45]2合计100(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于［40, 45］的产品的概率；(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.解：(I)由频率分布直方图得：(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,解得a=0.008 ,•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14 •(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于［40 , 45］的产品”为事件M,记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为A i, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分别为B1, B2,从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 （A i ，A 2）,（ A i ，B i ）,（ A i ，B 2），（ A 2，B i ）,（ A ，B 2），（ B i ，B 2），而事件M 包含的结果有4种，分别为：（A i ，B i ），（ A i ，B 2），（ A 2，B i ），（ A 2，B 2）, •••这两件次品中恰有一件指标值属于[40 , 45]的产品的概率 P — .6 3（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较， 由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， •认为乙企业产品的食品生产质量更高.【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查数形结合思想，是基础题.i8•如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，侧面B i BCG 是正方形，M, N 分别是A i B i, AC 的中点，AB 丄平面BCM.（I ）求证：平面 B i BCC 丄平面A i ABB i ;（H ）求证：A i N//平面 BCM;【答案】（I ）详见解析（H ）详见解析（川）6种，分别为:求棱锥C i -BB i M 的体积.BCM，BC?平面「. AB••• AB n BB i=B，• BC丄平面A i ABB i，••• BC?平面B i BCC i，...平面B i BCC i 丄平面A i ABB i;(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,••• M , N 分别是A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且NQ= " AB, 2T AB // A1B1，且AB=A i B i,「. NQ / A i M，且NQ=A i M ,•四边形A i MQN是平行四边形，• A i N / MQ,■/ MQ?平面BCM，A1N?•- A i N //平面BCM.(川)连结A i B,根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A i B i C i的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,••• M为A i B i的中点，•棱锥C i-BB i M的体积乞占严=.仝心说=i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B的苕2 2一点，直线AM与y轴交于点P.(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(H)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:解：(I)由题意可得c2=a2-2,..e忑-e==,• a=2 , c=点，•••椭圆的方程为三+ =i ,设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m<J ,又T A (-2 , 0),又M为椭圆C上异于A , B的一点，<2…k AM €( — , 0), (0 ,(n)由题意F (|.J』，0),设Q ( 0 , y i) , M (X0 , y o),其中x o 工土2 ,y jQ直线AM的方程为y(x+2 ), AQ// BM.【答案】(I) (: , 0) ( 0,(n)详见解析•直线AM的斜率k AM= =0 + 2Xo + 22y I令x=0，得点P 的坐标为(0, ),h+q由/ PFQ=90。

北京市西城区2019-2020学年高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．2．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x =+-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x -+=【答案】D 【解析】 【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，2()()()1f x f x x -==--+，故2()1f x x =+B 中，727)2(f x x x =+-的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x-+=为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．4．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.6．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 7．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.8．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2D ．(1,3)【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以sin 3a A =，sin 3b B =，所以sin sin [sin sin()][(1)sin 323333z b a B A B B B λλλπ=+=+=+-=-+22323cos ](1)()sin()223B B λλλφ=-++，其中3tan λφ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ， 所以3tan φ>，所以33λ>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.10．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.11．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为2]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()42212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()4223π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域.【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题. 12．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ） A ．{2} B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2019.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么A B =（A ）{|01}x x << （B ）{|12}x x << （C ）{|10}x x -<<（D ）{|12}x x -<<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）1 （B ）0 （C ）3- （D ）10-4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为 （A ）0x ±=（B 0y ±=（C ）30x y ±= （D ）30x y ±=7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的外表积是 （A）20+（B）14+（C ）26 （D）12+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(3,1)B -，则△AOB 的面积是____．5．实数x ，y 满意 10,10,20,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥ 则4y x -的取值范围是（A ）(,4]-∞ （B ）(,7]-∞ （C ）1[1[,7]- 6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D8．8名象棋选手进展单循环赛（即每两名选手竞赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进展排序．竞赛完毕后，8名选手的得分各不一样，且第二名的得分与最终四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是 （A ）14（B ）13（C ）12（D ）1111．已知圆22(1)4x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =____．12．函数y =____；最小值是____． 13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．14．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____； ② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12nn n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+- (0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分）手机完全充溢电量，在开机不运用的状态下，电池靠自身消耗始终到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为理解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在一样条件下进展测试，统计结果如下：已知 A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）推断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）设平面PAB 平面PCD PM =，点M 在平面ABCD 上．当PA PD ⊥时，求PM 的长．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）对于函数()f x ，若存在实数0x 满意00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，（ⅰ）求()f x 的极值点；（ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B5．A 6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i10．211．212．(0,)+∞；4 13；[4,9)注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有 113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =． [ 6分] 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+． [ 7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[ 8分]因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[ 9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+- [11分]2131122n n n +++=-． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[ 4分]πsin(2)6x ω=+，[ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==,解得1ω=．[ 7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分]所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 获得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 获得最小值为2-[13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[ 2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[ 3分]由A Bx x =， 解得127a =． [ 4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2As ，2B s ， 则22A Bs s <． [ 7分]（Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事务C ． [ 8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此 4(C)25P =， 所以 21(C)1(C)25P P =-=． 