揭阳市2015届高中毕业班第二次高考模拟考试(理数)

揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试语文参考答案及评分标准一、12分1．B (B.guī/kuí,zhān/diàn,ào/niù；A．kē,yàn/yè,guān/guàn；C.qiān,gù/hào,lù；D.fù/fú,kuì,yù/xū)2．A（络绎不绝：形容人、马、车、船等前后相接，连续不断。

用于此处不合语境。

B．无论：表示在任何条件下结果都不会改变。

C．康庄大道：宽阔平坦的大路，比喻光明美好的前途。

D．错愕：仓促间感到惊愕。

3．A（B．语义重复，应删掉“每场”；C．语序不当，应将“不仅”放到“谷俊山”后面；D．缺主语，删去“使”。

）4．C（③的陈述对象为“中国书法艺术”，与文段开头句的主语保持了一致，并且是一个总括句，领起了下面各句。

故③应排在最前面，据此可排除A、B两项。

②的主语应为①中的“它”，因此①应在②的前面，据此排除D项。

）二、35分5. C （ C项“进”应翻译为“做官”。

）6. B （句①由“命”的意思“命令”可推“□”内应填代词，作“命”的宾语，所以应填“之”，意思是“他”；句②“作《心性图说》”与“教士”之间应为目的关系，所以应填表目的关系的连词“以”，可译为“来”；句③“上”这一动词后应为引出动作对象的介词，而“于”就有此用法，所以填“于”，可译为“给”“向”。

）7. A （文言断句应在理解文段大意的前提下，借助助词、代词和连词等标志词的帮助，准确断句。

本句是湛若水对皇帝的劝谏。

其中，“而”字前的内容表示一种情况，“而”字后的内容是在这种情况下的做法，二者关系密切，不宜断开，故排除B、D两项。

而“修明”是“先王之道”的谓语、不应断开，故排除C项，答案为A项。

）8. B （“告诫皇帝要亲贤臣、远小人”是第二次上书的内容。

揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考文科综合试题参考答案及评分说明一、选择题：本大题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（政治部分，共52分）二、非选择题：本大题共6小题，满分160分。

