第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点.互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角.2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素.（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系.通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的.①翻折如图（1）,∆BOC≌∆EOD,∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2）,∆COD≌∆BOA,∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3）,∆DEF≌∆ACB,∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的.5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA；b :有两边和其中一角对应相等,即SSA.全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具.在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识.【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图,已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中,AE=AD ∠A=∠AAB=AC.∴ ΔACD ≌ΔABE (SAS)∴ ∠B=∠C （全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB －AD=AC －AE 即 BD=CE在ΔDBF 和ΔECF 中∠B=∠C∠BFD=∠CFE （对顶角相等） BD=CE∴ ΔDBF ≌ΔECF （AAS ）∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）（2【例2】AB ∥CDCDE.由已知显然证明Δ进一步证明AB 证明：∵ DE ∴∠在ΔABF AF=CE ∠DEC ＝∠BFA （已证） DE=BF （已知）∴ ΔABF ≌ΔCDE （SAS ）∴ ∠C ＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB ∥CD （内错角相等,两直线平行）（3）证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,取AB 的中点E,连接CD 和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件.证明：取CD中点F,连接BF∴BF=12AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3 （等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中,BF=BE∠3＝∠2CB=CB∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴即在Δ∠1＝∠2 （对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴BF∥AC (内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB 与ΔCDB 中,CB=CB∠CBF=∠CBD BF=BD∴ ΔCFB ≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段.例如上面折道理题也可这样处理,取AC 中点F,连BF(如图)（B∴ AO=BC,∠OAD=∠BCD （全等三角形对应边、对应角相等） ∵ ∠AOD ＝∠COE （对顶角相等） ∴ ∠COE+∠OCE=90o ∴ AO ⊥BC 5、中考点拨：【例1】如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,E 是AB 的中点,以点E 为圆心,EB 为半径画弧,交BC 于点D ,连结ED ,并延长ED 到点F ,使DF ＝DE ,连结FC ． 求证：∠F ＝∠A ．分析：证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中,但由已知可证得EF∥AC,因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠B,∵EB＝ED,∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF,∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF,∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系.【例2】AE=BD,DF∥AC∵∴△BFD为等边三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF 即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中,EF=AC（已证）∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等)AE=FD (已证)∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例1】如图,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC,构造全等三角形,△AED≌△ACD,得DE＝DC,只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE．∵AE＝AC,∠1＝∠2,AD＝AD,∴△AED≌△ACD,∴DE＝DC,∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB,∠C＝2∠B,∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED,即ED＝DC,∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等）,其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题,实际上仍是构造全等三角形,这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图,CD ⊥AB 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,BE 、CD 交于点O ,且AO 平分∠BAC ．求证：OB ＝OC ．3. 如图,已知C 为线段AB 上的一点,∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形,AN 和CM 相交于F 点,BM 和CN 交于E 点. 求证：∆CEF 是等边三角形.4.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线. 求证：AD<12(AB+AC)5. 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．ABCMNE F12【试题答案】1. D2.证明：∵AO平分∠ODB,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CE交于点O,∴OD＝OE,∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE.∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由∠ACM=∠BCN=60︒,知∠ECF=60︒,欲证∆CEF是等边三角形,只要证明∆CEF是等腰三角形.先证∆CAN≌∆MCB,得∠1=∠2.再证∆CFN≌∆CEB,即可推得∆CEF是等边三角形的结论.