广东省广州市普通高中高二数学上学期期末模拟试题07

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．经过点(1,0)，倾斜角为150︒的直线方程是（）A ．1y =+B ．13y x =-+C ．33y =-+D ．33y =--【正确答案】C【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.【详解】由倾斜角为150︒可得，直线斜率为tan1503== k由直线的点斜式方程得直线方程为01)y x -=-；即y =+.故选：C.2．等比数列{}n a 中，42a =，64a =，则2a 等于（）A ．12B ．32C ．1D 【正确答案】C【分析】利用等比中项直接计算即可.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以2426a a a =即244a =，解得21a =，故选：C3．三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若,,BA a BC b BD c === ，则CG =（）A ．a b c-+- B ．12a b c-++C ．1122-++ a b cD ．1122a b c-+【正确答案】D【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【详解】11()()22CG CA AG CA AD BA BC BD BA =+=+=-+- 111()()222a b c a b c =-+-=-+．故选：D ．4．若直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直，则m =（）A ．6-B ．6C ．23-D ．2-【正确答案】B【分析】由两条直线垂直的条件即可得解.【详解】因为直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直，所以()2620m +⨯-=，得6m =，所以6m =.故选：B.5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，P 为抛物线上任意一点，O 为坐标原点，若||3PF =，则||OP =（）A ．B ．3C ．D 【正确答案】C【分析】根据抛物线定义结合||3PF =，求得点P 的坐标，即可求得答案.【详解】由题意F 为抛物线24y x =的焦点，则(1,0)F ,且准线方程为=1x -，设(,)P P P x y ,由||3PF =可得13,2P P x x +=∴=,代入24y x =得28P y =，即(2,P ±,故||OP =故选：C6．已知()1,2,1A -，()1,5,4B -，()2,3,4C ，则AC 在AB上的投影向量为（）A ．()0,1,1-B ．()0,1,1-C ．(D ．(0,【正确答案】B【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出AC 在AB 上的投影，进行计算AC 在AB上的投影向量.【详解】因为()1,5,3AC = ，()0,3,3AB =-，所以()053336AC AB ⋅=+⨯-+⨯=- .因为AB =A AC AB B⋅==故AC 在AB()10,1,13AB AB =-=-故选：B7．已知直线l 经过点()211A ，，，且()101n =，，是l 的方向向量，则点()432P ，，到l 的距离为（）A ．12B．2C．2D【正确答案】C【分析】由空间向量夹角的坐标表示求cos<,>AP n，再根据点到直线距离为||sin<,>AP AP n 即可求结果.【详解】由题设=(2,2,1)AP，则cos<,>==2||||AP nAP n AP n ⋅，所以sin<,2AP n ，而||=3AP ，故P 到l的距离为||sin<,>=2AP AP n .故选：C8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2FP 是双曲线C 上一点，且1260F PF ∠= ．若12F PF △的面积为12F PF △的周长为（）A．B+C2+D．【正确答案】A【分析】由三角形面积公式可求1216PF PF ⋅=，结合余弦定理得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，由离心率可求出,,a b c ，同理结合()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求12PF PF +，进而得解.【详解】由题可知1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= ，求得1216PF PF ⋅=，对12F PF △由余弦定理可得22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠，即2416,2b b ==，因为2222243c a e a a+===，解得222,6a c ==，又22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠，即()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，解得12PF PF +=122F F c ==所以12F PF △的周长为1212PF PF F F ++=故选：A二、多选题9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值【正确答案】CD【分析】根据n S 表达式及2n ≥时，1n n n a S S -=-的关系，算出数列{}n a 通项公式，即可判断A 、B 、C 选项的正误.27n S n n =-+的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n ≥时，128n n n a S S n -=-=-+，又116218===-⨯+a S ，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故A 错误；1012=-a ，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n =-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.故选：CD.10．已知直线l ：20kx y k -+=和圆O ：229x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0l ：220x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相离D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为【正确答案】BD【分析】A 选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B 选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为1-，从而存在2k =-满足题意，C 选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C 选项；当1k =-时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长【详解】直线:20l kx y k -+=，即()2y k x =+，则直线恒过定点()2,0-，故A 错误；当2k =-时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；∵定点()2,0-在圆O ：x 2+y 2=9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 不正确：当1k =-时，直线l 化为20x y ---=，即x +y +2=0，圆心O 到直线的距离d =直线l 被圆O 截得的弦长为=D 正确，故选：BD.11．设a ，b ，c是空间一个基底，下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥ ，则a c ⊥；B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c不可能共面；C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；D ．则a b + ，b c + ，a c -一定能构成空间的一个基底【正确答案】BC【分析】,a c 所成角不一定为π2，A 错误，a ，b ，c 共面不能构成空间的一个基底，B 正确，根据空间向量基本定理得到C 正确，a b + ，b c + ，a c -向量共面，D 错误【详解】a b ⊥ ，b c ⊥ ，则,a c 所成角不一定为π2，A 错误；若a ，b ，c共面，则不能构成空间的一个基底，B 正确；根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++，C 正确；()()a b b c a c +=++- ，故a b + ，b c + ，a c -向量共面，不能构成空间的基底向量，D 错误.故选：BC12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD三、填空题13．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2022a =___________．【正确答案】1-【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求2022a .【详解】因为12a =，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，所以数列{}n a 是周期为3的数列，2022367431a a a ⨯===-.故1-14．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可.【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，所以()2,1,3B ，所以OB ==故答案为15．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论不成立的是______．①EF 与1BB 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面；④EF 与11A C 异面．【正确答案】④【分析】连1B C ，AC ，根据三角形中位线可得//EF AC ，再结合正四棱柱的结构特征逐一判断各个命题作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，连1B C ，AC ，如图，因F 为矩形11BCC B 对角线1BC 的中点，则F 是1B C 的中点，而E 是1AB 的中点，因此//EF AC ，因1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，即有1BB EF ⊥，①正确；正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又//EF AC ，则EF BD ⊥，②正确；假若,EF CD 在一个平面上，不妨设为平面α，由于//EF AC ，EF ⊂平面α,AC ⊄平面α，所以//AC 平面α，又因为AC ⊂平面ABCD ,平面ABCD ⋂平面CD α=，因此//CD AC ,这显然不符合，故,EF CD 不在一个平面上，则EF 与CD 是异面直线，③正确；因正四棱柱1111ABCD A B C D -的对角面11ACC A 是矩形，即11//AC AC ，因此11//EF AC ，④不正确，所以不成立的结论是④.故④16．如图，已知斜率为2-的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C ，且=45ABC ∠︒，则该双曲线的离心率为______.【分析】取AB 的中点M ，连接OM ，求得直线OM 的斜率，再利用点差法求得2223b a =，进而求得该双曲线的离心率【详解】如图，设直线AB 与x 轴交于点D ，取AB 的中点M ，连接AC ，OM ，由双曲线的对称性可知O 为线段AC 的中点，则OM BC ∥，所以45OMD ∠=︒.由直线AB 的斜率2AB k =-，得tan 2ODM ∠=-，则直线OM 的斜率()()tan tan45211tan 1tan tan451213OM ODM k ODM OMD ODM ∠∠∠∠+︒-+=+===--︒--⨯.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得22221212220x x y y a b ---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-，即()2212233OM ABb k k a ⋅==-⨯-=，所以该双曲线的离心率3e =.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点P 到点(1,0)的距离是到点(1,0)-倍．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)若(2,2)A -，求过点A 且与曲线C 相切的直线l 的方程．【正确答案】(1)22(2)3x y ++=360y -+=360y ++=.【分析】（1）设(,)P x y ，根据已知条件列方程，化简求得曲线C 的轨迹方程；（2）设出直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.【详解】（1）设(,)P x y，两边平方并整理得22(2)3x y ++=，故曲线C 的轨迹方程为22(2)3x y ++=；（2）曲线C ：22(2)3x y ++=是以()2,0-.显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++==k =所以直线l20y -+=或20y -+=，360y -+=360y ++=.18．在①11a =，525S =；②35a =，917a =；③416S =，864S =这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.已知等差数列{}n a 满足________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和.n T (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【正确答案】(1)21n a n =-，*n ∈N (2)1(1)33n n T n +=-⋅+，*N .n ∈【分析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，根据所选条件，利用等差数列通项公式和前n 项和公式，列方程求解，可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法求数列前n 项和【详解】（1）若选条件①，设公差为d ，则由题知5115+542S a d =⨯⨯，所以25510d =+，解得2d =，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈若选条件②，设公差为d ，由题知1125817a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈若选条件③，设公差为d ，由题知4181144316,2188764,2S a d S a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯⨯=⎪⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)21n a a n d n =+-=-，*N .n ∈（2）由题知2333353(21)3n n T n =+⋅+⋅++-⋅，所以2341333353(23)3(21)3n n n T n n +=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减得23123232323(21)3n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅23132(333)(21)3n n n +=++++--⋅2-1+13(1-3)32-(2-1)31-3n n n =+⋅⋅13(22)6n n +=⋅--，所以1(1)33n n T n +=-⋅+，*N .n ∈19．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AB BB ==．(1)证明：1A B 平面1AC D ；(2)求平面1CAC 与平面1AC D 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析；.【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于E ，连接ED ，因为正三棱柱111ABC A B C -的侧面是平行四边形，所以E 是1AC 的中点，而D 是BC 的中点，所以1ED BA ∥，而ED ⊂平面1AC D ，1⊄A B 平面1AC D ．所以1A B 平面1AC D ；（2）因为D 是BC 的中点，三角形ABC 是正三角形，所以AD BC ⊥，设F 是11B C 的中点，显然DF ⊥平面111A B C ，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,2)D C A C --，设平面1CAC 与平面1AC D 的法向量分别为()()111222,,,,,m x y z n x y z == ，()13,1,2AC =- ，()3,1,0AC =- ，)3,0,0DA = ，则有()11111132001,3,0030y z m AC m m AC y ⎧⎧--+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩ ，()2221232000,2,1030y z n AC n n AD ⎧⎧--+=⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，平面1CAC 与平面1AC D 夹角的余弦值为2315525m n m n ⋅⨯⋅ 20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的70%仍为沙漠，只有30%为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的15将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的120还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年绿洲面积为1,a ，经过n 年绿洲面积为n a .(1)写出1a ，并证明：数列45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过35?【正确答案】(1)11740a =，证明见解析；(2)2022年【分析】（1）根据题意求出11740a =，并列出13145n n a a -=+，构造法求出1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而得到45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为34，首项为14358a -=-的等比数列；（2）在第一问的基础上得到134245n n a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，列出不等式，求出3245n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合()34n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()235f >，()245f <，从而201842022+=，得到答案.【详解】（1）000011117301170120540a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()11111311120545n n n n a a a a ---⎛⎫=-+-=+ ⎪⎝⎭，设()134n n a a λλ-+=+，则13144n n a a λλ-+=-，从而1145λ-=，解得：45λ=-，故1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为34，首项为14358a -=-的等比数列；（2）由（1）得：14331358424n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故134245n n a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，令13432455n ⎛⎫-⨯+> ⎪⎝⎭，解得：3245n⎛⎫< ⎪⎝⎭，显然()34n f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，当1n =时，()3327234645f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，()43812442565f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故201842022+=，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过35.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，PD AC ⊥．且1,2,2AB CD AD ===(1)证明：PD BC ⊥；(2)若直线PB 与平面PCD C 到平面PBD 的距离．【正确答案】(1)证明过程见解析；【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，且平面ABCD 中，AB CD ⊥，所以AB ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以PD BA ⊥,因为PD AC ⊥，,,AB AC A AB AC =⊂平面ABC ，所以PD ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥；（2）由（1）知，PD ⊥平面ABCD 且AD CD ⊥，所以DA 、DC 、DP 两两垂直因此以D 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AB =，2CD =，AD ，设PD a=所以()0,0,0D ，)A ，)B ，()0,2,0C ，()0,0,P a ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，且平面ABCD 中，AD CD ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 为平面PCD 的法向量且()AD = ，)PB a =- ，因为直线PB 与平面PCDPB AD PB AD ⋅=⋅，解得：a所以(P，又)B ，()0,2,0C ，()0,0,0D 平面BDP 的法向量分别为：()1111,,n x y z = ，所以1111100n DB y n DP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =-，则()1n =-，(0,2,PC = ，设点C 到平面PBD 的距离为d ，所以11111cos ,PC n PC n d PC PC n PC PC n n ⋅⋅=⋅〈〉=⋅==⋅ 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴的两个端点分别为()()0,1,0,1A B -，离心率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点()0,3N -，点M 为椭圆C 上异于,A B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，求证：PNQ Ð为定值.【正确答案】(1)2213x y +=(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得1b =、3c e a ==，再根据a 、b 、c 的关系，求出2a ，即可得解；（2）设直线MA 的方程为：1y kx =+，(0)k ≠，即可求出P 点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出M 的坐标，同理求出Q 的坐标，再求出NQ ，NP 的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到0NQ NP ⋅=，即可得证；【详解】（1）解：由题意可得1b =，c e a ==222c a b =-，解得23a =，所以椭圆的方程为：2213x y +=；（2）解：设直线MA 的方程为：1y kx =+，(0)k ≠则过原点的直线且与直线MA 平行的直线为y kx =，因为P 是直线y kx =与3y =的交点，所以3,3P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线AM 的方程与椭圆方程2213x y +=联立：22113y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(13)60k x kx ++=，可得2613M k x k =-+，222261311313M k k y k k --=+=++，即222613,1313k k M k k ⎛⎫-- ++⎝⎭，因为(0,1)B -，直线MB 的方程为：13x y k=--，联立133x y k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得：312y x k =⎧⎨=-⎩，由题意可得(12,3)Q k -，所以()12,6NQ k =- ，3,6NP k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以312660NQ NP k k ⋅=-⨯+⨯= ，即NQ NP ⊥ ，所以90PNQ ∠=︒，即PNQ Ð为定值；。