36．（共26分）答案要点：（1）具有法人资格、承担有限责任和具有健全的组织结构（治理结构）。

（3分）（《教师教学用书》P121。

若考生回答“独立法人地位、有限责任制度和科学管理结构”也可以给分。

）（2）①扩大公有资本的支配范围，增强国有企业的活力和控制力，巩固公有制的主体地位。

（3分）②有利于坚持和完善公有制为主体、多种所有制共同发展的基本经济制度。

（3分）③通过简政放权有利于企业更好地面向市场，制定正确的经营战略；形成自己的竞争优势；树立良好的信誉和企业形象。

（3分）④为个人的投资理财提供丰富的渠道。

（2分）（3）①中国共产党是中国特色社会主义事业的领导核心，党的主张和政策通过法定程序上升为国家意志。

（3分）②人大代表行使提案权，为依法治国和法制反腐提出了有价值的议案。

（3分）③政协委员通过政治协商、民主监督和参政议政等形式参与国家政治生活。

（3分）④全国人大及其常委会行使立法权和监督权，为法制反腐打下坚实的基础。

（3分）（评分说明：如答到其它角度，只要言之成理，也可酌情给分。

）37．（共26分）答案要点：（1）①大力发展先进文化，保障人民群众的基本文化权益，为全面阅读创造条件、营造氛围。

（2分）②加强社会主义核心价值体系建设，弘扬社会主义核心价值观。

（2分）③加强思想道德建设，引导积极健康的阅读方式和内容。

（2分）④树立文化的自信和自觉。

从优秀的中华文化中汲取营养（2分）⑤培养个人的阅读兴趣，提高个人的科学文化修养和思想道德修养。

（2分）（2）社会存在决定。

（4分）①矛盾具有普遍性，“快餐式阅读”有其优点，也有其弱点，应该用一分为二的观点来看待这种阅读方式。

2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则实数λ=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D． 22．平面向量与之间的夹角为，=（2，0），||=1，则||=（）A．B．C．4 D．123．若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）4．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥115．设0≤θ＜2π，已知两个向量，则向量长度的最大值是（）A．B．C．D．6．若函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1）∪（1，）C．（1，）D．[，+∞）7．从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．08．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．9．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b10．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（）A．B． 2 C．D．3一、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）11．已知α、β为锐角，且=（sinα，cosβ），=（cosα，sinβ），当时，α+β=．12．在边长为的正三角形ABC中，设=，=，=，则•+•+•=．13．求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=．14．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）（2015春•揭阳校级月考）已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1，，（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在的值域．16．（12分）（2014春•东海县校级期中）已知如图，函数y=2sin（x+φ）（0≤φ≤，x∈R）的图象与y轴的交点为（0，1）．（1）求φ的值；（2）设点P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，求向量与向量夹角的余弦值．17．（14分）（2015春•揭阳校级月考）函数．（1）求f（x）的周期；（2）f（x）在[0，π）上的减区间；（3）若f（α）=，，求的值．18．（14分）（2013•临潼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）证明：AD⊥平面PBC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．19．（14分）（2013秋•大兴区期末）已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E（1，1），F（1，﹣3），若圆C上存在点Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圆心的横坐标a的取值范围．20．（14分）（2013秋•丽水期末）已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若，求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年广东省揭阳一中高一（下）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在四个备选项中，只有一项符合题目要求）1．已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则实数λ=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D． 2考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）=（λ﹣4，﹣3λ+2），与垂直，∴=λ﹣4﹣3（﹣3λ+2）=0，解得λ=1．故选B．点评：熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．2．平面向量与之间的夹角为，=（2，0），||=1，则||=（）A．B．C．4 D．12考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：由题意可得=2，=1，再由==，运算求得结果．解答：解：由题意可得=2，=•||cos=1．∴====2，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．3．若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）考点：正切函数的单调性；三角函数线．专题：计算题．分析：通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．解答：解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故选C．点评：本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．4．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11考点：循环结构．专题：规律型．分析：经过第一次循环得到的结果，判断是否是输出的结果，不是说明k的值满足判断框的条件；经过第二次循环得到的结果，是需要输出的结果，说明k的值不满足判断框中的条件．得到判断框中的条件．解答：解：当k=12，S=1，应该满足判断框的条件；经过第一次循环得到S=1×12=12，k=12﹣1=11应该满足判断框的条件；经过第二次循环得到S=12×11=132，k=11﹣1=10，应该输出S，此时应该不满足判断框的条件，即k=10不满足判断框的条件．所以判断框中的条件是k≥11故选D点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找到规律．5．设0≤θ＜2π，已知两个向量，则向量长度的最大值是（）A．B．C．D．考点：向量的模；向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：根据向量的减法法则求出的坐标，利用向量模的坐标公式和同角平方关系，化简向量的模代数式，再根据已知角的范围和余弦函数性质，求出模的最大值．