向量专题训练一(向量数量积)

平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为 ( )C．3 D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.答案：C6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( )A ．5 3B ．3 5C ．25D ．22解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析] 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D ． 8．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53解析：c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A9．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)． 因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C10．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →， 所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．答案：B11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v ＝AB u u u v ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC ＝23.答案：C12．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 为△ABC 的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足3BM MA =u u u u v u u u v ，则CM CB ⋅u u u u v u u u v ＝________．解析：CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4. 答案：414.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA OB ⋅u u u v u u u v ＝0，则向量OB u u u v 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 15．在△ABC 中， BC u u u v ＝a ， CA u u u v ＝b ，AB u u u v＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 解析：在△ABC 中，因为|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，所以△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0，0)，A (3，0)，C (0，1)，所以a ＝BC →＝(0，1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)． 所以a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC 中，已知|AB u u u v |＝|AC u u u v |＝4，且 AB AC ⋅u u u v u u u v ＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8， 所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量k a＋b与a＋2b 平行，求k的值；(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝1 2 .(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎨⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12. 18.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8，4)，N (4，2)．设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5.所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.19．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203. 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.20．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0. 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →. 所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝ AD →2－13AD →·DC →－29DC 2→＝36－29×81＝18. (2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →， 所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝ AD 2→－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6， 所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23. 所以AB →与AD →夹角的余弦值为23. 21． (2015·济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)， 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα＝2sin x cos x＋2(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x(π4<x<π)，则t∈(－1，2)，且2sin x cos x＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，y min＝－32，此时sin x＋cos x＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4<x<π，∴π2<x＋π4<5π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cos π3＝a·b|a||b|＝cosαcos x＋sinαsin x＝cos(x－α)，∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝π3，∵a⊥c，∴cosα(sin x＋2sinα)＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，化简得sin(x＋α)＋2sin2α＝0.代入x－α＝π3得sin(2α＋π3)＋2sin2α＝52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－3 5 .。

空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。

下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。

解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。

练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。

解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。

练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。

解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。

然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。

向量数量积精选1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）【答案】B2．ABC ∆中，3π=A ，3=AB ，8=AC ，则=BC .【答案】73．在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 ．．4．在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2=AB ，1=AC ，E ，F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A ．89B ．910C ．925D ．9265．已知向量)sin ,2(),1,(cos αα-==，若b a ⊥，则=-)42tan(πα A ．31- B ．3- C ．31 D ．7 【答案】D 6．设311(2sin ,),(,cos )264a xb x ==,且//a b ,则锐角x 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．512π 【答案】C.7．设,x y R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,)b y →=，(2,4)c →=-，且a c →→⊥，//b c →→，则||a b →→+=_____________.8．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ．【答案】9λ<且1x ≠-9．O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形【答案】C10．在ABC ∆中，若2=++AB AB AC BA BC CA CB ⋅⋅⋅，则ABC ∆是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D11．（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小；（2）若+=a b b ，求sin θ的值．【答案】（1）2π3θ=；（2； 【解析】试题分析：（1）由向量共线的坐标表示得到关于θ的方程进而求解；（2）将向量模的关系式转化为数量积的关系式，用坐标表示数量积则可得到关于θ的方程，接下来可以用方程组求解sin θ，也可通过配角求解；试题解析：（1） 因为//a b ，所以12sin 2cos 2θθ-⋅=，即sin θθ-=，所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ=． （2）因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos θθ⋅=-a b ，1cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<，又0πθ<<，πcos()6θ-=所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+=-+-==． 12．已知)0,2(A ，)2,0(B ，)sin ,(cos θθC ，O 为坐标原点.（1）13AC BC ⋅=-，求θ2sin 的值；（2）若7||=+OC OA ，且)0,(πθ-∈，求与的夹角.【答案】（1）95-；（2）65π. 【解析】 试题分析：(1)利用向量工具考察三角函数知识，首先根据向量知识，求出,，然后由向量数量积运算即可求解；（2）依然以向量为载体考察三角函数知识，首先利用向量的模长得到三角函数式，然后由向量的夹角公式求解.试题解析：（1）)sin ,2(cos )0,2()sin ,(cos θθθθ-=-=,)2sin ,(cos )2,0()sin ,(cos -=-=θθθθ， ∴1cos (cos 2)sin (sin 2)12(sin cos )3AC BC θθθθθθ⋅=-+-=-+=-， 3分 ∴32cos sin =+θθ，∴952sin -=θ. 5分 （2）∵)0,2(=,)sin ,(cos θθ, ∴)sin ,cos 2(θθ+=+OC OA ，∴7sin )cos 2(||22=++=+θθ， 即7sin cos cos 4422=+++θθθ， ∴21cos =θ，又)0,(πθ-∈，∴3πθ-=， 7分 又)2,0(=OB ，)23,21(-=，∴||cos ,||||OB OC OB OC OB OC ⋅<>===⋅ ∴65,π>=<OC OB . 10分 13．已知2(1,2),(cos 2,cos ),2x m n x ==且x f ⋅=)(. （1）在ABC ∆中，若1)(=A f ，求A 的大小；（2）若x x x f x g sin 3cos 2)()(2+-=，将)(x g 图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到)(x h 的图像，求)(x h 的单调减区间.【答案】（1）3π；（2）]384,324[ππππ++k k ，Z k ∈. 14．（本小题满分13分）已知向量 2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，记()f x m n =⋅（Ⅰ）若 3()2f a =，求 2cos()3a π-的值； （Ⅱ）将函数 ()y f x =的图象向右平移 23π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0．。