2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，2,1为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .2．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可． 【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上， 因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b ，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =， 所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．3．平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】由点到平面距离的向量法计算． 【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,5n PA n PA n PA⋅-<>===所以点()1,2,3P 到平面α的距离为cos ,d PA n PA =<>==故选：C ．4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且a b ⊥，//b c ，则||a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据a b ⊥，//b c ，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且由a b ⊥得10x y ++=，由//b c ，得124y=- 解得2,1y x =-=，所以向量()1,1,1a =，(1,2,1)b =-， 所以()2,1,2a b +=-，所以(2||23a b +=+ 故选：C5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+【答案】A【分析】计算得出569a a =，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果. 【详解】564756218a a a a a a +==，所以，569a a =， 故()()553132310312103563log log log log log log 910a a a a a a a a +++====．故选：A ．6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.7．如图已知矩形,1,3ABCD AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，当二面角B AC D --的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．102【答案】C【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,3ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅3BE DF ∴==， 则12AE CF ==，即211EF =-=，平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13-，cos EB ∴<,13FD >=-，BD BE EF FD =++，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，51512()32322FD >=--=+=， 则3BD =，即B 与D 故选：C ．8．12F F ､是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．89B ．56C ．23D ．78【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得，以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠， 因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故选：D二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，713S S =，则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 是递减数列 B ．120a >C ．200S <D ．n S 最小时，10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项10a <可得：公差0d >且11100a a =->即可判断等差数列{}n a 是递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且713S S =，所以137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=，则有0111a a =-，因为10a <，所以公差0d >，且11100a a =->，所以等差数列{}n a 是递增数列，故选项A 错误； 12110a a >>，故选项B 正确；因为12010112020()20()022a a a a S ++===，故选项C 错误； 由11100a a =->可知：等差数列{}n a 的前10项均为负值，所以n S 最小时，10n =，故选项D 正确， 故选：BD .10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA =B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【答案】BCD【分析】求出OP ，由勾股定理求解PA ，即可判断选项A ；利用PO 为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B ；利用AB OP ⊥，求出直线AB 的斜率，即可判断选项C ；求出直线PO 和AB 的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项D .【详解】对于A ，由题意可得：OP =2PA ==，故选项A 错误；对于B ，由题意知，PB OB ⊥，则PO 为所求圆的直径，所以线段PO 的中点为112（，），则所求圆的方程为2215(1)()24x y -+-=，化为一般方程为222x y x y +=+，故选项B 正确；对于C ，由题意，其中一个切点的坐标为0,1（），不妨设为点B ，则AB OP ⊥，又12OP k =，所以2AB k =-，所以直线AB 的方程为21y x =-+，故选项C 正确； 对于D ，因为AB OP ⊥，且直线OP 的方程为12y x =，直线AB 的方程为21y x =-+，联立方程组2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两条直线的交点坐标为21(,)55D，则BD =PD =故PBD △的面积为1425=，所以PAB 的面积为85，故选项D 正确，故选：BCD .11．已知()0,πα∈，曲线22:sin cos 1C x y αα+=，下列说法正确的有（ ） A ．当π4α=时，曲线C 表示一个圆 B ．当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线 C ．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线D ．当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【详解】对于A ，当π4α=时，曲线22sin cos 1x y αα+=表示圆22x y +=，所以A 正确； 对于B ，当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线1x =±，所以B 正确． 对于C ，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线22:sin cos 1C x y αα-=表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．对于D ，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin cos 1αα<<<，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 2D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π 【答案】ABC【分析】利用面面垂直的判定知A 正确；利用11B MB C C BB M V V --=，可知三棱锥1B MB C -体积最大时，1BB MS最大，由此可计算确定B 正确；以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知C 正确； 在C 中的空间直角坐标系中，假设()101AM AB λλ=≤≤，得到()1,,1M λλ-，假设所成角可以为4π，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得λ的值，知D 错误. 【详解】对于A ，BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ，1,AB BB ⊂平面1AA M ，BC ∴⊥平面1AA M ，又BC ⊂平面BCM ，∴平面BCM ⊥平面1A AM ，A 正确；对于B ，11111133B MBC C BB M BB MBB MV V SBC S--==⋅=，M 为1AB 上动点，∴当M 与A 重合时，1BB MS取得最大值为11122AB BB ⋅=， ()1max111326B MB CV -∴=⨯=，B 正确； 对于C ，以1D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，当M 为1AB 中点时，111,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，又()11,1,0B ，()0,1,1C ，()0,0,1D ，()11,1,1B D ∴=--，111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1112cos ,632B D CM B D CM B D CM⋅∴<>===⋅⨯，∴当M 为1AB 中点时，直线1B D 与直线CM 所成的角的余弦值为23，C 正确；对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系，设()1,,M y z ，()101AM AB λλ=≤≤， 又()1,0,1A ，()10,1,1AB ∴=-，()0,,1AM y z =-，()()0,,10,,y z λλ∴-=-， 则y λ=，1z λ=-，()1,,1M λλ∴-，()1,1,CM λλ∴=--，又()11,0,1A D =-， ()112211cos ,112CM A D CM A D CM A Dλλλ⋅--∴<>==⋅+-+⨯若直线CM 与1A D 所成的角为4π()2212112λλλ--=+-+⨯， 解得：23λ=[]0,1λ∈，∴当23λ=()123AM AB =-时，直线CM 与1A D 所成的角为4π，D 错误. 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD 选项中的异面直线所成角，可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成余弦值求解错误.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为______．【答案】20224045【分析】由1n n n a S S -=-求得21n a n =-，再由裂项相消法即可求出.【详解】因为2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=，满足11a =， 所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-=⎪⎝⎭. 故答案为：20224045. 14．设点A 的坐标为(，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线2x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为__________. 【答案】4【解析】根据抛物线的定义可知，当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为()2,0，根据抛物线的定义可知，PF d =，所以当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，最小值为4AF =. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．设P 是椭圆22:12x M y +=上的任一点，EF 为圆22:0N x y y +-=的任一条直径，则PE PF ⋅的最大值为__________． 【答案】94【分析】设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤，计算得出21924⎛⎫=-++ ⎪⎝⋅⎭y PE PF ，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】圆2211:24⎛⎫+-= ⎪⎝⎭N x y 的圆心为10,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径长为12，设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以()()22221124⎛⎫=+⋅-=-=-+- ⎪⎭⋅⎝PN NE PN N P E PN NE y E PF x222211192222424⎛⎫⎛⎫=-+--=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y ，所以，当12y =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()max94⋅=PE PF. 故答案为：94.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．16．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）【答案】40000【分析】设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果. 【详解】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000.【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21n n a =- （2）解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+19．如图，三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ∠=∠=︒，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ．设AB a =，AC b =，1A A c =．(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥． 【答案】(1)11133A M a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.（2）通过计算10AM AB ⋅=来证得1A M AB ⊥. 【详解】（1）因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122AN AB AC =+，23AM AN =， 所以11112111133333A M A A AM A A AN A A AB AC a b c =+=+=++=++． （2）设三棱柱的棱长为m ，则2222111111111033333322A M AB a b c a a a b c a m m m ⎛⎫⋅=++⋅=+⋅+⋅=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以1A M AB ⊥．20．已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42l 的方程；(2)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3460x y +-=或2x = (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得． 【详解】（1）∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-. 又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为42，故弦心距1d =，由232211k k k +-=+，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. 故l 的方程为3460x y +-=或2x =.（2）把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上. 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =. 由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．(1)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(2)若PB 6=PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在；1PQQB=【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE ⊥平面POB ，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【详解】（1）连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP ＝O ， OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴AD ＝DE ＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE ＝BC ＝2，∴△P AE 正三角形， ∴3OP =3OB = ∵6PB = ∴OP 2+OB 2＝PB 2， ∴OP ⊥OB ，由（1）可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，OE OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 (003P ，，，A （﹣1，0，0），()03B ，，，()23C ，，，E （1，0，0）， ∴()(033233PB PC =-=，，，，，，()200AE =，，， 设()01PQ PB λλ=＜＜，()1333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=，，， 设平面AEQ 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()203330x x y z λλ=⎧⎪⎨++-=⎪⎩取x ＝0，y ＝1，得1z λλ=-，∴n =(0，1，1λλ-)，设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅===，即23315151011λλλλ+⋅-=⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点，即1PQQB =时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23，长轴的左，右顶点分别为A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS DO λ=，DT DO μ=（O 为坐标原点），当直线l 的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围． 【答案】(1)22195x y += (2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得22,a b ，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据,DS DO DT DO λμ==确定λμ， 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【详解】（1）由题意可得：2222623a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得：222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程：22195x y+= （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，， 设直线():3,0l y kx k =->，由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >， 所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =， 解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()2233y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++， 所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++． ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭．。

