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学海导航人教版高三第一轮复习课件文科数学第32讲 平面向量的数量积

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人教版高考数学文科一轮总复习配套课件4.3平面向量的数量积

人教版高考数学文科一轮总复习配套课件4.3平面向量的数量积
B
解析
关闭
答案
8
-9-
2.设向量 a=(1,0),b= A.|a|=|b| C.a∥b
1 1 , 2 2
,则下列结论中正确的是(D)
2 2
B.a· b=
D.a-b 与 b 垂直
9
-10-
3.(2013 湖北高考)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量������������在������������ 方向 上的投影为( A.
������������ ·������������ ������������ ·������������ |������������ |
=
(2,1)·(5,5) 52 +52
=
3 2 2
.
解析
关闭
答案
-11-
4.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=
可以为负,也可以为 0.
4
-5-
(2)向量数量积的运算律
b· a (交换律) ②(a+b)· c= a· c+b· c (分配律) ③(λa)· b= λ(a· b) =a· (λb)(数乘结合律).
①a · b= 想一想已知在实数范围内,若 ab=ac 且 a≠0,则 b=c,对于向量 a,b,c,若 a·b=a·c,则结论如何呢? 答案:若 a,b,c 是实数,ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量就没有这样
夹角
������1 b1 + ������2 b2
2 2 2 ������1 + ������2 · b2 1 + b2
|a · b |与 |a||b|的 关系

平面向量的数量积PPT课件

平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

高三一轮复习课件平面向量的数量积15页PPT

高三一轮复习课件平面向量的数量积15页PPT

|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b <=>x1x2+y1y2＝0
(2) coθs
x1x2y1y2 x12y12 x22y22
(3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则
ax1-x22y1-y22
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课前热身
1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则
3. 如 图 ， P 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 ， PECF是矩形，用向量法证明：
(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.
【解题回顾】本题中，通过建
立恰当的坐标系，赋予几何图
形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化
为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解 决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中 坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁
的面积
1 SΔ2
ab2ab2
(2)若CA＝(a1，a2 )，CB＝(b1，b2 )，求证：△ABC
的面积
SΔ
1 2a1b2a2b1
【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式， (2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
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误解分析
1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中
结 合 律 及 消 去 律 不 成 立 ， 即 a·(b·c)≠(a·b)·c ， a·b ＝ a·c不能推出b＝c，除非是零向量.
2．a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆， 夹角的范围是[0，π]，不能记错.求模时不要忘了开 方，以上是造成不全对的主要原因.
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谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙

海南人教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数第7章7.2平面向量的数量积

海南人教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数第7章7.2平面向量的数量积
4
11
5.在△ABC中，a=5，b=8，C=60°， 则BC· CA的值为______. -20 如图，由题知， 〈BC,CA〉 =120°, |BC|=a=5，|CA|=b=8， 所以BC· CA=5×8×cos120°=-20.
12
1.数量积的定义 (1)设a=(5，-7)，b=(-6，-4)， 则a· b=①___________. -2 (2)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位 向量，若a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，则a、b的 夹角是②_______. 120° (3)已知A(7,4),B(3,5),则 ③_____. | AB | 17 (4)已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b 上的投影值为④_________.
⑤a b (a b)c 0.
B. 2 D. 4
7
②错，数乘向量，两者之间不需要“·”， 且实数与向量的乘积为向量； ③错，|a· b|=||a|· |b|cos〈a,b〉 |=|a|· |b|· |cos〈a,b〉|； ④错，a· b=0 a =0 或 b =0 或 a ⊥ b . B
9
3.若|a|=|b|=1,a⊥b,且2a+3b与ka-4b也互 相垂直，则k的值为B ( ) A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 因为2a+3b与ka-4b垂直，a与b垂直， 且|a|=|b|=1， 所以(2a+3b)· (ka-4b) =2ka2-12b2+(3k-8)a· b=2k-12=0,所以k=6.
5
6.平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,那么 |a|=_____________. (x1-x2)2+(y1-y2) 2 7.（1）设a=（x1,y1），b=（x2,y2）.a⊥b _______________. x1x2+y1y2=0 （2）两向量a，b的夹角的余弦（0≤θ≤π） cosθ=___________= a b