6.2.4向量的数量积1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 中点，则AB → ·AE → ＝( )A ．2B ．4C ．25D ．52．[2022·山东东营高一期末]若向量a ，b 满足||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，则||a －b ＝( )A ．4B ．12C ．2D ．233．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影向量为________．4．已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b ).5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD → ＝12DC → ，则AD → ·AC → ＝( )A ．24B ．6C ．18D ．－246．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a ，b 满足||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a ，b ，c 是满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，若||a ＝2 ，则||b ＝________．8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －2b )＝2，且|a |＝2 ，|b |＝2.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a ＋b .9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b |＝1，且a 与a －2b 相互垂直．(1)求向量a 与向量b 的夹角θ的大小；(2)求||a ＋b .10．在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA → ＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )A ．||a ＋b ≤||a ＋||bB ．a ·b ≤||a ·||bC ．若||a ＝||b ，则a ＝bD ．若||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b12．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．答案：1．解析：由题设，AB → ·AE → ＝|AB → ||AE → |cos ∠BAE ＝|AB → |2＝4.故选B.答案：B 2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，可得a ·b ＝||a ·||b cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 2π3＝－2， 所以||a －b ＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝||a 2＋||b 2－2a ·b ＝4＋4－2×（－2）＝23 .故选D.答案：D3．解析：因为a 在b 方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b 同向的单位向量为b ||b ＝13 b ，所以a 在b 方向上的投影向量为－23b . 答案：－23b 4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3 ＝4×2×(－12)＝－4； (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝42＋4－2×22＝12.5．解析：因为BD → ＝12DC → ， 所以BD → ＝13 BC → ＝13(AC → －AB → )， 所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → . 因为等边三角形ABC 的边长为6，所以AC → ·AB → ＝6×6cos 60°＝18，所以AD → ·AC → ＝(23 AB → ＋13AC → )·AC → ＝23 AB → ·AC → ＋13AC → 2 ＝23 ×18＋13×36＝24，故选A. 答案：A6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝||a 2－a ·b ＝5，所以a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－11×2＝－12 ， 因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3.故选C. 答案：C 7．解析：因为a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，又因为a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，且||a ＝2 ，可得(2a －b )·c ＝(2a －b )·[]－（a ＋b ） ＝－2a 2－a ·b ＋b 2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0， 解得||b 2＝4，所以||b ＝2.答案：2 8．解析：(1)由(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2， 得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)由题意得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝2－42×22＋4 ＝2 . 9．解析：(1)由题意，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22，而0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)由||a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2＋1＝5， 所以||a ＋b ＝5 .10．解析：在△ABC 中，易知AB → ＋BC → ＋CA → ＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝（－c ）2，（a ＋c ）2＝（－b ）2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB → |＝|BC → |＝|CA → |，即△ABC 是等边三角形．11．解析：对A ，||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a ，b 同向时等号成立，所以||a ＋b ≤||a ＋||b ，故A 正确；对B ，因为cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ＝||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a ·||b ，当且仅当a ，b 同向时等号成立，故B 正确；对C ，若||a ＝||b ，因为a ，b 方向不一定相同，所以a ，b 不一定相等，故C 错误； 对D ，若||a ＋b ＝||a －b ，两边平方可得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，化简得2t 2＋15t ＋7＜0.解得－7＜t ＜－12. 当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为180°时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142． ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).。