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．设集合{}12A x x =-<<，{}2log 2B x x =<，则A B =（）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(,2)-∞【正确答案】C【分析】首先求集合B ，再求A B ⋂.【详解】由2log 2x <，解得04x <<，则{}04B x x =<<.又∵{}12A x x =-<<，∴(0,2)A B ⋂=.故选：C.2．设R a ∈，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a （）A ．0B ．1-C ．1D【正确答案】B【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有10a +=，即可得答案.【详解】∵复数(1i)(i)(1)(1)i a a a ++=-++在复平面内对应的点位于实轴上，∴10a +=，即1a =-．故选：B3．若121,,,4a a 成等差数列；1231,,,,4b b b 成等比数列，则122a ab -等于A ．12-B ．12C ．12±D ．14【正确答案】A【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．【详解】若1，a 1，a 2，4成等差数列，4＝1+3d ，d ＝1，∴a 1﹣a 2＝﹣1．又1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，b 22＝1×4，解得b 2＝2，b 2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．∴12212a ab -=-故答案为A ．本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（）A ．15B ．310C ．35D ．12【正确答案】B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310.故选：B.5．已知ππcos sin 24αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 22cos 21αα+=+（）A ．54B ．74C ．7D ．7-【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得tan α，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】由ππcos sin 24αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：ππsin sin cos cos sin sin cos44ααααα-=-，即2sin cos αα=，1tan 2α∴=，222222sin 222sin cos 2sin 2cos sin cos sin cos cos 212cos cos αααααααααααα+++++∴==+2117tan tan 11244αα=++=++=.故选：B.6．已知a ，b 为单位向量．若a b a b ⋅=+ ，则cos 2,3a b <>=（）A ．1B ．1C 1D 1【正确答案】A【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.【详解】设a ，b的夹角为θ，因为a ，b为单位向量,且=+a b a b ⋅ ，所以22cos =+a b a b ⋅θ，即222cos =++2cos a b a b θθ ，整理得2cos 2cos 2=0θ-θ-，解得cos =1θ-，因为6cos 23cos<2,3>===1236a b a b a b a b a bθ⋅-.故选:A.7．已知抛物线24y x =的焦点F ，点()43A ，，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长取最小值时，线段PF 的长为A ．1B ．134C ．5D ．214【正确答案】B【分析】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |．因此问题转化为求|PA |+|PD |的最小值，根据平面几何知识，当D 、P 、A 三点共线时|PA |+|PD |最小，由此即可求出P 的坐标，然后求解PF 长度．【详解】求△PAF 周长的最小值，即求|PA |+|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |因此，|PA |+|PF |的最小值，即|PA |+|PD |的最小值根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，此时P （94，3），F （1，0）PF 的长为913144+=，故选B ．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，A 三点共线时|PA |+|PD |最小，是解题的关键．8．如图，1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线与圆2222x y a b +=+在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且1213F P F Q =，则双曲线的离心率为（）A ．102B ．173C ．394D ．375【正确答案】A【分析】连接21,PF QF ,设1PF n =由条件可得12PF PF ⊥，可得2222n b an =-，由条件有则23F Q n =，由双曲线的定义可得123QF a n =+.在12F F Q △中，21cos 2nQF F c∠=-，由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠，可得22263b an n =-，可解得n a =，从而可得答案.【详解】连接21,PF QF ，设12PF F θ∠=,设122F F c =，1PF n =，由双曲线的定义可得22PF a n =+.由条件可得12PF PF ⊥，则()22224n a n c ++=，即2222n b an=-在12F F P 中，12cos cos 2n PF F cθ∠==由1213F P F Q =，则23F Q n =，由双曲线的定义可得123QF a n =+.在12F F Q △中，21cos cos 2n QF F cθ∠=-=-由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠即()()22223342322n a n n c n c c+=++⨯⨯⨯所以22263b an n =-结合上面得到的式子：2222n b an =-，可得n a=所以12,3PF a PF a ==，则()()2232aa a c +=，即22104a c =所以210542e ==，即e 故选：A关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设1PF n =由条件可得12PF PF ⊥，可得2222n b an =-，在12F F Q △中，21cos 2nQF F c∠=-，由余弦定理可得：2221212212212cos QF QF F F QF F F QF F =+-⋅⋅∠，即()()22223342322na n n c n c c+=++⨯⨯⨯，所以22263b an n =-，属于中档题.二、多选题9．(多选)数列{an }为等差数列，Sn 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则（）A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40【正确答案】ACD【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.【详解】设数列{an }的公差为d ，则由已知得S 7＝177()2a a +，即21＝17(5)2a +，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋1092⨯d ＝10＋109223⨯⨯＝40.由{an }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.故选：ACD10．下列函数中，最小值为2的是（）A ．223y x x =++B ．1y x x=+C ．[]4(3,9)1y x x =∈-D ．[)3(1,0)y x x x=-∈-【正确答案】AD【分析】根据函数的单调性可求出ACD 的最小值，利用基本不等式可判断B 选项.【详解】对于A,2223(1)22y x x x =++=++≥，所以函数最小值为2，故A 正确；对于B ，当0x >时，12y x x =+≥，当且仅当1,x x=即1x =时取得等号，当0x <时，1y x x ⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭，因为12x x -+≥-，所以12y x x ⎛⎫=--+≤- ⎪-⎝⎭当且仅当1,x x -=-即=1x -时取得等号，所以(][),22,y ∈-∞-+∞，故B 错误；对于C ，41y x =-在[]3,9x ∈单调递减，所以当9x =时函数有最小值为41912=-，故C 错误；对于D ，3y x x=-在[)1,0x ∈-单调递增，所以当=1x -时函数有最小值为3121--=-，故D 正确；故选:AD.11．椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，给出以下四个命题，正确的是（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于,AB 两点，则△1ABF 的周长为8；B ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=；C ．椭圆C 离心率为2；D ．P 为椭圆2214x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 的最大距离为4.【正确答案】AC【分析】根据椭圆方程写出a 、b 、c 及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A ；根据椭圆的性质及余弦定理求12F PF ∠的最大值，进而确定其范围判断B ；直接法求离心率判断C ；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断,P Q 的距离范围，即可判断D.【详解】由题设椭圆参数为2,1,a b c ===1(F 、2F ，对A ：由椭圆定义知：1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==，则△1ABF 的周长为8，A 正确；对B ：当P 在y 轴上时，12||||2PF PF a === ，而12||2F F c ==此时1244121cos 82F PF +-∠==-，且()120,πF PF ∠∈，易知122π3F PF ∠=，故122π[0,]3F PF ∠∈，则存在点P 使得12π2F PF ∠=，故存在点P 使得120PF PF ⋅=，B 错误；对C ：椭圆C 的离心率为c e a ==C 正确；对D ：由椭圆和圆的方程知：它们在y 轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x 轴上的交点为(1,0)±，所以0||113PQ OP a ≤≤+≤+=，故,P Q 的最大距离为3，D 错误.故选：AC.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱11A B 、11A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论正确的是（）A ．平面CMN 截正方体111ABCD ABCD -所得的截面图形是五边形B ．直线11B D 到平面CMN 的距离是17C ．存在点P ，使得1190B PD ∠=D ．1PDD △【正确答案】ABC【分析】作出截面图形判断A ；利用等积法可判断B ，利用坐标法可判断CD.【详解】对于A ，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于1M ，1N ，连接1C M ，1CN 分别交1BB ，1DD 于2M ，2N ，连接2MM ，2NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故A 正确；对于B ，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊂/平面CMN ，所以11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得3CM CN ==，2MN =22121723()22CMNS=-=所以11117173326B CMN CMN V S h h h -=⋅=⨯⨯=，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯=，所以由11--=B CMN C B MN V V ，可得21717h 所以直线11B D 到平面CMN 21717，故B 正确；对于C ，如图建立空间直角坐标系，则1(2B ，0，2)，1(0D ，2，2)，(2C ，2，0)，(1M ，0，2)，设PC MC λ=，01λ≤≤，所以(1PC MC λλ== ，2，2)-，又(2C ，2，0)，1(2B ，0，2)，1(0D ，2，2)，所以(2P λ-，22λ-，2)λ，1(PB λ= ，22λ-，22)λ-，1(2PD λ=-，2λ，22)λ-，假设存在点P ，使得1190B PD ∠=，∴211(2)2(22)(22)0⋅=-+-+-=PB PD λλλλλ，整理得291440λλ-+=，所以719λ=>（舍去）或λ故存在点P ，使得1190B PD ∠=，故C 正确；对于D ，由上知(2P λ-，22λ-，2)λ，所以点(2P λ-，22λ-，2)λ在1DD 的射影为(0，2，2)λ，所以点(2P λ-，22λ-，2)λ到1DD 的距离为：d ==，所以当2=5λ时，min 5d =，故1PDD △面积的最小值是122⨯D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．向量()()()2,0,5,3,1,2,1,4,0a b c ==-=- ，则68a b c +-=__________.【正确答案】()28,26,7--【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】68a b c +-=()()()()2,0,518,6,128,32,028,26,7+---=--.故()28,26,7--14．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【正确答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >，即函数()25log 23y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间是()1,+∞；故()1,+∞.15．已知12,F F 是双曲线2214x y -=的左、右焦点，双曲线上一点P 满足12||||6PF PF +=，则△12PF F 的面积是________．【正确答案】2【分析】假设P 在左支上，由双曲线定义及已知条件可得21||5,||1PF PF ==，再用余弦定理求12cos F PF ∠，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△12PF F 的面积.【详解】不妨假设P 在左支上，则21||||24PF PF a -==，又12||||6PF PF +=，所以21||5,||1PF PF ==，而21||2F F c ==，则12251203cos 105F PF +-∠==，所以12(0,2F PF π∠∈，故124sin 5F PF ∠=，综上，△12PF F 的面积是2121||||1sin 22F P F F F P P ⨯∠⨯=⨯.故2.16．在平面直角坐标系xOy 中有两定点A 、B ，且4AB =，动点P 满足(0)PA PB λλ⋅=＞，若点P 总不在以点B 为圆心，1为半径的圆内，则实数λ的最小值为_______．【正确答案】5【分析】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到点P 的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()()2020A B -，，，.设()P x y ，，则()2,PA x y =---，()2,PB x y =--，因为动点P 满足PA PB λ⋅=，即()(),,x y x y λ---⋅--=２２，则224x y λ-+=，即224x y λ+=+，又因为0λ>时，点P P 总不在以点B 为圆心，1为半径的圆内，即圆()2240x y λλ+=+>与圆22(2)1x y -+=相离或外切或内切或内含，如图，12≤12≥，解得3λ≤-（舍去）或5λ≥，所以实数λ的最小值为5．故5.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为d （1d >），前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且111a b ==，d q =，39S =，4528a a b +=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)21n a n =-，12n n b -=；(2)116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）通过公式求出公差、公比即可求出通项；（2）用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和．【详解】（1）11a =，31339S a d =+=，∴2d =，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-11b =，2q =，1112n n n b b q --==；（2）∴11211(21)22n n n n n a n c n b ---⎛⎫===-⨯ ⎪⎝⎭，∴2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111221112(21)3(23)12212m n n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，∴116(23)2n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数m 及中位数n （精确到小数点后．．．．．．．一位．．）；(2)现准备从成绩在(]130,150的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在(]140,150的概率．【正确答案】(1)m ＝103.2，104.2n =；(2)328.【分析】(1)根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可；(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在(]140,150的事件数量，由此即可求出概率.【详解】（1）该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：m ＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝103.2．因为成绩在[)60,100的频率为0.4，设中位数n ，则0.024(100)0.1n -=所以，104.2n =；（2）设成绩在[)130,140的5位同学位12345,,,,A A A A A ，成绩在[]140,150的3位同学为123,,B B B ．从中选出2位同学，基本事件为：1213141523242534354511121321,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B ，2223313233414243515253121323,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B ，共28个，而2位同学成绩恰在[]140,150内的事件有3个，所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在(]140,150的概率为328.19．a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--．(1)求cos A ；(2)若221,4b c a b c -==+，求ABC 的面积．【正确答案】(1)1cos 5A =(2)【分析】（1）由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到5sin cos sin A A A =，因为sin 0A >，所以1cos 5A =；（2）在第一问的基础上利用余弦定理得到245b c =-，结合1b c -=，求出6,5b c ==，再利用三角形面积公式求出答案.【详解】（1）因为5cos(π)cos(π)cos a A b C c B -=--，所以5cos cos cos a A b C c B -=--，即5cos cos cos a A b C c B =+，所以5sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即5sin cos sin()sin A A B C A =+=，又()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1cos 5A =；（2）由第一问可知1cos 5A =，则sin A ==由余弦定理得：2222222cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，因为224a b c =+，0b >，所以245b c =-，又1b c -=，解得6,5b c ==，所以ABC 的面积11sin 3022S bc A ==⨯=20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 在1CC 上，且122CE EC ==．(1)若平面1A BE 与11D C 相交于点F ，求1D F ；(2)求二面角1A BE A --的余弦值．【正确答案】(1)43【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，由相似知识求出1D F 的长度；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.【详解】（1）如图，连接1,A F EF ，因为1//A B 平面11CDD C ，平面1A BE Ç平面11CDD C EF =，所以1//A B EF ．连接1CD ，因为11//A B CD ，所以1//EF CD ，所以11112C F C ED F CE ==，又112C D =，所以1112433D F C D ==．（2）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,0,3),(2,2,0),(0,2,2)A A B E ，1(0,2,0),(2,0,2),(0,2,3)AB BE A B ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，则11120220m AB y m BE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，解得：10y =，令11x =，则11z =，故(1,0,1)m =．设平面1A BE 的法向量为()222,,x n y z =，则12222230220n A B y z n BE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令23y =，则222,2z x ==，故(2,3,2)n =．234cos ,17||||217m n m n m n ⋅〈〉===⨯．由图可知二面角1A BE A --为锐角，故二面角1A BE A --2341721．已知圆C ：()2211x y -+=，过点()0,2P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)当直线l 的斜率为-4时，求AOB 的面积；(2)若直线l 的斜率为k ，直线OA ，OB 的斜率为1k ，2k .①求k 的取值范围；②试判断12k k +的值是否与k 有关?若有关，求出12k k +与k 的关系式；若无关，请说明理由.【正确答案】(2)①3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；②无关，理由见解析【分析】(1)由题意可得直线l 的方程为42y x =-+，即可得圆心到直线l的距离d =AB =12AOBSAB d =⋅⋅求解即可；(2)①利用d r <求解即可；②设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程由韦达定理可得122421k x x k -+=-+，12241x x k =+，由121212y y k k x x +=+可得12k k +=1，即可得答案.【详解】（1）解：当直线l 的斜率为-4时，直线l 的方程为42y x =-+.因为圆心()1,0到直线l的距离d =所以17AB =，所以12AOB S AB d =⋅⋅=△（2）解：直线l 的方程为2y kx =+.①因为l 与圆C 相交，所以圆心()1,0到直线l的距离1d =，得34k <-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；②设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()22211y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2214240k x k x ++-+=，所以122421k x x k-+=-+，12241x x k =+.因为121212121212121222112222y y kx kx x xk k k k x x x x x x x x ⎛⎫++++=+=++=+⨯ ⎪⎝⎭，所以()212242122221141k k k k k k k k --++=+⨯=--=+，即12k k +为定值，与直线l 的斜率k 无关.22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为P 在椭圆C 上，且满足△12PF F 的周长为6．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点(1,0)-的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M ，使得MA MB ⋅恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=(2)存在，13511,,0648M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据椭圆的定义和性质计算得到答案.（2）联立方程，根据韦达定理的根与系数的关系，计算得到2222(485)312·43m m k m MA MB k +-+-=+ ，得到2248531243m m m +--=，解得答案，再验证斜率不存在时的情况即可.【详解】（1）由题意知：2222226b a c a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 方程为.22143x y +=（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,0)M m ，当直线斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，联立22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(43)84120k x k x k +++-=，则2122843k x x k -+=+，212241243-⋅=+k x x k ，又2212121212·(1)(1)(1)y y k x x k x x x x =++=+++222222241289(1)434343k k k k k k k --=-+=+++，而1212·()()MA MB x m x m y y =--+ 222222241289434343k k k m m k k k --=-⨯-++++22222241289(43)43k mk k m k k -+-++=+2222(485)31243m m k m k +-+-=+为定值．只需2248531243m m m +--=，解得：118m =-，从而135·64MA MB =- ．当k 不存在时，33(1,(1,)22A B ---，当118m =-时，9135·(1)(1)464MA MB m m =-----=- ，综上所述：存在11(,0)8M -，使得135·64MA MB =- ．本题考查了求椭圆方程及椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理求解是常考的方法，需要熟练掌握，将定值问题转化为比例关系是解题的关键.。

