高考新课程数学二轮课件：2.5+解析几何

[解析] (1)由椭圆方程知 a＝2，b＝ 3，c＝1，
∴||PPFF11||＋2＋|P|PFF22|＝|2－4，4 ＝2|PF1||PF2|cos 60°
∴|PF1||PF2|＝4. ∴P→F1·P→F2＝|P→F1||P→F2|cos 60°＝4×12＝2.
(2)解法一：因为双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±12 x，故点(4， 3)在直线 y＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为ax22
[解析] 由题意可得ba＝2，c＝5，所以 c2＝a2＋b2＝5a2＝25， 解得 a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为x52－2y02 ＝1，故选 A.
[答案] A
考向二 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝ 1－ba2； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ba2. 2．双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
[解析] 由题意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1 中，由余弦定理可得 cos∠F2PF1＝42＋22×2－4×22 72 ＝－12.又因为∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°，故选 C.
[答案] C
2．已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的焦点，P
重点透析 难点突破
考向一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓 “计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．

双曲线中参数范围求解
参数范围求解方法
在解决与双曲线相关的问题时，经常需要求 解参数的范围。可以通过分析双曲线的性质 、结合题目给出的条件，列出关于参数的不 等式或方程，进而求解参数的范围。
注意事项
在求解参数范围时，需要注意参数的取值范 围是否符合双曲线的定义和性质，以及是否 满足题目的要求。同时，还需要注意参数的 实际意义和应用背景，避免求解出不符合实 际情况的参数范围。
焦点弦和准线应用
焦点弦定义
过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，这两 点之间的线段称为焦点弦。
焦点弦性质
对于同一抛物线，所有焦点弦的中点都在抛物线 的准线上。
准线应用
利用准线和焦点弦的性质，可以解决与抛物线相 关的距离、角度等问题。
抛物线中参数范围求解
参数方程
抛物线的参数方程为 $left{begin{array}{l}x=2pt^2y=2pt end{array}right.$（$t$为参数），表 示抛物线上任意一点的坐标。
直线解，即判别式$Delta > 0$。
直线与圆相切
直线方程与圆方程联立后，有唯一实数解，即判别式 $Delta = 0$。
直线与圆相离
直线方程与圆方程联立后，无实数解，即判别式$Delta < 0$。
注意
以上内容仅供参考，具体解析几何的知识点和解题方法可 能因教材和考试要求而有所不同。在复习过程中，请务必 以教材和考试要求为准。
点的坐标
在平面直角坐标系中，任意一点P都可以用一对有序实数(x,y)来表示，这一对有序实数称 为点P的坐标。
坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系
在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的一个坐标与之对应；反过来，对于任意一个坐 标(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一个点与之对应。

(2)由(1)知 a=2c,b= 3c,故
2
C1:42
2
+ 32 =1.
所以 C1 的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0, 3c),(0,- 3c),C2 的准线为
x=-c.
由已知得 3c+c+c+c=12,即 c=2.所以
程为 y2=8x.
2
2
C1 的标准方程为16 + 12=1,C2 的标准方
专题五 解析几何
考情分析
1.题型、题量稳定:近几年来高考对该部分的考查一般为“2小1大”或“3小1
大”,分值约为22到27分,多为中、高档题.
2.重点突出:高考对解析几何的考查主要在直线、圆、圆锥曲线上,(1)客观
题重点考查直线和圆的方程及位置关系,圆锥曲线的定义、标准方程、几
何性质,直线与圆锥曲线相交的弦长、面积、参数等问题;(2)主观题重点
0 +
Ax0x+B·
+Cy0y+D· +E· +F=0.
2
2
2
过曲线 C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 上一点 P(x0,y0)的切线方程为
8 2
2 169
+(y-1) = .
5
25
+
7 2
- 3
=
65
.若圆过点
9
(方法二)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其中三点共有四种情况.若圆
过A,B,C三点,则线段AB的垂直平分线方程为x=2,线段AC的垂直平分线
方程为
1
1
y- =x+ ,即

2
24
它与
y
轴的交点为
ห้องสมุดไป่ตู้
F

0,


x02 4

由于 2
x0

2, 因此 1
x0 2
1
①当 1 t
0 时， 1
t
1 2
1 ，存在 2
x0
(2, 2), 使得
x0 2

t
1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
相交，交点分别为 D,E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在， 求 t 的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由 MA 2 x,1 y, MB 2 x,1 y
MA MB 2x2 2 2 y2 ,OM OA OB = x, y0,2 2y ，
（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动
点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的 等量关系式.
（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关 系，可用所求动点坐标（x , y）表示出已知动点的 坐标，然后代入已知的曲线方程.
（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的
引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消 去参数得坐标的直接关系便是普通方程.
（2）圆锥曲线
主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥 曲线的位置关系等，考查方式大致有以下三类：考 查圆锥曲线的概念与性质；求圆锥曲线的方程和求 轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系。
考查的主要问题：
（1）几何特征问题； （2）运用圆锥曲线定义解决的问题； （3）求曲线方程问题； （4）最值范围问题； （5）探索性问题.