所以 至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125． [13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD⊥，[1分]又因为AB PA⊥，[2分] 所以AB ⊥平面PAD，[ 3分]所以AB PD⊥．[ 4分]（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF ． [ 5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，EF 又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC 又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[ 9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ； 又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ， 所以平面PAB平面PCD PM =． [11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =，所以22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =． [13分]由（Ⅰ）得 AM ⊥平面PAD ， 所以AM PA ⊥．在直角△PAM中，PM = [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =． [ 2分]将点P 的坐标代入 22214x y b +=， 得 22114b+=，解得b =．[ 4分]所以，椭圆C的方程是22142x y +=． [ 5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠，01y ≠±． [ 6分]直线MP的方程为1y x -=-，[ 7分]令y =，得0x =，[ 8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=，[ 9分]令y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分]所以OE OF⋅为定值． [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++． [1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，明显()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点． [ 2分]②当b <时，令()0f x '=，解得x =． [3分]()f x 和()f x '的改变状况如下表：值点． [ 5分]（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=． 从上述两式中消去b ， 整理得300230x x +-=． [ 6分]设3()23g x x x =+-．所以 2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增． 又 (1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =， 即方程 300230x x +-=的根为01x =， 所以2033b x =-=-．[ 8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ，所以24120a b ∆=->，即230a b ->． [ 9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，明显1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=． ① 又因为 211320x ax b ++=． ② ①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=． 同理可得 222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ． [11分]所以 1223b x x a-+=-．对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-，所以2233a b a--=-， 即2932a b -=-，这与230a b ->相冲突！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点． [13分]。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6.设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7.设，是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为（）A. 2B.C.D.【答案】D8.设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则λ=（）A. B. C. D. 0【答案】D二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数z满足方程，则______．【答案】-1-i10.以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为______．【答案】（x-2）2+y2=211.能说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题的一个函数是______．【答案】f（x）=x212.在△ABC中，a=3，，B=2A，则cos A=______．【答案】13.设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．【答案】(1). (2). （，）14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．报告名称 A B C D E F开始时间8：00 8：10 8：45 8：40 9：15 9：25结束时间8：30 9：05 9：20 9：30 10：10 10：10某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．【答案】D三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，求实数a的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）a=，k∈z解：（I）∵．=2cosx（sinx+cosx）=sinxcosx+==sin（2x+）∴T=π，（II）由（I）可知f（x+a）=sin（2x+2a+），∵直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，∴f（π＋a）为f（x+a）的最大或最新值，即f（π+α）=sin（）=sin（2a+）=±1，∴，k∈z∴a=，k∈z16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，，且a4+a5=6a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{log2a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【答案】（Ⅰ）a n=2n-4（Ⅱ）-6解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，，且a4+a5=6a3，可得a1q=，a1q3+a1q4=6a1q2，解得q=2，a1=，则a n=a1q n-1=?2n-1=2n-4；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，由1≤n≤４时，b n≤0，n≥５时，b n＞0，可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6．17.为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．质量指标值频数[15，20） 2[20，25）18[25，30）48[30，35）14[35，40）16[40，45] 2合计100（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．【答案】（Ⅰ）0.14（Ⅱ）（Ⅲ）乙解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，解得a=0.008，∴甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5=0.14，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），而事件M包含的结果有4种，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），∴这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率P=．（Ⅲ）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，∴认为乙企业产品的食品生产质量更高．【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC?平面BCM，∴AB⊥BC，∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，∵BC?平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，∵MQ?平面BCM，A1N?∴A1N∥平面BCM．（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，∵M为A1B1的中点，∴棱锥C1-BB1M的体积===．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率k AM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴k AM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得?=0，∴（-，）?（-，y1）=0，即2+?y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵k BM=，k AQ=-，∴k BM-k AQ=+=0，故k BM=k AQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.已知函数，其中．Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；Ⅱ若，证明：；Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）（-ln2，1）解：（I）求导．得f′（x）=-1=∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）=0，解得x=1，又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0解得a=1．（II）证明：由题意，f（x）=lnx-x+ln2e，令函数F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e求导，得F′（x）=-2=由F′（x）=0，得x=，当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：x （0，）（，+∞）F′（x）+ 0 -F（x）增极大值减∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）≥０时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤０时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x-2lnx+1-2a≥０在（1，e）上恒成立，或x-2lnx+1-2a≤０在（1，e）上恒成立，∴2a≤x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，令h（x）=x-2lnx+1，∴h′（x）=1-=，由h′（x）=0，解得x=2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，∴h（x）max=h（1）=2∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，∴2a≥２或2a≤３-2ln2，∴a≥１或a＜-ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴-ln2＜a＜1，故a的取值范围为（-ln2，1）．。

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