证明：在∆CAN和∆MCB,∵AC=MC,CN=CB,∠CAN=∠MCB=120︒,∴∆ACN≌∆MCB中,∴∠FCB和∆CEB中,∵∠FCN=∠ECB=60︒,∠1=∠2,CN=CB,∴∆CFN≌∆CEB,∴CF=CE,又∵∠ECF=60︒,∴∆CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于AB、AC、AD不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意AD 是BC边上的中线,延长AD至E,使DE＝AD,即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E,使DE＝AD,连结BE在∆ACD与∆EBD中∴∆ACD≌∆EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形对应边相等）在∆ABE中,AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形.5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中,欲证BD与CG相等,设法证△CGE≌△BDF.由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中,∵AC＝CB,AE⊥CD于E,BF⊥C交CD的延长线于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD与Rt△CEG中,∠F＝∠GEC＝90°,CE＝BF,由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG,∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG第十二章轴对称1.如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.这时,我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴.两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点.注意：1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形.3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关.题型一:轴对称图形的判断【例1】如图,我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )①②③④A．①②③B．②③④C．③④①D．④①②分析：图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断举一反三：1、下列图形中,不是轴对称图形的是( )A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形2、下列图形中,不是轴对称图形的是（）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是（）A、NB、SC、LD、E4、下列说法中,正确的是( )A．两个全等三角形组成一个轴对称图形B．直角三角形一定是轴对称图形C．轴对称图形是由两个图形组成的D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形题型二：找轴对称图形的对称轴【例2】等腰三角形的对称轴_______条.举一反三：1、下列说法中,正确的个数是（）（1）轴对称图形只有一条对称轴,（2）轴对称图形的对称轴是一条线段,（3）两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,（4）全等的两个图形一定成轴对称,（5）轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、轴对称图形的对称轴的条数（）（A）只有一条（B）2条（C）3条（D）至少一条3、正五角星的对称轴的条数是( )A．1条B．2条C．5条D．10条4、下列图形中有4条对称轴的是( )A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形常见图形及其对称轴：1、线段垂直平分线的概念：（１）垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； （２）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等.3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.注意:（１）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；（2“到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；（3）“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等,那么,这两点所在直线是该线段的垂直平分线.”的作用是：垂直平分线的判定.题型一:线段垂直平分线的性质【例3】 如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长.图-1 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时,(如图2),对应的是△ACE 的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变.图-2 举一反三：1、如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,若∠BEC=70°,则∠A=？点评：此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.B C A E D A B CD E【例4】如图3,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状.举一反三：1.如图4,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.图-42.如图,己知AB=AC,DE 垂直平分AB 交AC 、AB 于D 、E 两点,若AB=12cm,BC=10cm, ∠A=49º,求△BCE 的周长和∠EBC 的度数.【例5】如图,D 是线段AB 、BC 的垂直平分线的交点,若∠ABC ＝50°求∠ADC举一反三： 1.如图,△ABC 中,DE 垂直平分AC 交AB 于E,∠A=30°,∠ACB=80°,求∠CBE2.如图,△ABC 内有一点D,且D 为直线AB 、AC 垂直平分线的交点, 若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC 的大小是（ ）A ．100°B ．80°C ．70°D ．50° A B C DE M N 图-3 A B C D E M ND CA CB AD题型二:线段垂直平分线的判定【例6】如图所示,Rt△ABC中,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD.(用定义法和判定定理法两种方法)【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？【例7】如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD平分∠BAC,且DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,求证：AD垂直平分EF.举一反三：如图所示,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE AB⊥于E,DF AC F⊥于,求证：BF=CG.1、轴对称的性质：（１）关于某条直线对称的图形是全等形；（２）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（３）两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上；（４）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于这条直线对称.2、轴对称作（画）图：（１）画图形的对称轴（２）如果一个图形关于某直线对称,那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.（３）画某点关于某直线的对称点的方法（４）画已知图形关于某直线的对称图形注意：CEA D BFBGAB CFED（１）全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的.