向量的数量积练习题向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，它能够帮助我们计算向量之间的夹角、判断正交性等。

在这篇文章中，我们将通过练习题来加深我们对向量数量积的理解。

在每个练习题之后，我将给出详细的解答，以便读者参考。

题目一：已知向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，计算向量a与向量b的数量积。

解答一：根据数量积的定义，我们可以通过将对应分量相乘再相加来计算。

数学公式如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3将向量a和b的分量代入上述公式，即可计算出结果：a ·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32所以，向量a与向量b的数量积为32。

题目二：已知向量c = (2, -1, 3)，d = (-3, 2, -4)，计算向量c与向量d的数量积。

解答二：同样地，我们可以使用数量积的定义来计算向量c与向量d的数量积：c ·d = c1 * d1 + c2 * d2 + c3 * d3将向量c和d的分量代入公式，即可计算出结果：c ·d = 2 * (-3) + (-1) * 2 + 3 * (-4) = -6 - 2 - 12 = -20因此，向量c与向量d的数量积为-20。

题目三：已知向量e = (3, 2)、f = (4, 1)，计算向量e与向量f的数量积。

解答三：这次我们处理的是二维向量，数量积的计算方法与之前相同：e ·f = e1 * f1 + e2 * f2将向量e和f的分量代入公式，即可计算出结果：e ·f = 3 * 4 + 2 * 1 = 12 + 2 = 14所以，向量e与向量f的数量积为14。

题目四：已知向量g = (1, -2, 3)，h = (-2, 1, -3)，判断向量g与向量h是否正交。

解答四：要判断两个向量是否正交，我们需要计算它们的数量积。

2024全国高考真题数学汇编向量的数量积一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．22．（2024全国高考真题）已知向量,a b 满足1,22a a b =+=，且()2b a b -⊥，则b =（ ）A ．12 B 2 C D ．13．（2024全国高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-是“//a b ”的充分条件 4．（2024北京高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =-或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题5．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+λμ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．参考答案1．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥-，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.2．B【分析】由()2b a b -⊥得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+=，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥，所以()20b a b -⋅=，即22b a b =⋅， 又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+=， 从而22=b . 故选：B.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =B 错误；对D ，当1x =-+22(1)x x +=，所以//a b 不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.4．B 【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-=等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-=，可得22a b =，即a b =， 可知()()0a b a b +⋅-=等价于a b =，若a b =或a b =-，可得a b =，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅-=，即a b =，无法得出a b =或a b =-， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠-，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠且a b ≠-”的必要不充分条件. 故选：B.5． 43 518- 【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得λμ+，设BF BE k =，求,AF DG ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值. 【详解】解法一：因为12CE DE =，即13CE BA =，则13BE BC CE BA BC =+=+， 可得1,13λμ==，所以43λμ+=； 由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈， 则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭， 又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得11111113232AF DG k BA kBC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-； 解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=-，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=； 因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅取到最小值为518-； 故答案为：43；518-.。