高二文科数学试卷(共4页)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上，用2B 铅笔将自己的考号填涂在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x =-≤≤，那么集合A B 等于（ * ）A ．{}|24x x -≤≤B ．{}|34x x ≤≤C ．{}|21x x -≤-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若函数()y f x =是函数(01)xy a a a =>≠且的反函数，且(4)2f =，则()f x =（ * ） A ．12log x B ． 2log x C ．4log x D ．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ * A ．63 B ．31 C ．27 D ．4. 在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A=（A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．到椭圆22184x y +=左焦点的距离与到定直线2x = 距离相等的动点轨迹方程是（ * ） A ．24y x = B ．24y x =- C ．28y x = D ．28y x =-6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是（ * ）A ．B ．C ．D ．7．已知等差数列{}n a 中15,652==a a ，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（ * ） A ．186 B ．90 C ．45 D ．30主视图左视图8. 使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件是 （ * ）A ． ),0(+∞∈mB ． (),10m ∈-∞C ．()0,10m ∈D ． {}1, 2m ∈9. 设,x y R ∈且满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ * ）A ．2B ．3C ．5D ．910．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为（ * ）A ．5B ．7C ．8D ．10第二部分 非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11. 命题“2,210x x x ∃∈-+<R ”的否定是：___***_____；12. 平面向量a 、b 的夹角为60︒，()2,0=a ，1=b ， 则2+=a b ___***_____；13. 已知圆C 的圆心为(01)，-，直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为___***_____；14. 已知双曲线的顶点．．与焦点．．分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点．．与顶点．．，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为___***_____ .三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分12分)已知函数()()233sincos cos sin 2cos 12222x x x xf x x x R =++-∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.16. (本小题满分12分)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件（Ⅰ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此比较两组技工的技术水平；（Ⅱ）质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．17．(本小题满分14分)已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角形，090BAC ∠=，且12AB AA ==，D E F 、、分别为11B A C C BC 、、的中点．（Ⅰ）求证：DE //平面ABC ； （Ⅱ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求三棱锥1E AB F -的体积.C 1A CA18. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为：)012222>>=+b a by a x （，其中24a c =，直线320l x y -=:与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆在x 轴上方的一个交点为P ，F 是椭圆的右焦点，试探究以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.19. （本小题满分14分）已知函数()f x 定义域为R 且同时满足： ①()f x 图像向左平移1个单位后所得函数为偶函数；②对于任意大于1的不等实数a b 、，总有()()0f a f b a b>--成立.（Ⅰ）()f x 的图像是否有对称轴？如果有，写出对称轴方程，并说明在区间(,1)-∞上()f x 的单调性； （Ⅱ）设11()()2g x f x x=+-，如果(0)1f =，判断()0g x =是否有负．实根并说明理由； （Ⅲ）如果120,0x x ><且1220x x ++<，比较1()f x -与2()f x -的大小并说明理由．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()2*24n n S n N +=-∈，函数()f x 对任意的x R ∈都有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足12(0)()()n b f f f n n=+++1()(1)n f f n-++. （Ⅰ）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n n c a b =，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，使不等式()29264n n k n n T nc -+>对于一切的*n N ∈恒成立？若存在请指出k 的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．2011学年度第一学期期末四校联考高二文科数学参考答案及评分标准(共4页)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．2,210x x x ∀∈-+≥R 12．13． 22(1)18x y ++= 14三、解答题：本大题共6小题，共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ）()233sin cos cos sin 2cos 12222x x x xf x x =++- 3sin cos 2sin 2cos 222x x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭ ……………………………… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………………………… 4分故()f x 的最小正周期T π= ……………………………… 6分（Ⅱ）由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ ……………………………… 8分解得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈ …………………………… 10分故函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………… 12分16. (本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ）依题意，7)109754(51=++++=甲x 1(56789)75x =++++=乙 ……………………………… 2分2.5526])710()79()77()75()74[(51222222==-+-+-+-+-=甲s ……… 3分2])79()78()77()76()75[(51222222=-+-+-+-+-=乙s …………… 4分因为乙甲x x =，22乙甲s s >所以，两组技工的总体水平相同，甲组技工的技术水平差异比乙组大 …………… 6分 （Ⅱ）记该车间“质量合格”为事件A ，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为：（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种 ………… 8分事件A 包含的基本事件为：（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种 ……………………………… 10分所以2517)(=A P ……………………………… 11分 答：该车间“质量合格”的概率为2517 (12)分17．(本小题满分14分)【解析】（Ⅰ）证明：方法一：G 取AB 中点，连结CG ， ∵D E 、分别为1B A 、1C C 的中点 ∴DG EC 且DG EC = DGCE ∴DE GC ∴ ……………………………… 2分 DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC DE ∴平面ABC ……………………………… 4分 方法二：G 1取BB 中点 ∵D E 、分别为1B A 、1C C 的中点∴DG AB 且GE BC ……………………………… 1分 DG ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC DG ∴平面ABCGE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABCGE ∴平面ABC GE DG G =∴平面DGE 平面ABC ……………………………… 3分∵DE ⊂平面DGE DE ∴平面ABC ……………… 4分(Ⅱ) ∵2AB== 90BAC ︒∠=∴BC = ∴在1B FE 中13B E =1B F EF = ∴22211B E B F EF =+即1B F FE ⊥……………………… 6分 又∵1.AF BC AF BB ⊥⊥ 1BB BC B =∴AF ⊥平面11BB C C ∴AF ⊥1B F ……………………8分 AF EF F = ∴1B F ⊥平面AFE …………………… 9分(Ⅲ) 方法一： ∵AF ⊥平面11BB C C ∴AF EF ⊥∵EF B F ⊥ 1AF B F F = ∴EF ⊥平面1B FA∴EF =1E AB F -的高 …………………… 11分AF ⊥面11BCB C ，AF EF ∴⊥111126322AB F S AF B F === ……………………… 12分111133133E ABF AB F V S EF -=== ……………………… 14分C1AA 1A 1方法二： 11E AB F B AEF V V --= ……………………… 10分1B F ⊥平面AFE ∴1B F 为三棱锥1B AEF -的高 ………………… 11分 AF ⊥面11BCB C AF EF ∴⊥11623222AEFSAF EF === ……………………………… 12分 11111661332E ABF B AEF AEF V V S B F --==== ………………………… 14分方法三： 11E AB F A B EF V V --= ……………………… 10分AF ⊥面11BCB C AF ∴为三棱锥1A B EF -的高 …………………… 11分 1B F ⊥平面AFE 1B F EF ∴⊥11113263222B EFSB F EF === ………………………… 12分 111113221332E AB FA B EF B EF V V S AF --==== ………………………… 14分18. （本小题满分14分）【解析】 (Ⅰ)方法一：设椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，直线023=-y x 与椭圆的一个交点坐标是)23,ccM （， (2)分 根据椭圆的定义得：12||||2MF MF a +=，2a +=，即42c a =， ………………… 4分 又42=ca ，222cb a +=，联立三式解得1,3,2===c b a …………………… 6分 所以椭圆的方程为：13422=+y x ……………………………… 7分 方法二：设椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，直线023=-y x 与椭圆的一个交点坐标是)23,cc M （，……………… 2分将点)23,c c M （坐标代入椭圆的方程得22294144c cc c c +=-化简整理得217160c c -+= ………………………… 4分 解得1c =或16c=244a c == 2a ∴=或8a =（此时a c <，舍去）2,1a b c ∴=== ………………………… 6分所以椭圆的方程为：13422=+y x ………………………… 7分 (Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为)23,1(P ，)0,1(F则以PF 为直径的圆方程是2239(1)()416x y -+-=，圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛431，，半径为43 …… 9分以椭圆长轴为直径的圆的方程是422=+y x ，圆心是()0,0，半径是2 ………… 11分两圆心距为43-24543122==⎪⎭⎫⎝⎛+，所以两圆内切. …………………………… 14分19、(本小题满分14分) 【解析】(Ⅰ)由条件①得)(x f 的图像关于直线1=x 对称 ……………………… 2分由条件②得1>>b a 时，)()(b f a f >恒成立，1>>a b 时，)()(a f b f >恒成立， ∴)(x f 在),1(+∞上单调递增 …………………………… 4分 又 )(x f 的图像关于直线1=x 对称，∴)(x f 在)1,(-∞上单调递减 ……… 5分 （Ⅱ）方法一：若0)(=x g 有负根0x ，则021)(1)(000=-+=x x f x g ， ∴2)(00-=x x f…………………………… 6分()01f =，)(x f 在)1,(-∞上单调递减 ∴1)(0>x f……………… 8分 021x ->，∴30>x 与00<x 矛盾 故0)(=x g 无负实根 ………… 10分方法二：若0)(=x g 有负根0x ，则021)(1)(000=-+=x x f x g ∴2)(00-=x x f…………………………… 6分1)0(=f ， )(x f 在)1,(-∞上单调递减 结合图像如右图所示………………………… 8分知()y f x =与2y x =-的图象在y 轴左侧无交点，故0)(=x g 无负实根 ……… 10分 （Ⅲ）解：点))(,(11x f x --与点))2(,2(11x f x ++为)(x f 上关于直线1=x 对称的两点…………………………… 11分 1220x x ++<，∴2122x x -<+< …………………………… 12分 又 )(x f 在),1(+∞上单调递增，∴)()2()(112x f x f x f -=+>- …… 14分20．（本小题满分14分） 【解析】（Ⅰ） 12111,244n a S +===-= …………………………… 1分()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈ ……………………………2分 ∵()(1)f x f x +-=1∴11()()1n f f n n-+= ……………………………3分∵12(0)()()n b f f f n n=+++1()(1)n f f n -++ ①∴12(1)()()n n n b f f f n n--=+++(1)(0)f f ++ ②∴①+②，得1212n n n b n b +=+∴= …………………………… 5分（Ⅱ）∵n n n c a b =，∴()12nn c n =+ ………………………………6分∴()12322324212nn T n =+++++， ①()23412223242212n n n T n n +=++++++， ②①－②得()231422212n n n T n +-=++++-+ …………………………8分即12n n T n +=………………………… 9分 要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，()29260n n n T -+>恒成立()24926n nnc k n n T ∴>-+对于一切的n N *∈恒成立， 即()221926n k n n +>-+ ……………………………… 11分 令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则 ()()()()()())()22122361111361111111n g n n n n n n +==≤=+-+++-+-++ 当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n = 分 所以2k >为所求. ……………………………… 14分。