（２）性质（４）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称,它是作对对称图形的主要依据.【例8】如图,ΔABC 和ΔA ’B ’C ’关于直线对称,下列结论中：①ΔABC ≌ΔA ’B ’C ’； ②∠BAC ’≌∠B ’AC ； ③l 垂直平分CC ’；④直线BC 和B ’C ’的交点不一定在l 上,正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 举一反三：1、如图,ΔABC 与ΔA /B /C /关于直线l 对称,则∠B 的度数为（ ）A ．50°B ．30°C ．100°D ．90°2、如图六边形ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD 的大小是（ ）．Ａ．150° Ｂ．300° Ｃ．210° Ｄ．330°．【例9】如图,点P 在∠AOB 内,点M 、N 分别是点P 关于AO 的对称点、BO 的对称点,若△PEF 的周长为15,求MN 的长等腰三角形专题讲解 【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.30︒l C'B'A'B C A 50︒FED CBA OB推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.推论2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”.）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2. 定理及其推论的作用.等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点.3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定.【分类解析】【例1】如图,已知在等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,E 为BC 延长线上一点,且CE ＝CD,DM ⊥BC,垂足为M.求证：M 是BE 的中点.E分析：欲证M 是BE 的中点,已知DM ⊥BC,所以想到连结BD,证BD ＝ED.因为△ABC 是等边三角形,∠DBE ＝21∠ABC,而由CE ＝CD,又可证∠E ＝21∠ACB,所以∠1＝∠E,从而问题得证.证明：因为三角形ABC 是等边三角形,D 是AC 的中点所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD,所以∠CDE ＝∠E所以∠ACB ＝2∠E即∠1＝∠E所以BD ＝BE,又DM ⊥BC,垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）【例2】如图,已知：ABC ∆中,AC AB =,D 是BC 上一点,且CA DC DB AD ==，,求BAC ∠的度数.A B CD分析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中,但仅靠AC AB =是无法求出来的.因此需要考虑DB AD =和CA DC =在题目中的作用.此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系.因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求.解：因为AC AB =,所以C B ∠=∠因为DB AD =,所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =,所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角）而 DAB B ADC ∠+∠=∠所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22，所以B 3BAC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠即求得 108BAC =∠说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁.把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在.本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现.2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的.3. 此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法.【例3】已知：如图,ABC ∆中,AB CD AC AB ⊥=，于D.求证：DCB 2BAC ∠=∠.C分析：欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,BAC ∠是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与DCB ∠的关系.证明：过点A 作BC AE ⊥于E,AC AB =所以BAC 2121∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠又AB CD ⊥,所以 90CDB =∠所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余）所以31∠=∠（同角的余角相等）即DCB 2BAC ∠=∠说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系.因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”.因此,本题还可以有其它的证法,如构造出DCB ∠的等角等.4、中考题型：1.如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝36°,BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E D FB C分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个,故选择C.2.）已知：如图,在△ABC 中,AB ＝AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB,DF ⊥AC,E 、F 分别是垂足.求证：AE ＝AF. A E F B D C证明：因为AC AB =,所以C B ∠=∠又因为AC DF AB DE ⊥⊥，所以 90CFD BED =∠=∠又D 是BC 的中点,所以DC DB = 所以)AAS (CFD DEB ∆∆≅ 所以CF BE =,所以AF AE =说明：证法二：连结AD,通过≅∆AED AFD ∆证明即可5、题形展示：【例1】如图,ABC ∆中, 100=∠=A AC AB ，,BD 平分ABC ∠.求证：BC BD AD =+.分析一：从要证明的结论出发,在BC 上截取BD BF =,只需证明AD CF =,考虑到21∠=∠,想到在BC 上截取BA BE =,连结DE,易得,则有FD AD =,只需证明CF DE =,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出DE DF CF ==.证明一：在BC 上截取BD BF BA BE ==，,连结DE 、DF 在ABD ∆和EBD ∆中,BD BD 21BE BA =∠=∠=，，80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，又 100A AC AB =∠=， 40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ 20402121=⨯=∠=∠∴ 而BF BD = 80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ ADBD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴，即BC BD AD =+分析二：如图,可以考虑延长BD 到E,使DE ＝AD,这样BD ＋AD=BD+DE=BE,只需证明BE ＝BC,由于 202=∠,只需证明 80BCE E =∠=∠E易证 6020100180ADB EDC =--=∠=∠, 120BDC =∠,故作BDC ∠的角平分线,则有FBD ABD ∆≅∆,进而证明DFC DEC ∆≅∆,从而可证出 80E =∠. 