人教版高三数学一轮复习精品课件6：§5.3 平面向量的数量积

人教版高三数学一轮复习精品课件6：§5.3 平面向量的数量积
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：B
4．已知 a＝(1,2)，b＝(1,1)，且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围为________.
解析：∵a 与 a＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)＞0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0.∴λ＞－53. 当 a 与 a＋λb 共线时，存在实数 m，使 a＋λb＝ma，
行，那么 a 与 b 的数量积等于( )
A．－72
B．－12
3 C.2
解析：a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，
D．52
由题意得 3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则 m＝－12，
所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52.
答案：D
4．若向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2 3，则|b|＝( )
解析：法一：(等价转化思想)因为D→F＝91λD→C，D→C＝12A→B，C→F＝D→F－ D→C＝91λD→C－D→C＝1－9λ9λD→C＝11－8λ9λA→B，A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋λB→C，
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x12＋y21
夹角
a·b
cos θ＝ |a||b|
a⊥b 的充要条件 a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤ |a||b|
cos θ＝
＝F→O2＋F→O·(O→E＋O→D)＋O→D·O→E＝132＋0－1＝－89，故选 C. 答案：C

高考文科数学一轮复习课件——第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

高考文科数学一轮复习课件——第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用

uuur
(2)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| PA +
uuur
3 PB |的最小值为
.
解析:(2)以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角
uuur
坐标系,设 DC=a,DP=m(0≤m≤a),所以 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,m). PA =
︱高中总复习︱一轮·文数
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b= b·a . (2)(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb) .
(3)(a+b)·c= a·c+b·c
.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
数量积 模
【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+
2b|=
;
解析:(1)因为|a+2b|2=a2+4a·b+4b2 =4+4|a||b|cos 60°+4
=8+4×2×1× 1 =12. 2
所以|a+2b|=2 3 . 答案:(1)2 3
︱高中总复习︱一轮·文数
a·b=|a||b|cos θ
|a|=__a__ a____
a·b=x1x2+y1y2
|a|=____x_12 __y12____
夹角
a⊥b 的 充要条件 |a·b|与
|a||b| 的关系

平面向量的数量积(一轮复习)


＝________；特殊地|，a|a|·ba|＝|a|2 或|a|＝ a·a.
C D (4)cos θ＝________．
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
B
A 3．向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝________．
(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
2、（2016 年浙江高考）已知向量 a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量
1
题型五：平面向量的范围问题 e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ 6 ,则 a·b 的最大值是
．【答案】 2
3、（2016 年上海高考）在平面直角坐标系中，已知 A（1,0），B（0，-1），P 是
曲线 y 1 x2 上一个动点，则 BP BA 的取值范围是
01
平面向课量堂总向结量：的模
02
、转化为坐标
向量的夹角 cos 0 3 a b
ab
转化思想、数形结合
1 、（ 2013 年 高 考 四 川 卷 ） 在 ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且
2 cos2
A B cos B sin( A B)sin B cos( A C) 2
（2）已知单位向量 e1，e2 的夹角为 α，且 cos α＝13.若向量
a＝3e1－2e2，则题|a|＝型__二___：___平． 面向量的[答模案] 3
变式练习 (1) [2014·全国卷] 若向量 a, b 满足：| a | 1， (a b) a ，
(2a b) b ，则 | b | （ ）
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高三数学高考第一轮复习课件：平面向量