解答：解：由向量的减法知，==（2+sinθ﹣cosθ，2﹣cosθ﹣sinθ），∴||===，∵0≤θ＜2π，∴﹣1≤cosθ≤1，则当cosθ=﹣1时，的长度有最大值是．故选C．点评：本题考查了向量减法和向量模的坐标运算，利用了同角的平方关系和余弦函数的性质，考查了运用知识和解决问题的能力．6．若函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1）∪（1，）C．（1，）D．[，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值，欲满足题意，须log a u递增，且u的最小值﹣＞0，由此可求a的范围．解答：解：令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值﹣，欲使函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则须有，解得1＜a＜．即a的取值范围为（1，）．故选C．点评：本题考查复合函数的单调性，若复合函数可分解为两个基本初等函数，依据“同增异减”即可判断复合函数的单调性．7．从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0考点：圆的切线方程．分析：先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．解答：解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．点评：本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题．8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．解答：解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．点评：本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．9．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．设，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：奇函数．专题：压轴题．分析：首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f（x）=lgx的单调性解决问题．解答：解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．则=﹣lg＞0，=﹣lg＞0，=lg＜0，又lg＞lg∴0＜﹣lg＜﹣lg∴c＜a＜b，故选D．点评：本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性．10．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（）A．B．2 C．D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先以O为原点，向量的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，并设∠COA=θ，从而可写出A，B，C三点的坐标，从而根据条件便可得到，这样便可得到，根据两角和的正弦公式即可得到x+y=2sin（θ+30°），根据θ的范围即可得出x+y的最大值．解答：解：如图，以O为坐标原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，则：A（1，0），B（），设∠AOC=θ，0°≤θ≤120°，∴C（cosθ，sinθ）；∴=；∴；∴；∴；∵0°≤θ≤120°；∴30°≤θ+30°≤150°；∴θ+30°=90°，即θ=60°时x+y取最大值2．故选B．点评：考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数乘和加法运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值．一、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）11．已知α、β为锐角，且=（sinα，cosβ），=（cosα，sinβ），当时，α+β=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标公式结合三角函数的两角和差的余弦公式进行求解即可．解答：解：∵，∴sinαsinβ﹣cosαcosβ=0，即cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，∵α、β为锐角，∴0＜α+β＜π，∴α+β=；故答案为：；点评：本题主要考查向量平行的坐标公式的应用，利用两角和差的余弦公式进行化简是解决本题的关键．12．在边长为的正三角形ABC中，设=，=，=，则•+•+•=﹣3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：错误：a•b+b•c+c•a，应该是由题意可得与的夹角等于，且||=||=，由此求得=﹣1，同理求得==﹣1，从而得到要求式子的值．解答：解：由题意可得与的夹角等于，且||=||=，故有==﹣1．同理求得==﹣1，故=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两个向量的夹角为，而不是，属于中档题．13．求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=2．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的恒等变换化简所给的式子，可得结果．解答：解：sin10°tan70°﹣2cos40°=+﹣2cos40°=+﹣2cos40°=﹣2cos40°=﹣2cos40°=4cos220°﹣2cos40°=4×﹣2cos40°=2，故答案为：2．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．14．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．解答：解：函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）====．∴函数f（x）的最大值为，因此①正确；周期T=，因此②正确；当时，，因此y=f（x）在区间（，）上单调递减，因此③正确；将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，得到y====，因此④不正确．综上可知：①②③．故答案为①②③．点评：熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）（2015春•揭阳校级月考）已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1，，（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由利用已知及特殊角的三角函数值即可解得a的值．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+2，由，可求2x+的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求得值域．解答：（本小题满分12分），可得：asin+2+cos=4，即，…（2分）解得：；．…..（3分）（2）由（1）得：…..（5分）=…（7分），…..（8分）令，则y=sinz在[﹣，]上为增函数，在[，]上为减函数，…（10分），即f（x）的值域为[2﹣，4]．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（12分）（2014春•东海县校级期中）已知如图，函数y=2sin（x+φ）（0≤φ≤，x∈R）的图象与y轴的交点为（0，1）．（1）求φ的值；（2）设点P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，求向量与向量夹角的余弦值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由y=2sin（x+φ）的图象与y轴的交点为（0，1），可得sinφ=，0≤φ≤，从而可得φ的值；（2）依题意，可求得M，N，P的坐标，于是可得向量与的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求得向量与向量夹角的余弦值解答：解：（1）由题意得，，∴．