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二叉树的5种基本形态。
-回复二叉树是计算机科学中常见的数据结构之一，它由节点和连接节点的边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
基于节点连接的不同方式，二叉树可以存在多种基本形态。
在本文中，我们将探讨二叉树的五种基本形态，并详细介绍它们的特点、应用场景以及如何构建和遍历。
一、满二叉树满二叉树是一种非常特殊的二叉树，每一层节点都达到了最大数量，而且所有的叶子节点都在同一层。
满二叉树的特点是每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
满二叉树中的节点数量可以通过公式2^n - 1来计算，其中n为树的高度。
满二叉树的构建通常是基于完全二叉树进行。
满二叉树的应用场景包括：数据索引结构、哈夫曼编码。
二、完全二叉树完全二叉树是一种叶子节点除了最后一层可以不满外，其余的层节点都达到了最大数量的二叉树。
与满二叉树不同的是，完全二叉树的叶子节点总是尽量靠左分布。
完全二叉树可以通过数组来表示，节点的索引与数组中的位置一一对应。
完全二叉树的应用场景包括：堆数据结构、哈夫曼编码、优先队列。
三、二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种有序的二叉树结构，其中左子树的所有节点值均小于根节点的值，右子树的所有节点值均大于根节点的值。
对于二叉搜索树的任意节点，左子树和右子树都是一棵二叉搜索树。
二叉搜索树的应用场景包括：快速搜索、有序数据存储、二叉排序树。
四、平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
通过保持树的平衡性，平衡二叉树可以提供更快的搜索和插入操作。
平衡二叉树的应用场景包括：数据库索引、动态变化的数据集。
五、二叉链表二叉链表是一种常见的二叉树实现方式，它使用节点对象保存值和左右子节点的引用。
每个节点对象都包含一个值和两个指针，分别指向左子节点和右子节点。
通过这样的方式，可以使用链表来存储和表示二叉树。
二叉链表的应用场景包括：树的遍历、树的操作。
二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。
对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。
根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。
由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。
1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。
对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。
由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。
1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。
而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。
1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。
满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。
1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。
对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。
2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。
2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。
2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。
对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。
2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。
AVL树自平衡的二叉搜索树AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它是根据其发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 的姓氏首字母而得名。
AVL树解决了传统二叉搜索树由于插入或删除操作导致树结构不平衡而引发的性能问题。
1. 什么是二叉搜索树？二叉搜索树，又称二叉排序树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构。
在二叉搜索树中，每个节点都包含一个键值，并且节点的左子树中的键值小于节点的键值，右子树中的键值大于节点的键值。
2. 为什么需要自平衡？传统的二叉搜索树在执行插入或删除操作时，可能会导致树结构不平衡，使得树的高度远大于理想情况下的最小高度。
当树的高度增加后，查找、插入、删除等操作的时间复杂度也会增加，进而影响整体性能。
3. AVL树的自平衡特性AVL树通过保持树的平衡性来提高性能。
对于每一个节点，AVL 树通过计算其左右子树的高度差（平衡因子）来判断是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。
当平衡因子超过一定阈值时，进行相应的旋转操作来维持平衡。
4. AVL树的旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。
左旋操作将当前节点的右子树变为新的根节点，而右旋操作则恰恰相反。
通过旋转操作，AVL树可以在保持二叉搜索树性质的同时，实现树的自平衡。
5. AVL树的插入操作在进行插入操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到插入位置，并插入新的节点。
然后，从插入节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
6. AVL树的删除操作在进行删除操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到待删除的节点，并执行删除操作。
然后，从删除节点的父节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。
7. AVL树的平衡性保证AVL树的自平衡操作保证了树的高度始终保持在理想情况下的最小高度的常数倍。
通过对平衡因子的检查并执行旋转操作，AVL树能够有效地保持树的平衡性，使得查找、插入、删除等操作能够在较快的时间内完成。
二叉搜索树定义二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它是一个二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，且小于其右子树中的任意节点的值。