第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化

2025年高考数学一轮复习-6.3-平面向量的数量积及应用【课件】


（2）投影向量如图，在平面内任取一点 ，作 , ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则______就是向量 在向量 上的投影向量. 设与 方向相同的单位向量为 , 与 的夹角为 ，则 与 , , 之间的关系为 _________.
（2）范围：向量夹角 的范围是______________.[提醒] 当 与 同向时， ; 与 反向时， ; 与 垂直时， .
2.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ,把数量______________叫做向量 与 的数量积（或内积），记作 ，即 ___________.规定：零向量与任一向量的数量积为___.
解析：如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
依题意可设 ，则 ， ，所以 .故 的最小值为 .
求两个向量的数量积的三种方法
考点二 平面向量数量积的性质（多维探究）
[高考考情] 近几年高考在此处都单独命题，主要考查向量坐标运算，向角、向量的模以及范围与最值）.
6.3 平面向量的数量积及应用
课标要求
考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量的方法解决简单的力学问题与其他实际问题.
___
≤
[提醒] （1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2） 是对非零向量而言的，若 ,虽然有 ，但不能说 .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量的夹角的范围是 .( )
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4．向量数量积的性质 a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ.
|a||b| ；当 a 与 b 反向时，a· |a||b| ； (1)当 a 与 b 同向时，a· b＝_______ b＝－ _______ a2＝|a|2 或|a|＝_________. 特别地，a· a＝__________
(2)a· b＝0⇒__________. a⊥b
1 1 1 a· b＝1× ＋0× ＝ ，所以 B 不正确． 2 2 2 1 1 因为 1× －0× ≠0，所以 C 不正确． 2 2 1 1 因为(a－b)· b＝a· b－b ＝ － ＝0， 2 2
2
所以 a－b 与 b 垂直，D 正确．
答案：D
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
求向量的数量积、模
2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 、 b ，它们的夹角为 θ ，我们把数量 |a|· |b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积， |a|· |b|cos θ ___________ 记作 a· b， 即 a· b＝___________. 规定 0 与任一向量的数量积为______. 0
解：由题意可得 a2＝2，a· b＝－3， 所以(2a＋b)· a＝2a2＋a· b＝4－3＝1.
答案：C
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
4．若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，(2a＋b)· b＝0，则 a 与 b 的夹角 为( ) A．30° C．120° B．60° D．150°
解：因为(2a＋b)· b＝0，所以 2a· b＋b2＝0， 1 所以 a· b＝－ |b|2，又因为|a|＝|b|， 2 设 a，b 的夹角为 θ， 1 － |b|2 2 1 a· b 所以 cos θ＝ ＝ 2 ＝－ ，所以 θ＝120° . |a||b| |b | 2
高考总复习第（1）轮 文科数学
第五单元
平面向量与复数
第32讲
平面向量的数量积
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算． 3． 掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的 运算． 4． 能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．两向量的夹角与垂直
uur uuu r 已知两个非零向量 a、b，作 OA ＝a， OB ＝b，则
∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°) __________________________ 叫作向量 a、b 的夹角，特别地，当 a⊥b a 与 b 夹角为 90° 时，我们说 a 与 b 垂直，记作__________ .
≤ (3)cos θ＝__________. (4)|a· b|_______ |a||b|.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
5．向量数量积的运算律
b· a 交换律)． (1)a· b＝________(
(2)(λa)· b＝__________ a (λ· b) (λ∈R)． λ ( a· b) ＝__________ (3)(a＋b)· c＝_____________. a· c＋b· c 6．向量数量积的坐标表示 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝__________ . x1x2＋y1y2
x2＋y2 ，|a|＝___________. (2)若 a＝(x，y)，则 a· a＝a2＝|a|2＝________
间的距离公式． (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔_______________ x1x2＋y1y2＝0 .
uuu r (3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| AB |＝_________________，此Байду номын сангаас为两点
) B．0 D．3
1 解：因为<a，b>＝120° ，所以 a· b＝1×1×cos 120° ＝－ ， 2 1 3 同理，b· c＝c· a＝－ ，所以 a· b＋b· c＋c· a＝－ . 2 2
答案：A
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
2．若 a＝(4,2)，b＝(－4,3)，则 a 在 b 方向上的投影是( A．－5 5 C. 2 B. 5 D．－2
(5)a、b 是两个非零向量，它们的夹角为 θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 cos θ＝_______________
复习目标 课前预习
.
高频考点 课时小结
uuu r uur uuu r 1．在边长为 1 的等边△ABC 中，设 BC ＝a， CA ＝b， AB ＝c，
则 a· b＋b· c＋c· a 等于( 3 A．－ 2 3 C. 2
)
解：设 a，b 的夹角为 θ， 因为 a· b＝|a||b|cos θ， 所以 a 在 b 上的投影为 a· b 4×－4＋2×3 －10 |a|cos θ＝ ＝ 2 2 ＝ 5 ＝－2. |b| －4 ＋3
答案：D
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．(2015· 新课标卷Ⅱ)已知 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)· a ＝( ) A．－1 C．1 B．0 D．2
答案：C
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
1 1 5．设向量 a＝(1,0)，b＝( ， )，则下列结论中正确的是( 2 2 A．|a|＝|b| C．a∥b 2 B．a· b＝ 2 D．a－b 与 b 垂直
)
解：|a|＝1，|b|＝
1 1 2 2＋ 2＝ ，所以 A 不正确． 2 2 2
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．a· b 的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影．
|a|cos θ 叫作 a 在 b 方向上的投影， 设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则_________ |b|cos θ 作 b 在 a 方向上的投影． __________ |a| 与 b 在 a 方向上的投影 (2)a· b 的几何意义：a· b 等于 a 的长度_____ |b|cos θ 的乘积． _________