…..…（6分）（2）由x+=0得：x=﹣，∴M（﹣，0），又T==4，∴点P的横坐标x p=（﹣）+T=，∴P（，2），同理可得N（，0），…（9分）∴，…（12分）设向量与的夹角为θ，则…（14分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查向量数量积的坐标运算，求得M，N，P的坐标是关键，考查运算能力，属于中档题．17．（14分）（2015春•揭阳校级月考）函数．（1）求f（x）的周期；（2）f（x）在[0，π）上的减区间；（3）若f（α）=，，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由诱导公式和和差角（辅助角）公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω=，可得f（x）的周期；（2）根据正弦函数的图象和性质，求出f（x）的单调递减区间，进而可得f（x）在[0，π）上的减区间；（3）若f（α）=，可得，进而根据同角三角函数的基本关系公式求出α的余弦和正切，再由二倍角的正切公式和两角和的正切公式，得到答案．解答：解：（1）=，（k∈Z）∵ω=，∴f（x）的周期．…（5分）（2）由，得．又x∈[0，π），令k=0，得；令k=﹣1，得（舍去）∴f（x）在[0，π）上的减区间是．…（9分）（3）由f（α）=，得，∴，∴又，∴∴，∴∴=．…（14分）点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，诱导公式和和差角（辅助角）公式，同角三角函数的基本关系公式，二倍角的正切公式和两角和的正切公式，是三角函数的综合应用，难度中档．18．（14分）（2013•临潼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）证明：AD⊥平面PBC；（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，由AC⊥BC，知BC⊥平面PAC，从而得到BC⊥AD．由此能够证明AD⊥平面PBC．（2）由三视图得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，由此能求出三棱锥的体积．解答：.（本小题满分12分）解：（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，（2）由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，所以，所求三棱锥的体积．点评：本题考查利用几何体的三视图求直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．（14分）（2013秋•大兴区期末）已知半径为2，圆心在直线y=﹣x+2上的圆C．（Ⅰ）当圆C经过点A（2，2）且与y轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E（1，1），F（1，﹣3），若圆C上存在点Q，使|QF|2﹣|QE|2=32，求圆心的横坐标a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，利用圆经过点A（2，2）且与y轴相切，建立方程，即可求圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|2﹣|QE|2=32得y=3，即Q在直线y=3上，根据Q在（x﹣a）2+[y ﹣（﹣a+2）]2=4上，可得⊙C与直线y=3有交点，从而可求圆心的横坐标a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=﹣x+2上，∴可设圆心坐标为（a，﹣a+2），圆的方程为（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4，∵圆经过点A（2，2）且与y轴相切，∴有解得a=2，∴所求方程是：（x﹣2）2+y2=4；（Ⅱ）设Q（x，y），则由|QF|2﹣|QE|2=32得：（x﹣1）2+（y+3）2﹣[（x﹣1）2+（y﹣1）2]=32，即y=3，∴Q在直线y=3上，∵Q在（x﹣a）2+[y﹣（﹣a+2）]2=4上，∴⊙C与直线y=3有交点，∵⊙C的圆心纵坐标为﹣a+2，半径为2，∴⊙C与直线y=3有交点的充要条件是1≤﹣a+2≤5，∴﹣3≤a≤1，即圆心的横坐标a的取值范围是﹣3≤a≤1．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（2013秋•丽水期末）已知函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若，求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（﹣x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（﹣1）=f（1），化简即可，但必须检验．（Ⅱ）分x≥，x，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（Ⅲ）先整理f（x﹣1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x ＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．解答：解：（Ⅰ）解法一：因为函数f（x）=﹣x2+2|x﹣a|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取x∈R，则f（﹣x）=f（x）恒成立，即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立．…（3分）所以|x﹣a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（﹣1）=f（1），得|1﹣a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=﹣x2+2|x|，故有f（﹣x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）（Ⅱ）若，则．…（8分）由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]和…（10分）（Ⅲ）不等式f（x﹣1）≥2f（x）化为﹣（x﹣1）2+2|x﹣1﹣a|≥﹣2x2+4|x﹣a|，即：4|x﹣a|﹣2|x﹣（1+a）|≤x2+2x﹣1（*）对任意的x∈[0，+∞）恒成立．因为a＞0．所以分如下情况讨论：①0≤x≤a时，不等式（*）化为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，即x2+4x+1﹣2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+1﹣2a在区间[0，a]上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得，又a＞0所以…（12分）②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，即x2﹣4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，由①，，知：函数h（x）=x2﹣4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，则只需h（1+a）≥0即可，即a2+4a﹣2≥0，得或．因为所以，由①得．…（14分）③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1，即x2+2a﹣3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，因为函数φ（x）=x2+2a﹣3在区间（a+1，+∞）上单调递增，则只需φ（a+1）≥0即可，即a2+4a﹣2≥0，得或，由②得．综上所述得，a的取值范围是．…（16分）点评：本题是函数的综合题，考查了函数的重要性质﹣﹣奇偶性和单调性，同时考查了函数恒成立的一个常用结论：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．还重点考查了数学中一个重要数学数学方法﹣﹣分类讨论．本题属于难题．。