6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。

向量的数量积练习题向量的数量积练习题在学习向量的数量积时，练习题是非常重要的一部分。

通过练习题的解答，我们可以巩固对向量数量积的理解，并提高解题能力。

下面，我将给出一些向量数量积的练习题，并逐一解答。

1. 已知向量a = (3, 4)和向量b = (1, 2)，求向量a和向量b的数量积。

解答：向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 3 * 1 + 4 * 2 = 3 + 8 = 11。

2. 已知向量a = (2, -1)和向量b = (-3, 4)，求向量a和向量b的数量积。

解答：同样地，向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 2 * (-3) + (-1) * 4 = -6 - 4 = -10。

3. 已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a和向量b的数量积。

解答：向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32。

4. 已知向量a = (5, -2, 3)和向量b = (-1, 3, -4)，求向量a和向量b的数量积。

解答：同样地，向量a和向量b的数量积可以通过将两个向量对应分量相乘再相加得到。

即a·b = 5 * (-1) + (-2) * 3 + 3 * (-4) = -5 - 6 - 12 = -23。

通过以上几个练习题，我们可以看到，向量的数量积的计算方法是相对简单的。

只需要将两个向量对应分量相乘再相加即可得到结果。

同时，向量的数量积还有一个重要的几何意义，即两个向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影长度。

除了计算向量的数量积，我们还可以利用向量的数量积来解决一些几何问题。

例如，可以通过判断两个向量的数量积是否为零来判断两个向量是否垂直。

6.2.4 向量的数量积课后训练巩固提升A.60°B.120°C.30°D.150°2.已知向量m ,n 的夹角为π6,且|m |=√3,|n |=1,则|m-n |等于( )A.4B.3C.2D.13.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=√3,且a 与b 的夹角为π6,则(a+b )·(2a-b )等于( )A .12 B.-32 C.-12 D .324.已知|b |=3,向量a 在向量b 上的投影向量为32b ,则a ·b 等于( )A.3 B .92 C .32 D .2725.(多选题)已知a ,b ,c 是三个非零向量,则下列命题中是真命题的为( )A.|a ·b |=|a ||b |⇔a ∥bB.a ,b 反向⇔a ·b =-|a ||b |6.若向量a ,b 满足|a |=√2,|b |=1,a ·(a +b )=1,则向量a ,b 的夹角的大小为 .7.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b ,若b ⊥c ,则t= .8.已知向量a ,b ,|a |=4,|b |=2.(1)若a ,b 的夹角为120°,求|3a -4b |;(2)若|a +b |=2√3,求a 与b 的夹角θ.9.如图,在平面内将一副直角三角板拼接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .(1)试用a ,b 表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)若|b |=1,求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .1.(多选题)已知正三角形ABC 的边长为2,设AB=2a ,BC =b ,则下列结论正确的是() A.|a+b |=1 B.a ⊥b C.(4a +b )⊥b D.a ·b =-12.定义:|a ×b |=|a ||b |sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角,若|a |=2,|b |=5,a ·b =-6,则|a ×b |等于( )A.8B.-8C.8或-8D.63.已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=2√3,且a ⊥(a +b ),则b 在a 上的投影向量为( )A.3aB.-aC.-3aD.a4.已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( )A .[0,π6]B .[π3,π]C .[π3,2π3]D .[π6,π]5.设向量a ,b 满足|a |=1,|b |=1,且|k a +b |=√3|a -k b |(k>0).若a 与b 的夹角为60°,则k= .6.在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 .7.已知|a |=1,a ·b =12,(a -b )·(a +b )=12,求:(1)a 与b 的夹角;(2)a -b 与a +b 的夹角的余弦值.8.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7.是否存在实数μ,使μa +b 与a -2b 垂直?。