证明二：延长BD 到E,使DE ＝AD,连结CE,作DF 平分BDC ∠交BC 于F. 由证明一知： 100A 2021=∠=∠=∠， 则有160180BDC 603660201001803=-=∠=∠=∠=--=∠，，DF 平分 6054BDC =∠=∠∴∠606543=∠=∠=∠=∠∴,在ABD ∆和FBD ∆中 43BD BD 21∠=∠=∠=∠，，)A S A (F B D A B D∆≅∆∴ 100A BFD FD AD =∠=∠=∴，,而DE DF DE AD =∴=，在DEC ∆和DFC ∆中,DC DC 65DF DE =∠=∠=，，)S A S (D F C D E C∆≅∆∴ 80100180BFD 180DFC E =-=∠-=∠=∠∴ 在BCE ∆中, 803202=∠=∠， B C EE B C E ∠=∠∴=∠∴， 80 BC BD AD BE BC =+∴=∴，说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进一步提高自身的解题能力.【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图,ABC ∆是等边三角形,BC BD 90CBD ==∠， ,则1∠的度数是________.CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. ABC ∆中, 120A AC AB =∠=，,AB 的中垂线交AB 于D,交CA 延长线于E,求证：BC 21DE =.AE DO BC1 2【试题答案】 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用.解：因为ABC ∆是等边三角形所以 60ABC BC AB =∠=，因为BC BD =,所以BD AB = 所以23∠=∠在ABD ∆中,因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠,所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言.已知：如图,在ABC ∆中,AC AB =,D 、E 分别为AC 、AB 边中点,BD 、CE 交于O 点.求证：点O 在BC 的垂直平分线上.分析：欲证本题结论,实际上就是证明OC OB =.而OB 、OC 在ABC ∆中,于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有21∠∠、的两个三角形全等.证明：因为在ABC ∆中,AC AB = 所以ACB ABC ∠=∠（等边对等角）又因为D 、E 分别为AC 、AB 的中点,所以EB DC =（中线定义） 在BCD ∆和 CBE ∆中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)(CB BC )(EBC DCB )(EB DC 公共边已证已证所以)SAS (CBE BCD ∆≅∆所以21∠=∠（全等三角形对应角相等）. 所以OC OB =（等角对等边）. 即点O 在BC 的垂直平分线上. 说明：（1）正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步.特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB ＝OC ”是关键的一点.（2）实际上,本题也可改成开放题：“△ABC 中,AB ＝AC,D 、E 分别为AC 、AB 上的中点,BD 、CE 交于O.连结AO 后,试判断AO 与BC 的关系,并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的.4. 分析：此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形.题目中是求线段的倍半关系,观察图形,考虑取BC 的中点.证明：过点A 作BC 边的垂线AF,垂足为F.EA 3 1 2 D BFC在ABC ∆中, 120BAC AC AB =∠=， 所以 30C B =∠=∠ 所以BC 21BF 6021==∠=∠， （等腰三角形三线合一性质）. 所以 603=∠（邻补角定义）. 所以31∠=∠又因为ED 垂直平分AB,所以 30E =∠（直角三角形两锐角互余）.AB 21AD =（线段垂直平分线定义）. 又因为AB 21AF =（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）.13所以AF AD =在ABF Rt ∆和AED Rt ∆中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠ 90ADE AFB )(AD AF )(31已证已证 所以)ASA (AED Rt ABF Rt ∆≅∆ 所以BF ED = 即BC 21ED =. 说明：（1）根据题意,先准确地画出图形,是解几何题的一项基本功；（2）直角三角形中 30角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺利证明打通了思路.第十三章 实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数. 1、实数有以下两种分类方法：（1）按定义分类 （2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样,例如3-的相反数为3,倒数为3331-=-,3-的绝对值为33=-. 3、实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示. 4、实数的运算：（1）关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用.（2）涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.二、二次根式：一般地,()0a ≥叫做二次根式,其中a 叫做被开方数. 1、二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a aa a ； 2、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数,因式是整式.即被开方数不含有分母. （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式.即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2.3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫同类二次根式.4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则：)0()(≥+=+c c b a c b c a ； )0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0)0,0(>≥=b a b aba； )0()(≥=a a a n n ； （2）．分母有理化 （3）．二次根式的混合运算 三、非负性及应用： 1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值,实数的偶次方,非负实数的算术平方根等,用符号表示如下：①若a 是实数,则0a ≥；②若a 是实数,则20n a ≥（n 为正整数）,当n=1时,a 2≥0；③n 为正整数）在实数范围内有意义,则0a ≥,0； 3、非负数有如下性质：①有限个非负数之和是非负数；②有限个非负数之和是零,则每一个非负数是零.【典例解析】1、无理数的识别与估算方法例 1 、（1）在实数 3.14,25,3.3333 ,,0.412⋅⋅,0.10110111011110…,π,中,哪些是有理数,哪些是无理数？ （2）估算324+的值（ ）A ．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间2、实数的大小比较方法例2、（1）比较大小：7__________50（填“>”“=”或“<” ） （2）已知53=a ,112=b ,则a 、b 的大小关系为_________（3）比较大小：当实数0<a 时,a +1_______a -1.（填“>”或“<” ）3、实数有数轴的关系例3、如右图：数轴上点A 表示的数为x ,则x 2－13的立方根是（ ）A.5－13B.－5－13C.2D.－2。