2015年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={x|x=3k﹣1，k∈Z}，则下列表示正确的是（）A．﹣1∉A B．﹣11∈A C．3k+2∉A D．3k2﹣1∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k﹣1，k ∈Z，即可：若判断一个具体的整数是否为A的元素，只需令这个数等于3k﹣1，解出k，判断k是否满足k∈Z即可；而若这个元素是含字母的式子时，需要看这个式子能否写成x=3k ﹣1，k∈Z，的形式，按照这个方法判断每个选项的正误即可．【解析】解：A．k=0时，x=﹣1，∴﹣1∈A，∴该选项错误；B．令﹣11=3k﹣1，k=，∴﹣11∉A，∴该选项错误；C.3k+2=3（k﹣1）﹣1，k﹣1∈Z，∴3k+2∈A，∴该选项错误；D．对于3k2﹣1，k2∈Z，∴3k2﹣1∈A，∴该选项正确．故选D．【点评】考查描述法表示集合，集合、元素的概念，以及元素与集合的关系，元素与集合关系的判断方法．2．（5分）已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解析】解：∵复数z=1+i，∴==﹣=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为：∀x∈R，x2+1≥2x．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系．4．（5分）已知，则cos2α=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解．【解析】解：∵，∴可得sinα=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．5．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量与向量=（﹣5，﹣6）共线，则λ的值为（）A．B．C．D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出．【解析】解：∵=（1，2）﹣λ（2，3）=（1﹣2λ，2﹣3λ），与共线，∴﹣5（2﹣3λ）﹣（﹣6）（1﹣2λ）=0，化为﹣4+3λ=0，解得．故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．1 B． 4 C．D．0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求解即可．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=，则z的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OB的斜率最小，由，解得，即B（3，2），则z==，故选：C【点评】本题主要考查线性规划以及直线斜率公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，那么点P到点M（﹣1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．（﹣1，2）D．（1，2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接FP，利用抛物线的定义可得|PQ|=|FP|．可知当PQ∥x轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PF|取得最小值|QM|，求出即可．【解析】解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接FP，则|PQ|=|FP|．故当PQ∥y轴时，|PM|+|PF|取得最小值|QM|=2﹣（﹣1）=3．设点P（﹣1，y），代入抛物线方程（﹣1）2=4y，解得y=，∴P（﹣1，）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．（5分）连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量，若，则与的夹角成为直角三角形内角的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】总的基本事件共36种，而符合题意的共21个，由概率公式可得．【解析】解：由题意可得m、n均取自1到6，故向量有6×6=36种取法，由知，则m≥n，列举可得这样的（m，n）为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6=21（个），故所求的概率故选：B．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解析】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=﹣1，则f（x）=x﹣1，f（2）=，则log f（2）=log=1，故答案为：1；【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．10．（5分）展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项式的通项，直接由x得系数为0求得r的值，再代入通项求得答案．【解析】解：由，得=•x r﹣3．由r﹣3=0，得r=3．∴展开式中的常数项为=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理，考查了二项式的展开式，是基础的计算题．11．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为30cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h=6cm．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出几何体是一个三棱锥，存在两两垂直的棱，画出图形运用体积公式判断即可．【解析】解：根据三识图判断得出：∵PA，AB，AC两两垂直，∴PA⊥面ABC，且PA=h，AB=6，AC=6，∴V==5h=30，即h=6，故答案为：6．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，根据给出的数据恢复空间几何体，判断几何体的性质，难度不大，属于中档题．12．（5分）下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩将第1次到第12次的考试成绩依次记为a1，a2，…，a12．图2是统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是7．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计12次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表即可得解．【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计12次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表可知，成绩大于等于90的次数n=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=b2，则=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得要求式子的值．【解析】解：△ABC中，∵c（acosB﹣bcosA）=b2，故由余弦定理可得ac•﹣bc•=b2，化简可得=2，∴=．再利用正弦定理可得=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（2cosθ﹣sinθ）=3与ρ（cosθ+2sinθ）=﹣1的交点的极坐标为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组，求出交点的坐标，最后把交点的直角坐标转化为极坐标．【解析】解：在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（2cosθ﹣sinθ）=3，转化为直角坐标方程为：2x﹣y﹣3=0．曲线ρ（cosθ+2sinθ）=﹣1，转化为直角坐标方程为：x+2y+1=0．建立方程组为：，解得：所以交点的直角坐标为：（1，﹣1），转化为极坐标为：（，）．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，解二元一次方程组，直角坐标与极坐标之间的相互转化．主要考查学生的应用能力．【几何证明选讲选做题】15．如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】由切割线定理得PC2=PB•PA=12，由此能求出CD长．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，∴由切割线定理得PC2=PB•PA=27，∴PC=3，连结OC，则OC=OP，∴∠P=30°，∴CD=PC=．故答案为：．【点评】此题综合运用了切割线定理、切线的性质定理以及解直角三角形的知识，属于基础题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M为图象与x轴的交点，为图象的最高点．