BST的定义如下：1. 每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点；2. 若某节点的左子树不为空，则其左子树中的每个节点值都小于该节点的值；3. 若某节点的右子树不为空，则其右子树中的每个节点值都大于该节点的值；4. 没有重复节点的情况下，所有左子树的节点值都小于右子树的节点值。
下面我们来详细讨论BST的特性和示例。
BST的特性：1. 在BST中，对于任意一个节点，其左子树中的所有节点都小于它的值，右子树中的所有节点都大于它的值。
2. 由于BST是一个二叉树，因此对于每个节点，其左子树和右子树都是BST。
3. BST的中序遍历结果是一个递增的有序序列。
4. 对于BST的搜索、插入和删除操作，平均时间复杂度为O(logn)，其中n为树中节点的数量。
示例：下面是一个示例的BST：```5/ \3 7/ \ \2 4 9```在这个示例中，根节点的值为5，它的左子节点为3，右子节点为7。
左子节点的左子节点为2，右子节点为4。
右子节点的右子节点为9。
根据BST的定义，我们可以观察到该树的每个节点的值都符合左<根<右的规律。
对于这个BST，其中序遍历的结果为2, 3, 4, 5, 7, 9，它们正好是递增的有序序列。
BST的使用场景：BST常用于需要快速搜索、插入和删除操作的场景，比如在数据库中存储有序数据，或者在构建字典、索引等数据结构时都可以使用BST。
在红黑树和AVL树等平衡二叉搜索树中，也是以BST为基础进行的扩展和优化。
总结：二叉搜索树是一种常用的数据结构，其定义明确了每个节点与其子节点的大小关系。
在BST中，左子树的节点值都小于根节点的值，右子树的节点值都大于根节点的值。
BST的特性使得它非常适用于搜索、插入和删除等操作，同时其中序遍历结果是有序的。
二叉树算法的应用二叉树算法在计算机科学中有着广泛的应用，它是一种非常有效的数据结构，可以用于解决许多问题。
下面将介绍二叉树算法的一些应用。
搜索二叉树搜索二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，且小于其右子树中的所有节点的值。
搜索二叉树的应用非常广泛，例如搜索引擎、数据库索引、哈希表等。
在这些应用中，搜索二叉树可以有效地对数据进行排序和查找，提高数据处理的效率。
二叉堆二叉堆是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
二叉堆可以用于实现优先队列、堆排序等算法。
在优先队列中，可以使用二叉堆来维护一组元素，并按照元素的优先级进行排序。
在堆排序中，可以使用二叉堆来对一组元素进行排序，其时间复杂度为O(nlogn)。
二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，且小于其右子树中的所有节点的值。
二叉搜索树可以用于实现插入排序、查找、删除等算法。
在插入排序中，可以使用二叉搜索树来对一组元素进行排序，其时间复杂度为O(nlogn)。
在查找算法中，可以使用二叉搜索树来快速查找元素。
在删除算法中，可以使用二叉搜索树来删除指定的元素。
平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左右子树的深度差不超过1。
平衡二叉树可以用于实现AVL树、红黑树等算法。
这些算法可以保证在最坏情况下，插入、删除等操作的时间复杂度为O(logn)。
二叉决策树二叉决策树是一种特殊的二叉树，其中每个节点表示一个决策。
在机器学习中，可以使用二叉决策树来构建分类器或回归器。
例如，决策树算法可以用于构建分类器，根据输入的特征来预测输出类别。
Trie树Trie树是一种特殊的二叉树，其中每个节点表示一个字符。
Trie树可以用于实现字符串匹配、文本压缩等算法。
在字符串匹配中，可以使用Trie树来快速查找字符串中的子串。
在文本压缩中，可以使用Trie树来存储一个字符串的所有前缀，从而减少存储空间的使用。
二叉树用途二叉树是一种常用的数据结构，由节点和连接节点的边组成，其中每个节点最多有两个子节点，被称为左子节点和右子节点。
二叉树具有以下特点：1. 有层次结构：节点按照层次排列，每层从左到右。
2. 可以拥有零个、一个或两个子节点。
3. 二叉树的子树也是二叉树。
4. 深度为d的二叉树最多含有2^d-1个节点，其中d为二叉树的深度。
二叉树的用途非常广泛，下面将详细讨论几个主要的应用场景。
1. 搜索、排序和查找：二叉树可以用于快速搜索、排序和查找数据。
二叉搜索树是一种常用的二叉树类型，其中每个节点的值大于左子树的所有节点的值，小于右子树的所有节点的值。
通过二分查找算法，在二叉搜索树中可以快速定位目标值。
2. 堆：二叉堆是一种用于实现优先队列的数据结构。
它具有以下特点：任意节点的关键字值都小于（或大于）或等于其子节点的关键字值，根节点的关键字值最小（或最大）；并且堆是一颗完全二叉树。
二叉堆的插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，适用于一些需要高效的优先级操作的场景，例如任务调度。
3. 表达式树：二叉树可以用于存储和计算数学表达式。
表达式树是一种二叉树，其叶节点是操作数，内部节点是操作符。
通过遍历表达式树，我们可以通过递归的方式计算整个表达式的值。
4. 文件系统：二叉树可以用于组织和管理文件系统中的文件和文件夹。
每个节点代表一个文件或文件夹，左子节点代表文件夹下的子文件夹，右子节点代表同一层级下的其他文件或文件夹。
通过遍历二叉树，可以实现文件的查找、创建、删除等操作。
5. 数据压缩：哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，通过构建二叉树来实现。
在哈夫曼树中，出现频率较高的字符对应的节点位于树的较低层，而出现频率较低的字符对应的节点位于树的较高层。
通过对字符进行编码，并使用相对较短的编码表示高频字符，可以实现对数据的高效压缩和解压缩。
6. 平衡树：平衡树是一种特殊类型的二叉树，其左子树和右子树的高度差不超过1。
介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。
二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。
2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。
3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。
二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。
由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。
2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。
对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。
3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。
删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。
4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。
将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。
二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。