（4＋2）2＋（2－0）2＝2 10.故选A.
答案：A
返回
5．(多选)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是
用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无
限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决
数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2
＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶
0，则下列说法正确的是
()
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2 3
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
(2)(多选)(2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两
坐标轴均相切，则下列叙述正确的是
()
A．满足条件的圆C的圆心在一条射线上
方程为 xa ＋ －ya ＝1，由该直线过点(1，2)可得 1a － 2a ＝1，解
得a＝－1，则该直线的方程为x－y＋1＝0.综上可知，该
直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0，故选D.
答案：D
返回
4．设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2，0)，
B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为
答案：C
返回
3．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直
线的方程为
()
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析：当直线过原点时，可得其斜率为
2－0 1－0
＝2，故该直
线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设其
B．满足条件的圆C有且只有一个

2．(2019·武汉质检)已知双曲线x42－by22＝1(b>0)的渐近线方程为 3x±y＝0，则 b＝(
)
A．2 3
B. 3
3 C. 2
D．12
解析：因为双曲线x42－by22＝1(b>0)的渐近线方程为 y＝±b2x，又渐近线方程为 y＝± 3x，
所以b2＝ 3，b＝2 3，故选 A. 答案：A
[题后悟通] 1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定 通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程，其 Δ>0；另 一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率 与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
4．(2019·桂林、崇左模拟)以抛物线 C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝2 6，|DE|＝2 10，则 p 等于________． 解析：如图，|AB|＝2 6，|AM|＝ 6， |DE|＝2 10，|DN|＝ 10，|ON|＝p2， ∴xA＝ 26p2＝3p， ∵|OD|＝|OA|， ∴ |ON|2＋|DN|2＝ |OM|2＋|AM|2， ∴p42＋10＝p92＋6，解得：p＝ 2.(负值舍去) 答案： 2
线的焦点坐标为( )
A．( 3，0)
B．(0， 3)
C．(2 3，0)
D．(0,2 3)
解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为 3，就是顶点到焦点的距离是 3，即p2＝ 3，则抛物线的焦点坐标为( 3，0)．故选 A.
答案：A
3．(2019·大连模拟)过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的中心任作一直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭

学而优 ·教有方
高中数学 ZHONGSHUXUE
Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0 ⇒m2－t2＋4＞0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝m－22＋m4t，y1y2＝mt22－＋44， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m28＋t 4.
学而优 ·教有方
高中数学 ZHONGSHUXUE
①
∴Pm24＋t 4，m－2＋mt4. ∵k1k2＝－14，∴yx11yx22＝－14， 即 4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋－4＋2mm22t2＋t2＝0，
学而优 ·教有方
高中数学 ZHONGSHUXUE
∴2t2＝m2＋4，则 t2≥2， 由①②可得 t2≥2 恒成立， |OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4
学而优 ·教有方
高中数学 ZHONGSHUXUE
第 5 步：求解
故直线CD的方程为x＝my＋32，即直线CD过定点32，0. 10分
解等量关系得出 待求结果，注意结
←若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点32，0.
11分
果的完备性.
综上所述，直线CD过定点32，0.
12分
学而优 ·教有方
第(1)问得分点及说明： 1.求出 a 的值得 1 分. 2.写出 E 的方程得 1 分.
的斜率分别为 k1，k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范
围．
学而优 ·教有方
高中数学 ZHONGSHUXUE
[解] (1)由题知，△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝4＋2 3，且12·2c·b ＝ 3，

3.抛物线
(1)定义:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于点 M.
(2)标准方程
y2=2px(p>0)(焦点在 x 轴的正半轴上),y2=-2px(p>0)(焦点在
x 轴的负半轴上);x2=2py(p>0)(焦点在 y 轴的正半轴
上),x2=-2py(p>0)(焦点在 y 轴的负半轴上).
������2+������2
分别为 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0).
四、圆的方程
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径 为 r.
2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为
(-������,-������),半径为 r=
3.两点式:������������2--������������11=������������2--������������11(x1≠x2,y1≠y2). 4.截距式:������+������=1(a≠0,b≠0).
������ ������
5.一般式:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0).
分析可得其过定点 M(2,3),进而分析可得满足题意的圆是以 P 为
圆心,MP 为半径,求出 MP 的长,将其代入圆的标准方程计算可得答
案.
【解析】 (1)设与直线 x- 2y+3=0 平行的直线 l 的方程为
x- 2y+M=0.∵直线 l 过点(1,0),∴M=-1.
∴圆心到直线 l 的距离为|6-2-1|= 3

左右顶点.
(2)(ⅰ)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
y kx，
由
x2
4
y2 2
1
得x=±
2 .记u=
1 2k2
2,
1 2k2
则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率
为 k ,方程为y= k (x-u).由
2
2
-2uk2x+k2u2-8=0.①
2
2
2
2
符合题意.
直线y= 2 x+ 6 和直线y=- 2 x- 6 不与AB线段
2
2
2
2
相交,故舍去.
考向二 定义法求轨迹方程 【例2】(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2 +y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切① ,求动圆圆心M 的轨迹方程②.
(2)如图,已知△ABC的两顶点坐标 A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内 切圆③,在边AC,BC,AB上的切点分别 为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相 等),动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程. 世纪 金榜导学号
，
所以,x1+x2=
－4mn 2m2＋1
,
x1x2=
2n 2－2 2m2＋1
,
S四边形ACBD＝
1 2
|AB||x2-x1|=
2
2m2－n2＋1＝ 2 m ＝ 2
2m2＋1
2m2＋1 2 m ＋ 1
2. 2
m
当且仅当2|m|= 1 ,
m
即m=± 2 时等号成立,此时n=± 6 .