2022-2023学年广东省广州市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}{}3,2,1,0,1,13,Z A B x x n n =---==-∈，则A B = （）A ．{}3,1--B ．{}2,1-C ．{}3,1,1--D ．{}2,0-【正确答案】B【分析】先利用整数集Z 的概念与列举法得到集合B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}3,2,1,0,1,13,Z ,5,2,1,4,A B x x n n =---==-∈=-- ，所以{}2,1A B ⋂=-.故选：B.2．下列各代数式中，最小值为2的是（）A ．1x x+B ．221x x +C 2D ．142x x+-【正确答案】B【分析】对选项逐个用基本不等式处理，但是要满足基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.【详解】对于A 不能保证0x >，故A 错误；对于B 由基本不等式得2212x x +≥=（当且仅当221x x =即1x =±时取""=），故B 正确；对于C 22=≥=≠，所以无法取得最小值，故C 错误；对于D 不能保证0x >，故D 错误.故选：B3．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.4．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】分别求出,,a b c 的范围，再比较大小.【详解】根据对数换底公式可知，1555log 3log 3log 51a ==->-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<.故选：D5．若()0,πa ∈，22sin cos 5a a +=，则tan a =（）A ．35-B ．45-C ．34-D ．14-【正确答案】C【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出4cos 5α=-，3sin 5α=，然后再利用商的关系即可求解.【详解】因为22sin cos 5a a +=，所以22sin cos 5a a =-，又因为22sin cos 1αα+=，所以221cos (cos 152αα-+=，解得：4cos 5α=-或24cos 25α=，则3sin 5α=或7sin 25α=-，因为()0,πa ∈，所以4cos 5α=-，3sin 5α=，则3tan 4α=-，故选.C6．若样本数据122018,,,x x x 的标准差为3，则数据12201841,41,,41x x x --- 的方差为（）A ．11B ．12C ．143D ．144【正确答案】D【分析】根据数据方差公式()()2D aX b a D X +=求解即可.【详解】因为样本数据122018,,, x x x 的标准差为3，所以方差为9，所以数据12201841,41,,41--- x x x 的方差为249144⨯=.故选：D.7．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()23P A a =-，()122P B a =-，则实数a 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于,A B 互斥，且,A B 发生的概率均不为0，所以0231102121023212a a a a ⎧⎪<-<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<-+-≤⎪⎩，解得1223a ≤<，所以a 的取值范围是12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D8．等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 与n T ，且(32)(21)n n n T n S +=+，则537b b a +=（）A ．3041B ．3043C ．1823D ．1846【正确答案】A【分析】根据等差数列前n 项和的特点，由已知设出,n n S T ，分别求出其通项公式,n n a b ，代入537b b a +计算可得答案.【详解】设等差数列{}n a ，{}n b 的首项和公差分别为1112,,,a d b d ，则120,0d d ≠≠，因为(32)(21)n n n T n S +=+，由等差数列前n 项和的特点，故可设(32),(21)n n S An n T An n =+=+，其中A 为非零常数，由2(32)32n S An n An An =+=+，当1n =时，115a S A ==，当2n ≥时，()()()2213231216n n n a S S An An A n A n An A -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，当1n =时上式仍旧适合，故6n a An A =-，同理可得，当(21)n T An n =+时，4n b An A =-，所以53720123030424141b b A A A A A a A A A +-+-===-.故选：A.二、多选题9．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，且,,,,22ED AD ED CD FB AB FB BC AB ED FB ⊥⊥⊥⊥===，则（）A ．三棱锥F ABC -的体积为23B ．EM ⊥平面AFC C ．三棱锥F ACE -的体积为2D ．EF ⊥平面AFC【正确答案】ABC【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式直接计算即可判断A ；利用空间向量证明空间中的位置关系即可判断BD ；利用空间向量法求出平面ACE 的法向量，进而求出点F 到平面ACE 的距离，结合三棱锥的体积公式计算即可判断C.【详解】由,,,BF AB BF BC AB BC B AB BC ⊥⊥=⊂ 、平面ABC ，得BF ⊥平面ABC ，由题意知，,,DA DC DA DE DC DE ⊥⊥⊥，建立如图空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1),(1,1,0)D A C E F M ，得(2,2,0),(2,0,2),(0,2,1),(1,1,2)AC AE AF EM =-=-==- ，(2,2,1),(2,0,1)EF FC =-=-- ，对A ：11122213323F ABC ABC V S BF -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故A 正确；对B ：由0,0EM AF EM FC ⋅=⋅=，得,EM AF EM FC ⊥⊥，又,AF FC F AF FC =⊂ 、平面AFC ，所以EM ⊥平面AFC ，故B 正确；对C：由AC AE CE ===1602ACE S ︒=⨯= .设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220220n AC x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得1,1y z ==，所以(1,1,1)n = ，故点F 到平面ACE的距离为AF nd n⋅=所以11233F ACE ACE V S d -=⋅=⨯= ，故C 正确；对D ：由3,0,3EF AF EF AC EF FC ⋅=⋅=⋅=-，得EF ⊥平面AFC 不成立，故D 错误.故选：ABC.10．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（）A ．12,PF m a PF m a=+=-B ．若60θ=︒，则2221314e e +=C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ，C ；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D 作答.【详解】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+-++--+-==+--，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ-+-----====--+-++，22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ--=-==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ--=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确.故选：ACD 三、填空题11．若复数z 满足i i z z +=⋅（i 为虚数单位），则z =__________．【正确答案】2【分析】根据复数的除法运算求出z ，再求模即可得解.【详解】∵i i z z +=⋅，∴()1i i z -=-，即()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -+-===---+，∴z =故2．12．若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【正确答案】4【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ===，故4.13．把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【正确答案】12##0.5【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到()f x 的解析式，再计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭即可.【详解】由题可知，要得到()f x ，需将()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，向左平移π3个单位长度，得到πππsin sin 3412y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()1πsin 212f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以1πs 2i 1n πππsin 212666f ⎛⎫⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭.故答案为.1214．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点M 在直线x c =上运动，若12A MA ∠的最大值为60 ，则双曲线C 的离心率为__________.【正确答案】233##233【分析】根据题意结合两角差的正切公式整理可得12222tan ac a m A mMA ∠=-+，利用基本不等式求其最大值，即可得223a c a=-，运算求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F ，MF m =，则12212,tan tan MA A MA MF MF m mF A F c a A F c a∠∠====+-，由题意可得：()21212212212tan tan tan tan 1tan tan MA MA A A MA MA MA A MA M F A F A F ∠∠∠∠∠∠∠-==+-22222221m mam ac a c a m m c a m c a m c a c a m--+===-+-+⨯+-+，∵22222222c a c a m m c a m m--+≥⨯=-，当且仅当22c a m m -=，即22m c a b =-=时等号成立，∴1222n 3ta A MA a c a∠≤=-，整理可得：2243a c =，故22243c e a ==，即233e =.故答案为.233四、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos sin C cB b=.(1)求角C 的大小；(2)点D 为边AC 的中点，2BD =，设,BC x CD y ==，求BCD △面积的最大值.【正确答案】(1)π3C =3【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan 3C =，从而求得角C ；（2）利用余弦定理与基本不等式求得4xy ≤，从而利用三角形面积公式即可求得BCD △面积的最大值.【详解】（13cos sin C cB b=，所以由正弦定理得3cos sin sin sin C CB B =3cos sin C C =，故tan 3C =，又0πC <<，所以π3C =.（2）在BCD △中，,,2BC x CD y BD ===，所以由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅，即224x y xy =+-，又2242x y xy xy xy xy =+-≥-=，当且仅当2x y ==时，等号成立，则4xy ≤，所以13sin 324BCD S xy C xy =⋅ 2x y ==，故BCD △316．已知数列{}n a 满足{}131152，，n n a a a a +==-是公差为1的等差数列.(1)证明：{}n a n +是等比数列；(2)求{}n a 的前n 项和n S .【正确答案】(1)答案见解析(2)21422n n n n S +++=-，N n *∈.【分析】对于（1），证明11n n a n a n+++=+常数即可；对于（2），由（1）可知2nn a n =-，后可求得n S .【详解】（1）根据题意有2132212a a a a -+=-，即2222152,2a a a -+=-=，所以()1212211n n a a a a n n +-=-+-=-，故()112n n a n a n +++=+，所以{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，()11122n n n a n a -+=+⨯=，所以2nn a n =-，所以()()222212n n n S =+++-+++ ()1212212n n n +-=⋅--.()2111422222n n n n n n +++++=--=-，其中N n *∈.17．四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PA AB =，平面PAB ⊥平面PBC .(1)证明：AB ⊥BC ；(2)设M 为PC 上的点，求PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直证明出线面垂直，得到AE ⊥BC ，结合PA ⊥BC ，得到线面垂直，证明出BC ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值的最大值.【详解】（1）如图，过点A 作AE ⊥PB 于点E ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为PB ，且AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥BC ，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为PA AE A = ，,PA AE ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，因为AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AB；（2）因为底面ABCD 是菱形，且BC ⊥AB ，所以四边形ABCD 为正方形，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB =1，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1A B C P ，()()1,0,0,1,1,1AB CP ==-- ，设CM CP λ= ，01λ≤≤，则()()()1,1,01,1,11,1,AM AC CM AC CP λλλλλ=+=+=+--=-- ，设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()()(),,1,0,00,,1,1,110n AB x y z x n AM x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩，解得：0x =，不妨令y λ=，则1z λ=-，故()0,,1n λλ=- ，设PC 与平面ABM 所成角大小为θ，则sin cos ,CP n n CP n θ⋅===⋅，=当12λ=时，sinθ=sin 3θ=，所以PC 与平面ABM 所成角的正弦值的最大值为3.18．已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切且与圆C ：222x y x +=外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹E 方程；(2)过圆心C 作直线l 与轨迹E 和圆C 交于四个点，自上而下依次为,,,A M N B ，若AM MN NB ，，成等差数列，求直线l 的方程；【正确答案】(1)24(0)y x x =>(2)y =或y =+【分析】（1）根据相切和外切得到圆心P 到直线=1x -的距离等于圆心到()1,0C 的距离，轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）确定2MN =得到6AB =，设出直线，联立方程，得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，圆C ：()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径为1，则1PC r =+，又圆心P 到y 轴的距离为r ，则圆心P 到直线=1x -的距离为1r +，由抛物线的定义得圆心P 的轨迹E 方程为抛物线，且12p =，2p =，故轨迹方程为：24(0)y x x =>（2）由圆C 的半径为1可得2MN =，AM MN NB ，，成等差数列，故24AM NB MN +==，又AM NB AB MN +=-，6AB =，设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立214x my y x =+⎧⎨=⎩，2440y my --=，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，6AB ===，解得212m =，2m =±，此时0∆>成立，所以直线l的方程为1x y =+，即y =y =。