（1）求A、ω的值；（2）若，，求的值．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）直接利用函数的图象确定函数的A和周期．（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的恒等变换求出结果．【解析】解：（1）由为图象的最高点知A=2，又点M知函数f（x）的最小正周期，∵∴ω=π，（2）由（1）知，由得，∵∴∴，∵=∴=【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及函数的周期，利用函数的关系变换求函数的值，主要考查学生的应用能力．17．（12分）某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127．（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生的人数，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）直接利用茎叶图的作法画出茎叶图即可．（2）直接利用古典概型概率个数求解即可．（3）求出概率判断概率类型X～B（3，0.2），求出期望即可．【解析】解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如图示：………..（3分）乙班的平均水平较高；…………………………………（4分）（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率．………………….（8分）（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为，……………………..（10分）据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因X～B（3，0.2），所以EX=3×0.2=0.6．……………………….（12分）【点评】本题考查茎叶图以及古典概型，考查期望的求法，考查计算能力．18．（14分）已知等比数列f'（x）满足：a n＞0，a1=5，S n为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log5a2+log5a4+…+log5a2n+2，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．【解析】解：（1）设数列{a n}的公比为q，∵20S1，S3，7S2成等差数列，∴2S3=20S1+7S2．即，化简得2q2﹣5q﹣25=0，解得：q=5或∵a n＞0，∴不合舍去，∴．（2）∵b n=log5a2+log5a4+…+log5a2n+2=，=，∴=，∴==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PA=PD=CD=2AB=2．（1）求证：AB⊥PD；（2）记AD=x，V（x）表示四棱锥P﹣ABCD的体积，当V（x）取得最大值时，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）解：取AD中点E，连结PE，通过题意易得当V（x）取得最大值时，利用常用法或坐标法即可得结果．【解析】（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD；（2）解：取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，在Rt△PEA中，，∴==（0＜x＜4），∵V（x），当且仅当，即时“=”成立，即当V（x）取得最大值时，解法1：∵，PA2+PD2=8=AD2，∴PD⊥PA，又由（1）知AB⊥PD，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴PD⊥PB，∴∠APB为二面角A﹣PD﹣B的平面角，在Rt△PAB中，，即当V（x）取得最大值时，二面角A﹣PD﹣B的余弦值为；解法2：以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴、PE所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图示：则E（0，0，0），A（，0，0），D（，0，0），P（0，0，），，∴，，设平面PDB的法向量为，由得，，令c=1，则a=﹣1，∴，又是平面PAD的一个法向量，设二面角二面角A﹣PD﹣B的大小为θ，则，即所求二面角A﹣PD﹣B的余弦值为．【点评】本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆C：的焦点分别为、，P为椭圆C上任一点，的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，结合点满足椭圆方程，运用椭圆的性质，即可得到最大值1，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入，运用韦达定理和判别式大于0，结合两点的距离公式，可得k，m的关系式，消去m，解不等式即可得到k的范围．【解析】解：（1）设P（x，y），由、，得，．∴=x2+y2﹣3，由得，∴=，∵0≤x2≤a2，∴当x2=a2，即x=±a时，有最大值，即，∴b2=1，a2=c2+b2=4，∴所求椭圆C的方程为；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2①又，由|AD|=|AE|可得，⇒（1+k2）（x1+x2）+2km﹣2=0，化简得②将②代入①得，，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或．所以存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查两点的距离公式的运用和化简整理的能力，属于中档题和易错题．21．（14分）已知函数（1）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）若在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）讨论x＞0，x＜0，去绝对值，运用绝对值不等式的解集即可得到所求；（2）通过讨论x的范围，去绝对值，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求单调区间；（3）运用不等式恒成立思想，在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，即对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，⇔对∀x∈（0，1]都有x|x﹣a|＜m+1，显然m＞﹣1，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解析】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＜x﹣1即x|x﹣1|＜x，显然x≠0，当x＞0时，原不等式可化为：|x﹣1|＜1⇒﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2；当x＜0时，原不等式可化为：|x﹣1|＞1⇒x﹣1＞1或x﹣1＜﹣1⇒x＞2或x＜0，即为x＜0．综上得：当a=1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜2或x＜0}；（2）∵，若x≥a时，∵a＞0，由f'（x）=2x﹣a知，在（a，+∞）上，f′（x）≥0，若x＜a，由f′（x）=﹣2x+a知，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，∴当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为，（a，+∞），单调减区间为．（3）在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，即对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，⇔对∀x∈（0，1]都有x|x﹣a|＜m+1，显然m＞﹣1，即﹣m﹣1＜x（x﹣a）＜m+1⇒对∀x∈（0，1]，恒成立⇒对∀x∈（0，1]，，设，，x∈（0，1]，则对∀x∈（0，1]，恒成立⇔g（x）max＜a＜p（x）min，x∈（0，1]，∵，当x∈（0，1]时g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max=﹣m，又∵=，当即m≥0时，对于x∈（0，1]，有p′（x）＜0，∴函数p（x）在（0，1]上为减函数，∴p（x）min=p（1）=2+m，当，即﹣1＜m＜0时，当，p′（x）≤0，当，p′（x）＞0，∴在（0，1]上，，（或当﹣1＜m＜0时，在（0，1]上，，当时取等号），又∵当﹣1＜m＜0时，要g（x）max＜a＜p（x）min即还需满足⇒m2﹣4m﹣4＜0，解得，∴当时，，当m≥0时，﹣m＜a＜2+m．【点评】本题考查分段函数的运用，考查绝对值不等式的解法和函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．。