(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。
2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。
(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。
二叉搜索树
锁定
本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。
在二叉排序树b中查找x的过程为：
若b是空树，则搜索失败，否则：
若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则：
若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
查找右子树。
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &*p){
//在根指针T所指二叉排序树中递归地查找其关键字等于key的数据元素，若查找成功，//则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE，否则指针指向查找路径上访问的最后//一个结点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL
if(!T){ p=f; return FALSE;} //查找不成功
else if EQ(key, T->data.key) {P=T; return TRUE;} //查找成功
else if LT(key,T->data.key)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子树中继续查找
else return SearchBST(T->rchild, key, T, p); //在右子树中继续查找
pascal语言实现
type
Link = ^tree;
Tree = record
D :longint;
Left :link;
Right :link;
End;
function search(n :longint;t :link):boolean;
Begin
If t^.d < n then begin
If t^.right = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.right));
End;
If t^.d > n then begin
If t^.left = nil then exit(false) else exit(search(n,t^.left));
End;
Exit(true);
End;
插入算法
向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：
若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：
若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：
若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：把s所指结点插入到右子树中。
/*当二叉排序树T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e)
{
if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p)
{
s=(BiTree *)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
if(!p) T-s;
//被插结点*s为新的根结点
else if LT(e.key, p->data.key) p->lchld = s;
//被子插结点*s为左孩子
else ->rchild = s;
//被插结点*s为右孩子
return TRUE;
}
else
return FALSE;
//树中已有关键字相同的结点，不再插入
}
pascal代码:
procedure push(n :longint;var t:link);
Var P,q :link;
Begin
If t^.d < n then begin
If t^.right = nil then begin
New(p);
P^.d := n;
P^.right := nil;
P^.left := nil;
T^.right := p;
End else push(n,t^.right);
End else begin
If t^.left = nil then begin
New(p);
P^.d := n;
P^.right := nil;
P^.left := nil;
End else push(n,t^.left);
End;
End;
情况讨论
在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：
若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。
由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f 的左子树或右子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
若*p结点的左子树和右子树均不空。
在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。
在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：
Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){
//若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回//TRUE；否则返回FALSE
if(!T) return FALSE; //不存在关键字等于key的数据元素
else{
if(EQ(key, T->data.key)) {return Delete(T)}; 找到关键字等于key的数据元素
else if(LT(key, T->data.key)) return DeleteBST(T->lchild, key);
else return DeleteBST(T->rchild, key);
}
}
Status Delete(BiTree &p){
//从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树
if(!p->rchild){ //右子树空则只需重接它的左子树
q=p; p=p->lchild; free(q);
}
else if(!p->lchild){ //左子树空只需重接它的右子树
q=p; p=p->rchild; free(q);
}
else{ //左右子树均不空
q=p;
s=p->lchild;
while(s->rchild){
q=s;
} //转左，然后向右到尽头
p->data = s->data; //s指向被删结点的“前驱”if(q!=p)
q->rchild = s->lchild; //重接*q的右子树
else
q->lchild = s->lchild; //重接*q的左子树
free(s);
}
return TRUE;
}。