上学期高二数学期末模拟试题01一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题选项中只有一项符合题意要求。

1．下面四个条件中,使a b >成立的充分不必要条件为（ )A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >2．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ）A ．(－3，4)B ．(－3，－4）C ．（0，－3）D ．（－3,2）3．不等式错误!>1的解集是( ）A ．｛x|x<－2}B ．｛x ｜－2〈x<1}C ．{x|x<1}D ．｛x|x ∈R}4．设M ＝2a （a －2）＋3,N ＝（a －1）（a －3)，a ∈R,则有（ ）A ．M 〉NB ．M ≥NC ．M 〈ND ．M ≤N5. 若双曲线()013222>=-a y ax 的离心率为2，则a 等于（ ） A. 2 B 。

3 C. 23 D 。

1 6．设a ＞0，b ＞0，若3是a 3与b 3的等比中项，则错误!＋错误!的最小值为( ）A ．8B ．4C ．1 D.错误!7。

已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，则椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A 。

32B 。

6 C. 34 D. 128. 双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是(0,3），那么k 的值是（ ）9．在△ABC 中,a ＝15，b ＝10，A ＝60°,则cosB ＝( )A ．－错误! B.错误! C ．－错误!D 。

错误! 10。

若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（ ） A ．a =﹣8 b =﹣10B ．a =﹣4 b =﹣9C ．a =﹣1 b =9D ．a =﹣1 b =211．已知1F 、2F 为双曲线C ：14x 22=-y 的左、右焦点，点P 在C 上,∠21PF F =060，则P 到x A ．55 B ． 155 C ． 2155 D ． 152012。