广东省揭阳市2013届高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模，扫描版）12345揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ． 2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ． 3．设(,)B x y ，由3AB a =u u u r r 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++L 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ． 5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞U ，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C. 8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-L L 111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.6 二．填空题：；10. 43200x y --=；11.34；12. 12a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2； 14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；.解析：9．依题意得3a =，则4tana π=4tan 3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=．11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=o,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =. 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分即()f x 的定义域为7{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x x π-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x xx-=2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”， 依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C22C 25＝125．-----------------------------10分 ξ的分布列为--------------------------------11数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分8 N 1M 1EABCDFNM18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分解得0c =或3c =． --------------------------------3分当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分（2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=L ，，．-------------------------8分当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分（3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分∵n N ∈*,∴12n +≥141813622+⨯>=--------------------------------11分 令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分 19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分由45θ=o得，1sin 4524ADE S DE EA ∆=⋅=o ,∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分（2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，9GEABCDFNM QEABC DFNM过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分 ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分 ,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G =I , ∴平面MNG//平面BCF-------------9分∵MN ⊂平面MNG,//MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】 （3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ， ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分∵090θ=且2a =∴12NQ =,2MQ ==2MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC所成角的余弦值为3--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且2a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分 则10 111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-u u u r u u u u r 得----12分cos ,AC MN ∴<>==u u u r u u u u r13分 所以与AC所成角的余弦值为14分】 20. 解：(1)∵1cos602122p OA ==⨯=o ，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x =--------------------------------2分∴设圆的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅=o ，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=u u u r u u u r得02121=+y y x x∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =，--------------------------------6分∵12GOH S OG OH ∆=u u u r u u u r ,∴()()222222*********GOH S OG OH x y x y ∆==++u u u r u u u r =()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分 (3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分11∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==，--------------------------------------------------3分当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-----------------------7分故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)n n n n +=+,------（*）------------------9分当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-------------------------------------10分 （3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分12 ∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++L 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++= ∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.--------------------------------14分。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C. 231k A -∈ D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i --3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos2α=俯视图侧视图正视图h65图2否是a i ≥90？n=n+1n=0,i=1否输入a 1，a 2，……，a 12i=i+1开始结束输出n i ≤12？是A.79 B.89 C. 79- D.4295. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44y x< B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y <6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4 7．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm8．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是 图1A.1B. 4C.23D.09．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 考试第次123456789101112成绩（分） 65 78 85 87 88 99 90 94 93 102 105 116 将第1次到第12次的考试成绩依次记为1212,,,a a a L .图2是统计上表中 成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是A.8B.7C.6D.510．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b ∈∈，则关于x 的不等式222(1)0x a x b --+≥的解集为R 的概率为A.14 B.12 C. 23 D. 34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则2log (2)f 的值为 ．12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y +-=相切的圆的标准方程是 ． 13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB= ． （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）N M Po yx14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 图417．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设51525log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均组别 第一 第二 第三 第四分值区间 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140]为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°． （1）证明：SA BC ⊥；（2）求三棱锥S ABC -的体积．图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数. （1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y -++=；13.2；14. 7(2,)4π；15.332.三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴2122cos()1sin ()16693ππαα+=-+=-=-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+2231126132326-=⨯-⨯=------------------------------------------------12分17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n nn a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵ 51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分 ∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n n T b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+ 122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分 19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SA BC ⊥-------------------------------------------------7分 （2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ，∴222BC AB ==，------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC ，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分 ∴122SD AD BC === ∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分 又SD BC ⊥,BCAD D =∴SD ⊥平面ABC ,------------------------------------------12分 ∴13P ABC ABC V S SD -∆=1122222323=⨯⨯⨯⨯=.----------------14分 其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(3,0)F -、2(3,0)F 得1(3,)PF x y =---uuu r , 2(3,)PF x y =--uuu r.∴212(3)(3)PF PF x x y ⋅=-+-+uuu r uuu r 223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a=+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r ，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k+=-+--------------------10分 由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k ⇒-++-=+化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得55k >或55k <- 所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为55(,)(,)55-∞-⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分 则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增， ∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=， ∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分 （2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分 当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分（3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>， ∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。

6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()lg(63)f x x -的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6（D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89-（B ）23 （C ）89 （D（5）已知01a b c <<<<，则（A ）b aa a >（B ）a bc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21（9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2 （D ）37（10）函数xx x f 21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128（C ）192 （D ）384（12）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,(,)484+∞ （B ）)1,85[41,0( （C ）1155(,(,)8484 （D ）115(,)(,)848+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题 第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=- 满足||||a b a b ⋅=-⋅，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB 与BC 的夹角为150°，||2AC = ，则||AB的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数；(Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=. （10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （116=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ== ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4si n (22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当 ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB与BC 的夹角为150°知30B ∠=,由正弦定理得： ||||4sin sin 30AB AC C ==||4sin AB C ⇒= ,又0150C <<得0||4AB <≤ . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅ 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分Q D EF COBAP∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ])1(321[n n +-++++- ，设23122232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分 又(1)123(1)2n n n n +++++-+=， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //，∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP = ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P = ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、(0,1C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =--------8分 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m m，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取z =3，得(m = ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m⋅⋅=><=θ35=所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ， 则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分 )16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分 333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根， 由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根，由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ， 由题意知，需0)(min <x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ，------11分 ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞ ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分 代入θθρcos 4sin2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。

广东重点中学2015届高三理科数学模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知z 是z 的共轭复数，若1z i =+（i 是虚数单位），则z z ⋅=A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知集合2{|20}A x xx =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)-3．已知椭圆E 的焦点与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆E 的离心率等于 A.35 B. 45 C. 54 D. 344. 已知数列{}n a 为等比数列，191,3a a ==，则5a =A. 2B.C. D. 5. 给出下列四个命题，其中假．命题是 A ．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；B ．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；D ．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，若(1),P x p >=则1(10)2P x p -<<=-. 6. 若如下框图所给的程序运行结果为35S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是A. 7k =？B. 6k …？C. 6<k ？D. 6>k ？7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是ODCBAPA. 14l l ⊥B. 14//l lC. 14,l l 既不垂直也不平行D. 14,l l 的位置关系不确定8. 对于各数互不相等的正数数组(12,,...,n i i i )(n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p q i i <,则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有“顺序”“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1234(,,,a a a a ,5)a 的“顺序数”是4,则54321(,,,,)a a a a a 的“顺序数”是A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9—13题） 9. 不等式112x x +≥-的解集是_________.10. 曲线ln1)y x =-（2在点(1,0)处的切线方程为_________. 11. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为_________. 12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为_________.13. 已知实数,a b 满足13a b ≤+≤且11a b -≤-≤，则42a b +的取值范围为_________. （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆θρsin 4=的圆心到直线3πθ= 的距离是________.15．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ,CD 的延长线交于点P ，若4PA =，5PD =，则CBD ∠=_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数.cos 2sin cos 32)(2x x x x f += （1）求()6f π;(2) 求()f x 的最小正周期； （3）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的值域. 17.（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6 （D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17 （5）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a >（B ）a b c c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21 （9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23（C ）2（D ）37（10）函数x x x f 21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数；(Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y xz 2-=过点(2,)A a a -时，取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())2224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：解析：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30ABAC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分Q D EF COBAP由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BFm ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取=3，得(m =u r---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为，可知)7.0,3(~B X ， 则的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=m k ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(，①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xa x 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=x a x x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ，------11分 ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分 代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=-------------------------8分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分 ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。