白云中学2022学年度上学期期末测试2023.1.9高二数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在选择题答题卡上；3．第Ⅰ卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹的钢笔或签字笔按各题要求答在答卷相应位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ） 120︒A. B.C. 0D. 11-【答案】A 【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果. 【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为. 故选：A.2. 已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（ ） 224240x y x y +-+-=A. ，3 B. ，3 C. ，3D. ，9()2,1-()2,1-()2,1--()2,1-【答案】A 【解析】【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】变形为，224240x y x y +-+-=()()22219x y -++=故圆心为，半径为3. ()2,1-故选：A3. 已知为等差数列，，则（ ） {}n a 54a =46a a +=A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】由等差数列性质，，求出式子的值. 4652a a a +=【详解】因为是等差数列，所以. {}n a 4652248a a a +==⨯=故选：C.4. 已知直线，若，则实数的值为（ ） 12:320,:310l x y l x ay -+=--=12l l ⊥a A. 1 B.C. D.1212-1-【答案】D 【解析】【分析】对进行分类讨论，代入求解即可. a 121k k =-g【详解】当时，直线的斜率， 0a =1:320l x y -+=113k =直线的斜率不存在，此时两条直线不垂直； 2:310l x ay --=当时，直线的斜率， 0a ≠1:320l x y -+=113k =直线的斜率， 2:310l x ay --=23k a=因为，所以， 12l l ⊥121k k =-g所以，解得：. 13113a a⨯==-1a =-故选：D.5. 已知圆与圆的位置关系是（ ）221:4470C x y x y ++-+=()()222:2516C x y -+-=A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切【答案】B 【解析】【分析】先将圆转化成标准形式，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，然后利用圆与圆的位置关系1C 进行判断即可【详解】根据题意，圆 ， 即 ，其圆心为 221:4470C x y x y ++-+=22(2)(2)1x y ++-=()2,2- ， 半径 ，1R =圆 ，其圆心为 ，半径，222:(2)(5)16C x y -+-=(2,5)4r =两圆的圆心距 ，有 ，则两圆外切， 125C C ==12C C R r =+故选：B.6. 四棱锥中，设，，，.则（ ）P ABCD -BA a = BC b =BP c =13PE PD = BE =A.B.112333a b c ++ 211323a b c +-C.D.112333a cb +- 212323a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量基本定理，先表示出，可得，进而根据PD a b c =+-111333PE a b c =+- ，即可得出结果.BE BP PE =+【详解】，PD PB BA AD BA BC BP a b c =++=+-=+-所以.11113333PE PD a b c ==+- 所以.111112333333B a c E BP P b c a b c E ++-=+=+=+ 故选：A.7. 已知，是异面直线，，，，，且，，则与a b ,A B a ∈,C D b ∈AC b ⊥BD b ⊥2AB =1CD =a b 所成的角是（ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案 AB CD ⋅cos =AB CD AB CDθ⋅【详解】设 ，,AB CD θ=由，可得：，， AC b ⊥BD b ⊥AC CD ⊥BD CD ⊥故可得：，，0AC CD ⋅= 0BD CD ⋅=，22()1AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD ⋅=++⋅=⋅++⋅== 又 ， ，1cos =2AB CD AB CD θ⋅∴= [0,180]θ︒︒∈=60θ︒∴故与所成的角是. a b 60 故选：C.8. 设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则1F 2F C 2213y x -=O P C 2OP =的面积为（ ）12PF F △A.B. 3C.D. 21252【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以()120F -，()220F ，12122OP F F ==P 12F F 为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.126PF PF =【详解】由已知，不妨设，，因为， ()120F -，()220F ，12122OP F F ==所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形， P 12F F 12F F P P 故，即，又，2221212PF PF F F +=221216PF PF +=1222PF PF a -==所以，2221212121242162PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-解得，所以， 126PF PF =1212132F F P S PF PF ==△故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列命题中，正确的命题有（ ）A. 是，共线的充要条件a b a b +=- a bB. 若，则存在唯一的实数，使得//a b λa b λ= C. 对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B C 四点共面D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c {},2,3a b b c c a +++【答案】CD 【解析】【分析】对A ，向量、同向时不成立；a ba b a b +=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a ba b a b +≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+1324PB PA PC =+ 若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC ,,PA PC PBA B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b c a b c假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++ 所以 ，无解，故，，不共面， 13102yx x y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b + 2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a +++ 故选： CD ．10. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A. 若数列的前项和（为常数）则数列为等差数列 {}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a B. 若数列的前项和，则数列为等差数列{}n a n 122n n S +=-{}n a C. 数列是等差数列，为前项和，则仍为等差数列 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯D. 数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合等差数列、等比数列通项公式和前项和的性质，逐项判定，即可求解. n 【详解】根据题意，结合等差数列、等比数列的性质依次分析：对于A 中，若数列的前项和，{}n a n 2n S an bn c =++当时，由等差数列的性质，可得数列为等差数列； 0c ={}n a 当时，则数列从第二项其为等差数列，所以A 不正确；0c ≠{}n a 对于B 中，若数列的前项和，{}n a n 122n n S +=-可得，则成等比数列，112213322,4,8a S a S S a S S ===-==-=123,,a a a则数列不是等差数列，所以B 不正确；{}n a 对于C 中，数列是等差数列，为前项和，则 {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯即为 ，1212221223,,,n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++ 可得（常数），仍为等差数列，所以C 正确；22322n n n n n n S S S S S S n d --=--== 对于D 中，数列是等比数列，为前项和，{}n a n S n 当时，若为偶数时，均为，不是等比数列， 1q =-n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯0所以是等比数列，为前项和，则不一定为等比数列． {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S --⋯故选：ABD.11. 下列选项正确的有（ ）A.表示过点，且斜率为2的直线 02-=-x x y y ()00,P x y B. 是直线的一个方向向量()2,1a =240x y --=C. 以，为直径的圆的方程为 ()4,1A ()1,2B -()()()()41120--+-+=x x y y D. 直线恒过点 ()()()121140R m x m y m m ++---=∈()2,1【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线和圆的性质，逐个判断每个选项. 【详解】A 选项：方程，，点不在直线上，A 选项错误； 02-=-x x y y 0y y ≠()00,P x y B 选项：因为直线的斜率为， 所以是直线的一个方向向量，B 240x y --=12(2,1)a =240x y --=选项正确；C 选项：设是所求圆上任意一点，则 ， ()M x y ，AM BM ⊥因为，，()41AM x y =-- ，()12BM x y =-+，所以 ，()(4)(1)(1)20AM BM x x y y ⋅=--+-+=即所求圆的方程为，C 选项正确； ()(4)(1)(1)20x x y y --+-+=D 选项：直线方程化为， ())R (2410m x y x y m +-+--=∈由 ， 解得 ，所以直线恒过定点，D 选项正确. 24010x y x y +-=⎧⎨--=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1故选：BCD12. 已知曲线C 的方程为，则（ ）()221R 13x y m m m+=∈+-A. 当时，曲线C 为圆1m =B. 当时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为 5m=y x =C. 当时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆 1m >D. 不存在实数m 使得曲线C【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的方程，利用选项中的条件计算判断A ，B ，C ；否定结论，导出矛盾判断D 作答.【详解】在曲线C 的方程中，且，()221R 13x y m m m+=∈+-1m ≠-3m ≠对于A ，当时，曲线C 的方程为，曲线C为半径的圆，A 正确；1m =222x y +=对于B ，当时，曲线C 的方程为，曲线C 是双曲线，其渐近线方程为，B5m =22162x y -=y =正确；对于C ，由选项B 知，当时，曲线C ：是双曲线，C 不正确；51m =>22162x y -=对于D ，假定存在实数m 使得曲线C ， 则有，且，显然无解，(1)(3)0m m +-<|1||3|m m +=-所以不存在实数m 使得曲线C ，D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点是点在坐标平面内的射影，则____________．M ()3,4,5A Oyz OM =【解析】【分析】根据射影坐标的特征可得点坐标，由向量模长坐标运算可求得结果.M 【详解】由题意知：，，. ()0,4,5M ()0,4,5OM ∴=OM ∴== .14. 已知在数列中，，，则等于____________． {}n a 11a =11112n n a a +=+10a 【答案】211【解析】【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12得解．【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等11112n n a a +=+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12差数列， 则，故，所以．()1111111222n n n a a =+-⨯=+101111110222a =⨯+=10211a =故答案为：． 21115. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则__________． F 2:4C y x =()03,P y C PF =【答案】 4【解析】【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线，所以, 2:4C y x =12p=因为是抛物线的焦点，点在抛物线上， F 2:4C y x =()03,P y C 由抛物线的定义可得：. 33142pPF =+=+=故答案为：.416. 直线与双曲线：（，）的一条渐近线平行，过抛物线：的焦lE 22221x y a b-=0a >0b >l C 24y x=点，交于，两点，若，则的离心率为______. C A B 5AB =E 【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率，再利用l ba即可求出双曲线的离心率. c e a ====【详解】∵抛物线的方程为：，∴的焦点为，C 24y x =C ()1,0F ∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴直线的斜率存在， l E l 设直线的斜率为，则直线的方程为：，l k l ()1y k x =-由，消去，化简得（），()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩y ()2222240k x k x k -++=Δ0>设，，，到抛物线准线的距离分别为，，()11,A x y ()22,B x y A B A d B d 则，，，， 212224k x x k++=121=x x 1112A p d x x =+=+2212B p d x x =+=+由抛物线的定义，，解得， 212224225A B k AB AF BF d d x x k+=+=+=++=+=2k =±又∵双曲线：（，）渐近线方程为，E 22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴， l E 2ba=∴双曲线的离心率为. c e a ======.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知直线l ：与x 轴的交点为A ，圆O ：经过点A ．240x y -+=()2220x y r r +=>（1）求r 的值；（2）若点B 为圆O 上一点，且直线垂直于直线l ，求弦长． AB ||AB【答案】（1）2； （2. 【解析】【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；()2,0A -O （2）根据直线垂直于直线l ，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定AB AB AB 理即可求解. 【小问1详解】在中，令，得，故. 240x y -+=0y =2x =-()2,0A -因为圆O ：经过点A ，所以，解得.()2220x y r r +=>()()222200r r -+=>2r =【小问2详解】直线l 的斜率为2，因为直线垂直于直线l ，所以直线的斜率为. AB AB 12-所以直线的方程为，即. AB ()1022y x -=-+220x y ++=圆心到直线， O AB =所以. AB ==18. 在等比数列{}中，． n a 122554a a a +==（1）求{}的通项公式； n a （2）求数列{}的前n 项和S n ． 3214n a n +-【答案】（1）； 114n n a -=（2）. 2114n n -+【解析】【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式； 11a =214a =（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求S n ． 33212144n n a n n +-=+-【小问1详解】由题设，，则的公比， 11a =214a ={}n a 2114a q a ==所以. 114n n a -=【小问2详解】 由（1）知：， 33212144n n a n n +-=+-所以.211(1)111(1)443(...)2(12...)321444214n n n n n S n n n -+=⨯++++⨯+++-=⨯+⨯--2114n n =-+19. 如图，在正三棱柱中，点为的中点，．111ABC A BC -D 1AB 1AA ==（1）证明：平面；BC ∥1AC D （2）求直线到平面的距离．BC 1AC D 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】(1)根据线面平行判定定理证明即可.(2)把到平面的距离转化为到平面的距离,应用空间向量法求解即可.BC 1AC D C 1AC D 【小问1详解】连接交于点，点为的中点,点为的中点1AC 1AC E E 1AC D 1A B∵是的中位线，DE 1A BC ∴，平面,平面.BC DE ∥BC ⊄1AC D DE ⊂1AC D ∴平面．BC ∥1AC D 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系由（1）得，直线到平面的距离即为点C 到平面的距离d ，BC 1AC D 1AC D因为，，，， ()0,1,0A -()0,1,0C 12D -(10,1,C 所以， ()0,2,0AC = 且，，(10,2,AC =12AD = 设平面的法向量为， 1AC D (),,n x y z =r 由于可得，100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧+=⎪++=故取，()1n =-得，AC n d n ⋅== 因此直线到平面． BC 1AC D 20. 已知数列中，，且满足.{}n a 18a =1523n n n a a +=-⋅（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； {}3n n a -{}n a （2）若，求数列的前项和.()3n n n b n a =-{}n b n n S 【答案】（1）证明见解析；35n n n a =+（2） ()1541516n n n S ++-⨯=【解析】【分析】（1）等号两边同时减去，用定义即可证明；13n +（2）用错位相减法即可求解.【小问1详解】，1523n n n a a +=-⋅∴()11355353n n n n n n a a a ++-=-⋅=-数列是以为首项，以5为公比的等比数列.∴{}3n n a -1135a -=，∴13555n n n n a --=⨯= ∴35n n n a =+【小问2详解】35n n n a =+，∴()35n n n n b n a n =-=⨯ ∴123n n S b b b b =++++ 即①，1231525355nn S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ②， ∴234151525355n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 由①②得：-，12314151515155n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯ ， ()15154515n n n S n +--=-⨯-化简得：. ()1541516n n n S ++-⨯=21. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折PAC △ABC AC PAC △ABC AC 叠使得平面平面，为斜边的中点.PAC ⊥ABC M AB（1）求证：.AC PM ⊥（2）求与平面所成角的正弦值.PC PAB （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，PB N CNM ⊥PAB PN PB 说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2； （3）存在，. 13PN PB =【解析】 【分析】（1）取中点，连接，可由线面垂直证明线线垂直得证；AC D ,MD PD （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【小问1详解】取中点，连接，如图，AC D ,MD PD又为的中点，M AB ，由，则，//MD BC ∴AC BC ⊥MD AC ⊥又为等腰直角三角形，，,PAC △PA PC ⊥PA PC =，又，平面，PD AC ∴⊥MD PD D ⋂=,MD PD ⊂PMD 平面，又平面，AC ∴⊥PMD PM ⊂PMD.M AC P ∴⊥【小问2详解】由（1）知，，又平面平面，是交线，平面， PD AC ⊥PAC ⊥ABC AC PD ⊂PAC 所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x 、y 、z 轴正PD ⊥ABC ,,PD AC DM D ,,DA DM DP 方向建立空间直角坐标系，如图，设，则， 2AC =(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，，，(1,0,1)CP ∴= (1,0,1)AP =- (1,2,1)BP =- 设为平面的一个法向量，(,,)n x y z = PAB 则，令，即， 020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(1,1,1)n = 设与平面所成角为， PC PAB θ，sin cos ,CP n CP n CP nθ⋅∴==== 即与平面. PC PAB 【小问3详解】若存在N 使得平面平面，且，， CNM ⊥PAB PN PBλ=01λ≤≤则，解得 ，又， (1,2,1)PN PB λλ→→==--(,2,1)N λλλ--(0,1,0)M 则，，(1,2,1)CN λλλ=-- (1,1,0)CM = 设是平面CNM 的一个法向量，(,,)m a b c = 则，令b =l ，则， (1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 13(1,1,)1m λλ-=-- ，解得， 131101m n λλ-∴⋅=-++=- 13λ=故存在N 使得平面平面，此时. CNM ⊥PAB 13PN PB =22. 已知圆：，圆：，一动圆与圆和圆同时内切. 1F 2240x y x ++=2F 224120x y x +--=1F 2F （1）求动圆圆心的轨迹方程；M （2）设点的轨迹为曲线，两互相垂直的直线，相交于点，交曲线于，两点，交M C 1l 2l 2F 1l C M N 2l 圆于，两点，求与的面积之和的取值范围.1F P Q PQM PQN V 【答案】（1） 2213y x -=（2）[12,)+∞【解析】【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算、，从而求得面积的表达式，再求范围即可.||MN ||PQ 【小问1详解】由：，得，可知，其半径为， 1F 2240x y x ++=22(2)4x y ++=1(2,0)F -2由：，得，可知，其半径为. 2F 224120x y x +--=22(2)16x y -+=2(2,0)F 4设动圆半径为，动圆圆心到的距离为，到的距离为，则有r 1F n 2F m 或，即，得， 224n r n m m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩224n r m n m r +=⎧⇒-=⎨+=⎩||22n m a -==1a =又，21||422a F F c ==>所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，由，可得，M 1F 2F 222c a b =+23b =所以动圆圆心的轨迹方程为； M 2213y x -=【小问2详解】①当直线的斜率存在时，由题意，，设：，与双曲线联立1l 0k ≠1l 2y kx k =-， 2222222(3)443013y kx k k x k x k y x =-⎧⎪⇒-+--=⎨-=⎪⎩由于其于双曲线有两个不同的交点，所以，得且， 2422230Δ164(3)(4+3)=36+360k k k k k ⎧-≠⎨=+->⎩23k ≠20k ≠且，226(1)||3k MN k +==-设：，即， 2l 12y x k k=-+20x ky +-=设圆到直线的距离为，则，1F 2ld d ==因为交圆于，两点，故，得.2l 1F P Q 2d <23k >且，||PQ ==由题意可知，MN PQ ⊥所以12PQM PQN S S PQ MN +=⨯⨯== 因为，可得.23k >12PQM PQN S S +>V V ②当直线的斜率不存在时，，，1l ||4PQ =||6MN =所以， 146122PQM PQN S S +=⨯⨯=V V 综上. 12PQM PQN S S +≥V V。

广东省广州市天河区2022-2023学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线l：30x +=的倾斜角θ为（ ）A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π【答案】D【解析】30x ++=的倾斜角θ满足tan k θ==，故56πθ=.故选：D.2. 数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（ ）A. (1)32n n -+B. 1(1)23n n --+C. (1)23n n -+D. 1(1)32n n --+【答案】C【解析】数列的分母5,7,9,形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为()51223n n +-⨯=+，所以()123nna n -=+. 故选：C.3. 若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为52的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A. 52 B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】由题意可得：抛物线22(0)y px p =>开口向右， 焦点坐标为(,0)2p ，准线方程为：2p x =-，因为抛物线上横坐标为52的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得： 55()52222p p --=+=，解之可得：5p =，故选：D .4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c =，若点P 满足1149A P AC =，则AP 等于（ ）A. 445999a b c++B. 544999a b c++C. 445999a b c-++ D. 544999a b c -- 【答案】A 【解析】∵1111ABCD A B C D -是平行六面体，∴111111AC A D A B A A b a c =++=+-， 114445()9999AP AA A P c b a c a b c=+=++-=++，故选：A ．5. 圆C 1：2240x y +-=与圆C 2：2244120x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切【答案】C 【解析】1C 标准方程是224x y +=，圆心为1(0,0)C ，半径为2r =， 2C 标准方程22(2)(220x y -++=），圆心2(2,2)C -，半径R =12C C =，022<<<，因此两圆相交，故选：C ．6. 若动点P 在直线1y x =+上，动点Q 在曲线22x y =-上，则|PQ |的最小值为（ ）A. 14B. 4C. D. 18【答案】B【解析】设与直线1y x =+平行的直线l 的方程为y x m =+，∴当直线l 与曲线22x y =-相切，且点Q 为切点时，P ，Q 两点间的距离最小，设切点()00,Q x y ，22x y =-，所以212y x =-，y x ∴'=-，0011x x ∴-=⇒=-，012y ∴=-， ∴点11,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为12y x =+， ,P Q ∴两点间距离的最小值为平行线12y x =+和1y x =+间的距离，,P Q ∴=. 故选：B .7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 1152块【答案】B【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为{}n a ，{}n a 是等差数列，且公差为9d =，19a =，设每层有k 环，则3n k =，3402n S =，{}n a 是等差数列，则232,,k k k k kS S S S S --也成等差数列，所以()()2322k k k k k S S S S S -=+-，所以23()3402n k k S S S =-=，21134k k S S -=，故选：B ．8. 已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为焦点的椭圆过A 、B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程为（ ）A. ()221148x y y -=≤-B. ()221148x y y -=≥C. (22148y x y -=≤-D. (22148y x y -=≥【答案】A 【解析】因为()0,7A ，()0,7B -，()12,2C ，所以13AC ==，15BC ==，14AB =，因为,A B 都在椭圆上， 所以AF AC BF BC+=+，214AF BF BC AC -=-=<，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支， 又214c AB ==，22a AF BF =-=，即7c =，1a =，所以248b =，因此F 的轨迹方程是22148x y -=（1y ≤-）.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 方程22210x y x +-+=表示的曲线是圆 B. 椭圆22143x y +=的长轴长为2C. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y xD. 抛物线22x y =的准线方程是18x =-【答案】CD【解析】选项A:()2210x y -+=表示点()1,0，故A 错误；选项B: 22143x y +=，2,a b ==长轴长为24a =，短轴长2b =故选项B 错误；选项C: 43x y =±化简34yx，选项C 正确；选项D:抛物线22x y =表示成标准方程为212y x =，122p =，焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭准线为18x =-,选项D 正确；故选： CD.10. △ABC 的三个顶点坐标为A (4，0)，B (0，3)，C (6，7)，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC 与直线3210x y -+=平行B. 边BC 上的高所在的直线的方程为32120x y +-=C. 过点C 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为130x y +-=D. 过点A 且平分△ABC 面积的直线与边BC 相交于点D (3，5) 【答案】BD【解析】直线BC 的斜率为732603k -==-，而直线3210x y -+=的斜率为32，两直线不平行，A 错；BC 边上高所在直线斜率为32-，直线方程为3(4)2y x =--，即32120x y +-=，B 正确；过C 且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为130x y +-=，过原点时方程为76y x=，C 错；过点A 且平分△ABC 面积的直线过边BC 中点，坐标为(3,5)，D 正确． 故选：BD ．11.设数列{}n a 满足()12335212n a a a n a n ++++-=，记数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nS ，则（ ）A.12a = B.221n a n =-C.21n nS n =+D. 1n n S na +=【答案】ABD 【解析】由题意()12335212n a a a n a n++++-=，当1n =时，得12a =，令()12335212n n T a a a n a n=++++-=，则当2n ≥时，()11231352322n n T a a a n a n --=++++-=-所以()1212n n n T T n a --=-=，即221n a n =-．又1n =时，122211a ==⨯-也成立，∴221n a n =-，故数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为()()21121212121n n n n =-+--+， ∴11111111113355723212121n S n n n n =-+-+-++-+----+1212121nn n =-=++，即有1n n S na +=．故选：ABD ． 12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为棱BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项中正确的是（ ）A. 点A 到直线EF的距离为2B. 平面AEF 截正方体所得截面为五边形C. 三棱锥1A-AEF 的体积为23D. 存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】ACD【解析】连接AC，由已知AE =，EF =3AF ====，222cos 2AF EF AE AFE AF EF +-∠===⋅，AEF △中，sin 2AFE ∠=，点A 到直线EF的距离为sin 322AF AFE ∠=⨯=，A 正确；连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点得1//EF BC ，又正方体中易得11//BC AD ，因此1//EF AD ，∴1D ∈平面AEF ，从而截面为四边形1AEFD ，B 错；由已知点F 到直线1AA的距离行于AC =1122EA AS=⨯⨯=平面1AA E即为平面11ACC A ，1//CF AA ，1AA ⊂平面1AA E，CF ⊄平面1AA E ，则//CF 平面1AA E，∴F ，C 到平面1AA E的距离相等，∴11A AEF E AA FV V --=，由正方体性质知B 到平面11ACC A，E 是BC 中点，则E 到平面1AA E的距离为2d =，∴1111123323A AEF E AA F AA EV V Sd --===⨯=，C 正确；GF 与11A D 平行且相等（可由11B C 传递），则11AGFD 是平行四边形，11//AG D F ，1D F ⊂平面1AEFD ，1AG ⊄平面1AEFD ，∴1//AG 平面1AEFD ，实际上11AG D F =，而在平面AEF 中，,AE AF 不共线，,AE AF 可作为平面AEF 的基底，从而存在实数λ、μ使得1E D A A F F λμ=+，即1λμ=+AG AF AE ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在各项均为正数的等比数列{na }中，若24354624a a a a a a ++=，则35a a +=_________．【答案】2 【解析】等比数列{}n a 各项均为正数，∴222335524354356242()a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，352a a +=（负值舍去）.故答案为：2.14. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．【答案】8【解析】画出圆拱图示意图，设圆半径为R ,雨季时水位方程()22213R R --=，解得5R =；旱季时水位方程()2222R DE R -+=，解得4DE =，所以此时水面跨度为28DE =.所以答案为 8.15. 如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为_________．【答案】23【解析】如图，连接DN ，取DN 中点G ，连接MG ，又M 是AD 中点，则//MG AN ， 所以异面直线AN ，CM 所成角是CMG ∠或其补角，由已知AN CM ==12MG AN ==，12NG DN ==，又DN BC ⊥，2CG ===，MCG △中，3732cos 3CMG +-∠==，∴异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为23．故答案为：23．16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过F 点作圆222x y b +=的一条切线，切点为T ，延长FT 交椭圆C 于点A ，若T 为线段AF 的中点，则椭圆C 的离心率为_________．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为1F ,连接1AF ，OT ,由几何关系可知112OT AF b ==，则TF ==即AF =由椭圆的定义可知12AF AF a+=，即22b a +=且222c a b =-， 整理得2320b ab -=，解得23b a =，e ====.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列{na }为等差数列，nS 是其前n 项和，且315S =，1516a a +=．数列{nb }中，11b =，()*112+=∈n n b b n N ． （1）分别求数列{na }，{nb }的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和nT．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为315S =，1516a a +=，则1113315416a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得：123a d =⎧⎨=⎩，所以23(1)31n a n n =+-=-.又因为11b =，()*112+=∈n n b b n N ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11111()()22n n n b --=⨯=， 故数列{na }，{nb }的通项公式分别为：23(1)31n a n n =+-=-，11111()()22n n nb --=⨯=.（2）由（1）可知：11(31)()2n n n a b n -+=-+， 所以112233n n nT a b a b a b a b =++++++++ 123123()()n n a a a a b b b b =+++++++++11[1()](231)21212n n n ⨯-+-=+- 12312222n n n -⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.18. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过坐标原点O 和点A (3． （1）求圆C 的标准方程；（2）求过点P (4，4)与圆C 相切的直线方程． 解：（1）设圆心C 坐标为(,0)a ，由a =2a =，∴圆半径为2r OC ==，圆方程为22(2)4x y -+=； （2）易知直线4x =与圆C 相切，当切线斜率存在时设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，∴2=，解得34k =，切线方程为34(4)4y x -=-，即3440x y -+=，综上切线方程为3440x y -+=或4x =． 19. 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，12AA AB AC ===，D 、E 、F 分别是棱11A B 、1CC 、BC 的中点．（1）求证：DF //平面11A ACC ；（2）若11AE A B ⊥，求平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值．（1）证明：取AC 中点M ,连接1,FM A M，1A D AB∥，且112A D AB =，又FM AB ∥，12FM AB =，11,A D FM A D FM∴=∥，∴四边形是1A DFM 平行四边形，1DF A M ∴∥,又DF ⊄平面111,A ACC A M ⊂平面11A ACC ，所以DF ∥平面11A ACC . （2）解：因为11AE A B ⊥，11//A B AB，所以AE AB ⊥，又因为直三棱柱111ABCA B C 中，1AA AB ⊥且1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面11A ACC ，所以⊥AB 平面11A ACC ，又⊂AC 平面11A ACC ，所以⊥AB AC ， 所以AB 、AC 、1AA 两两垂直，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知，12AA AB AC ===，所以()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,1,0F ，()10,0,2A ，()12,0,2B ，()1,0,2D ，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =，()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =-，则00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，200x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得()1,1,1n =，平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，1cos ,33m n m n m n⋅<>===所以平面DEF 与平面ABC 的夹角的余弦值为.20. 设数列{na }的前n 项和为nS ，已知11a =，22a =，且*2+1+3+3()+=∈n n n a S S n N ．（1）求证：23n na a +=；（2）求2nS ．（1）证明：由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+*()∈n N ，因而对任意*,2n N n ∈≥，有1133n n n a S S +-=-+*()∈n N ， 两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=．（2）解：由（1）知，0n a ≠，所以23n n a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++⨯++=⨯++=．所以123(31)33222n n nS +=-=-.21. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到1A DE △(1A ∉平面ABCD )的位置．（1）判断当△ADE 折起到什么位置时，四棱锥1A BCDE-的体积最大(无需证明)，并求出这个最大体积；（2）若1AC =，点M 在线段A 1C 上，当直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为时，试判断点M 的位置． 解：（1）取DE 中点O ．连接1A O，则1AO DE ⊥，折叠过程中1A O 始终与DE 垂直， 因此当1AO ⊥平面BCDE 时，1A 点到平面BCDE 的距离最大为1A O，由1AO ⊂平面1A DE，得平面1A DE ⊥平面BCDE ，由已知12A O =，21321122BCDE ABCD AEDS S S =-=⨯-⨯=，11113332A BCDE BCDE V S AO -=⋅=⨯=；（2）由已知ED CE ==222DE CE CD +=，DE CE ⊥，又CE =OE =，∴OC ===，1AC =，所以22211A C A O OC =+，1A O OC ⊥，又1AO DE ⊥，DEOC O =，,DE OC ⊂平面BCDE ，∴1A O ⊥平面BCDE ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，其中//CE x 轴．1(0,0,2A，2C -，1(2,22A C =--，设x 轴与CD 交于点N ，则N 为CD 中点，连接BN ，BN 交OC 于点P ， 由DN 与BE 平行且相等得DEBN 是平行四边形， 所以//BN DE，于是P 为CE 中点，NP OE ==，12BP CE ==，因此BN BPPN =+=，所以B，1(2BA =-，设11(2,,)22A M A C λλλ==--，(01)λ<<，则11(2)2222BM BA A M λλ=+=---+，平面DEC 的一个法向量是(0,0,1)n =，因为直线BM 与平面DEC 所成角的正弦值为10，所以cos ,(n BM n BM n BM⋅==，解得12λ=（2λ=舍去），所以M 是1A C 中点．22. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0F，点(P 在双曲线C上．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设A 、B 分别为双曲线C 的左、右顶点，若过点F 的直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点，设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在实数λ使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，2222222341a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2245a b ⎧=⎨=⎩， 故双曲线C 的标准方程为22145x y -=；（2）直线l 交双曲线C 的右支于M 、N 两点， 故斜率不为0，设为3x my =+，联立双曲线方程化简得()225430250my my -++=，22230425544001mm m ，则223025,5454MNM Nmy y y y m m ，直线l 与右支交于两点，则225054M Ny y m ，则，()2,0A -，()2,0B ，12,022N M MNy y k k x x ，122122552MM N M N M N M M N N MN M M N NN y y x y my my y y k x y k y x y my my y y x ，∵65M N M Ny y m y y ，∴56M NM Nmy y y y ，∴125151 666552555666M N M M NM N N M Ny y y y ykk y y y y y，∴存在15λ=-使得12k kλ=.。